P. Gregorii a S.to P. Vincentio Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni decem libris comprehensum

631쪽

Ut seletur eodem ples discursa quo praecedens quemadmodum enim in praecaed.

A. ostendimus id quod fit ex segmentis P N U, R P T, aequaliter remotis 4 medio axis puncto L . siue a media parallela & L6M, maius esse eo ouod fit ex YSO,Sεω in K V, Lae , ita plane ostenditur discursu eodem id, quod fit, ex segmentis in NDO , ER X aequaliter etiam remotis a medio axis puncto L. sve a parallela media PLθ, ductis in I Fax, & MωGH maius esse eo quod fit ex o FS, ω Gin D, MX N quod gignitur ex Dach, & Elici in C. FI, de H Ggo maius esse eo quod fit ex ἀπ F & ikGξ in C p dc H in Ex quibus patet verit

p Ropos ITIO XLVIIJ.REsempta sigura propositionis 46.

Dico solidum quod fit ex segmentis parabolicis C F H E, D ΚH Eicis menta subalterna CM NE, E N O D. hoe est ex segmento FCD K in segmenturii C M O D, maius esse corpore quod producitur ex rectan .gulis CP, E Q ductis in rectangula C I, E L. Demonstram.

solidum quod fit ex sepmentis H F Ρ, Κ Η O in segmenta C M NE. E N o D, maius esse selido quod hi ex segmentis IM N, LN O in C P, E O re clangula. mare si addatur utrisque commune solidum quod fit ex rectangulis C PEQ in segmenta C MNE, ENOD, erit solidum quod fit ex H FP , ΚHO in C MNE, ENOD, una cum solido ex CP, Ea in C MNE, ENOD, maius isti-

ENOD. sed solidum ex H FP,KHinnCMNE, ENOD una cum solido ex: ENOD, & solidum ex CP, E in. in I MN, LNo, una cum se- Iido ex CP, EQ in C MNE, EN OD aequatur solidre quod fit ex CP in C I

632쪽

B L, subdiuisiones factae plures ac plures in inlinitum iuxta mentemtaositionis . ac proinde plura semper ac plura rectangula inscripta lunt parabola: A AB, circumscripta vero parabolae ABἰ Dico nibilominus solidum quod producitur ex mutuo ζCQR Q segmentoram subalternorum auctu, maius esse solido quod fit ex omnibus rectangulis inscriptis parabolae ΑλB in omnia rectangula Conscripta parabolae A B c Demonstratio. .

'DErsicietur eodem discursu quo propositio 48. Nam quo discuisu illic ex Q. ostem, dimus solidum ex segmentis P N K L, R P L M, quae adiacent medio axis puncto L. in segmenta KβθL,LθωM maius esse solido quod-ex tectangulis ΚU, L Tin rectangula KY.LS, eodem quoque demonstrabimus is r. solidum quod fit ex segmentis N DIR, RMHE aequaliter a medio axis puncto L remotis, in segmenta IF β Κ, HGωΜ, maius esse solido quod fit ex rectangulis, IMMX in rectangula I Ο,M Z r& solidum quod gignitur ex segmentis D CI, nEH in segmenta C. FI, HGξ in maius esse solido producto ex C*, Ηυ in Cia,se tum igitur segmentum e Ωἰς ductum in segmentum totum C σε. maius solidum producit quam omnia rectati gula Cp, Ι Κ U, L T. MX , Hi, in omnia rectangula C IO, Κ LS,MZ,Hψ . mod erat demonstrandum.

PROPOSITIO L.

SInt parabolae subalternae. aequales ac similes A λ B, AB c, quaru communi axe AB, bisecto in L, partes A L, B L, in plures semper ac plures in infinitum partes aequales de aeque multas , dividantur, ductisq; per diuisionum puncta parallelis lineis DF,&c. normalibus ad AB, inscribanture arabolae A λ Η, parabolae vero ζB A circumscribantur reetangula plura temper ac plura sine termino. i. : Dico Dissiliros by Gorale

633쪽

Qv ADRATURA CIRCI LI. ii si Dico corpus genitum ex ductu mutuo parabolarum stibal ternarum maius esse solido laue aggregato parallelepipedorum quod producitur ex rectangulis omnibus Cipil δ, &c. ih scriptis parabolae ΑλB , ductis in rectangula omnia Cri Io, &c. parabolae ABζcircumscripta. Demon alio.

O Stensim est in praecedenti segmentiam C a n Q in segmentum Cir ξ Q. producere maius sollitu in quam omnia rectangula CφIλεec. in omnia reaangulaCα, IO,&c. Atqui parabola tota Aλ B ducta in iuvalternain totam ζΒΑ, maius corpus essicit quam sEgmentum t CBλn in segmentum C et B. Ergo parabola Αλ B in paratiotam A maius solidum gignit aggregato parallelepipedorum producto ex omnibus rectangulis C*, I δ, &c. inscriptis parabolae Αλ B, in rectangula omnia C IO,l cc. parabolae ζBΑ conscripta. od erat propositum. Venio tandem ad deminurationem Theoremari . . propositi.

communem axem AC, siue squod in idem rςcicit,ut in propos hostensum est j quarum axis AC lateri recto axeos sit aequalis:&super AC diametro describatur semicirculus ΑΒ C , quem totum intra parabolas cadere patet ex ι 26. de parabola. Dico corpus productum ex ductu paraboli ADC in substernam parabolam F C Α, aequari semicylindro, cuius basis est semicirculus ABC, altitudo utem axis parabolarum A C., . Demonstratio.

SI aequalia non sunt illa corpora,'erit cylindrus corpore parabolico maior aut minor. Ponatur primὁ olindrus esse maior corpore parabolico quantitate aliqua G, secetur axis AC bifariam;&bina axeos segmenta in tot 8taeque multas aequales partes subdividantur iniunctis E,E, ut ductis per Eparallelis rectis BE, normalibus at A C. completi fouerectangulis EL, rectangula E BL ducta in altitudinem cylindri AC, cylindro inscribant aggregatura Arines Medoriam haben. tium rectangula BEAC, BEAC pro basibus altitudines vero EE desciens aba ipse

634쪽

ipso cylindro quantitate minori quam G. quo facto erit corpus eyIindro insetiptiunetiam maius corpore quod fit ex ductu mutuo parabolarum. protrahantiae deinde patallela: EB utrimque in D,&RH, compleanturque rectangulatam EDI, ims eripta parabolae A D C, quam ΕΗ, conscripta parabolet F C A: ac deinde rectangula ΕΙ, ducta in rectangula EH producant parallelepipeda quq corpori nato ex parabolis partim inscripta erunt partim circumsaripta, bases autem habebunt reiactangula D EF , altitudines vero lineas E E. Demonstrauimus in libro ductuum a rectangula omnia D E F aequari rectangulis B E , Α . Quare cum rectangula DEF bases sint parallelepipedorum adscriptorum corpori parabolico quae fiunt exED I in EH: rectangula vero B EAC, BE AC sint bases parallelepipedo

scriptorum cylindro de aItitudines utrobique sint communes, lineolae nimii , .manifestum est aggregatum parallelepipedorum adscriptorum corpori pantiis aequari asgregato parallelepipedorum cylindro inscriptorum,sed aggregatum parallelepipeclorum inscriptorum cylindro maius ponitur corpore nato ex parabolis ergo Eriggregatum parallelepipedorum adscriptoru corpori ex parabolis producto maius est eodem eorpore; quod repugnat propositioni so. in qua demonstrauimus esse minus, non igitur minor est cylindrus corpore a paraboIis producto. Superest ut ostendamus eundem cylindrum non esse minorem corpore genito ex parabolis.Si πim cylindrus minor sit, erat corpus parabolicum maius cylindro g. quantitate G, ostensum est in libro ductuum v A C in tot posse aequales partessu diuidi, ductisque per diuisonum puncta rectis D EF ad AC normalibus tot inscribi parabolis subalternis posse rectangula EDI, EDI, EFK, E F Κ, ut omnia EDI ducta in omnia EF Κ inscribant corpori ex parabolis subalternis genito aggregatum parallelepipedorum deficiens ab ipso corpore nato e parψolis quantit te minori dat 1 G. Factum igitur hoc sit: erit ergo aggregatum illuIparallelepipedorum maius cylindro. Quare si productis lineis D F compleantur rectangula E mPH parabolς FCΑ circumscripta a & rectangula ED I, ED I ducta in recta gula EH, ΕΗ, producant aggregatum parallelepipedorum erit hoc aggregatu munto maius cylindro. sed hoc aggregatum parallelepipedorum,quq nimirum sunt emEDI, EU, supra ostendi in prima parte demonstrationis ςquari aggregato paratim lepipevrum cylindro inscriptorum. Erso etiam hoc cylindro maius est, pars suo toto,quod fieri non potest. Non est ergo cylindrus minor corporea parabolis producto. sed neque maiorem esse ostendimus. Eidem igitur aequaIis est.

corollarium. Eodem discursu demonstratur segmenta subalterna parabolica DEED. EFFRducta in se mutuo aequale solidum producere segmento cylindrico cuius basis ea segmentum circulare B E EB, altitudo A C.

635쪽

SInt iam denuo super recta A B duo quadrata Α Β C, A B D eonatuesta, Sc recta A B sit aequalis lateri recto parabolarum Α E C & B R Gsubaltetne collocatarum,&comitiunis utriusque axis AB, in quo sumptis Hi &ΚL aequalibus inter se, constitua.tur Enp,MIF,&η Καο L R ordinatim ad axem: denique describatui circulus AvB super di metro AB, qui lineas EP, MF,N Q, OR secet in v ξ. Dico superficiem Hai I ad superficiem ΚΔ L, notatii habere rati nem.

Ionstrarum est in corpora, quae Illis cylindri eis partibus aequantui inser se notam habere rationem.Igitur etiam Partes cylindricet, notam inter se continent rationem, sim partes cylindricae , cum altitudine non discrepent, eandem inter se rationem habet quam bases Hau I, ΚΔξ L. ergo etiam harum nota est ratio. Quod fui t demonstrandum.

PROPOSITIO LIM. OPorreat tandem proportionem circuli ad figuram rectilineam ex

hibere. T Emonstratum est a corporiestapartem cylindri super basi H-I constitutam corpori ex ductu superficiei NKLO in stiprem euius basis est Καε L M altitudo Α'B.

636쪽

DF arcubus perimetro Circuli commesurabilibus qui Inter se situ aequales , demissisque perpendictitaribus EG, FH ad diametrum I C, ponan eur E B, F B. Inuenia r deinde arcus XL a commensurabilis arcui Enea cuius extremis punctis demissae KNι LM perpendiculares ad diametrum I C intercipiano rectam MN aequalem rectae G H. vel igitur arcus ΚΑaequalis erit arcui LI, vel maior, vel minor. quod si aequalis sit,igitur areus L Κ, non solum est commensurabilis arcui EF, sedi aequalis e cum MN ponatur aequalis G H, & arcus Α Κ κ- qualis L I, sicut & arcus A E,F C. nis de iteranda est constructio, donec ver Ax areus maior sit arcu LI velec5ι tra arcus L I maior arcu Α Κ. Sit igitur AK arcus minor LI & ducanatur ΚΒ. I. B. Quoniam ponitue aecus AK minor arcu LI, ergo segmentum LMNK maiusnfestore L B K. nota autem est i proportio segmenti LMNK ad segmentum E GH F, hoc est .adsectorem EBF: nota est praeterea ratio sectotis L BK ad sectorem EB F, tam arcus L K, EF sint commensurabiles ex construactione. igitur nota est etiam ratio LM N K ad sectorem L BK, quς cum nota sit, etiam excessus, quo LMNK superat sectorem LB notus est ; ac propterea nota est etiam ratio sectoris EBF ad rectilineum excessum quo segmentum LMNK excedit sectorem L Bu, texcessiam autem eum rectilineum esse posse patet,si iunga. tur puncta LK , ω tri bulo LBΚ abscindatur trapezium aequale ex trapezioLΚ N Μ, addito enim communi segmento L Κ, erit sector, segmento & illi trapezio aequalis. quare reliquum ments erit excessuιν quidem rectilinem x consequenter nota est ratio totius eir li ad idem rectilineum,quoniam areus E F commens

rabilis est petimetro cireuli I A C ex Φonstructio : quare peractum est, quod filii

637쪽

SECUNDA CIRCULI

Ationum A B ad C D, E F ad G H, antecedentes & consequentes termini dividantur utcunque in I,L, Κ, M. Dico proportionem quae est inter rationes AB,CD & rationem inter E F ad G H eandem esse, cum proportione quae repe

DRopositione octava huius est demonstrarum rationem AB ad CD, eandem essex eum rationibus A I ad CR,IB ad CK, simul cum rationisus A I ad KD.&IBad KD similiter eadem propos ostensum quod ratio EF ad GH , eadem existat cum rationibus E L ad GM,NLF ad G M, simili cum rationibus E Lad MEI, MLF ad MH, manifestum igitur est proportionem rationis ΑΒ ad CD, ad rationem EF ad G Η, eandem esse cum proportione quae est inter rationes AI ad C K , In ad C R, AI ad KD, IB ad ΚD, ad rationes EL ad G Μ,LF ad G M, EL ad ΜΗ, LF ad ΜΗ, dc contra. Quod erat demonstrandum. Coralia m.

HInc colligitur quoties comparantur inter se ratio quantitatum AB, CD & ratio quantitatum E F, G H, per rationes inuentas inter partes modo assumpto in contextu propositionis, si ostendantur rationes inter partes unius rationis esse eaedecum rationibus quae inueniuntur esse inter partes alterius rationis , tune necessario etiam erit similitudo inter rationem A B, C D & rationem E F,G H Ac contra.

Quod si autem addantur duae aliae rationes Noad P Q, dc R S ad T V. rationes vero partium unius proportionis conueniant Cum rationibus partium alterius proportionis, tum fimiliter ut prius inferre licebit proportiones este similes, hoc est proportionem inter rationem AB ad CD,&rationem EF ad GH, eandem esse cum proportione inter rationem N O ad P Q, & rationem R S ad T U.

638쪽

proportionaliter dividant orthogonae Κ FL; HGΟ. Dico rectangula K F L, H G O esse aequalia. DEmonstratum reperies in libro de parabola propost sone 4s. Obstrua pro propositionibψR-ntibim

Breuiratis cavisa paras pinati qua ex ductu unisu rectanguli in aberem reduatur, ' Me d abus litteru issigribimus. Exempli gratia pariselepipedum quo igmtur ex rectangati A ducto in rectangulum ti vocabimin parassilepipedum siue sol, dum A L. . Similuer brevitatis graria solidum quodsit ex rectangulo aliquo ducto in seipsum Mica iam rem littera defixnabiturs exempli gratia parassit Vedum quod producitur ex Α rectangis in se ducto vocabimis solidum A.

PROPOSITIO LVI.

INtra parabolam δω, v constitutet sint binc aequales diametri quas inaeque multas partes aequales dividant parallelet lineς-&e.isio, Π Θ,&c. ductisque lineolis ad diametros parallelis, sermentur rectan gula A, C, D, E; G, H,I, Kr P, Q, R, S: L, M, N, O, ex quibus in seipsa ductis producantur solida parallelepipeda Α, C, b, E, &c. His ita constitutis si sumantur ex solidis A, C, D, Eι L, M,N, O, G,αΙ,Κ, P, Q, R, S, quatuor solida quaecunque exempli gratia A,G, L,hae tamen lege ut bina A & L, G, &P consistant circa rectas cpEκ, ψ Bi , qu diametros B, ω d proportionaliter secent in E & p. Dico rationem solidi A ad solidum G esse eandem cum ratione Elia

di P ad selidum L.

639쪽

QUADRATURA CIRCULI. Demonstratio.

OStensum est . rectangula. Fu aequalia esse. Ergo φ Ees adii, F, ut reci- 11 - procre υ est ad E κ. Ergo S quadratum φ E est ad quadratum ψF, unquadratum Fi, est ad quadratum Eae, sunt autem haee quadrata bases solidorum A, G, P,L. Quare elim solida illa aequales habeant altitudines E π, F Δ, erunt inter se ut quadrata, adeoque solidum Α, erit ad solidum G, ut quadratum φ E ad quadratum i Rhoc est ut quadratum Γυ ad quadratum En , hoc est ut solidum P ad solidum L. E dem erit in caeteris demonstratio. Patet ergo propositum.

PROPOSITIO LVII FAdem manente figura assumantur quatuorquetcunque solida,exempli gratia solida A, G , P, L, quorum bina A & L, G &P, pro lateribus nabeant rectas ψEκ,φF v quae diametros in B , ω d proportionaliter secent in E, &F. Assumantur autem & alia quatuor Iida quaecunque e em p. grat. solida D, I, R,N, modo etiam bina D & N, I & R, consistant super rectis diametros proportionaliter secantibus. Dico propcutionem quam habet ratio solidorum A 8c G, ad rationem solidorum P & L, eandem esse cum proportione quam habet ratio solidotum D & 1 ad rationem solidorum R & N.

OStensum est, brationem solidorum A &G, eandem esse cum ratione solidorum b , ιι. . P & L: ostensum quoque est rationem solidorum D NI. eandem esse cum ra-.tione sellii rum R&N, ratio igitur solidorum A M G, est ad ratiociem sodidorum Ρα L, ut ratio solidorum D N I, est ad rationem solidorum R & N : hoc est proporixo quam habet ratio solidorum Adc G, ad rationem solidorum Ρα L, eadem est cum

640쪽

sius QUADRATURA CIRCULI.

Proporitone quam habet ratio solidorum D & I, ad rationem solidorum R Ze Minod erat demonstramlum. corollarium. TIsdem positis quae in propositione,per 38.libri progressionum erit quoque propor Atio rationis soIidotum Α & D, ad rationem solidorum G ω I. eadem cum propo tione rationis solidorum P M R ad rationem solidorum L Ec N.

PRO Pos ITIO LVIII. IIsidem positisquet 36. huius rectati gula A,C, D, E item G, H, I, ducta

in rectangula labi posita subalterne β,ia, de T, X,Y, producant solida Αβ,CγGD E &solida GT, HRIX,Κ Y. similiter rectangula L,M,N, O,item P, Q, R,S ducta in rectangula sibi subalterne oriqZ, producant solida L M ν,N SO & solida P L S Z. Deinde assumantur quatuor soliὸa quaecunque exemp. gr. solida ARG T, PKL Ghae tamen lege ut bina Aβ& Lμ: GT& Pr, consastant circa rectas quae diametros is B, ωd proportionaliter secent in E& F. Dico rationem solidi Aβ ad solidum GT eandem esse cum rationes,lidi Pir ad rationem solidi L 'Demonstratio.

Colidum ex A in is est idem cum solido ex A in E. aequales enim ex liypothesi dc si miles per omnia sunt figurae ambae sola nimirum subalterna positione differcntes, sed solidi ex A in E. basis est rectangulum quod rectis φE,ωΣ continetur. Erg. idem rectangulum etiam hasis est lolidi AR Eodem modo ostendam lixitGT basim esse rectangulum rectis i. F.&ΦΛ contentum, solidi vero Pr basim efforectangulum sub Fυ 8t Λr: solidi denique Lμ basim es erectangulum sub En H - Iam vero quia rectangula *Eκ, d Fὐ sint aequalia, erit φ Ead ι F, ut FO ad E hoc est