장음표시 사용
641쪽
estiarici φEad Faequalis erit ratioru Fu ad Εα PariFodo quia rectangulaω, Σμνε Λ Pa stitit aequalia,erit recta ωΣ ad rectam Φ Λ.ut recta a P ad rectam hoc est ratiois T ad ΦΑ, par est rationi Λ P ad Σ . Ergo ratio composta ex ratione ad .F, de ratione ω Σ ad Λ , a quatur rationi compositi ex ratione F ὐ ad Εα, dc ratione Λ Pad Σρrtio aethratio rectanguli sub QE de is x ad rectanguluin sub ψF Se ΦΛ arquatur lationi rectanguli sub&υ de Λ P ad rectangulum sub Ee dc Σ . Quare elimis.lidorum A a, GT, I , L ι aequale, stat altitudines Ex,F Δ, bases vero, et offetidi Q. p a ,sint rectangilla si ib cpE, Ec ω Σ, sub ψ F εc ο Λ sub F. ω Λr sub Eu & Σ , manifestum est rationem quoque solidi Ais ad solidum G Τ, aequalem esse rationi solidi Pae ad solidum L a. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO LIX. iisdem positis: hoc est assumptis quatuor solidis quibuscunque,ex.gratia
solidis Aa,GT,pGL . iuxta determinationem in praecedenti expressam; assumantur di alia quatuor solida quaecunque, exempli gratia solida D I X, R LN E iuxta eandem determinationem ea nimirum lege ut bina D ,αNE: IX, Rθ, &N E consistant circa re, has quae diametros B, ..d proportionaliter dividant. Dico proportionem quam babet ratio selidorum Aa & GT ad rationem solidoriam Pr& L ., eandem esse cum proportione quam habet ratio solidorum D*IX ad rationem inter solida Rρ & NE. Demonseratio.
O Stensiim est, rationem solidorum Ala de G T, eandem esse cum latione solido- b it Livia. rum Pir de L .. Ostensum quoque est rationem sblidorum D δ de IX, ean- demesse cum ratione solidorum Ro dc Nξ. Ergo ratio solidorum A β εc GT, est ad rationem solidorum Pr Ac L a, ut ratio solidorum de IX, est ad rationem solidorum Ro de Ni: hoc est proportio quam habet ratio solidorum Αβ εe GTad rationem selidorum P σ Ac Lει, eadem est cum proportione quam habet ratiomtidotum D, ac I X, ad rationem solidorum R/de N 54od erat demonstrandum.
coroliarium. IIsdem positis quae in propositione, sequitur ex iam demonstratis de ex s8. libri progressionum proportionem quoque quae reperitur inter rationem selidorum Αβ εε 'Dδ 3c rationem solidorum G Τ, dc IX eandem esse cum proportione rationis isti. dotum P σ Ec Rc ad rationem solidorum L de Nξ.
EAdem manente figura,assumantur octo solida,exempli gratia solida A, G,P,L, de A β,G T,Pq,L G hac lege ut quatuor prima A,G,P, lequatuor alia Α β, GT,Pri L . consistant cirea rectas ινα, quae diametros πB,-d proportionalitet secent in E M F. Assumantur autem dc alia octo solida quaeeunque, iuxta eandem tamen determinationem, vem
Dico proportionem quς est inter rationem solidorum A & G,& rationem solidorum P & L, esse ad proportionem quae est inter rationem solidorum D de I, rationem Gaidorum R de N, ut est proportio in terr tionem solidorum Α β& GT, & rationem selidorum P & L ., ad proportionem
642쪽
. o. iasi, os tensum est ' proportionem rationis ifiter selida A Ac G. ad lationem Inter ii da P dc L, eandem esse cum proportione inter rationem selidorum D&I,&rabs,. Misi tionem solidorum R Zc N. similiter ostensum est proportionem quae est intereationem solidorum Aa & GT, α rationem solidorum Pe dc Lμ, eandem esse caproportione quam habet ratio solistorum'de IX , ad rationem solidorum Rὸ se Nξ. Ergo proportio quae est inter lationem solidorum A de G, Et vationem solidoiarum P Sc L, est ad proportionem quae est inter rationem solidorum D 8t l, &rationsssolidorum R de N,ut est proportio inter rationem solidorum A 3 5e G T,oc rationem solidorum P. Zc Lμ, ad proportionem quae est inter rationem ιblidotum D δα IX,& rationem soIidorum R θ Sc inod erat demonstrandum.. coraliarium. Isdem positis quae in ptopostpone t eodem pIane discursu demonstrabimiis e 3 Corollariis 17. des 9. etiam proportionem quae est inter rationes solidorum A Sc . ac rationem solidorum G dc I. esse ad proportionem quae est inter rationem soli- .dorum P dc R, dc rationem solidorum L & N, ut est proportio inter rationem sisti odorum 3e D de rationem solidorum G T dc IX ad proportionem quae est inter rationem solidorum P σ&Rθ, de rationem solHorum I. . de N
PROPOSITIO LYI. Iisdem manentibus:
Dico quod ratio quae est inter aggregatum solidorum Α, C, D, E. LΚ sit ad rationem inter aggregatum cor porum P, Q,R,S, ad aggregatum corporum L, M,N, O ut ratio aggregati
corporum A β, C γ, D E λ ad aggrega tum solidorum G ,T, H V, 1X, Κ xi
est ad ratio rurm inter aggregatum corporum P e , Qti RLS Z, &
643쪽
lici via hanc propositionem demonstrabimus. Prima est per propositionem secundam Archimedis de Conoid. applicando proportionibus rationum ea quae solis rationibus quantitatum simplicium attribuit Archimedes. Altera vero per pr ositionem I .Lemmaticam huius libri Prima igitur viam sic inire licebit 'uam tame posset mitiori discursu absolvemus. Proportio quae estanter rationes co potum A ad G,SIC ad H, eadem cum prO- a patiam portione quς est inter rationes corporum P ad L, & Q id M. Item proportio quae est syinter rationes corporum C ad H,& Dad I, eadem est cum proportione quae est inter rationes corporum in d M,& R ad N: igmir proportio quae est inter rationes corporum A ad G, & C ad H, ad proportionem que est intcr rationes corporum P ad Q id Μ,cst ut proportio que est inter rationes corporuC ad H,& D ad 1, ad proportionem quae est inter rationes corporum ad M.& Rad N. Igitur, permutando bcνίδι- . proportio quet est inter rationes corporum A ad G, Sc C ad H, ad proportionem quae est inter rationes corporum C ad H,&D ad 1 est ut proportio quς est inter rationes corporum P ad L, 8c Q ad M, ad proportionem quae est inter rationes corporum Q ad M,& R ad N. Simili modo ostendetur quod proportio quae est intcr rationes corporum C ad H, se Dad I, ad proportionem quae est inter rationes corporum D ad 1. ME ad K, sit ut pro ortio quς eis inter rationes corporum Q ad M, & Rad N, cst ad proportionem quae est inter rationes corporum R ad N, Sc Sad O.ePraeterea ostensum est quod proportio quς cst inter rationes Corporum A ad G, e Para nere ad H,lit ad proportionem quae est inter rationes corporum P ad L, bc Q ad M,ve proportio quae est inter rationes corporum Ais ad G T,S: C γ ad H V, est ad proportionem quae est inter rationes corporum Pir ad Lμ,S in1 ad Mν. Igitur 4 permutando proportio quae est inter rationcs corporum A ad G, & C ad H, ad proportionem 'ra quae est inter rationes corporum AS, ad G Τ,&Cγ ad HV. est, ut proportio quae est inter rationes corporum P ad L, Q a luel, ad prDpὁrtionem quae est inter rationes corporum P a , ad 3c ini ad Mν. Simili proritis ratione demonstrabitur quod proportio quae est inter rationes corporum C ad H. D ad I, ad proportionem quae est uater rationes corporum C γ ad
D δ ad IX, sit ut proportio quae est inter rationes corpol ii Q ad M,&Rad N. est ad proportionem quae est inter rationes corporum ini ad Mν,δc Rθ ad Ner item quod ptoportio quae est inter rationes corporum D ad I, de E ad K, ad proportionem quae est inter rationes corporum Da ad I X, dcEλ ad K sit ut proportio quae est in . tet rationes corporum R ad N,dc S ad O, est ad proportionem quq est smet rationes corporum R θ ad , & S Z ad O . Igii' madmodum infert Archimedes quod omnes quantitates primae simul sumptosnanes quaiatitates secundas iniit sumptas, intut omnes quantitares ter-
644쪽
tiae simul semptae ad omnes quantitates quartas simul sumptas, ita quoque eodem discursu inserimus quod omnes proportiones aggregatae quae sunt inter rationes corporum A ad G,& C ad H, item C ad H, & D ad I, item D ad I, & E ad Κ, sine ad omnes proportiones aggregatas quae sunt inter rationes corporum P ad L, &Q ad M. item vid Μ, de R ad N, item Rad N, &S ad O , ut proportiones omnes aggregatae quae limi inter rationes corporii Aa ad G Τ,& C γ ad H V, item C γ ad H V. ad γδ ad I Mitem D aad IX, dc E λ ad K Y.sunt ad omnes proportiones aggregatas quae sunt inter rationes corporum P rad Lμ. dc in ad Mν, item
Cum vero proportionem quae est inter rationes corporum A ad G , de CadH constituant binae rationes corporum A ad Gad C ad H,item singulas alias proportiones binae semper rationes constituant, etiam recte insertur quod omnes rationes corpo. rum quae proportiones illas quantitatum constituunt, scilicet rationes corporum A G, C ad H, Dad I, E ad K simul sumptae, sint ad rationes corporum P ad L. ad M. Rad N. S ad O. simul sumptas, Ut omnes rationes corporum Aa ad , C γad H V, D δad a X, Eλ ad K Υ simul sumptae, sudi ad omnes rationes morum σad
645쪽
o ad ini ad M,,R3 ad N ξ. S Z ad O simul sumptas. Cum vero rationes A ad G, C ad H, Dad I, Ead Κ, sic sim constitutae ut omnia corpora A, C, D,
L sint termini antecedentes, corpora vero siue termini G, H, I, K sint consequentes: item in rationibus corporum P ad L, Q ad M, R ad N, S ad O eodem modo corpora P in R, S, terminorum antecedenuum locum obtinent , uti & corpora L,M,N, O vicem consequentium; idemque in alijs aggregatis rationum inueniatur, Mtermini antecedentes sint corpora Aβ,Cγ.DλEλ, termini vetio consequentes sint corpora G T, H U, I X, KY; item in quarto aggregaro rationum corpora Priin, R θ, S Z vices antecedentium obtinent, uti& corpora Oe consequentium.
Igitur ratio aggregati solidorum A, C, D, E, ad aggregatum solidorum G,H, I, K, et ad rationem aggregati solidorum P, Q, R, S, ad aggregatum solidorum L,M, N, O; ut ratio aggregati solidoriim Aa, C γ, Da,E λ ad aggregatum solidorum G T, H U, I X,Κ Υ, est ad rationem aggregati solidorum Pσ,Q R θ, S Z, ad aggregatum solidorum L od erat demonstrandum.
aemonstratiosacibor. Quod iam per propositiones proportionum absoluimus, facilius tortasse per proportiones nudas declarabitur, faciliusque patebit Archimedis discutiam ad unguem fuisse obseruatum : uti enim ipse ex rationibus quae semper duas quaistitates . proterminis habent, terminorum siue quantitatum combinationem inuenit i ita &nos ex proportionibus uae semper duas rationes continent, ipsas rationes combinabimus, sicque combinatas cum alijs combinatis siue aggregatis quantitatum rationibus comparabimus. Ratio corporis A ad G, eadem est cum ratione corporis P ad L. item ratio corporis C ad H, eadem cum ratione corporis Q ad M. Igitur proportio quς est inter rationes corporum A ad G, de Cad H, eadem est cum proportione quae est inter rationes corporum P ad L, & Q ad M, siue ratio corporis A ad G, est ad rationem corporis. C ad H, ut ratio corporis P ad L, est ad rationem corporis Q ad M. Simi-1iter ostendetur quod ratio corporis Oud H, ad rationem corporis D in I se ut tatio eorporis Q d M ad rationem corporis R ad N. Denique ostendetur quod ratio corporis D ad 1, ad rationem corporis E ad K si vi ratio corporis R ad N , est ad ra tionem corporis S ad O. Atque sic primam partem habemus constructionis Atehimedeae. Itaque ad secundam sic procedemus. Ratio corporum Α β ad G T, eadem di est cum ratione corporum P σ ad L m id ra. b is. O.ia . tio corporum A ad G, etiam eadem erat cum ratione corporis P ad L. Itaque ratio corporum A ad G, est ad rationem corporum P ad L,ut ratio corporum A M ad G Τ, est ad rationem corporum P σad Lμ. igitur permutando ratio corporum A ad G, est ad rationem corporis Ais ad G Τ ut ratio corporis P ad L, ad rationem corporis Pae ad L . eodem modo ostendetur ratio corporis C ad H, esse ad rationem corporis C γ ad HV, ut rario corporis Q ad M, est ad rationem corporis Q ad Mν.1tem ratio corporis D ad I ad ratione corporis D δ ad I x , est ut ratio corporis R ad ad rationem corporis Rθ ad, Denique ratio corporis E ad K, est ad rationem corporis E λ ad Κ Y,ut rati' sorporis S ad O,est ad ratione corporis S Z ad OIgitur uti Archimedes de quantitatibus, ita di nos de rationibus quantitatum in Aferimus, nempe quod omnes rationes quantitatum A ad G, C ad H, Dad I, Ead Κ, sin t ad omnes rationes quantitatum P ad L, ad M,R ad N, S ad Oivti omnes rationes quantitatum A si ad G Τ, C γ ad H V,D δ a1Ι X,E λ ad K Y,sunt ad omnes rationes quantitatum P σad Lia, Qtiad Mν, Rθ ad N S Z ad Ot. Cum vero rationes corporum A ad G, C ad H, D ad I, E ad K sie sint constitutae
ut omnia corpora A,C, D,E snt termini antecedentes, corpora vero G, H, I, Κ sint tertii ini consequentes: idemque in reliquis rationibus obseruatum sit : igitur ratio
aggregati solidorum A,C D, E ad aggregatum solidorum G, H, I, Rest ad lationem aggregati solidorum P,χR, S, ad aggregatum solidorum L,M,N, O; ut ratio aggregati solidorum A is,Cγ.D1Eλ,ad aggregatum solidorum GT, H V IX, NY est adtationemaggregati solidorum Ρσ, O ,Rθ,SZ, ad aggregatum solidorum L MMν, Eoderat demonstrandum,
646쪽
ADdemus de alteram ex Lemmatica propositione s . huius librat hac me thodo qua similiter inseremus eandem conclusionem quam priore discursu intulimus.
Proportio rationis inter solida AS: G, ad rationem inter solida Ρ & L, eademvs 7 - est cum proportione rationis inter solida o&H, ad rationem inter solida Voc Μ, praeterea proportio rationis inte Α de G solida ad rationem solidorum P&L,eadem proportione rationis quae est inter solida D & I , ad rationem inter solida R& N. Vlterius proportio rationis inret solida Α & G, ad rationem inter solida P&L, λη- eadem e eum proportione rationis solidorum E & Κ, ad rationem solidorum S deo, atque hucusque proportio rationis inter solida Α Δρ G, ad rationem solidorum
P dc L, comparata est cum omnihus alijs cum quibus eonferri potest, ita ut semper antecedentis rationem obtineat; ut igitur discursum prosequamur,assumemus proxime sequentes rationes quae vicem antecedentis obtineant,dicendo: proportio rationis inter solida C de H, ad rationem solidorum inde Μ, eadem est cum proportione inter solida D de I, ad rationem solidorum R dc N,'Se proportio iterum rationis solidorum C de H, ad rationem solidorum Q de Μ, eadem est cum proportione rationis solidorum E de Κ, ad rationem solidorum S dc Ο. Denuo proportio rati nis solidorum C dc H. ad rationem solidorum Q 8c M, eadem est cum propor, tione rationis solidorum Α, G, ad P,L soliJori inrationem; atque hoc modo con tulimus proportionem rationis solidorum C de ad rationem solidorum Q&M. cum reliquis rationibus concedendo illi semper locum antecedentis, restat igitur idipsum praestemus de alijs quae remanent, dicendo iterum: proportio rationis soliis dorum D. I ad rationem solidorum R,N eadem est cum proportione rationis solidorum Ε, Κ ad S, O solidorum rationem: item proportio rationis inter solida Dde I, ad rationem inter solida R dc N, eadem est cum proportione rationis interlblida A, G, ad rationem solidorum P 8c L, dc eadem cum proportione rationis inter selida C de H. ad rationem inter solida M. Tanssem ut hanc partem expediamus dicemus proportionem rationis inter solida E, K ad rationem inter solida S, de o, eandem esse cum proportione rationis solidorum A, G ad rationem P. L, dc cum proportione rationis C, H ad rationum 4M: dc cum proportionerationis D, I, ad racionem R, N.
647쪽
Hoc aurem posito instro ex vi Lemmaticae propositionis prisis citatae huius libri quod proportio rationis inter aggregatum Omnium solidorum A,C,D, Ere aggregatum solidorum G, H, I, K ad rationes inter aggregatum omnium selidorum Ρ , in R,S, & aggregatum solidorum L,M,N,O, eadem sit cum proportione inter rationes partium iam numeratarum quae antecedentium loca obtinebant 8crationem partium qiuae consequentis vices supplebant. .
Eadem disci irrendi methodo, sed per sy huius erit proportio rationis sblidorum As,3c G T, ad rationem 1blidorum P σ,dcLμ eadem cum proportione rationis Q-lidorum C γ dc H V ad rationem solidorum in 1 3c M ν, item cum proportione mali missolidorii nil δ, de IX ad rationem solidorum R θ,&Nξ: item cum proportione rationis solidorum Ελ εc ΚΥ, ad rationem solidorum S Z de O . similiter si proportio rationum quae sunt inter sblida C γ de H U:.η 8c Μν comparetur cum omnibus reliquis, idemq; fiat circa proportione rationu inter .lida D δ 3c IX, R θ&NE existentiui uti Ec circa proportione rationuintei lida Eλ dc ΚΥ:SZ εc semper reperietur aequalitas siue identitas inter rationum proportiones in quacunque comparatione. Q ire licebit inferre idem quod prius conclusum est. nimirum quod proportio inter rationes aggregati primi ad secundum aggregatum, Ac rationes aggregati terti j ad quartum eadem sic cu proportione inter rationes,quae sunt
inter partes aggrcgatorum Obtinentes Vices antecedentium terminorum 8c ratio
nes quς sunt i iter partes aggregatorum quae loca consequentium continebant. Giaverd demonstratum est quod proportio luter rationem silidorum Ade G, de rationem solidorum P dc L, sit ad proportionem inter rationem solidorum C SH, dc rationem solidorum Q.& M, ut est proportio inter rationem Qlidorum Αβα G T, de rationem solidorum P σ dc Lμ ad proportionem inter rationem solidorum C γ 8e H v, dc rationem solidorum 4 dc Mi , atque ita consequenter de reliquis , Sc hoc quidem in omni subdiuisione diametrorum parabolae. infero secundumentem propositionis quadragesimae sextet libri de ductibus quod proportio rationis quae est inter a regata selidorum Α,C, D,E Ac solidorum G,H,Ι,Κad rationem aggregatorum P, R. S dc L,M,N,Ο, eadem sit cum proportione rationis quae est
inter aggregatum solidorum Aa,Cγ. D δ,E de aggregatum solidorum G T,Η V, I X, Κ Y ad rationem inter aggregatum solidorum P R ρ, I Z bc autemtum solidorum L μ,M ν, NAONQuod fuit demonstrandum.
PROPOSITIO LXII. EAdem figura manente:
Dico rationem quae est inter segmenta parabolica deducta in se ipsa, esse ad rationemquς reperitur inter parabolica segmenta dFυσ 8c BEκυ, etiam ducta in seipsa, ut ratio inter segmenta parabolica ducta in seipsa subaltern E, est ad rationem inter segmenta parabolica d F ' & BEκυ ducta in seipsa subalterne
Ostensum est praecedenti demonstratione rationem inter parallelepipeda A, C, D, E dc parallelepipeda G,Η, I,K, esse ad rationem luter parallelepipeda P, Q, R, S de parallelepipeda L,M,N, O, ut ratio inten parallelepipeda Ais, C γ, D Eλ, α parallelepipeda GT, I V, IX, K Z est ad ratione inter parallelepipeda Pσ, int, R θ,S Zad parallelepipeda L ., M ν, NAOe. atque hoc de quavis subdiuisione rectatum E B, Fd intelligendum est ex vi discursus in demonstratione positi: cum igitur continuatis subdiuisionibus auferatur sempor plus dimidio residui corporum eorum quibus parallelepipeda inscribuntur, ut demonstratum libro dedit stibus,bli- . i. g.,.quet ex discursu propositionis 4 eodem libro demonstratae rationem quoque inter Epit B in seductum de Fik d, ductum in se tae ad rationem inter dFυσ in se
648쪽
ductsi & E κυB,ductum in se ut ratio eoriande segmentoruu - kF d a, sub- alterne in se ductorum est ad rationem eorundem rursus segmentorum dFι ' de EBυκ, in seductorum subalternε.Quod erat demonstrandum.
ro sit aequi distans C GI, occurrens ordinatim positis in G & I. Oporteat autem figurae ex plano H GI D, in se ductae aequale paralle lepipedum exhibere.
consDuctis in demon Iratis. FIat recta Ax aequalis lateri recto quod axi AB inseruit: posita deinde KL otii
. . Aa natim ad axem ducatur A L quae secet HR DE in punctis N de Μ, erit igitis' ' .ptisma basim habens triangulum AMB 8c altitudinem Α Κ, aequale corporiquod sit ex AH DB parabola in se ducta, de consequenter figura selida habens basim NOB Μ & altitudinem ΑΚ, aequalis est corpori quod fit ex ductu HOBD in s ducto. sed FIO B D in se ductum hoc est,but iam ostendi ONMB ductum Ui , -- in altitudinem AK)aequale est e H G ID, ducto in se, simul cum GOB I in seducto. eis. . . cum H GID, bis duet in GoBI. Igitur cum GOBI in seductum meai - ,r; lelepipedum exhibeat, i cum H GID, ductum in G O B I, corpus producat quod νab. notam habet basim te altitudinem, si ex .lido cuius est basis ONMB, de altitudo A K,auferantur partes quae sint aequales corporibus quae fiunt ex GOB L in sedu &ex HGID in ipsum GOBI bis, residuum ex corpore habente basim NOB M.&altitudinem AK, erit aequale Alido quod fit ex HGID in seducto. igitur fisuret explano HGID in seductae aequale parallelepipedum exhibuimus. quod praestaro
PROPOSITIO LXIV. J Dem oporteat praestare de parte parabolae G F E I.
Quoniam figura OFEB aequalis est figuret OH DB, cedm se demonstratum i figuram Ho BD ductam in se aequalem esse prismati habeti basm NOB M. a. de altitudinem AK , etiam figura OPE B in se ducta eidem prisnati seb basi z- NOBM, & altitudine AK aequalis erit. est vero figura GFEI, in seducta aequa-- ,, lis e GOBI in seducto simul cum OFEB, ducto in is una cum GOBI, bis dusto insuperficiem ΟFEB. Igitur eum GOBI, ductum in se paeallelepipedum sit, M
649쪽
OFEB ductu in se aequetur ptismati subbas NORM.&altitudine AK,&O FEBductum inc; OB I, aequale sit corpori habenti triangulum aequale figuret O FEB, squam adrectilineam reduximus ) δc altitudine Go, manifestum est totum corpus a pari.s. ex ductu plani GFEI in seipsum reductum esse ad solutum baseos figurae tectilineς & altitudinis notae. quod praestare oportuit.
REsumpta figura propositionis 16. ' via,fina Dico proportionem quae est inter ratione solidi ex plano φ Ellarabolico in se ducto ad solidum ex plano parabolico F δἰ dducto ine, & inter rationem solidi ex ductu plani F diru in seducti ad solidum ex ductu plani parabolici EA. B in seipsum notam esse. . Demonstratio.
PR cedenti enim prohositione reducta sunt singula ea corpora ad prismata qnae ba. 3 sim habent rectilineam de altitudinem notam .sed inter quatuor talia corpora proportionalitas nota est per ea quae docuimus libro de proportionalitatibus b.igitur et-siam proportionalitas inter corpora illis aequalia nota erit. Quod fuit demonstrandu.
PROPOSITIO LXVI. RZsumpta eadem figura.
Dico proportionem quae est inter rationem solidi ex plano O E B ij . ducto in seiplum subalterne ad solidum quod si ex superficiei Fdri in se subalterne ducta,&inter rationem solidi geniti ex ductu subalterno in se plani F diru ad solidum quod oritur ex ductu plani BEκυ subalterne in
se, notam esse. DemonBratio. DEmonstratum est proposit. 6r.huius quadraturae eandem esse proportionalitat Einter corpora quς oriuntur ex planis φ E B ik,F-d,F d ς ι,& B E κ υ in se ductis &inter se lida, qu fiunt ex iisdem planis ductis in se subalterne. sed propositione prae-eedent i ostensum est, notam esse proportionalitatem inter corpora quae oriuntur explanis QEB., F rid, Fd-& BE κώ in seductis. Igitur nota erit proportionetlitas quae resultat in corporibus quς fiunt ex ductu earumdem sit perficierum in se sub- alterne .Quod suit demonstrandum.
SInt A & B vertices parabolarum subalterne positarum aequalium, eductisque ordinatim B D, A F ad axem A B, super A B describatur circulus A C B, & constituantur ordinatim GI, 14 O. Dico rectangulum G EI ad M F Ο , eandem habere rationem quam habet linea PE ad QF.
650쪽
EIant BR, A s aeqvales A B, quibus ordinatim positis adaxps AB,B A, describati xttit parabolae ΑΚ R, BN S habentes axem A B, erit rectanguIO A B,PE aequale 'osum a rectangulum L E H, 8c tectangulo A B,QF aequale rectangulu L F N. sed vi P E, O ita rectangulum AB, PE, ad rectangulum AB, Q F. ergo vi PE ad QR se rectangulum ΚΕΗ ad rectangulum L FΝ. Iam vero ut GA ad MF, ita est KEad L F,&ut est EI ad Fo, ita EH est ad FN. Igitur est rectangulum KEH ad L FN, ut rectangulum GEI ad MFo, cum sith um rectangulorum ratio coma polita ex iisdem rationibus. Igitur est rectangulum GEI ad M F Ο, ut linea PE ad QF lineam. Quod fuit demonstrandum.
SIt Α L axis parabolarum aequalium subalternὸ positarum A CD, &LMN,&applicatis ad axem ordinatim rectis CEN, DB M, super A L fiat semicirculus A SL,secans ordinatim positas productas in S de R. Fiat demum tectangulo C E N aequale rectangulum super S E & T.
Dico segmentum circulare ductum in altitudinem T, ae-
rectangulum C EN ad DBM,&utSEad RB, sta rectangulum SET ad rectangulum RBT,erizrectangulum SET ad rectanguluRBT, ve rectangulum C EN ad recta lagulum DB M. Quare cum . rectangulum S ET ex colastr. ςquetur rectangulo C EN,etiam rectangulum RBT aequatur rectangulo DBM mod quia semper contingit, circa om-quari segmento parabolico CD BE duino in segmentum . E B M N: imo totus lemicircu- Ius ductus in altitudinem T. aequatur toti parabolae AVLin se ductae subalterne.