장음표시 사용
621쪽
PROPOSITIO XXXVII. CVpetrectὶAB constituantur quadrata ABC, B AD, quorum dia- gonales sint AC,Bor descriptisq; parabolis AEC,AFC,&B GD, B H D quarum vertices sint A & B,in linea A B assumantur quaecumque I L, N Κ, ponanturq; per Ι,L,N, K puncta parallelae lateri A D occurrentes diagonalibus in punctis P, Q, T,U, parabolis autem in punctis F, R, E, Ο, S,RX, H,compleantur deinde rectagula F IL,R N Κ; l LS,N KG; item Pi L, Q N K. lL T, N Κ V, denique Et L, IL X; O N Κ, N K H. Di eo parallelepipedum super FIL&ILS, ad parallelepit edum super RNΚ ΚG duplicatam habere rationem eius quam parallelepipedum super PIL, ILT, habet ad parallelepipedum super QNΚ, NKV. Demonstratio.
Cum enim parallelepipeda super FI L, IL S, super PIL, ILΤ, seper ω IL, ILλ sine proportionalia; item cum proportionalia sint parallelepipeda super RNΚ,NΚG. super cin K, N R U, super θ NK,N Κ & cum hae duae soties vltima habeant aequalia, scilicet parallelepipedum super ω IL, II λ, dc super θ NK, NKs patet . primum parallelepipedum unius seriei ad primum alterius seriei esse bPre . in duplicata ratione secundi ad secundum. Quod erat demonstrandum.
Dico parallelepipedum super PI L, I LVad parallelepipedum super Q N K, N K V,duplicatam habere rationem eius quam paralleli pipedum super EI L. t LX habet ad parallelepipedum super O NK, NKH. Demonstratio.
RVrsus enim ς parallelepipeda super PI L,'I LT, super E IL, I LX , super ωI L, 3ο1Lλ sunt proportionalia, item proportionalia su ne parallelepipeda super ωψK, NKV,super ON Κ, NKH, super θN Κ, NKξ , & vltima viriuque seriei sunt aequalia, igitur d iterum primum parallelepipedum primet seriei est ad primum ieci indet Iseriei,ut secundum ad secundum.Quod erat demonstranssum. C C C 1 Scheis
622쪽
623쪽
cor tirium. Τ Ine patet rationern parallelepipedi super FIL, IL S ad parallelepipedum sit. aper RN Κ, ΝΚ G,toties permultiplicationem continere rationem parallelepi podi super PI L, I L T, ad parallelepipedum super QV K, N K U, quoties haec rario per multiplicationem continet rationem parallelepipedi super EI La L Mad parallelepipedum super ONΚ,N RH.
PROPOSITIO XXXIX. Super recta A B construantur quadrata Α Β C, B A D quorum diagonales sint AC, B D: descriptisque parabolis AEC, AF C, &B GD,
B H D quarum vertices sint A & B, assumatur quae uis lΚ, in recta A B; qua diuisa inquatuor partes aequales in puctis L,M,N, ponatur per ea parallelae lateri Λ D, occurrentes diagonalibus in punctis P P, Q & T LVV; parabolis autem in punctis FF RR, E E, OO,s S, GG, XX, HH: compleantur deinde rectangula FIL, FLM; R MN, R NK,& ILS,LMS, MN G, NKG; similiter rectangula Ll P, M L P,N M Q, KN . item rectangula ILL LM MN V, NKV; quemadmodum &recta-gula LIE, MLE,NMO, KNO; Ael LX, LM X. M NH, NKH. Dico rationem duorum paralselepipedorum quae fiunt ex rectangulo FI LinlLS,& ex rectangulo F L M in L M S, ad duo parallelepipedaquae oriuntur explano R MN in MN G , & ex plano RNΚ in NΚGplanum, toties continere rationem parallelepipedorum quae gignuntur
ex ductu superficiei PIL in I LT, & superficiei P L Min L MI , ad parallelepipeda producta ex basi QM N in MN V,&ex basi QNK in NK V. quoties haec ipsa ratio continet rationem parallelepipedorum quae fiunt ex ductu plani E IL in planum I L X, & ex ductu plani E L M in L M X. ad parallelepipeda facta ex ductu plani O M N in M N H,& plani o N Κ
AD confusionem vitandam omnia haec rectangula quae in unam figuram congesta suntlin varias figuras segregabimus, 3c singillis rectangulis suam litteram inscii bemus qua ipsbrum notitia habeatur. ut discursus ratio nonnihil sableuetur: Primituitur schenia particulare complectatur figuras in schemate uniuersali constitutas quae terminantur in parabolis conuexis Eo 3c HX. Secundum vero contineat eas quarum termini in figura uniuersali sunt rectς P QN U T. Tertium denique figuras repraesentet concauas parabolas F R, G S, figurae uniuersalis. snt autem primo schemati inscripta rectangula A B, C, D; de E. F, G H secundo similiter rectangula LL,L,M & NO, P, Q, tertio quoque rectangula R,S, T, U , X, Y,Z. dc osteniatndum igitur est rationem parallelepipedorum ex R in X M S in ' , ad parallelepipedaex T in Z, dc u in M, toties continere per multiplicationem r4tionem parallelepipedotuni quae fiunt ex rectangulo I in N, dc K in O, ad parallelepipeda ex Lin P, de M in Q, quoties haec ipsa ratio continet rationem parallelepipedorum ex Atiam de
B in F, ad parallelepipeda ex plano C in G, ω D in H, qtadsie Ostendo. Ratio parallelepipedorum ex R in X, dc S in Y, ad parallelepipeda ex T in Z,3e V in de et eadem cum rationeparallelepipedi ex R in X ad parallelepipedum ex T in Z, de ex Rin X ad Vin de , cmul cum ratione parallelepipedi ex S in Y ad parallelepipedaex T in Z, de ex V in do. simili erratio parallelepipedorum ex I in N,8c ex K in O, ' ad parallelepipeda ex Lin P, de M in in eadem est cum ratione parallelepipedi
624쪽
ex I in N, ad parallelepipeda ex L in P, & M in Q. simul eum ratione parallelei
a Pre uials pipedi ex ductu K in O. ad eadem parallelepipeda ex L in P,&Min Q a. Denique ratio parallelepipedorum ex Ain R&B in F. ad paralles epipeda quae fiunt ex Cinci,& Din1 . eadem est cum ratione parallelepipedi quod oritur ex Ain Ε, ad ea quae fiunt ex C in G, x ex D in H, simu I cum ratione quς resultat ex ratione parallelepipedi quod fit ex ductu B in F ad parallelepipeda iam ex ductu C in G, D in II.
brιν C.ret- Sed b ratio parallelepipedieκR in X, ad parat Ielepipedum ex Τ in Z, toties multiplicat rationem parallelepipesi ex I in N, ad parallelepipedum quod est ex Lin P. quoties ratio parallelepipedi facti ex ductu I in Nad parallelepipedum ex L in P,c5tinet rationem parallelepipedi ex Ain Ε, ad C m G parallelepipedum , & ita deinceps ratio parallelopipedi ex R X ad V Ac, toties continet rationem parallelepipedi. IN ad MQ, quoties ratio parallelepipedi IN ad Min continet rationem parallelepipedi ex AE ad DH parallelepipedum; α ita conlequenter ratio parallelepipedi SY ad Τ Z, toties continet rationem KO ad LP,quoties saec ratio ΚO ad LP, cotinet rationem parallelepipedi ex B in F ad C in G. Denique toties etiam continetratio parallelepipedi SYa a Vibrationem parallelepipedi Κ O ad MQ, quoties ratio parallelcpipedi ex KO ad M. continet rationem parallelepipedi BF ad DHparallelepipedum. Igitur manifestum est quod ratio duorum parallelepipedorum απR in X, & S in Y,ad rationem parallelepipedorum duo tum quae fiunt ex T in Z. MV iri
625쪽
V in &, toties contineat rationem parallelepipedorum ex I in N, &Κ in Ο, ad parallelepipeda quae fiunc ex L in P,ωM in in quoties haec ipsa ratio continet rationem parallelepipedorum ex Α in E, ω B in F,adparallelepipeda orta ex ductu plani C in G, dc D in H. Quod fuit demonstrandum. Creon m. NE multiplicentur morose demonstrationes, propositionem praesentem extendi volumus ad casus omnes qui altitudines horum parallelepipedorum bifariam, vel quadrifariam, vel secundum quam cunque rationem in parte ,quales diuiderentia dmultiplicanda rcctangula quae in aduersae figurae rectangula ducta multiplicarent quemcunque numerum parallelepipedorum: nam discursiis demonstrationis vitus de idem seniper occurrit,uti prepositione 8.huius est demonstratum.
Dico rationem solidi ex ductu plani parabolici RS in planum pa
rabolicum X Y, ad solidum ortum ex ductu plani parabolici concaui T Vin concauum parabolicum Z&, toties continere rationem selidi quod nascitur ex ductu trapezij lΚ in trapezium N o, ad solidum quod ni ex trapezio L M ducto in trapezium P Q , quoties haec ipsa ratio continetrationem corporis ex ductu parabolae conuexae A B, in E F parabola conuexam, ad corpus Ortum ex ductu CD parabolici conuexi in GH convexum parabolicum. Demonseratio.
O Stensem est propositione praecedenti & Corollario quod ratio medietatis figurarum inscriptaru tertio schemati ad alteram medietatem figurarum inscripta- mim, toties cotineat rationem medietatis figurarum secundo schemati inscriptarum ad alteram suam medietatem,quoties hsc ipsa ratio continet rationem medietatis fiagurarum primo scitemati inscriptarum ad residuam medietatem, & quia hoc ipsum Lmper fieri potest;igitur cum terminis istius progressionis qui in schemate uniuersali sunt ω IZ rectangula, conueniat eadem proprietas . Si ratio rectanguli FI A ad rationem πΚ G, , toties contineat rationem rectanguli PI n adHU,quoties haec ipsa ratio continet rationem rectanguli EIis ad ΘΚΗ, per propositionem uniuersalem libri de ductibus quadragesimam sextam,etiam ratio solidi ex R S para holieo in XY parabqlicum,ad solidum ex parabolico concavo T V in Z&, toties e5tinet rationem Iidi ex trapeZio IK in No, trapezium ad solidum ex trapezio LM in PQ, quoties haec eadem ratio continebit rationem solidi ex ductu parabo
Iiei conuexi ΑΒ in EF, ad selidiam ex ductu parabolici CD in convexum parabolicum GH. Quod fuit demonstrandum.
626쪽
Qv ADRATURA CIRCULI. PROPOSITIO XLI.
Super recta A B constituta sint quadrata ABC, A B D,quorum diametri A C, B E: his inscribah turparabolae λ P C,B QE, quarum vertices sint Α & B, axes vero A F, B D. Deinde A B bisecta in G, centro G spatio G A, circulus describatur, ductisque rectis infinitis MOH PZRQN, parallelis ad CBD, ac proinde orthogonis ad AB, fiant ut M Z ad OZ se OZ ad ZR. Dico puncta A R,R B esse ad parabolam.
Emonstratum est in libro de parabola propositione 2s'.
PROPOS ITIO XLII I iidem positis:
Dico solidum quod producitur ex plano mixti lineo A P C B, in mixtilineum AB QE aequari solido quod fit ex parabola A R B ducta in se. Demonstratio
QVoniam M Z, Ο Ζ, Z R. sunt proportionales,erana quadrata ipsarum M Z. O Z,-- Z R erunt proportionalia. Similiter, quia ' tam M Z, H Z, P Z, quani N Z,T Z. L,L ρ- QA sunt proportionalia, b etiam rectangula MZN, HET, P Z Qertit proportionalia: sed quadratum M Z aequatur rectangulo M Z N:& quadratum O Z aequale est AZB, hoc est rectangulo HZΤ, cum enim BR aequalis sit tam AE quam BC. etiam BZ ipsi ZT, M AZ ipsi ΗΖ , ob triangulorum BAE, BZT, AB C. A Z H smilitudinem, aequales erunt. cum igitur binet liaboantur series quantitatum continue proportionalium, quarum primi quatuor rermini sint aequales inter se, ii quee etiam reliquos, qtiadratum nempe ZR & rectangulum PT in aequari. pari argumento omnia quadrata alia Z R rectangulis ali)s omnibus P Zmaequalia sunt. Ergo per s. libri de duct. solidum quod fit ex plano APCB ducto iapta num AB E aequatur solido quod fit ex Parabola ARB dncta in seipsam. Quod erat propositum demonstrare.
627쪽
coraliarisin primum. Eoilem discursu ostenditur solidum quod gignitur ex segmento mixtilineo P P Z Zin mixti lineum segmentum Z ZQ aequari solido quod fit ex parabolicos gmento Z R R Z ducto in se serastarium sicandum. FAcile iam nobis erit solidum quod fit ex mixtilineo Ap PCB. ducto ih mixtili
neum AZBQ QE, ad parallelepipedum reducere. Nam parabola in se ducta producit segmentum cylindri parabolici, quam libro praecedenti ungulam vocavimus parabolicam,&Cubauimus propositione 99. elui dein libri. quare cum eo usfactum ex Α P C B in Α Β QE, aequale ostenderimus corpori quod gignit A R Bparabola in se ducta, hoc est ungulae parabolicae, huius quoque habebitur cubatura, sue rediictio ad parallelepipedum: habita autem cubatura totius solidi ex AB Educto in Α p C B, eodem artificio obtinebitur cubatuta si iidi quod fit ex segmento
P P Z Z ducto in segmentum Z R R Z.
PRO Pos ITIO XLIII. SInt parabolae ACD, BL G aequales sed subalternὸ postiae quas con
tingat A B aequalis lateri recto in Α & B. Ponatur insit per P C E G M, QD FHN,RIΚLonotitiales ad AB, iungantur AT. BS, AS & B T. Dico rationem corporis orti ex ductu plani CE FD in planu EGHRad corpus ex ductu plani DFKI in F HLΚ notam esse, insuper etiam ra
tionem solidi quod fit est plano P E F Q ducto in planum E M N F ad solidum quod sit ex Q FKR plano in planum FNO K. Demonstratio.
3 Stensum est eui parallelepipedo aequetur corpus ex ducta mutuo planorum. λ CEFD & EGH F. Insuper demonstratu es cui trarallelepipedoae uetur soli- ...d. . dum explanis P EF Q, EMNF v inter se multiplicatis,quemadmodum etiam de . . solido ex superficiebus ins KR & FN OK, inter se duoes:quare ratio corporum de quibus agit propositio, quet illis aequalia sunt etiam nota vel data est. QMd suit demonstrandum. .
628쪽
QN ADRATURA CIRCULLPROPOSITIO XLIV. SInt denuo super AB recta duo quadrata ABC, ABD constructa,&
recta A B sit aequalis lateri recto parabolarum Α E C & B R G, subanterne collocatarum & communis utriusque axis Α Β , in quo semptis HI& KL, aequalibus inter se constituantur EHP, MI F,&NΚα OL Rordinatim ad axem.
Dico solidum quod fit ex ductu plani E HIM in planum H P FI, notam habere rationem ad solidum quod exsergit ex ductu superficiei N Κ L O , in superficiem Κ QR L. Demonstratio.
Donantur parabolae A YC, B X G aequales prioribus , quarum vertices sint Α Ata s. Miss. B, contingantque AB in Α& B. ostensum est notam esse rationem eo oris quod fit ex dinu SHIΤ in Hν XI. ad corpus ex ductu superficiet YKL Z in με - - ΚααL.Similiter demonstratum est, notam efferatione solidi ex ductu plani in HγφI, ad solidum productum ex ductu ἡ ΚLω in planum ΚηθL. Demonstra- εφε η tum autem est erationem corporis orti ex ductu SHIT in Hν XI, ad corpus o tum ex ductu pIani YKL Z in KκμL, toties continere rationem corporis orti ex ductu plani H AI in ΗγφΙ , ad corpus ex ductu i KILai in Κει L , quoties hae ratio continet rationem Corporis orti ex ductu HEΜI in HI FP. ad corpus ortum ex ductu plani ΚNOL in KL Rin Igitur cum notae sint prima,&secunda ratio, notum quoque est quoties prima secundam contineat , ac propterea notum quoque est quoties secunda contineat tertiam: itaque cum secunda ratio scilicet co poris orti ex ductu plani H e AI in HγφI, ad corpus ortum ex ductu ψΚLa. in ΚηθL nota sit, etiain nota erit ratio corporis quod oritur ex ductu superficiei
EHIM in H PFI ad corpus. ortum ex ductu superficiei NKLO in Κ Ru
Quod erit demonstrandum. ' i , -- l
629쪽
Ponalitur super AB duo quadrata ABC,BAD. quibus iii scriptae duς
semiparabolae AG C, B H D situ subalterno circa communem axem AB,&super AB diametro semicirculus describatur AEB. -
Dico corpus quod producit parabola ACC ducta in parabola B H D, aequari semicylindro cuius basis est semicirculus A E B, altitudo A B.
T Emon, ratione ni dedimus libro de ductu plani in planum propositione I 3. illic enim ostensum est parabolas sub alterne positas, quarumcmmunis axis est aequaIis lateri recto axeos producere solidum aequale semicylindro cuius basis est micirculiis axe tanquam diametro descriptus, altitudo vero ipse aris; sed parabola-rtim AG C, BAD quadratis inscryptarum axis AB aequ*tur lateri xeho axeos, quod ordinatim posita AD sit aequalis ipsi AB. ergo solidum Pod producitur exiductu mutilo parabolarum A G C, B H D aequatur semicylindro super semicirculo Α E B in altitudine AB. ι ι Versim cum hoc theorema sit unum ex primarijs huius operis, proxknoque influat in circuli quadraturam: sit autem demonstratio proposit.ia3. libri ductuum allata fortasse strictior quam ut omnibus satisfaciat: pleniorem huius veritaris domvnstrvCIt A B axis parabolarum subalterne positarum A N B, A B M,3c axe bl secto in Ε, itemque A E, B E bisectis C dc D, per diuisionum puncta
C, E, D duc antur rectae ad axem normales,compleanturque rectangulatam C P, E Q inscripta parabolae Α ΚΒ, quam C I, E L circumscripta parabolae A B M. Dico solida quς oriuntur ex T PH in CENM , &exH QK in EN O D, simul sumpta maiorem molem exhibere quam solidaquet fiunt ex ductu plani M NI in F C E P , & plani NOL in PEDO, simul
630쪽
Qv ADRATURA CIRCULI. Demon Iratio.
Vcantur OR, NS parallotae axia AB: segmeia turn NOR maius est segmento ONL , ut manifeste paret si iungantur puncta o Ni&E HKD maius est quam E H Q D.ergo sbliduni ex NOR in E HKD, maius est stilido ex ONL in E in sed quia parabolae si balternae sunt aequales de sint les,&puncta C & D, aequaliter distant ab E puncto medio ipsius AB, aequalia sunt segmenta NOR, H Fri& EHΚD, C MNE. Ergo Iidum ex H FP in C MNE. maius est solido ex ONL in E Q. Praetere MN Smaius est quam I ut patet si iungantur puncta N M.) de C F H E maius est quam CP. ergo solidum ex MN Sin CFHE, maius est solido ex MNI in C P. sed MNS, ΚΗ Q, dc CFHE, ENOD sunt inter se aequalia. ergo se lidum ex ΚΗ in ENOD, maius est solido ex MNI id CP. Igitur solida simul sumptaquς fiunt ex H FP, ΚΗ ita C MNE, ENOD maiora sunt solidissimul sumptis quae fiunt ex ONL, NMI in E Q, CP. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO XLVII. Quod si axe AB bisecto in L rectae A L, BL dividantur in quoteum
que paries aequales, ductisque per diuisionum puncta C, I, Κ, L, M. H. Q lineis parallelis ad axem normalibus compleantur tam rectangula
Dico solida simul sumpta quae sunt ex segmentis parabolicis e DADNLNPV, R PT, & ERX , Evn in parabolica segmenta C. FI, I Fig Κ, Κ β L, Lθω M, M-GH , HGξQ maiora esse solidis simul
sumptis, quae producuntur ex segmentis παF, FOβ, Y SL Sθ' ωGZ, in rectangula Cς, l ΚR LT, MX, Ho: atque ita licet in i finitum procedatur, semper idem eueniet.