장음표시 사용
581쪽
C o N o I D E s H Y P E R B o Oi C v M. in s Demonstratio.
UX O eentro baseos ponatur OP, quae sit paralleIa N M, & iungantur D Ρ,Ρ M.quoniam plana FPE, L NM recta sunt plano
E DF, erit, communis eorum sectio MINrecta plano EDF , adeoque ad lineam FE. ergo PO parallela ad MN , etiam recta es ad FE. insuper quia DP est insuperficie coni asymptotici, erat angulus PD O parangu Io EDO, hoc est MLN.sunt vero Manguli D O P, L NM recti ut Deile ex hypoth.
colligitur. quare cum latera D O , LN etiam sint aequalia , erunt quoque bo P, NMaequales. igitur N O,P Μ, iungunt O P, N M aequales & parallelas. ergo Ee ipse sunt parallelae. ergo cum angulus PON ostensius sit rectus, etiam O P M rectus erit. ergo ς Μ P tangit circulum, planum ergo DPMtasgit conum; deinde qui ala in ostenda ΜPesse parallela NO, estque et Fam ex hyp. D L parallela N Oarunt
L D, M P parari elς. ergo L Μ, in uno d plano est cum reciis M P, P D, D L, in platio scilicet conum tangenter & quidem parallela aiu DP. eum LM, DL iungant DL,PMaequales ac parallelas. ergo LM non concurret unquam eum D P , quae est plano tangenti Sc superficiei conicae communis . ac proinde , quia planum tangens cum cono non conueniet unquam nisi in sola linea DP, patet L Μ cum superficie coni non
Concurrere.Atqui per praecedent.superficies coni nunquam concurrit cum corioide. Ergo L M multo minus unquam cocurret cum conoide , ac proinde neque cum c
noideos sectione G NI. quod autem accedat ad interuallum dato minus,sic ostenditur: planum tangens si versus basi in una cum cono producatur, ad conum accedit ad interuallunt dato minus; nam factis sectionibus eiieulatibus basi parallelis, eum circuli fiant maiores datis quibuscunque anguli contactuum ΜΡ R nent datis minores, accedit autem de conica perfietes ad conoidem ad interuallum dato minus ergo de planum tanges accedit ad conoidem ad interuallum dato minus. ergo Ze lineae LM, GNI. ad inuicem accedunt interuallo dato minori.Patet ergo propositum.
Dico eoni asymptotici D FE sectionem QS R inter asymptoton L M esse constitutam siue L M etiam esse asymptoton sessionis QI R. 'Demanseratio.
c si enim angulus N L M ex constructione dimidius anguli F D E, quem asympto- ti complectuntur: undo si ponatur Q T normalis ad Lin dc DX, contingens ABC sectionem,erit D B ad B X, ut L Q. ad Q T, sed vi B D ad B X, ita est QR ad LD, igitur Q T lt L D aequales sunt. eit autem Lintimidium diametri transuersae,&LD hoc est Q Τ dimidium rectet. Igitur L TM asymptotos est hyperbo. IE QS R. idem patet ex demonstratis in praecedenti , illic enim ostensiim est LM
non concurrere cum sit perficie coni.quare neque cum sectione QSR,qua'st in coni saperficie,unquam conuenter.
582쪽
Corosi mum. T Yperbolae QIR, Grai similes sunt, nam ijsdem continentur asymptotis peri r . ergo per r74.similes sunt.
SIt conoides cono a symptotico inclusum, & fiat sectio ΚI G axi parallela, quae recta sit ad planum ABC duetum per axem , exhibens hyperbolam KL G in cono D E F; de sectionem B N H in conoide hyperbolico: 6c ducatur O N M P parallela I G Y. Dico quadratum O M excedere quadratum ON eodem excessu quo quadratum I G excedit IH quadratum. D OV ID.. Ponatur planum R M S basi DG F, aequi-
distans, exhibebuntur duo circuli T NU& RM s, parallelieitculis A HC , D GF. eritque quadratum ON aequale T OV rectangulo: quadratum vero OM aequale reiactangulo RO S. Quemadmodum etiam quadratum IH aequale rectangillo A IC, At quadratum I G, aequale DIF rectangulo. sed rectangula RT S,FCD, sunt excessus rectanguloru R O S, FI D,supra rectangula T O GCIA. ergo rectangula R T S , F C D etiam sunt excessus quadratorum OM, I G , lupra quadrata ON,IΗ. 1 ed rectanguIuni R T saequalea est rectangulo FCD . igitur etiam excessus quadrati ou quo excedit quadratum ON, aequalis est excessul quo quadratii 1 G, excedit quadratum I H. derat de
Assumpsi in demonstratione tectangula R T S, F C D, excessus este rectangulorum ROS, FID, stipra rectangula T O U,C I A. hoc autem sic demonstro. rectaguliim ROS, aequatur rectangulis RT, OS A TO, O S. sed rectangulum T O, O S. aequatur rectangu Io T O , , & rectangulo T Ο, v s. hoc est b Qts.bRTO. ergo tectangulum R O s aequatur rectangulis RT O S, T O v, R T in sed rectangula RTos, RTO aequantur rectangulo RT S. ergo rectangulum ROS aequatur rectangulis R T s, T O v. Ergo rectangulum R T S est differentia rectangulorum R O S, T O v.
oenis sectio eo noidis hyperbolici axi parallela exhibet hyperbolam
illi similem quae fit per axem. .
583쪽
Epetat tir praecedentis propositionis programma sitqtie iuxta I 7. XY asym- 1 ptotos KL G hyperbolae, quae est in cono D E F. Ostensum est quos quadratum I G excedit IH quadratum aequali excessu, quo quadratum Moexcedit quadratum NOAed quia X Y est asyhiptotos hyperbolae KMGι etiam quadratum Irexcedit quadratum I G aequali excella quo quadratum OP,eκcedit quadratum OM, clim quadrata I Υ Se OP, excedant quadrata I G 8t OM, tectangulis sub YG& dupla YI , & sub PM S dupla P O, quae per i s. hyperbolae aequalia sunt. Igitur excessus quadrati I Y super quadrato I H. aequalis est excessui auo quadratum Opexcedit quadratum O N. Sectio igitur BNH axi parallela, est nyperbola. od aute similis sit hyperbola B N A, hyperbolet A B C quet per axem facta est, patet ex eo, quod RNH hyperbola asymptotis clauditur ijsdem, quibus clauditur hy-Ierbola KI G, ut ostensiim est supra. Ergo per I .huius hyperbola B N H axi paralela similis est hyperbolae per axem. Quod erat demonitiandum. corosianum primum. O Mnes sectiones conoidis quae axi sunt aequidistantes angulum asymptotis com-
prcheaalum aequalem continent.patet ex I7 .huius.
- Incetiam manifestum est, omnium sectionum minimani esse hyperbolani per axem, si comparetur cum quavis hyperbola quae fit eidem sectioni parallela, cum enim ostensum sit omnes illas hyperbolas asymptotis vii , qui sunt eiusdem anguli. Igitur quo maiores euadent diametri itansuersae, eo etiam maiores euadent hyperbolae: diameter autem transuersa, minima illa est quae per axem transit,ut patet curiosius has irrate tias considerami.
Ecet ut conoides plano per axem exhibens hyperbolam: inuentis autem huius sectionis asymptotis,fiat sectio co-noideos alteri asymptoton parallela.
Dico parabolam hac sectione produci. Demonstratio.
CI: A B C planum per axem F B K conoideos hyperbolici . exhibens hyperbolam A BC, cuius centrum F,asymptoti vero FG,FH.posita deinde recta BD quq aequidistet asymptoto P G. fiat per eam sectio B D E recta ad planum A B C Dico figura B DE esse parabola ad FBKaxem commune cono idem 5e sectionis ABC. constituantiit ordinatim rectet L M,quς productae cum asymptotis & cum sectione concurrat;
ponanturq; B 1 asymptoto F H aequi distans, ScX B s tangens sectionem Α Β C in B. Denique sectiones fiant L R U, quς sint rectae ad planuper axem quarum communes sectiones N R eum plano B R Hrmvndec. 8c definit.3. undec. tectς erunt ad lineas L Q BD. quoniam igitur
FG, BD aequidistant PN aequales erunt SB
584쪽
contingenti, hoc est B X. hoc est rectis PQ eritqtie quadratum P M aequale qira-dratis PN,N M, Strectangulis PNM bis si amplis, hoc est rectangulis P Lia simul cum quadratis NM, Sc una cum rectangulis PNMbis sumptis. sed etiam quadrata PM aequalia sunt rectangit lis P LR,LNV una cum quadratis NM. ablatis igitur communibus P L F. rectangulis 3c NM quadratis, remanent rectangula PNMbis silmpta aea ualia L N v. sed i sdem rectangulis LN vaequalia sunt quadrata NR, quod NR sine rectae ad diametros circulares LV. Igitur N R quadrata aequalia sunt rectangulis PNM bis sumptis. quare virectangultim PNMad PNM, hoc est ut linea NMad NM, hoc estvtN B ad N B, ita est quadratum N Rad N Rquadratum.quare BRE, sectio parabola est.Quod erat demonstrandum.
Sit ABC conoides cono Ibo DE F, asymptotico inclusum, facta de
inde sectione D E F per communem axem coni & cono ideos, fiat altera GHl asymptoto quidem EF aequi dictuns sed normalis ad planum D EF exhibens parabolas B H Κ, G Hl. Dico has parabolas esse parallelas seu gaudere communi latere recto. Demonstratio.
'Elat sectio LMN parallela basi exhibens in
cono Acconoide circulos LMN, OP QAproducens in plano GHI communem interis lectionem R Μ, quς, quia est communis sectio duorum plandrum LMN , GHI rectorum plano DEF , erit 39. undecimi recta plano DEF, ac proinde desin. s. undeciminor alia
ad lineam N QO L, rectangula igitur N R L,
Q. Roaequamur quadratis RM, RP. pari a gumento rectangula FH D, CHA aequantur quadratis III, H Κ. Quare clim rectangula N aL.FCD sint differenti brectangulorum NRL,QRo dc FH D, CHA, erunt quoque eadem rectangula N QL,FC D, differen-
d reetangula NQL, FCD ς aequalia sunt. Igi. tur excessus quo quadratum R M superat quadratum R P aequalis est excessiti quo HI quadratum excedit H Κ quadratum. sunt igitur per ea quae lib. de parabola diximus a parabolae ΒΗΚ de GHI parallelae , gaudentes eodem latere recto ad communem axem. Quod fuit demonstrandum.
SIt conus rectus asumptoricus ABClectus plano per axem exhibens triangulum AR C. deponantur duo plana DE F, GHI normaliter constituta ad planum A B C, quarum communes intersectiones E D, H G cum triangulo ABC aequi distini lateri B C. Dico parabolam DEF minorem esse parabola G HI qui remotior est ab asymptoto BC.
585쪽
erunt normales ad diametrum AC ex 39. unde I . A . de defin.3.eiusdem, ducta vero G B, occurrat re- μ'.' I -ctae DE in K, ponaturque per punctum K I planum ML N. parallelum basi exhibens L K, o l
communem intersectionem eum plano EDF,
quae or malis est ad MN. rectangulum igitur si
NKM arpiale est quadrato LΚ, x rectangu- l .lum C GA aequale quadrato G I. igitur ut est Arectangulum M KN ad AG C, ita est quadra- l tum KL ad quadratum G I. sed quia ratio υ Κ f ὶ Ly ead C G, eadem est cum ratione ΚΜ ad G A,re- . GL MI ctangulum M KN est ad rectangulum C GA, I in duplicata ratione N K ad C G, hoc est BR ad , I . BG, hoc est KR ad GH. Igitur etiam quadra- 'rum XL ad quadratum G I , est in dupli eata Vratione N E ad G H. ergo ut quadratum KL ad GI quadratum, ita est quadratum KE ad quadratum G H. sunt itaque similes portiones parabolicae E ML Ze GH taediatus rectu portionis II GL maius est latere recto pol tionis E KL, cum rectangulum HGI maius sit rectangulo EΚL. Igitur veruta est quod remotior a vertice maior sit parabola quam quae propinquior in.
Ponatur conoides hyperbolicum A BC
sectum planis parallelis exhibentibus parabolas B D E, F G H. ostendendum est sectionem B D E minorem esse sectione F G H. Demonstratio.
DErficiat irrconus asymptoticus L IK, dc planuper axem ductum .exhibeat hyperbolam ABC eiusque asymptotos LI,IK, quarum IK aequidian abie parabolis, ut patet ex Iso.huius: plana vero D B E, G F H producta .producat figuras M D N, O GP,quae utique parabolet existent cu plana illa asymptoto IK Aqui distent. ostensium est para. Bolas MDN, RDE aequales esse: similiter ωO GP, F GII. igitur cum ostensim etiam sith parabolam D MN viciniorem IK, minorem esse parabola OGP remotiore , etiam BDE
586쪽
CONOIDES HYPERBOLICUM. PROPOSITIO CLXXXIV. OMnes sectiones conoidis hyperbolici axi a quidistantes, si inter se
quoque aequi distent, centraliabent in linea quae a centro hyperbolae per axem conoidis productς , normalis ad parallela hypcrbolarunii lana ducitur. . Demonstratro. .
Itigitiit planum ABC per axem con* deos incluti conci DEF asImptotico,ad quod alluit ponatur BGH au rectos anguinios , clitini aequillis et axi corioideos. Dico sectionis HGH centrum esse in EI, quae a centro hyperbolae ABC dueitur normalis ad planum B GH. planum enim BGH, productum secet conum , & exhibeat hyperbolani LGI,; huius centrum erit in recta EI. Atqui hyperbola BGn, ijsdema symptotis clauditur quibus hyperbolia
ΚGL., Vt patet ex i76 dc ,77. huius. ergo MCentrum cum ea habct coni mune in recta
EI. similiter ostendam omnes hyperbolas ipsi BGH parallelas habere centrum in P Ma EI. Liquet ergo propositum.
PROPOSITIO CLXXXV. SEcetur conoides hy perbolicu ABC
finione per axem & altera B D E, quae recta sit ad planum per axem,concurratque cum lateribus trianguli per axem coni asymptotici extra conum. Dico sectionem B DE esse hype bolam quς cam sectione coni F D G, non concurret, quae in eodem plano existit... Demonstratio. 'OVoniam planum BDE rectiim est afl
planum per axcm ABC, de concurriccum lateribus trianguli per axem Extra C
num, igitur sectio F D o coni HM GLhyperbola est, cuius centrum supponatur punctum P. ex quo asymptotos dii cat ut PQ. posita igittar diametro P D , assumptoque ui ea plancto quouis R erigantur R S. D 4que sint norinales ad planum trianguli AB Uper axςm,Sc secundum R S, D ci sectiones fiam basi conoidis parallelae exhibebunt haesectiones circulos O T Y, AEC & Z. UX, LGMex I9. H.S dcfinit. 3. I i. patet RTV rectis PD,XZ, ac DEG rectis LM,PD. esse
587쪽
esse normales. vn te rectangulis O R Y, A DC,s quantur quadrata RT,DE; rectangulis insuper Z R X, L D M quadrata R S, D G, si quia H M, HL asymptoti sunt sectionis A B C. etiam Z O X.L A M rectangula inter se sunt aequalia: unde excellus' quadrati R V quo superat quadratum RΤ aequalis est excessui quo quadratum D Gexcedit D Eh quadratum : dc quia PQ isymptotos est sectionis FD excessus qua . 27 drati RS super RV qiradrato aequalis est excessui equo differt quadratum Dinae ars. quadrato D G, ac proinde quadratum R S excedit quadratum R T eodem excestu quo D Q. quadratum superat qu dratum D E. sunt igitur B TE ad hyperbolam cuius asymptotos est PQ: Quare cum duarum liyperbolarum F U G, B TE altera sit
in superficie coni, altera in superficie conoidis; quae superficies nunquam 4 concur- dij1. h. runt, nec ipsae sectiones concurrent. Aod erat demonstrandum.
PROPOSITIO CLXXXVI. SEcetur conoides duobus planis parallelis quq ellipses forment B N E,
Dico illas ellipses esse inter se similes. Demonstratio.
AG amr ABC planum per axem Corioidis quod sit rectum ad sectiones BFE, D GH exhibens communes intersectiones BE, D H. erit igitur ABC ityperbola. ponatur autem diameter MI, quae diuidat BE, D H bifariamin Κ & I, bc t ectio fiat per M Ll quae recta sit ad planum ABC exhibens communes sectioines, K N, I O, quae per r9.ir. de defin 3. trerunt rectae ad lineas E B, H D, ac proinde EB, KN, ID, IO sunt axes ellipsium; erit autemper ea quς demonstrata sunt v LN O hyperbola cuius latus transierim M L, commune hyperbola A B C. quare ut rectangulum Μ Κ Lad ΜIL rectangulum, ita est quadratum K Nad IO,&quadratum ΚΒ, ad quadratum ID.
ac proindequadratum K N ad quadratum I ut quadratum RB ad quadlatum ID. unde veEB ad KN, ita H D ad Io sunt igitur simi. Ies ellipses B NE, DO H.
Si sectiones parallelae conoidem hyperboli et hyperbolas produxerint,
588쪽
1686 CONOIDES HYPERBOLICvLLDemonstratio.
κ ' cini ABC, DEF sectiones cono ideol parallelae producentes hyperbolas. Diaco illas inter se similes esse e perfecto enim cono asymptotico L K M producatur plana ABC , DEP donec occurrentia cono forment hyperbolas N B O, P E Q osten sum est a hyperbolam N BO parallelam P E in similem quoque eidem esse. deia monstratu insuper est b hyperbolas N BO, PE smiles esse hyperbolis ABC DEF. igitur etiam hyperbola: ABC, DEF sunt similes inter se. Quod demonis
PROPOSITIO CLXXXum. SIt conus ABC rectus sectus pla
no per axem exhibente sectio nem hyperbolicam DEF cum symptotis eiusdem AB, AC. fiant sectiones G H N per verticem D, &aliae BIC quae sint rectae ad B A C, planum per axem . aequi distantes contingenti G D N dc exhibeant in pIano B A C sectiones G N,B E F Cierigantur denique F I normales ad
CB. Dico rectas Fl aequales esse rectae DN.
Cunt enim rectangula BF C aequalia equadrato DN, sed etiam rectangula BF C aequantur quadratis FI, quod F Isine rectae ad circulares diametros BC. sunt igitur FI quadrata aequalia quadratis DN. ergo rectae FI, D N etiam aequales sunt. Quod erat demonstrandum.
Dico spatium N CIBO D conoides hyperbolicum cingens aequari eylindro cuius basis est circulus G H N, & altitudo D L.
589쪽
Co No IDES HYPERBOLICUM. Io87 Demonstratio.
Ectangulum CFB aequale est quadra- DN,hoc est i er praeced. quadrato FI, hoc est quadrato Κ L,& consequenter circulus radio DN descriptus est aequalis spatio circulis parallelis contento BIC, EM F. undecu bases semper sint aequales de altitudines, facile per cylindroru inscriptiones demonstrabitur cylindrum qui ba-1im habet circulum GHN , ω altitudinem,D L aequari spatio quod conoides hyperbolicum cingit .Quod fuit demonstran
PROPOSITIO CXC..Tisdem positis: I Dico spatia conoides hyperbolicum cingentia quc planis parallelis contingenti GH N intercipiuntur eandem rationem obtinere qua
PRaecedenti enim ostensum est spatia illa aequari cylindri partibus qui habet basim circulum G H N: sed partes cylindri eam mter se sortiuntur rationem quam altitudines D L, L L. igitur etiam spatia illa inter se eam rationem habent quam altitudines DL,LL, quaecum altitudinibus cylindiicis sunt communes.
SIt denuo conus rectus ABCD sectus per axem exhibens triangulum AB D, cuius latera sint asymptoti hyperbola: FEH per axem factae conoideos E F G Hr ducta deinde contiogente LI sectionem in E quae aequid istet B D, describatur circulus radio L E, resuperbasi I ΚLpona tur cylindrus IMNO. Dico conoides E F G H aequari spatio coni quod cylindru IM N Ο L,
590쪽
U Stenim spatiiim coni rescissum IB C D L,
a quale conoidi sint ut cum spatio quod co-noides ambit: rursus idem spatium coni aequale est corpori cylindrico simul cum spatio sbit. do quod cylindrum circundat; est autem a demonstratum spatium quod conoides cingit quari cylindro IM NOL , igitur ablatis aequalibus remanent conoides & spatium quod cylindrum ambit aequaIta inter se. Quod demonstrandum fuit.
PROPOSITIO CXCII. Iisdem positis:
Dico conum abscissum AIΚ L ad spatiu quod circundat conoides E F G Hhabere rationem compositam ex ratione altitudinis AE ad altitudinem E P. de ex ratione I L ad triplam rectae I L. Demonstratio.
Stensum enim cum sit, cylindrum IM NOL qquari spatio solido quod ambie seconoides hyperbolicum, igitur quam rationem habebit conus A IKL ad c Iindrom IMNO L. eandem quoque habebit ad corpus cingens ipsum conoides.sed ratio coni AIKL ad cylindrum II1NOL, componitur ex ratione A E ad ER& ex latione I L ad triplam IL: igitur etiam conus A IKL ad corpus ambiens co-noides habet rationem ex ijsdem compositam.
PROPOSITI G CXC s. REcto conoidi inclusus sit conus A B D C facta per axem A E sectione triangulari ABC & hyperbolica BRAOC, diuisisq; AB. A C
bifariam in F G r ductaque F G quet sectioni hyperbolicae occurrat in H & I, sat rectangulo H FI aequale quadratum KL, &perAE axem,& L Κ semiaxem describatur ellipsis. Deinde fiat rectangulum sub E B MM K aequale quadrato L Κ, & describatur parabola A ME, cuius axis M K facto denique rectangulo sub E B M K N, aequali quadrato Κ G seu F K describatur parabola A N B, cuius vertex A. Dico conoides hyperbolicum ad conum inclusum eam obtiners proportionem quam superficies A ME BN A ad superficiem AN BE K A.