장음표시 사용
591쪽
co No IDES HYPERBOLICUM. io8s Demonstratio.
a ducit magnitudini quς oritur ex ductu semiellipseos ALEductae in se,cum ex hypothesi rectangulum H FI , aequetur L Κ quadrato , & qtiodlibet rectangulum OPR dummodo OR aequidistet HI in aequetur quadrato Q. S. cuin rectangula 'H FI, O PR,&c. sint quadratis L Κ, QS, &c. proportionalia: est enim per IsS hu-liis rectangulum H FI, ad rectangulum O PR, ut rectangulum AF C ad AP Ce t.Dua.
hoc est rectangulum A RE ad Α S E,linc est ellipi. ut quadratum KL ad quadra. tum SQ. sed ΑPLE ductum in se aequatur iblido quod laabet basim parabolam A ME, dc baltitudinem E B, cum ex hypothesi rectangulum sub EB . & MK ae quetur quadrato LK , igitur etiam AH CFΑ stiperficies ducta in planum AF CBIA, ςquatur eidem ibi ido quod habet basim AME& altitudinem EB. Simili ratione triangulum A FC E ductum in se aequatur solido habenti basim spaciti in parabolicum AN BE,&altitudinem EB; cum KN,ΚG hoc est FKὶ EB sin t proportionales ex hypoth.&quqcunque S V, S T, E B, modo S T sit parallela EB, simili ratione proportionales si1nt. Quare com totum AOC Eductum in se aequetur AOCF Α ducto in AF CBIA, de simul triangulo AFCE ducto itise siue in triangulum ABE , cum quadrata HK, aeqia alia sint rectangulis H FI, FKG: etiam totum AO CE, ductum in se aequatur solido habenti pro base super scies A ME de AN BE, hoc est superficiem AMEBNA, Se altitudinem EB. sed solida illa quς ali itudincm habent E B , communem, sunt ut bases A M E B N A, AN BES A. ergo & hyperbola A O CE ducta in se est ad triangulum AP CE. ductum in se ut superficies A ME BNA ad superficiem A N B ES A. Sed sicut se a gis, ,habet AOC E ductum in se ad triangulum ASC E ductum in se, ita quoque se ha bet e AOCE, ductum in orbem ad triangulum AP C si, ductum in orbem, hoc est cono is facta per gyrationem hyperboles AOCE ad conum factum ex circumia ductu trianguli AFC E, cum quadrata HK ordinatim positarum ad quadrata F Mordinatim positarsm eandem rationem contineant quam circuli quorum radii sunt HK ad circulos quorum rad ij sunt K. crgo patet conoides AB DC ad conum inscriptum AGBDC, eam habere rationem quam superficies AMEBNA ad sit perficient A N B E S A. Quod demonstrandum fuit.
Sit conoides ABCD inclusium cylindro E FCDG.
Oporteat autem rationem corporum assignare cylindri scilicet de
592쪽
CONOIDES HYPERBOLI Cum constri. ZisHdemonstratio.
Ducatur per axem communem AH planum quod exhibeat parallelogrammum tectangulum G B,&hyperbolam BAD. ductaque recta DA ponatur line I L parallela DB.quq bisecet ΑD in Κ, ω rectangulo IKL fiat quale rectan inguium super HB Se NM: & describatur parabola ANH cuius axis NM. Denique fiat rectanguliina si per HB , & Mo aequale quadrato KM, Ze deseribaturA OB M parabola. Dico cylindrum EFGDCB ad inelusum conoides hyperbo- Iiciam eam rationem obtinere q-m rectangulum AEBH ad seperfiete paraboli- eam ANEBO A. In praecedenti ostensam est hyperbolam ΑDH ductainin Leaequari plano ANHBOΑ ducto in altitudinem HB. Ergo quod fit ex rectangulo G D H A, ducto m eandem altitudinem H B est ad hyperbolam Α D H ducta m in se ut GDHA, siue AH BE ad planum ANHBOA. sed quam rationem habee AGDH ductum in se siue in altitudinem EB ad AID H in se ductum eam quoque seruat corpus cylindricum ad conoidicum cum quadrata linearum rectanguli A G D H ad quadrata ordinatim positarum in hyperbola ad axem A H , eandem habeant rationem quam circuli radijs earundem linearum descripti. Igitur, manifestum est cylindrum ad conoides habere rationem quam rectangulum AEB ad si perficiem AN Η ΒΟΑ. Quod fuit demonstrandum.
Int AB , A C asymptoti angulum rectum continentes hyperbolaeo EDF, cuius vertex D; axis ADH. ponatur autem D G constituens angulum H D G semirectum. Ducatur deinde parabola D IK cuius Iatus rectum sit aequale diametro transuer. D L.
Dico conoides hyperbolicum D Eo F aequari conoidi parabolico D P NK, simul cum cono D G.
593쪽
CONOIDES HYPERBOLICUM. Demonstratio.
tionatur enim RΤ parallela H F.Quoniam 1
angulus B AC rectus ponitur, igitur transis ria diameter de recta hyperbolae DEF ae- ι
quales siunt inter se. Unde rectanguluLII Daequale est b quadrato H F , dc rectangulo LRD aequale Rae quadratum , quia vero diameter transuersa L D est paωbolae DI K latus rectum ex constructione; igitur rectangulo L DR aequatur quadratum RI, ω re ctangulum L D H aequatur H Κ quadrato.sed rectangula L ID, L R D, aequantur e rectangulis L D H, L D R, cum quadratis D H,D R. ergo quadrata FH,ΤR aequantur quadratis ΚΗ, IR cum quadratis D H, DR,hoc est cum quadratis G H, S R, sunt enim D Η, D R pares G H, R S s.primi, quod angulus G D H, ex hyportlesi sit semirectus , ansuli vero SRD, GH D recti. Cum igitur quadrata RT , FH aequalia sint quadratis I R, S R .& KH. GH: igitur DTFH ductum in se , aequale est D IKH ducto in se simul eum DSGFI in seducto, ut patet ex discursu quadragesimς quintae libri de ductu plani in planum. sed sicut se habent quadrata T R, F H, ad bina quadrata I R. S R & bina K H, G H, ita se habent circuli quadratorum illorum lateribus tanquam radiis aescripta. Igitur etiam conoides hyperbolicum DE OP aequale dest conoidi parabolico D P N K,simul cum cono D QM G. Quod scit demonstrandum.
O D l F cuius axis DF, & diameter Mansuersa D H. Constituta deinde AC quς cum axe A F angulum semirectum constituar, ponatur eidem A C parallela o M O: deinde ponatur DEE hyperbola cuius asymptotos AC, Matus transuersum H D,&simul ponatur p rabola D L F, cuius latus reistum quoque sit D H, tandem fiat ut FE ad
F L, ita FI ad FK , de per puncta
D K describatur linea , ponaturquo D N parallela A G , & circumuolutio Di F, DKF, DNF producat coni dea& conum , cuius bases circulares sint IT,ΚΚ,NS. Dico conoides hyperbolicum D ITaequari conoidi parabolieo DKΚ simul cum cono D P N S.
594쪽
Demonstratio. CV m duae hyperboIae DEE , DII ais
eandem diametrum transuersanti. DHconstitutae sint, ordinatim applicatae unius, stiIieet IF ad IF eandem rationem obii nent . cum ratione ordinatim applicatarum alterius FE ad PE.s edetiam ex eo quod EF ad LF , eandem rationem habeant ex
constructisne quam tectae IF ad Κ F, etiam constat D KR esse parabolam per ea quae libro de parabola praemisimus ' Quoniam igitur est quadratum IF ad FE quadratiun ve circulus radi j IF ad circulum radijFRisitur ut conoides IF ad FE conoides , ita est conoides K F una cum cono PF ad conciliades FLuna cum cono F M. est autem propositione praecedenti demonstrata aequalitas inter conoides EF 3c coniades Lucum cono M F. Igitur manifesta est etiam aequ*litas conoidis hyperbolici 1 p csin cono, die KF &cono PF. Quod erat demonstrat
ellipsis ABC producens hyperbolam ED Ak iuxta ea quae librora de hyperbola praemisimus, &hyperbola conoides produxerit A D E, ellipsis vero sphaeroides AB C, triangulum quoque AIE C produxerit conum AIE C: Dico eonoides hyperbolicum A D E C aequale esse sphaeroidi A B C simul cum cono ΛΙE C. Demonstratio.
Ductis ordinatim ad A C axem rectis D IB H, ponantur Α Β , erunt A B ex constructione propositionis supra citatae in libro de hyperbola aequalis rectis D BH, & recta EC aequalis axi Α C. est autem quadratum ΑΒ aequa Ie quadratis AH dc RH. Igitur etiam quadratum D Hijsdem quadratis A H,BHaequale est. sed, quia A C , CE aequamur , etiam ΑΗ, IIJ, adeoque 5 quadrata AH, IH aequantur. ergo A quadrata DH aequantur quadratis IH de B H simul sumptis. Quare superficies hyperbolica D H ducta. ita se, aequale corpus formabit illis magnitudinibus quae fient ex ductu planorum HB Se HI, in seipsa. Quare cum circuli super quadratorum illorum lateribus tanquam radijs descripti eandem rationem inter se seruent quam ipsa quadrata, etiamd conoides ex revolutione superficiei DH aequabitur, despihaeroidi ABC dc cono
AIEC. Quod fuit demonstrandum.
595쪽
SIt conus plano per axem sectus exhibens triangulum ABC, secetur autem & altero plano D F E quod rectum sit ad planum ABC producens in plano B AC sectionem parallelam AC, iungaturque E F. Dico coni partem A F E D ad pyramidem A F E D euius basis est trian
la, quae quoniam ad triangulum sibi inscriptum ratAnem habet eandem quani quatuor ad tria, manifestum est etiam segmentum conicum A FED, cuius basis est parabola, ad pyramidem inscriptam cuius basis est triangulum D F E, eandem obtinere rationem quam quatuor ad uia, quod inscriptis pyramidibus , discursu illo ordinario elementi duodeciisii nullius hegocij est demonstrare liquet ergo propositu.
PROPOSITIO CXC IX. HAbeat conus AB C & cylindrus C E communem basim A D C, cu
ius diameter AC diuisa sit utcunque in N. facta autem CK aequali recti AN, fiant sectiones parabolicς M MO & ΚLD. denique ponatur planum per rectam Κ D, aequi distans axi 'cylindri scilieet ςD G , secetur tandem cylindrus plano A H F quod sit rectum ad planum per axem A C F formans in plano K G sectionem I H. Dico partem coni A B M O N ad partem L Κ D C, eam habere rati nem uuam pars cylindri Κ DC FH IC ad te siduum IH FG
596쪽
PRo huius rei dem5stratione statuatur cylindrus quicunque ilIe sit AEGF C so Vcta plano per axem exhibente rectangulum AEF in quo ducta diagonali AFfiat sectio ΑΗ F, quae recta sit ad planum AEF. Deinde superbas A DC, ponatur
conus verticem habens Α, qui iiiscriptus erit parti semi lindri AE CL B dc tangetur a plano AEC secundum rectam A C. Fiat deinde sectioFE D H recta ad planum ABC exhibens in cylindro rectangulum FED, in cono vero parabola FG D. Pari modo facta C M aequali GH, duc planum ad planum ABC rectum, proinducens rectangitium KILM , de parabolam ΚNL. Vt FGDH parabola alparabolam KN LM hoc est PF o , ita est rectangulum FED H, ad rectangulum KIL M, hoc est ita est parabola MNO in cono ABC ad parabolam ΚLD: de hoc tam in omni subdiuisione linearum B H, M C in cylindro quam in ocini subdiuisio, ne rectarum A N, Κ C in cono.ergo omnes parabolae in parte coni ΑΒΛlo ad parabolas in parte coni K L C D, ut omnia rectangula in pSrte cylindri Α F E D H ad rectangula in parte cylindri IKCL,8cut parabolae in parte coni ΑΒ MO ad rectangula in parte cylindri AFEDH, ita parabolet in parte coni KLC D ad rectangula in parte cylindri KILM C, ergo ut pars cylindri ad partem cylindri. ita quoque
pars coni ad partem coni, cum bases sempertiriat in eadem ratione de altitudines quales, vel in una eademque ratione.Qui accuratiorem huius rei demonstrationem
requirit, subdividat AN & K C, lineas bifariam in infinitum quae sontin cono,M militer I ineas ΒΗ, MC, in cylindro §ionibus factis per eade puncta inscriptas figuras inter se comparet,quarum inscriptionε hic de alibi breuitatis causa omisimus.
597쪽
SIt triangulum per axem ABC ad coni basim BD C rectum, sumpticque in communis intersectione BC punctis G & L, erigantur G E, LIquae aequi distent lateri AB :& ductis GD, L Hordinatim ad BC fiant lactiones secundum lineas EG D & ILH. Dico rationem solidi A DEF ad solidum AHIΚ triplicatam esse rationis D F ad H K. Demonstratio.
Olida ADEF. A HI K sunt ad . pyramides
sibi inscriptas ut 4. ad 3. ergo de eandem ha bent rationem quam pyramides. sed hae compo sitam habent ex ratione triangulorum parabolis
D EF, VI K inscriptorum, i hoc est ex mono, ipsarum parabolarim DEF,H Idc ex ratione altitudinum BG, B L. ergo solida ΑDEF, ΑΗ ΙΚ rationem habent compositam ex ratio ne parabolarum D E F,Η Ι Κ, α ex ratione altitudinum BG, BL. sed rario parabolarum componitur ex ratione altitudinum G LIL, hoc est
ex ratione GC ad LCὶ fit ex ratione basium DF, ΗΚ, seu D G,HL. ratio igitur solidoria ADEF. AHIK componitur ex rationibus B Gad B L,&GC ad L C, & GD ad L H. sed rationes B G ad B L, G C ad L C, componunt rationem rechanguli B G C, ad rectangulum B L C hoe est rationem quadrati DG ad HL, hoc est rationem duplicatam DG ad HL. ergo ratio nolidorum ADEF, ΑΗ IK composita est ex ratione duplicata rationis D G ad FI L, N ex ratione DG ad HL. hoc est ratio solidorum triplicata est rationis DG adHL, siue DF ad II K. inod erat demonstrandum.
SEcetur iterum conus per axem sectione reista ad basim exhibente triangulum ABC, & punctis L & D in communi intersectione assi impiis erigantur LI, DE, parallelς AB,&posuis L Κ, DG ordinatim ad AC, fiant sectiones parabolicae per ILΚ & EDG. Denique planum agatur per B, & rei tam G F occurrens parabolae HIΚ secundum rectam
N O M. Dico parabolam FEG ad MIN habere duplicatam eius rationem quam habet F G ad N M et g 1 aemon Pisiligod by Corale
598쪽
temon Iratio. VTest Gp ad N M. ita est BD ad O B, hoc
est D E ad OI, igitur ut est GF ad NM , ita est D E ad O Isimilia igitur sunt triangula maxima GEF & NIM, parabolis inscripta, ac proinde eorum ratio est duplicata rationis laterum GF, NM. sed in libro de parabola demonstratu est a parabolas eam interle habere rationem qua triangula maxima inscripta. ergo etiam parabola GEF ad parabolam NIM in duplicata
est ratione GF ad N M Quod autem triangula praedicta sint maxima,quae inseribi possunt parabolis NIM, GEF, sic ostendo.LL DE stini comunes sectiones plani ABC recti ad basim AGG, cum planis K H I, G E F, etiam rectis ad basim. ergo ι'. ir. LI , DE sunt tectae planci AA G - ergo defin. 3. tr. etiam rectae fiant ad riisneas KH, FG. ergo sunt aκes parabolarum KIH, GEF ; liquet ergo b Iriangilla NIM, GEF maxima esse.
PROPOSITIO CCII. SIt A B C triangulum per axem coni ductum, rectum ad bassio B D C.
& sectiones parabolicae DLE,F i G exhibentes communes cum triangulo B A C sectiones Κ L,H l. Deinde planum agatur per A de rectam F ci, producens in parabola D L E sectionem M N. Dico partem coni A M L N ad partem A Fl G, habere triplicatam rationem ΗΚ ad B H. . Demonstratio.
Stensium est in praecedenti rationem p. za- bolae ML N ad parabolam FIGesse duplicatam rationis F G ad AI N, Rie Lo ad I H. hoc est rationis A L ad AI, hoc est rationis v K ad B H. sed manifestineti quoque est partem coni
AMLN ad partem coni AFΙG, rationem habere compositam ex ratione basis ad basim, Stex ratione altitudinis B H ad altitudinem BK. Igitur si duplicatae rationi BK ad ΒΗ, altera ratio BKad B H, addatur in sensit multiplicationis , resultabit ratio triplicata ratiociis B N ad B H.Quod fuit demonstrandum.
PROPOSITIO CCH . TRiangulam A B C per axem coni fa-
χ-ctum secet normaliter basim B E C.& ex centro basebs D erigatur D F, parallela Aia similiter ex quo uis puncto dia-
599쪽
CONOIDES HYPERBmetri B Cerigatur recta H G aequidistans similiter A C ι ductisque perpendicularibus HI, D E fiant sectiones F D Ε, G HI.dvqique ponantur per rectas DE, Hl,plana ADE, A H I. his positis supponatur quoque ungula D B Κ E,& planum G H Iproductum secet ungulam,exhibens communem lectionem rectangulum HI L M. Dico eandem esse rationem solidi
AF E D ad solidum AG III, quae est vi gulae B D E K ad partem B HIL M Κ. . Semonstrans.
Stendimus rationem soli li AFED ad - lusum AGI H, estis triplicatam cius quam habet D E linea ad lineam H I. sed etiam demonstratum est , ungillam BDE K ad partem suam B HIL Κ habere triplicatam rationem eiusdem DE ad III. Igitur manifestum est corpora haec inter se esse Proportionalia .Quod erat demonstrandum.
It ABC basis coni AG C; sumptis autem punctis D E in diametro O aequaliter a centro distantibus, erigantur EH, DI quae aequi distent G C lateri trianguli per axem, di per i D, H E fiant sectiones parabolicae ID B, EI IF aganturqtie plana secundum D B & G, item E F & G. Di eo sblida F G H E & B G I D, inter se aequalia esse. Demonstratio.
Ponatur per centrum baseos L planum KL M, quod aequi disici planis ΙDB, H EF, ponaturque planum per G & rectam LM. erit e ratio solidi GK ML adsblidum GI B D triplicata L M ad D B. similiter constat a ratione solidi GK ML ad solidum GH FE esse triplicatam eiusquam habet L M ad E F. Igitur eum D B sit aequalis E Irinam est ex hypothesi AD aequalis EC in habebit solidum GK ML ad utrumque ibi idum GIBD, & GH FE eandem rationem; αquantur igitur solida GIBD, GH FE. mo terat demonstrandum.
600쪽
io ρῖ CONOIDES HYPERBOLICUM. concludo hunebbrum noua quadratura paraboia, qtrae diuersa omnino si quadraturis iis, quas deaemus libro quinto huius vers.
PROPOSITIO CCV. PArabolam ADB , cuius axis sit DB , ordinatim ad axem posita
A D, contineat rectangulum BD AG. Dico rectangulum parabolae sesquialterum esse.
Q S S I, - G ω SDveatur diameter HG. Pemonstratum est in libro ductuum is solidum quod fit ex ductu trianguli A G B in se , hoc est pyramidem euius basis est quadratum B G altitudo BD, aequari solido quod fit ex plano G I, ducto in altitudinem BD. ergo solidum quod fit ex G I, in B D altitudinem, Ac pyramis eandem habent rati nem ad H G rectangulum ductum in eandem altitudinem BD. sed pyramis illa cuius nimirum basis est quadratum B G,altitudo B D , est solidi qu fit ex ductu tectanguli GH in altitudinem BD , tertia i pars. ergo Λ: solidum quod fit ex GI in altitudinem BD est tertia pars solidi, quod fit ex GH, in altitudinem BD: sed haec solida sunt inter se ut bases. ergo mixtilineum planum GI, ςst tertia pars rectanguli HG, sue BDAG, rectangulum igitur BD AG parabolae sesquialterum est. Quod erat propositum.