장음표시 사용
601쪽
ARGUMENTUM.g ondem Equando veri eoronidem imponamus, tempus est ea ad 1 praxim redigere, qme bustwque praemι -οῦ marias etenim materavim tractammus , quae ab invicem matri separata nonneminι midebunt r. ρraesentis libri duc in ostendet eas distaratas nequaquam esse: itemur enim in hoc libro medulla praecedentibus exelu applicando eam circuti ad quadratum seu roctilineam figuram reducendo : quod me praeuaremus, primo conatisemus Ibnisumia eidem aequale silidum reducere,quod cumulare sutem circulari careret; proprietates etiam istius corpori a s sndagavimus: restat hoc demum hbro ex harum proni tutum secundiam proportionem coliatione eruamus, qualessint interrimenta cybu-drica rationes, ac proinde quae proportio existat inter basis eorumdem sigmentorum quo tandem innotestat inter circularem . reo Meam figuram Geometrica proportio.
Frima pars Lemmata complectitur qua mariis qua raturis concinnandis infir
aure poterunt. Secunda pars quadraturas marias circuli exhibet, modosique redueen ι cybianeaeorpora ad remtineas magnitudines selidas. Tertia denique hyperbolem quoque per bia cum hyperbolicum adrectil ne L. da reductum, ad figuras rectita ι planas redacit.
602쪽
Lemmata aliquot complectiturva seqMdratum contim - χurndis instruientia.
*Acionis A ad B consequenti termino B, adiungatur quantiatas C. Dico magnitudinem C additam', minuere rationsti A ad B,ac proinde ratione A ad BC minorem esse quam sit ratio AB. Demonstratio. .
H eIementis constat quod eadem quantitas ad maiorem quantitaem minorem rationem habeat quam ad maiorem:est autem B cum C, maior quam sit sela qualitas B. Igitur ratio A ad B C, minorem habet rationem quam eadem Α habeat ad solam B, quae est minor quam sit utraque BC, haec autem alteratio raticinis non contingit nisi per augmentum quantitatis C adueniens ipsi B, igitur accessus C ad B, diminuit rationem A ad B.
Dico quod tanto minor sit futura ratio A ad B C , ratione A ad B, quanto minor est quantitas B, quantitate BC. . Demonstratio.
TN libro proportionalitatum Geometricarum pro p.7.demonstrauimus rationem Aa ad BC, eam habere proportionem ad rationem A B, quam reciproce habet conia sequens secundum B, ad primum BC. quanto igitur B quantitas minor est quantiutate BC, tanto minor est ratio Α ad BC, ratione A ad B.
PROPOSITIO III. DAta sit ratio A ad quamuis aliam quantitatem diuisam in B de C.
Di eo rationem Aad BC aequari rationi ΑΒ diminutae per rati nem, quae oritur ex magnitudine C addita quantitati B.
603쪽
Qv ADRATURA CIRCULI. Dor Demonstratis.1Τade ere eit ratio A ad B, per augmentum C additum B, scut augetur ratici B Aper idem C additum B; sed ratio B A per augmentum C format rationem BC ad A. Igitur etiam ratio A ad B per C additum B , efficit rationem A ad BC, quae est apposita rationi BC ad A. Paulo abier. I Tale habet ratio AB ad rationem Α, BC, ut quantitas BC est ad B. sed B ml-Anor est quam sit BC magnitudine C. Igitur etiam ratio A ad B C, minor est ratione A ad B, ratione quae causatur a quantitate C addita magnitudini B.
P R o P O S I TI O I V. Iisdem positis:
Dico propo A ad BC, eandem esse cum proportione quam habet ratio BC ad B, ad Dico proportionem quae est inter rationem A ad B , de rationem
l BC, eangem esse irationem inter B M B. Sinoinratio. RAtio A ad B, ad rationem A ad B C, est ut B C . ad B sed ratio BC ad H, ad .,
rati8 i B ad B, eth etiam vi BC bad B. ergo ratio AB ad rationem A ad is BC, est eadem cum ratione BC ad B, ad rationem Bad B. diate demonstrandum
isdem positis: τDico quod ratio A ad B, excedit rationem A ad BC, ratione Cad B. DemonHratis.
R Atio A ad B, ad rationem A ad BC , per praecedentem aequatur rationi BC ad B, ad rationem B ad B. sed ratio BC ad B, saperat φ rationem Bad B, ra-err . 'mtione C ad B. Igitur etiam ratio A ad B, superat rationem A ad BC , ratione Cm ad B. Quod fuit demonstrandum.
ad A. Ata sit ratio A ad quamuis aliam diuisam in B & C. Dico rationem A ad B C aequari rationi A ad B, minus ratione cDemonstratio.
604쪽
BC, eadem est cum ratione BC ad A, ait rationem B ad A. sed ratio BC ad A, excedit rationem B ad A, ratione C ad A. Igitur etiam ratio A ad B cxcedit rationem A ad BC, ratione C ad A. inod fuit demonstrandum. Scholion. Mentur , qainta,risexta se inuitem omnino destruere, ac
proinde vel alsera mel utraque non rec e sub Pere. Mium s recte ιntelligantur prout possviat materia quas Minoporuones rationum, aisera aberius videbitur esse confirmatio. Ponantur uaque denuod quantitates, una A. altera diuis
A in Lassicilicet B C, asserit quinta propositis rationem A ad B, excedere rationem A-B C, ratione C adn sexta B C vero rationem A ad B, excedere rasionem A cae B C, tione C ad inde necessarao iidelitur inferri, quod ratio C ad B sit eadem tam ratione C adA, quod ramen elementis repugnat. Verῶm adsoluendam hanc discutiatemfiendum es hos excessus non ess e absolutos edν pectinos, cum hic mod- arx mentandi sit is, quosemper uri oportet in proporιionalitatibus. Auerit itaque quinta propositis quod ratio ΑΒ excedat rationem A ad B C, ratione Cad B, non qualicumque sed ratione Ca B relata adrationem C cum B ad B, rario enim excesim in materia rationum semper requiritaliam determinaram rationem cum qua conferatur , alioq in rationes excessuum inter
m p rationes semper e Fent equales. Etsi ensus est,rationem excessus quo rario Α usuperat rationem A ad B C, qui est rario C ad B , debere conferri tum sala ratione BC ad B 3 nam ratio B cum C ad B, illa est qua superat rationem B ad B, ratione C ad B. Similiter eum HS. iturpropositione 6. rationem A ad BC aquari rationi A ad B, minus ratione C ad Α, subintelligi debet ratione C ad Α, ad rationem B C ad A. . Vt hae meliuspercipiantur, idemptine euenire ostendemin A B additione vera, quandosiilicet antecedens diuisem est in. duo,s conseqaenses commune. Sit itaque ΑΒ antecedens C se C consequens si ratur qualis sit ratio A ad e,oli ad C. communis determinatio quidem es qua docuim- prop. II de proportiona quodsit ut AB ad Crsid hanc ipsam rationem aliter determinare iam placet, ut determinationem aliquam habeamus qua communis sit,s in hoc casu n quo antecedens diuisem est, o in praee- densi in quo consequens diuisem es. Dico itaque in hoc casu rasionem A ad C, OB ad C. , eserationem A ad C, auctam ratione B ad C: non qualitumque sed rationis A B ad C. Itaq; Bratio A ia C,ut 4. ad 2 siue displu, tota vero rario AB adC, ut 6 ad 2siue tripla,iraqηecum rationi A ad C, addendasit ratio B ad C, rationis AB ad C,inquirendum est quam rationem habeat rario B ad C, ad rationem BA ad C, ilia autem per Lib. de Voportionat svr B ad A B. itaque cum B siti. O ABH6. erit B una A B tertia A Butaq; rationi A ad C, quae erat ratio dupla adH- turmara Iertia rationis AB ad C, quod siet Fad A adiung- unam tertiam A B, exurget rano ιν iis qualem habet A B hoe est 6. ad C, hoc est ad i.
R 'Eodem prorsus modo procedendum est cum consequentusum e prima enim determinatione uti non possumus cum
A additio in hoc casu nobis usui es non possit. Sit itaque A antecedens is est consequens BC diuisem in B , ct C 2. Erit ratio A ad B, Uth ad siue tripla, O ratio AB C ad R C, eris dupla r quarior iam qka sit ratio A ad B, 4 a. o A ad C, o sicunda ensem iam explicatum restondeo
A ad B, s A ad C, esse rationeis aqualem rationi A ad B, min ue mutilata ratione C ad A, rationis BC ad A. Cum itaq; ratio Cad A, adratisne' BC ad A,sitvr C ad BC, per a. lib.deproponionato cum C ad BC, tvr una ad D, isque a ratione A ad B, hoc est a serione tripla auferatur una tertia rationis A ad B,r moebiuratio dupla qualem habet AHB C, auferetur autem a ratione Α ad B,una tertia rasonis A ad B, s a B adiunxeris unam tertiam totius B C.
605쪽
F. illis 'sem quod iam MFmni explicandum es, quodsoluel auferatur Hiqua ratio a ra- ione A ad si stadquantitatem Baddator quan isas C,mi crcrescere rationem Bad As ad B addatur ahqua quantitas C , quod ex Euclidaeis elament alis quidem patet, tamen iuuerat
curitatὼ causa hanc mareriam explicasse. Sciendum est ii fur rationes auteri non tantum per additiones raIionum cse multiphrationes,item minuι non ta8tum per subtractiones rationum, verum etiam per solum incrementamet decrementum quantagatis adiunctae vel demp/a b altero traminorum, anIecedenIesi licet vel consequente altero e iam manente ρnuariato : Pessa
quam seu quantitav A habet ad quantitatem R. pari B pacto euenit si ratio R A comparetur, se ipsi A eadem
quanti as C addatur, tune ratio B ad A,per augmentum - -a
quantitatis adueniens ipse A reddetur δminuta, quidemsicundum eam proportionem truncata,quae resultat ex varia accretion acra usi magni tudini A ut iam ostensῶ eis. posita sero astera D quamitare,resultabis ratio D ad A Gonoe alia qua m fueris ratio Bad A; or ra io D-A C quan iratem time alia qua uerat ratio B ad A C quantitatem; remanebit tamen ratio D ad A , ad rarionem D ad C eadem cum ratione B ad A, ad rationem B ad C siue remanebit proportio rationis D A ad D C ramnem,eadem cum proportione rationis B A ad B C,ut demonstrauiprop. s. de proportiona eodem prorsus modo quo ratio A ad B, longe diuersa eis a ratione A ad D, or similiter ratio C ad B, tonsalia qua tratio C ad Di nihilominus proportio rationis A ad B, adrationem C, ad B, eadem es cum propartione rarionis A ad D,ad rationem C ad D,, quemadmodam remed risur rario Aeam C quaniitate ad magnitudinem B, aequatur rationi A ad B ct Cad B per accretionem rationis, ita quoque restre loquemur rationem Bad Aoimal cum ratione B ad C, per mutilationem conuitaere rationem B ad A C mutilatam. d autem de augmento C dictum es adueniensiU A tessio debet de quouis augmento. Nam ratio Π 1 Κ LE ad F G; divisam in partes L, nihilal deu s 'quam ratio EadH,c Ead I, s E ad Κ, s E ad L, secundum intentione propositionum quinta or sexta. . Namsicut in vera adrisione secundum ea qua docui---ρου I I l. de proport.reale dicitur FGia E,conflari ex rationibus H ia E, 1ώE, K ad E, Lad Ε, sibi adiunctis, ita diminuendo rationem recte iucemus, sionem E M H G, aquari rationi E ad PH, diminuta per rationem Ead I, EadΚ, Eadia iuxtasensum aniὲ datum scit et augendo quantitatem H per additionem quantitatum I, o L. Ex his itaque hoc modo intellectassequentem propositionem formabimus. '
PROPOSITIO VII. Sit rationis A ad BC consequens diuisum
in B Se C. Dico rationem A ad totam BC, eandem esse cum ratione A ad B, & A ad C.
Est enim ratio A ad B C, aequalis rationi A ad B, mulctatae latione C ad A,per huius. Sed ratio A ad B, & A ad C. etiam aequalis est rationi A ad B, diminutae per rationem C ad A, iuxta iam dicta in Scholio prae igitur latio A ad totam BC, in eadem cum ratione Α ad B, simul cum ratione Α ad C.
606쪽
Q VADRATURA CIRCULI. PROPOSITIO VIII.
B Qtne iam rationes AB ad C D , termini
C D Otam antecedens quam consequens diuisi,& antecedens quidem iRA & B, consequens vero in C &D. Dico rationem AB ad C D, eandem esse cum ratione A ad C, B ad
C, item A ad D, B ad D. N onstratio.
D Ario A ad C, addita rationi B ad C, aequalis est rationes AB ad C. altem ratio' addita rationi Bad D, aequalis est rationi ΑΒ ad D. Itaque cum ra tio A B ad C, una cum ratione A B ad D, aequalis sit rationi Α B ad C D per praee. patet rationem AB ad CD, ae uari rationibus A ad C, B ad C, una cum rationi
potuissem quidemnopositione eptimam tamquam veram assumere,cum eius veri σώ- ω patueris ex siense contrario ad nonis vera ἔ inenderam enim in II4. lib. proporLB ad A. additam C ad A facere ratio rem B C ad A, unde facio rebar A ad B, o A ad C avissimilani A ad BC, quamuu bla per additionem quantisatis C ad B, feret detractis omisa iio: tamen hane materiamfusius deducendam putaui, adeos cumposset,et demon' dam. Norandum bli benὸ quod quando dicitur ratio A adB, maleum ratione A ad C, a.d non im/stigatur additio rationum, sed tantum intelligito additio quantituis C adB., manente A inuariato, quod in gratiam eorum monendum duxi qui iaditione hac Mn benὲ i, ultimidiationem rationum intesisterent,ubi nos adiutionem quantitatum volumus;esariem in enim, ..d strationi A ad B, addas rationem A ad C, rationem A ad B, non minuendimsedaugendam, cum tamen fecundum sensum nostrum misin debeo, addis cilicet quantii rea uantitatem termini consequentis.
A B C CI proportionales fuerint quantit
o k v o tes A B C, D E Raequales vero sint
Dico rationem A ad D, duplicatam esse eius rationis quam habet Bad E. Demonstratio.
lib. progressionum Geometricarum propositione vigesimaseptima.
607쪽
Qv ADRATURA CIRCULE rios PROPOSITIO X. Quod si ratio Α D duplicata fuerit rationis B ad Ε, & proportionales sint AB DEF.
Dico C & F quantitates aequales esse. FSt conuersia praecedentis,eiusque demonstratio facilε elicitur ex hypothesi.
PROPOSITIO XI. Si ratio AB duplicata
fuerit rationis eius qua continet ratio C ad D , ratio vero C ad D, d uplicatast eius quam habet ratio E
Dico rationem A ad B, quadrupliCatam esse rationis E ad F. FDemoinratio.
FIat vi C ad D, ita A ad I, utque E ad F, ita I ad Kr erit itaque ratio A ad B, duplicata rationis r ad B, vel A ad I: dc ratio I ad B , vel A ad Ι, duplicata I ad K, vel Κ ad B. Composita autem est ratio A ad B, ex ratione Α ad I, hoc est Iad B, hoc est duplicata K ad B, ω ex ratione I ad K, &K ad B, quaecum aequales sint inter se Sc simul aequales uicioni A ad I, patet rationem A ad B, quadruplicatam esse K ad B, siue E ad F. Quod fuit demonstrandum.
PROPOsITIO XII. Sint quatuor ordines quinque proportionalium ABCDE , α FGHΙΚ i deinde LMN O P, de QRS TU, EDbentium ultima quantitates E,Κ, P,V,aequales inter se. Dico rationem quantitatum AF ad L Q, toties continere rationem quantitatum C H ad N S, quoties ratio quantitatum CH ad N S, continet rationem quantitatum D I ad Ο T. Demonstratis. RAtio A eum E ad L. , aequatur rationi AL, A Q.&FL, F Similiter .
tatio quantivium CH ad N S, aequatur rationi CN, C S,& HN, II S,quem--. admodum etiam ratio D , Cum I ad O Τ, Rquatur rationi D O, D T, de I O, IT: hi ergo quoties rationes AL,A Q,FL, F continent rationes C N, CS,HN, HS: bre quoties hae continent rationes DO, DT, IO, IT, toties continet etiam ratio
608쪽
Sed ratio , AL continet per multiplicatione bis CN, N: ratio C N per multipli Cationem continet bis rationem Dor Ratio quoque A Q bis continet rationem CS,& liaec his continet rationem DT atque ita de reliquis: igitur quoties ratio quantitatum AF ad LV, continet rationem quantitatum CH ad N S, toties haec mi a ratio quantitatum CH ad N S, continet rationem quantitatum D I ad O T. Quod fuit demonstrandum.
PROPOSITIO XIII. CInt proportionales
Dico rationem duplicatam rationis B ad C, additam rationi duplic tae rationis D ad C, aequari rationi ipsius A cum E ad C. . Semonstratio.
D Atio enim duplicata rationis B ad C. est ratio A ad C , Ee ratio duplicata ra-b i tionis D ad C, est ratio E a3 C. sed ratio A ad C, addita rationi E ad C,' κ- ---ών. quatur rationi A cum E ad C : Igitur etiam ratio duplicata B ad C, addita duplicatae rationi D ad C exhibet rationem A cum E ad C. Quod suit demonstrandum.
quantitates ABC-- -- DE & A FGHIι quae
F terminum A. . A Dico rationem EA. additam rationi IA, aequalenae illi constituere rationem, quam exbibet ratio C A ducta in se addita G Λ rationi in se ductae. i Demoniatio.QVonsam A B.C,Dssi sunt in continua,erunt etiam A CT 1 continua: pari modo quia A,RG, FI, I sunt in continua, erunt & A,G I in continua. ratio igitur E A duplicata est rationis C A, Stratio I A duplicata rationis GL Ergo φ ratio C Ada- in Q producit rationem EA, dc ratio G A ducta in se producit rationem I A. Sedd it..1 - ratio E ad Α, addita rationi I ad A, producite rationem EI ad A, digitur ratio C At ducta in se addita rationi GA, ductae in se producit etiam rationem EI ad A. constat itaque veritas propos.
Dico rationem E A additam rationi I Α, toties continere rationem CA, ductam in se additam rationi G A in se ductae, quoties ratio C Aducta in se addita rationi G A in seductet, continet B Λ quater in seductam additam rationi F Λ similiter quater in se ductae.
609쪽
Haecedenti est ostensum rationem C A in seductam additam rationi G A,ductae in se,exhibere rationem Ecum I ad Α: simili pacto inibi est demonstratum ratione B Aductam in se additam rationi FΑ in se dianae producere rationem C eum G ad' Α. sed ratio B Ainsequater ducta profert rationem E A. ratio F Α quater ducta dat rationem I ad A, quas rationes etiam producunt ratio CA in se ducta,& ratio G Α ducta in se : cum igitur ratio B A, quater ducta in se.addita F A rationi quater in se ductae exhibeat rationem E cum Iad A, quam etiam producit ratio C A in seducta addita rationi G A ductae in se; patet toties continete rationem EA additam rationi I A, rationem C A in seductam additam rationi GΑ ductae in se, quoties hae continent rationem BA qualetan se ducta, additam FA, rationi quater in se ductae: nam utraque his in altera Continetur in eodem genere coIntinendi.
BD Elnea A B diuisa sit utcunque in C, de data sit quaevis alia D E. Dico rationem quadrati AB ad DE quadratum,aequalem effera tioni quadrati AC ad DE quadratum, & quadrati CB ad DE, quadratum simul cum ratione rectanguli A C B ad D E quadratum bis sumpta. Demonstratio.
QVadratum enim A B aequatur quadratis AC, CB,& Α CB rectansulo bis sumpto. sed ratio quadrati AC ad DE quadratum, addita rationi quadrati C B ad DE quadratum, aequatur rationi quadratorum AC, CB ad DE quadratum t asimiliter ratio quadratorum Α C, C B ad D Equadratum,addita rationi tectanguli ACB bis sumpti ad D E quadratum, essicit rati nem quadrati AB ad D E quadratum; igitur patet rationem quadrati AB. ad DE quadratum, aequari nationi quadrati AC ad D E quadratum, eum ratione quadrati C B ad DE, smul cum ratione rectanguli ACB bis sumpti ad DE quadratum. idem quoque patcbit in numeris. Quadratum enim ΑΒ ponatur esse FG. & fiat ut quadratum ΑΒ ad DE quadratum, ita FG ad ΚL; sitque AC quadrato aequale MN; quadrato vero CB aequale OP.denique rectangulo AC B aequale iam vel ST. ergo MN,O P, R,S Taequalia sunt F G. Ostensum vero est quod ratio F G ad K L, eadest, sit cum ratione M N ad K L,& OP ad KL, R ad KL, Sc S T ad KL : igitur collecta in unam summam MN, O P, Q R, S Teuin exhibeant V aequale FG, patet quadratum FG ad KL, hoc est quadratum A B ad D E,eandem habere rationem,cum ratione quadrati A C ad DE, C Bad DE, dc rectanguli ACB bis sumpti ad DE quadratum. Quod erat demonstrandum.
610쪽
Q U AD RAΤURA CIR C V L I. PROPOSITIO XVII. E
Α E quadrati ad C F,& FD quadrata, mi
A si ad rectangulum C F D bis sumpta insuper clim ratione addita quadrati EB ad quadrata CF, FD,&re stangulum CF Dbis sumptum , simul cum ratione rectanguli A E B bis iura pthad quadrata CF, FD,&rectangulum CFD bis. Demonstratio.
Ponantur G,H,I, K aequalia esse quadratis A REB, ω rectangulo AEDbis sum pto. Similiter LM N O aequalia quadratis C F, F D & rectangulo C F D bis sumpto. Igitur ratio G ad L, de M.& N. M O,est ratio quadrati AE ad quadrata C F,F D.& CF Drectangulum bis sumptum, Si similiter radio H ad L,M,N, O, est ratio quae stati EB ad quadrata CF, FD,&rectangulum CFD bis sui riptum, eandem etiam . ratio I vel Κ ad L,M,N, O est ratio rectanguli AI B ad quadrata CF,FD & tectangulum CF D. sed etiam ratio G ad L,M,N, O, addita rationi H ad eadem L,M,N..ν. ..h. O, aequalis est rationi GH ad L,M,N, O, & consequenter ratio G cum H ad L.M,1M. N, O, addita rationi I vel Κ ad L,M,N, O, aequatur G H Ivel Κ ad ead*n L.M,Ν,Ο.li est rationi totius G Κ ad totum L Ο Igitur etiam ratio quadrati A E ad CF, G quadrata una cum duobus rectangulis C ED, addita rationi quadrati E B ad easdem quantitates, simul cum additione rationis rectanguli A EB bis sumpti, ad easdem, aequatvr rationi quadrati AB ad CD. Quod erat demonstrandum.
SInt A B de C D, utcunque diuisae in Evi F. Dico A B ductum th C D aequari A E in C F, & A E in F D simul cum EB in CF,&EB ducto in F D.