장음표시 사용
611쪽
H trectangulu G I,ex GH aequali ΑΒ,& HI aequali s C D,q.od squale erit A B ductet in C D diuisis deinde GH,HI in Κεc L,secundu ratione qua diuisae sunt AB, C D in E & F ; ponantur Κ O, LM quae aequidistent . G H, H I. erunt igitur rectangula KL, NI, GN, NPaequalia toti GH in H I, hoc est AB ducto in C Diestautem KL aequale AE in CF, dc NI aequale AE in Al K oFD; &GN aequale EB in CF, de NΡ aequale EB in FD. Igitur etiam AB ductum in CD, aequale est AE in CF de ΑΕ in F D simul cum EB in CF, ω EB 'D a FD. Quod fuit demonstrandum.
diuisae sint utcunque in EF de G H. olao AB due tum in C D, cyrari A E in CG; A E in G H; AE in HDi simul cum EF in C G, G H,H D. una cum F Bin CG, GH, H D. Demonstratio.
Fiat rectangulum I Lex IK, aequali AB M KL, aequali CD. erit igitur ILaequale Α B ducto in C D, diuisis autem IK, KL in M,N de O, P . secundum eandem rationem qua di- o aevisae stant AB & CD in
N T,& OQ,P R quae aequidistent IK, KCL. erut igitur rectangula IV, X, R S. mum rectanguli, M Y. V Z, X T, & tectangulis N Ο, Y P, Z L aequalia toti I L, hoe est AB ducto in CD : sunt autem IV, QX, RS, aequalia ΑΕ in CG,GH, H D. insupet M Y, V Z,X T aequalia E Fin C G,G Η, Η D: denique N Ο,Y P,Z L, aequalia PB, in CG GH, H D. Igitur etiam AB ductum in CD aequatur ijicem AElcilicet in C G, GH, H D, simul cum EF in C G, GH, H D , de FB in eosdem CG, GH, H D. od erat demonstrandum. V
612쪽
qua materiameandem concernunt, osolo aisserunt numero diuisionum: unde quod ditabas praecedentibus ostense refuniuersister absumiporerit de quouisnamero partium repetu in ἀ-sonibus linearum.
PROPOSITIO XX. Sit quadrantis ABC arcus A C bise
dius in D, fiantque DE, Dp aequales arcus ; Ze ex E & F ponantur EG, FH quae . equi distent C B, iungantu queBE, BF. Dico sectorem EBF figurae E GH Faequalem esse. Demonstratio.QVoniam arcus D AO C qequales sunt, Scsimiliter D E, D F ex constructione: igitur anguli EBA,CBP aeq les sunt. Atqui angulus H FB , aequalis PB C, quoniam FH aequidistet C B : igitur angula E B Α, Ξ F B ς- quales sunt inter se. sitns: autem anguli E G B, e FH B tecti a similia itaque fiant triangula EG B, FH B :& quia latus EB lateri FB est aequale; etiam aequalia inter se sunt eadem triangula:est autem IH B triangulam utrique Commune. ergo communi ablato IH B , residua EGHI, M FIB aequalia erunci Addita igitur communi quantitate F Ita erit sector FBE aequaIis figurae E GH F. Quod
PROPOSIDIO XXI. IN circulo ABC subtendat quaedam recta A B arcum A D B.
oporteat autem arcum alium commensurabilem arcui A D B, exhibere in eodem circulo, a cuius extremis punctis perpendiculares ductae ad diametrum intercipiant lineam datae AB aequalem. confir
613쪽
Donatur EFG commensurabilis aliquis areias arcui ADB, cuius subtensa sit EGA maior AB, subtensa arcus ADB. deseripto deinde circulo EHG seper diametro E G, ponatur G H aequalis A B, quod fieri potetit, esim E G diameter maior p natur recta A B, per centrum denique cireuli ABC ponatur Α C diameter, quae aequidisset GH; & demittatur E HI,&huic aequi distet G Κ. Dieo factum quod requiritur. angulus enim EHG rectus cum sit, etiam EI K rectus erit, uti Et angulus G K I. unde rectangulum est H K: & H G aequalis I K, hoe est ΑΚ estque arcus EFG commensurabilis ADB ex constructione. quare perfectum est quod requisitum fuit.
PROPOSITIO XXII. Iat A B, C D normaliter positae ad diametrum ε F.
O porteat aliquem arcum IK constituere in eodem circulo com. mensurabilem arcui AC,ex cuius extremis lineae ΚΗ & lG, perpendiculariter demisse ad diametrum intercipiant G H tectam aequalem BD. - conam rimoniario.
T Escribatur Gnito R eireulus M LN aeqirilis E A F, in quo affamaturaIiquis ar- A cvs OL commensurabilis arcui AC, cuius subtensa o L, maior sit quam BD, de diametro o L ducatur circulus LPO, de ponatur OP aequalis BD, ducti eL PS, OQrallelis inter se per punctum R ducatur MRN parallela OP, Edax
614쪽
centro T. fiat Τ H x liralis R S, & M Q. aequalis E G,de erigantur H Κ, GI perpendiculariter a l EF diametruim. . Dico arcum I K, cum et tui petitur. Quoniam angulus O P L rectus est, estque MN parallela OP,etiam angulus B S in rectus est, adeoque S L perpendicularis ei diametro. ergo Sc O inpliLS parallela , ad diametrum recta est, rectangulum igitur est OS, ac proinde aequatur OP, hoc eli B D. Deinde quia perpendiculares GI, H Κ per constr. secant semidiametrum ET, sinii liter in G Ac H,ut perpendiculares Q O, SL secant semidiametrum MR aequalem ET semidiametro, patet arcum IK aequari arcui OL,& GH ipsi QS. Sed arcus O I. cxconstr. ccimia mensurabilis est arcui A C, M RS aeuuatur B D: arcus igitur I K commensurabilis est arcui AC, & perpendiculares ab eius extremis punctis diinissae, intercipiunt ex diametro G H parem BD. Factum igitur est quod petebatur.
It ABC quadrans-circulit ponantur autem DE , FG ordinatim ad diametrum H C, sitque E A arcus minor arcu G C, &iunganthir E B,
Dico segmentum ED F G maius esse sectore E B G. Demonstratio. A m
in Eselibatur circulus stiper BG, scilicet BIG; inqlio aptata BI quae sit aequalis D, addatur GI : erunt igitur BIFG in eodem circulo: ponitur autem arcus ΑΕ minor arcu GC, angulus igitur ABE, hine est B ED, hoc est BGI ssiunt enim triangula BED, BGI aequalia ac similia) minor est angulo G BF, latus igitur G maius est latere R B,&consequetrier triangulum G KF maius B ΚΙ triangulo, climsimilia sint inter se. quare addito communi G R K triangulum G BI, hoc est EBD minus est triangillo G BF, ablato denique communi triangulo LBD, remanebit E BL minusquam GL DF, addito igitur communi ELG, erit sector E BG minor segmento EDFG. Quod erat demonstrandum.
metrum H C,& iungantur DB, FB. sit vero arcus A D maior arcu FC. Dico segmentum circuli DEGF minus esse sectore DB F.
615쪽
Dem ratio. . DEscribatur circulus B IF super diame- . tro B F cui in litisatur BI, aequalis B E, iungaturque FL erit gitur triangulum B FI V . .. aequale ac simile triangulo B D E, adeo que
arcus AD maior est. vi cu FC, erit angulus Α Β D, hoc est B D E, hoc est BpIi maἰor o i , Mangulo FBC , ac proinde latus BK maius I llatere K F.&conlequenter trianguli tui BKI l ae . . . Imaius ubi sit mili triangulo FK Gi addito igi Ittur communi B FK, maius est triangulum ABFI, hoc est BD Ettiangulo BFG, ablato communi triangulo BLE, remanebit tra- peziuni LEGF minus triangulo DB L, ac proinde addita rursus communi quan ritate DLF crit segmentum D EGF minus sectare DBF. Quod fuit demolistrata
. PROPOSI IO XXV. DIui dant circulum ABC diametri A C, B D ad angulos rei hos i
stitutae r diametro vero BD ponantur aequi distatues E F, G H&LM, intercipientes H F & ΚΜ aequales lineas , ita ut arcus BI,LCαquales uti& arcus E B, A G. . . Dico etiam GE, t L aequales arcus esse. L . .. Demonstratio.
Dueantur L GP quae aequidistent A C. Quoniam 1 B arcus aequalis est: LC igitur IX. aequalis est rectae L Q. similiter EF aequalis erit ob eantationem rectae GP, ω consequenter Io aequalis rectae OL, id est KM, qi admodum linea EN lineae G N, id est HR vnge cum recta H F sit aequalis Lis positione, etiam EN rectet IO est aequalis. Quoniam igitur aequales sunt ibit o L, de EN ipsi I etiam quadrata GN,EN aequalitur quadratis OLest autem quadratum subtensae alcus G E ς quale quadratis G NE seut de dratum subtens' arcus I L qquale quadratis I O, OL. ergo quadrata subtensaruieubus GE, IL, ac proinde etiam subtensae ipst aequantur. Igitur citam arcus I L sunt aequales. Mod fuit demonstrandum.
616쪽
PROPOSITIO XXVI. Uper recta A B, constituta sint quadrata A B C, A B D quorum diagonales sint AC, BE, sitq; eadem AB axis parabolarum subalterne constructarum A FC & BGE, quarum vertices sint A&B sint denique rectae AH & B D axes parabolarum AIc BKE, quarum similiter vertices sint Α & B, tandem ponatur quaeuia L M, qu aequi distent CD, seceti par bolas in F, S. v. di gonales in R & T, lineam vero A B in P. Dico tam P Q, P R, P L quam P S, P L P M esse in propollione con
Demonmatio. Ide demonstrationem in libro de parabola propositione
PROPOSITIO Xx v I l. Primpositis:
pariter demonstratuminuenies eodem libro de parabola propositione 41.
617쪽
Iisdem manentibus: Dieo rectangula in) S, R P T, L P M esse proportionalia.' . onstratio.
SUnt enim, P Q, P R, P L, in eontinua analogia: item P S, P Τ ,P Μ per eandem
sunt in analogia continua. ergo perea-demonstrauimus in libro progressionum, etiam reMamula PQS , R PT, LPM eandem proportionem continuant. Quod erat demoniurandum.
Dico rectangula RPT, FPU, LPM , eandem continuare analogram.
Ostensum est, ς tam P R, P F, P L. quam P T, P V, P M, esse in eontinua. ergo ἡ aetiam rectangula R PT, FP U, LPM sunt in continua analogia. Qilod erat dιa.ννω. demonstrandum.
LM occurrens sectionibus ΒΚ E, B GE in Κ 8c G, rectae vero diagonali B E in 'ex quibus punctis ponantur Κλλ p, Gis quae aequidis ent AB. Denique ex punctis Q, R, constituantur RZ , F β quae eidem rectae AB sint parallelae. . Dico parallelapipeda qui super basibus rectangulis QP RPA LPM construuntur habentia communem altitudinem P X,proportionalia esse inter se, quemadmodum similiter sunt parallelepipeda super rectangulis RPA FP.,&LPM constituta, habentia communem quoque altitudinem PR
618쪽
RPφ,LPM, sunt autem parallelepipeda communem habentia altitudinem P X inter se ut bases. quare cum bases perhibeantur esse proportionales, etiam parallealepipeda proportionalia sunt,quorum ills bases sunt. Pari quoque modo ostenditur parallelepip ta habentia bases, rectangula R P qi, F P π, L P Μ & communem alti. τεκις, tudinem P X, proportionalia esse , cum etiam bases illorum proportionales sint. c quare constat veritas propositionis.
ravo lis AEC,B HI quarum vertices sint A & B, axes vero A B, B M item parabolis AF B OI, quarum vertices etiam sunt A & B, axes vero ΑΚ, B D; positis insuper EG, FH quq aequi distent CD,§ionibus os currant in E,L, G, M & N,Ro,H, diagonalibus quoque A C, B I,in punctis P, Q, R,S. Dico rectangulum L ZG ad Fλο, rectangulum duplicatam habere rationem eius, quam habet rectangulum P Z Q ad Rλ S rectangulum. Demonstratio.
ait. Mis,. Stensum est supra i tam rectangula LE G,P Z Q.TZ X quam rectangula FλO. RλS,Vλ Υ eandem continuare rationem. are com extrema rectangulae s TZX,vλY sunt aequalia, erit e ratio rectatauli L ZG, ad rectangulum FλOduplicata rationis quam habet rectangulum P Z Q ad rectangulum RλS. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO .XX XII. Iisdem manentibus: Dico rectangulum P ZQ ad RλS, duplicatam habere rectanguli EZM ad NλH rectangulum.
619쪽
a Qv ADRATUR A C I R C v L 1. Demonstratio.
λY in continua esse analogia. uare cum extrema rectangilla TZ X. V λ Y aequalia snt, erit lx ratio rectangilli P Zo ad rectangillum R λ S duplicata rationis rectanguli EZM ad rectangulum NλH. Quod erat de onstrandum.
Dico rectangulum L ZG ad rect angulum FλO , quadruplica-
Tam eius continere rationem, quam ha et rectangulum E Z M ad NAH rectangulum.
D Ectangulum L Z G ad F λ Ο , rectangulum duplicatam e habet eius rationem e si. quam habet rectangulum P ZR ad RλS rectangulum, rectangulum autemPZQ ad RλS, habet duplicatam eius quam rectangulum EZΜ habet ad re-di sui .ctangulum NλH. ergo rectangillum L ZG ad F λο, quadruplieatam e habet eius ς ε i , rationem quam rectangulum ΕΖ M habet ad rectangulum N λ Quod erat deis monstrandum.
Dico rationem rectanguli LEG ad rectangulum Fio , toties continere per multiplicationem rationem rectanguli P ZQ ad RλS, quoties haec eadem ratio P Z Q ad rectangulum R λ S, continet per multiplicationem rationem rectanguli E L M ad rectangulum N λ H. DemonHratio.
LX praecedentibus est mani festa.nam ostensum est rationem rectanguli L Z G ad rectangulum, duplicatam esse eius, quam habet rectangulum P Z Q ad B. λ S, ac proinde prior ratio secundam bis continet in sensu multipli cationis. Similitet est demonstratum g rectangulum P ZR ad RλS rectangulum duplicatam ha here rationem eius quam habet rectangulum EZM ad N λ H rectangulum; sc co- sequenter etiam haec prior ratio secundam bis continet in sensu multiplicationis.
620쪽
Quare patet rationem rectanguli LZG ad rectangulum Fλο, toties continere pM multiplicationem rationem rectanguli P Z Q ad R λ S, quoties haec continer permultiplicationem rationem rectanguli EZM ad rectangulum N λ H.
PROPOSITIO XXXV. Iisdem permanentibus:
Dico parallelepipedum ex basi rectangula L Z G N altitudine Z λ , ad parallelepipedum ex basi rectangula FλO , & eadem altitudine ZA quadruplicatam habere rationem eius quam continet parallelepipedum ex basi rectangula EZM N altitudine Z λ, ad parallelepipedum 1.b basi rectangula N λ Η & communi atatudine Z λ. . Demon iratio.
a T,Emonstratum est rectangulum L Z G ad F λ o rectangulum habere quadru-
Molleatam elua rationem, quam continet rectanguli m EZM ad NAH. sunt au. tem parallalepipeda sub hisce basibus & communi altitudine Z λ inter se ut ipsaemex hases Patet ergo veritas theorematis.
PROPOSITIO XXXVI. FAdem figura manente:
Dico rationem parallelepipedi quod fit ex basi reetangula L Z Gad parallelepipedum quod fit ex basii Fλο rectangula, toties continere per multiplicationem rationem parallelepipedi iuper basi rectangula PZQ ad parallelepipedum super basi retrangula R λ S, quoties ratio haec continet per multiplicationem rationem parallelepipedi super basi te elanstula EZ M ad parallelepipedum quod fit superbasi NλH rectanguiala, modo pro omnibus parallelepipedis eadem sumatur altitudo, Z λ. Demonstratio.
ivi. Emonstratum est li rationem rectanguli L Z G ad rectugulum Fλο toties eo- 'tinere per multiplicationem rationem rectanguli P ZQ ad Rλ S, quotiescontinetratio rectanguli P ZR ad Rλ S rectangulum, rationem rectanguli EZ M ad N λ Hrectangulum, parallelepipeda autem de quibus agimus talem sortiuntur inter se rationem qualem bases rectangulares super quibus erecta sunt,quoniam altitudiis neeonueniunt ex hypothesi.Patet igitur verita amrxioni . - P K αδ-