장음표시 사용
571쪽
Formetur parallelepipedum ex ductu oKEHF, in ELDHi habebit illud basim KEHE, & altillulinem FI. similiter si construatur parallelepipedum ex rectan- sgulo M BGC iii BN AG, habebit hoc basim BGCM de altitudinem GC. Igitur shae magnitudines compositam habent rationem ex ratione basis ΜΗ GC ad basim KEH F, hoc est ex ratione trianguli Α Β Gad triangulum DEH, S ex ratione altitudinis CG ad altitudinem FI. sed MBGC, ductum iti BN AG aequatur solidis , quae fiunt ex ductu plani MB C in planum
mili pacto magnirudo ex ductu ΚΕΗ Fin E L D H , aequatur solidis quae oriuntur ex ductu plani KE OF in pla- . num F O E L D, & ex ductu plani EO FH in E H DP. Dividantur iam BG, E H in partes aequales in punctis X, Z. Et quia aequantur G B. H E, etiam X B, Z E pares eorunt: dilcanturq; M Q R S, de T OZ Puparallelae ad C A, F D. quadratum F D hoe est ex hypothesi quadratum. C Aὶ est ad quadratum OP , ut HE linea ad Z E. . hoc est , ut G B ad X B , hoc est vetuistis quadratum C A ad quadrarum QR. aequantur igitur quadrata OΡ , Q R. ergo rectae OP, Q R, adeoque & OE, Q X aequales sunt. sunt vero te M S, Τ ύ adeoque & MX , TZ aequalest demptis ergo aequalibus OZ . Q X. liqiiς T O. M a aequales sunt :& quia totae M S, T V, aequales, etiam QS, OV aequales erunt. rectangula igitur M QI ata uantur rectangulis T OU, aequantur autem dc quadrata OP, Q R. ergo omnia rectangilla M QS sunt ad omnia quadrata ut omnia rectangula TOU ad omnia quadrata OZ. ergo MCCo du
hoc ut ia ostendi, parallelepipedii ex M G in G est ad M C Q B in B Q C A N,ve KF OE in E OF DL, una cum EO FH, in EP D H hoc est ut parallelepipedum ex K H, in HLὶ est ad KFOEin EO FD L. igitur permutando ut totum parallepipedum ex M G in G N, est ad totum paralleIepipedum ex K H in I L, ita ablatum M C a B in B QC AL , ad ablatum ΚFOE, in EO FD L. ergo& reliquum B QC G in B R A G, est ad reliquum EO FH in E PDH, ut parallelepipedum
ad parallelepipedu .hoc est ut ostudi sepra)in ratione composita ex ratione trianguli A BGail triangulu D E H,S: ex ratione ipsius Α G,ad FI. bod erat demonstrandii. Scholion. Emιν Fum libro de paraboli demonstratum esse,nusias dari parabonia incli taui Asenset halin prosilanu videtur repugnarem aram simul iplicatis parabola B C G in
B, G A, per duo mocta qui quadrara roducit mi eireuiariter, O comparetur ori Drapeum magnitudine F H E qua etiam mvisipiscasione eis Armormabitaliquiastidam, tunc vera fiet comparatio nothos eum conride, nam B Q C G Actum in orbem producit verum conrides; - etiam E F Η ductum obliqua intanatione in orbem exhibebit inclinarum co-noides, nihilominus virumque se mi eae scilices a granatur non dariparabola. inclinatas,
572쪽
ramin concedi test Hrito,ides alliud inclisiatum.ver.m ulteri.s mcli ιυnem Hamnan prosequimur,tam rate coniales nustiussis Uus,o excludatur a definitione quam initio posvimus.
PROPOSITIO CLXII. Sit pars conoidis ABCD habens basim ellipticam, inclusa cylindro A B C E, & alterum conoides FG H l, super bali circulari,inclusum cylindro FG H
Dico conoides ABCD ad conoides FGHI eandem habere rationem quam cylindrus ABCE ad cylindiu FUI MDemon Iratio.
Pat enim quaevis sectio KLM parallela A B C, occurrens axi obliqui cylindri in Q. di formas in conoide ADC sectione NORAdiuiso deinde axe Iλ in Z secundu ratione Dad Qλparallesa FGH, fiat per Ζ sectio R S T. . exhibens sectione V X Y in conoide FGHI. erat igitur sectiones a K L M,N OP similes, uti de R S Τ,V X Y. insuper quadratum C hoc est M in est ad quadratum P Q ut δD est ad QD, hoc est ex constructione ut λ I ad ZI, hoc est ut quadratum Ηλ ad quadratum YZ, hoc est ut quadratum TZ ad quadratum Y Z. cum igitur sit quadratum M ci ad quadratum T P Q, ut quadratum T Z ad quIratum Y Z, Aeellipses ostenta snt similes, erit ellipsis No Pad K L M, ut est circulus V X Y ad circulum R ST, unde cum hoc sit uniuersaliter verum, factis quotcunque sectionibus, facile iuxta forinma discursus quadragesimae quintae propositi nis libri de Ductibus concludemus cylindrum AB CE esse ad conoides inclusiam, ut cylindrus F G H Κ est ad conoides inscriptum.
ABC conoides a quo dematur obliqua sectione ad axem B H, pars D E FB. facta deinde sectione ABC per axem B H, quae recta sit aciplanum DE F; dividatur communis intersectio D F in I bifariam,&erigatur I Κ parallela axi, ponaturq; Κ L normalis ad D F. . Dico conoides AG CB ad partem DEFΚ, habere rationem comis positam ex basi A GC ad basim DEF, & ex altitudine B H ad altitudinem KL.
573쪽
CONOIDES PARABOLI C V M. Io7IDemonstratio.
Corioidos AG CB inclusu suo cylindro,
eam rationem continere ad pariem c
noideos DEFK inclusam suo cylindro stipes Nasi DEF,quam lindrus ad cylindrii: sed cylindrus super A GC basi 8c altitudi
eY altitudine ΚL 3c basi DEF, rationem habet composita ex ratione baseos AG Cad basiim DEF, N ex altitudine B H ad altitudinem Κ L. Igitur etiam ratio eonoi-A CCB ad partem DEFK Ex iisdem est composita. quod autem KL sit alti-ttido partis abscisiae DEFK inde paret, quod IK sit diameter sectionis FKD bifariam secans DF, dc consequent cr KI maxima linearum quae axi aequidistant 1 ut patet ex 4 parabol. π εc D 2. ac proinde etiam Κ L longissima normalium quae ex quouis puncto perimetri FK D ad F Dpossunt demittu
PROPO. SITIO CLXIV. SIt conoides A B C sectum duobus planis narallelis D E F, G H I sed in
clinatis ad axem ; ducto deinde etiam altero plano ABC per axem B K.quod iit rectum ad plana D E F, G HI, exhibens communes intersi iones F D I G, quibus in L & M bisectis ponantur B L M, & F B. Di eo par seono id eos BD EF & BG Hl, eam sortiri rationem,quae est inter triangula B M F, de B L N Semonstratio.
Erficiatur parallelogrammum M T, Fc ponai tur quaevis P S R in quae aequi dister F M. erutbitaque O L, I L, N L; item PQ, S Q R in
proportionales.quare per propositionem quadrages mam quintam libri de ductibus magnitudo constans basi triangula FBM, dc altitudine obliqua FM , aequabitur solido, quod emergit ex ductu BISFM in se secunaum eandem obli cultatem anguli B MF: unde etiam pars magnitudinis constans basi triangula BNLItaltitudine obliqua FMaequabitur solido, quod fit ex seperficie BIL in se diicta secundum eandem obliquitatem. Cum igitur liqcprismata conue- niant altitudinibos, interserationem coseqimntur qtiet inter bases triangulares inuenitur: unde.
ea abete Oidis pars BD EF ad partem conoidis BGHI , quia i si DFFad ellipsim GHI, vel ad quamcumque aliam eidem parallelam ean
574쪽
intermedium. Igitur simili deursu quo usi sumus in 29. huius patet conoidis partem B D E Fad partem B G ΗI eam rationem obtinere quam triangulum B M F ad B L Ntriangulum.
De Conride Hyperboliso. DEFINITIO PRIMA.SIt hyperbola Α Β C , cuius axis B D, si aper quo immoto intelligatur
circumduci in orbem pars A B D pergens ex A in C & E, donec tandem reuertatur in Α punitium. exhibebitur figura corporis quod conotides hyperbolicum dicimus. Cuius axis B D & vertex B punctum. DE p INITIO' SECUNDAE Iisdem positis sit hyperbolae ΑΒ C centrum F, ex quo asymptori ponantur figurae ΑΒ C; scilicet F G, F H. N producta DC in G agatur FDG triangulum in orbem describens conum H IGF. Appelletur conus hic asymptoticus conoidis A B C.
. Similes taperbolet sunt qui rectas &transuersas diametros proporti uales habent.
nerat eandem cum illa, qua in lamatione constivis vli sumus
575쪽
It figura A DC hyperbola ex qua sormatum coiioidos,& axis sit D E: quo producto inueniatur hy uerbolae ADC centrum F. sectione denique tacta DBE per axem , Ac assumpto quouis p cto G in perimetro A D C , demit- ratur ex eo normalis ad axem D E qtiae sit G Κ:ex Κautein sit ΚΗ, normalis item Marsem, re agatur hyperbola DE A in orbem , donec perinuenerit adsectionem DFIB. quoniam igitur hyperbola CD A generat ex hypothesi insum cOnoides, patet lineam Κo solo situ differre a linea K H; est vero Se E A aequalis BE, Cum ambae sint semidiametri.Ergo ut quadratu EA ad quadratum K G,' sic quadratum B E ad quadra. tum H Κ. sed, quia A D C ex hypothesi est hyperbola, ut quadratum E A ad qii ad ratum K G, sica rectangulum FED ad rectangulum F K D. ergo ut quadratum B E ad quadratum H Κ , sic tectangulum FED ad rectangulum FKD. Ergo D HB hyperbolε est eadem cum ADC, quae formauit conoides. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO CLXVI. OMnis sectio in cpnoide hyperbolico basi aequidistans circulum for
CIt conoides ABC D , desectiones per axem ADC&DHB: sectio autem paral-' tela basi sit G HI: ex dictis propos ins. patet K G aequalem esse Κ. H, de eodem modo ostendam reliquas omnes quae ex K ad perimetrum GK ducuntdr, aequales esse. ergo GH P circulus est. Quod Mat demonstrandum.
PROPOSITIO CLXVI I. COnoides hyperbolicum se
posse duci planum quod rectum sit ad planum datum. Demonstratio.
cIt eonoideos ABC planum D EF, secans oblique ailein B Iin G r Electa deinct normaliter GH ex Gad planum D EF,erunt GH&GB, in eodem plano quod per I8.undecimi rectum erit plano DEF. Ex quo patet propositum.
576쪽
CONOIDES HYPERBOLICUM. PROPOSITIO CLXVIII. LEMMA. Sit ABC hyperbola quam secent dii aequi distantes DC, EF, pon
turque tertia A B, quae parallelis occurrat in punctis Η & G, neque per i centrum transear. Dico rectangulum E G F ad D H Ceandem habere rationem quam habet i T. rectangulum AG B ad A H B rectangulum.
H centro hyperbolae demissis diametris rei.ctarum ΑΒ , EF, quae occurrant periametro hyperbolet in punctis N & M, ponantur contingentes N Mo concutient haean puncto quodam O.na in aequid istantes sunt . . ominatim applicatis AB, EF ; quae sibi oc- currunt , eritque per x . tertii conicorum rectangillum AGB ad EGF,ut est No qua-- dratun ad M O quadratum. sed etiam per eandem propositionem est rectangulum ΑΗΒ ad DHC. ut quadratum Noad Moquadratum. Igitur virectangulum ECF ad DHC , ita est AGB ad. ΑHB. Quod demonstrandum.
sibi occurrentes in I & K. Dico rectangulum CID ad
ΑΚΒ, eandem continere rationem quam rectangulum
Elp ad G ΚH rectangulum. Demonstratio.
Vngantur puncta IK recta linea, -- aquae conueniat cum perimetro iuL8c M. erit itaque per praecedentem ut rectangulum L LM ad rectangulum LI Μ, ita tam rectangulum GKHad GF, quam ΑΚΒ rectangulum ad C ID rectangulam. Igitur virectangulum CID ad ΑΚΒ rectangulum, ita est rectangulum Et Pad GK H rectangulum. . . '
577쪽
CONPIDES HYPERBOLI CYM.L E MN A. PROPOSITIO CLXX. Secent hyperbolam inter asymptotos constitutam quae uis rectet A B,
HR asymptoto parallelς ponantur autem ex Adc H, recζς contingentes sectionen quae conueniant in C, D, P cum asymptotis et ex centro
denique G duae diametri ducantur GAM & GHI , &fiat ut GA ad GM, ita G H ad GI, ponanturque ordinatim MFSad diametrum G A, S INO ad diametrum GH. Dico lineas QO S Κ proportionaliter sectas esse in N, R, IN RE M. Dem seratis.
deinde, HV, AT quae aequissistent asymptoto G C, erunt iterum Q U & SΤ pr portionaliter sectes, cum ut RI ad I , hoc est VI, ad I in velut eli EΜadM S, hoe est M T ad M S rsunt autem tres quantitates S F, SE, SL 3taliae tres QN, Q R, QD , proportionales, ac proinde cum sine F E aequales Τ Κ ω N R, V o, nam FM aequalis est MΚ ω ΕΜ, ΜΤiω NI aequalis I &IR aequalis IV, etiam bquantitates S F, FRET M Q. NR,RU sunt proportionales. quareb ,- eum sit QR ostensa ad RI, eandem habere rationem, quam habet S E ad EM, in etiam QN ad N R, hoc est Vo eandem habebit proportionem quam SP ad FH hoc est ΤΚ.quare totae lineae , S Κ in punctis N, R,I & F. E,Μ sunt proportionaliter sectae. Quod fuerat demonstrandum.
PROPOSITIO CLXXI. OMnis sectio conoidis hyperbolici ad axem obliqua ellipsim exhia
578쪽
CoΝoIDES H Y P E R B O L l C v M. Demonstratio.
π Ceurrat planti in D EF ad angulos obli- quos axi BG. Dico sectionem DEF es' . lipticam esse. ponatur planulla A B Ceer axem' BG quod sit tectum ad planum D E p, exhi-
. a. bens communem intersectionem DRquae oc
currat axi in puncto quovis H , erecta deindenormaliter HE ad planum ABC fiat sectio per I E parallela basi AI C. scilicet ΚEL,
quae erit circulus. deinde ponatur planum MNO, basi quoqile aequidistans produces citaeulum M N O ac signans communem iliter se ctionem cum plano DEF rectam PN. eriti igitur PN parallela HE, ac proinde b recta plano ABC. quia ergo tam HE , quam PN sunt rectae plano ABC, definit. s. undec. erit
31 E normalis ad DF, KL: de ΡN normalis ad D F , M o: ac proinde H E. DN sunt ordinae isti DEF,6c quadrata HE , PN rectangulis ΚHL. 2. . M P o aequalia sent. Deinde ostensum est e rectangulum Κ H L ad M P o, eandem habere rationem, quam rectangulum D H Fad DPF rectangulum. igitur, elim rectangulis ΚHL, MPO paria sint quadrata H PN, etiam quadratum H E ad PN quadratum eandem habet rationem quam rectangulum D H F ad DPF rectangulum. Quare sectio DEF ellipsis est , cum linea HEaequalis si H Κ, tecta vero H F maloi H L, siue HK
. Mnis sectio conoideos quae truiseat per centrum hyperbolae factae per axem conoideos, hyperbolam exhibet.
DemonHratIo. Ie conoides ABC, cuius sectio per axem habeat pro centro punctiim D, per quod agatur planum DBG. Dico BEG esse hyperbolam. fiat enim per axem D H lectio quaesit recta ad planum BEG, sitque id planum ABC, erit igitur III communis intersectio planorum ABC, S: BEG, diameter insectione ABC: assumptis autem punctis KN Lin diametro DI, erigantur Κ E, LF nor maliter ad planum AB C. eri=nt igitur hae Ir-neae in plano BEF quod orthogotia litor plano ABC insistit; positis deinde in iectioilo ABC ordinatim rectis o LP,M K N ad diametrum DI, fiant sectioites per KE, LDquae basi AG C aeqvidistent occurrentes Plano ABC, secundum rectas Q KR, TL S. cum i itur desin. 3.vndec.rectae KE,LF normales fiat diametris circulorum QE R IF S, erunς quadrata Κ RLF rectangulis R K Q , S L Υς aequalia.erit igitur ut rectangulum Q ΚR ad
579쪽
tum sed ut est Q KR rectangultim ad rectangulum TLS, ita est a re stangulum ara νώ. MKN ad OLP rectangillum: igitur ut rectangulum M KN lioc est quadratum . M Κ, ad rectangulum OL P, hoc eth quadratum.onita est quadratum KEad L Fquadratum. est aurem qiiadratum M K ad OL quadratum, ut rectangulum V KB facta prius D V aequali DB,in ad UL B rectangulum.igilii Ut quadratum K E ad L Fquadratum, ita est rectangulum V K B ad ULB Est igitur iectio BE Fb hyperbola euius axis Bl de latus transuersium B U.
Vae hyperbolae in cono parallelae inter se similes sunt. Demon'ratio. CIt eoniis ABC sectus planis parallelis D R E,
GHI quae hyperbolas exhibeant. Oportet ostendere eas similes esse. facto per axem coniplano ABC quod sit rectum ad lectiones parallelas,eriint D K, c, L earum Iatera transi ers, comunes intersectiones planori m cu com latere A B cocurrentes.dein cx B coni vertice ponatur B F st cans hi fariam. transuersas diametros G L,
D K. eriit ergo B Z, B F diametri b rect .His positis quia Κ D. L Ge sunt parallelae Κ D est ad L Gut BD ad BG, hoc est ut BZad BF. Ergo per defin.3. hyperbolae DEF, GHI simiIes sunt.
PROPOSITIO CLXXIV. DMnos hyperbolae inter easde asym
ptotos constituti e similes sunt.
In tDAE, CAO asymptoti communes dua--bus hyperbolis FGH, IKL. Dico illas esse inter se similes. Ponantur enim contingent crMGN, oKE ad axem communem AGMqui angulum asymptotorum bisecat: erunt ergo ΑΚ,AG, dimidia laterum transiersorum. OR
580쪽
io 8 . C O N o I D E S M Y P E R a O L I C v M. PROPOSITIO CLXXV.CIt Α centrum hypei boli
. . O B C L factae per axem co- is no id eos CF & eiusdem hypem a bolae in eodem plano sit asymptotos A E ciuae in orbem acta super axe AF, immoto conum E HG A describat.
Dico conum hunc cum c noide BCL non concurrere,
quamuis dito quouis intcruallo . propius accedat.
FIat enim quaeuis sectio per axem conoidis EAG, habebit haec pro asymptotis AE, AG lineasquς cum
sectione conolitica per elandem axem AE tacta nunquam conuenient;ac cedent tamen ad interuallum dato minus ex natura linearum asy mpto ton: quare cum omni sectioni per. axem factae hoc c ueniat, manifestum est superficiem conicam nunquam eum conoide conuenire, licet ad linerualia lumdato minus perueniat. bod fuit demonstrandum.
PROPOSITIO CLXXV I. CIt iterum conoides ABC: sectione
O ABC per axem factae centrum sitD, & asymptoti DE, DF in superficieas1 mptotici coni D F E. fiat autem se- ctio G N I, quae recta sit ad planu ABC, per axem cono id eos & parallela axi co-' noideos B Ο, exhibens communem in- tersectionenὶ NIM, cum plano baseos
ΕΡFi ducta deinde DL quae diametro Α C baseos conoidis aequi distet, ducatur L M linea vi angulus N L M sit di- midius anguli que continent asymptoti .EDF, par nimirum angulo OD E. Dieo sectionis G NI asymptoton esse