장음표시 사용
651쪽
Qv AD RATVRA CIRCULI. II qtila rectangula alia quotcunque tandem.ducantur parallelae, eodem sane discursu, quo usi sumus in quadratura prima proposit. si . &aliquot e. in praecederibus demonstrabimus CEBD, ductum in ENMB aequale corpus emeere selido quod fit ex. SEBR, ducto in altitudinem T : imo totam parabolam AUL ductam in parabolam totam AL Z , aequale corpus producere cylindro qui fit ex semicirculo AS RL in altitudinem T. Quod erat demonstrandum.
It parabola AC V axem habens AL, quam secent ordinatim positaera C EI, D R I : ponaturque F H parallela axi. - Oporteat solido quod fit ex segmento parabolico C F H D in se sub- alterne ducto, exhibere aequale solidum cylindricum cuius basis sit se
gmentum aliquod circulare. constructis.demoniatio. Fiat EL, aequalis AB, & rectis
facta N P aequali R H, ponatur P O . - parallela axi. erunt igitur puncta ALMN ad parabolam, seginentum. que parabolicum P N M O atqlial erit ac simile segmento DC FH, dc positum subalterno. Deinde superAL deseribe circulum, cui CC cur rant E C, B D in S & R: & superrecta S E, de quadam alia Τ, fiat rectangulum aequale ei quod rectis C E, E N continetur, eri t igitur per praeced. gegmentum parabolicum C ABD in se ductum subalterne, hoc est in E N M B, se eluum ae quale segmento circulari SEBR, ducto in altitudinem T. Atqui segmentum paraboli eum CERDductum in E NM B, aeqtiatur se
gmento FEBH, ducto in ENMB, ' Ρ .n .. de segmcnto DC FH, ducto in EP OB,vn1ciim DC FH ducto in ΡNMO. ergo haec tria selida quae nimirum
simili sumpta aequantur selido quod fit ex S EB R ducto in altitudine T.Iavero qum 1. niam parabolicum segmentii in C E B D,b reduximus ad rectilineum etianiablidum bex FE BFI in ENMB, reducti ina est ad parallelepipedum. Fiat igiturparallclepi-t pedum altitudinem habens T, aequale solido ex FE B H in EN MA: quod quia iam ostendi minus esse solido ex SE BR. ducto in altitudinem T , etiam parallelepipeduipsi aequale in Τ altitudine minus est solido ex SE BR in altitudine T, ac proin- inde eius basis erit minor plano SEBR. fit igitur basis illa segmentum SEBλλα- terea quoniam segmentum DC FH redegi ς ad rectilineum , etiam solidum ex I. DC FH in EPOB, ad parallclepipcdu redactum est Fiat ergo parallelepipedum .in altitudine T. aequale solido ex D CFH in EPOB. Quoniam autem ostendi l.
pra SE BR in T, aeqliari PE BHin ENMB, MDC FH ia EPOB, una cum DC FH in P NMO , estqtie is EB δ in T, aequale sblido ex FEBHin ENMB, manifestum est selidiim ex S 3δR in T, quari solido ex CFH D in EPOB, una cum DC FH in P NMO. ergo parallelepipedum quod patito anto in altitu-
652쪽
dine Τ, factum est aequale solido ex DC FHiii EPOB , minus elisolido ex Sis δRin T, ac proinde Se basis eius minor est plano Sβ δ R. sit igitur basis illa rectilineum β γ X C. Quoniam igitur totum S EBR ductu in T, aequatur F E R I in ENΜ B, MDC FH in EP ΟΒ, una eum DC FHmΡNMO, sunt a te ibi idi ex SE B Rin T, partesduς, rimirum is EB δ in T, de βδXC in Τ, aequales solidis FE B Hin ENMB, de DC FH in EPOB. Etit quoque solidi ex S EBR in T residuum, nempe quod fit ex S C X R in altitudinem T, aequale ei quod fit ex DC FH ici PNM O , li est solido quod fit ex DC FH in se ducto subalterne. Fecimus ergo quod erat postulatum. .
, TIsdem postis: oporteat solido quod fit ex segmento pa rabolico FIΚ HAin se ducto subalterne hoc est ducto in segmentum FN M H, exhibere aequale solidum cylindricum cuius basis sit segmentum aliquod circulare,altitudo vero Leadem nempe quς superiori propositione reperta fuit.
no S C X R ducto in altitiadinemT, per praecedent. de quia segmentum
etiam selidum quod fit ex PIRO in FPOΗ redactum est ad parallelepipedum. Fiat igitur ipsi aequale parallelepipedum euius altitudo sieT, basis vero rectilineum,exempli gratia Cis δX. Rursiam quia b reduximus ad rectilineum portionem parabolicam FI K Η, solidum quoque natum ex FP OH in F IKH, redactum est ad parallelepipedum Fiat igitur ipsi aequaIe parallelepipedum cuius altitudo sit T, basis vero tectilineum Tria igitur
solida, quae nimitu fiunt ex s C x Rin Τ, ex CβδX in T, ex is ξ νδ mTihoe est solidum quod producitur . ex segmento circulari toto S R. ξin altitudinem Τ,aequatur tribus selidisquet fiunt ex PIKo in P NMO, ex PIRO in P P o H in FP O H in F N Μ Η. Atqui solidum ex PIΚ O in P N M O cum soli do Pixo in FPΟΗ hoc est solidum ex PIΚOin FNMΗὶ una eum solido ex. Iv-- FPΟΗ in F NM H , Vquanturς solido quod producitur ex FIR H. in seducto subalterae siue in planum FNΜH. ergo segmentum cylindrisorme quod fit ex altitudinem T ducto, aequatur solido quod fit ex segmento parabolico FI RH in seducto subalterne. exhibuimus ergo quod petebatur.
653쪽
tur ordinatim D G, FH, EI quae intercipiant aequales diametri partes F D, F E. Denique constituantur K L, M N axi aequi distantes gauales inter se.
Di eo figuram O G H L maiorem esse figura P HIN, & similiter eorpus ex ductu OGH L, in se maius esse solido quod si ex ductu PHINin se. Demonstratio.
Quoniam D R FE ex hypothesi aequales sunt,etiam O L, pN aequales eiat.sunt autem de rotae Κ L.M N ex hypothesi aequales.ergo etiam K O,M P aequales erunt. rectangula igitur G O R,H P Q sint aequalia. ergo vi H P ad GO, se OR Π ad PQ. quare cum OR minor sit quam P Q, erit M P H minor quam G O.Deinde ostensum est breis angulum G O R esse ad rectangulum HL Q,ut Κ O est ad KL, b ι--λhoe est ut M P ad MN, hoe esto virectangulum H P Q ad rectangulum IN S igi-φtur permutando virectangulum GOR eli ad rectangulum H PQ, sic rectangulum H L Q ad rectangulnm IN S. sed G o R, & H P O aequantur. Ergo Ec H L Q, IN S aequaba sunt. Ergo NI est ad Id L, ut L id N S. sed LQ minor est quam N S. ergo N l minor quoque est quam H L. Quoniam igitur ostensum est H P minorem esse quam G Ο, dc NI minoum quam H L. fiat O X par ipsi H P,3e L Upar ipsi N I,inscriptaq; figura O X v L,quq sit aequalis PHIN, erit OG HLmaior figura O X UL adeoqι etiam figura P Hl N. quod erat prim si.Secundum quoque sic constabit quoniam OG HL in seductum maius est O XV L, ducto in se, etiam O GH L, in seductum erit maius PHIN in seducto.Quod erat secundunt.
PROPOSITIO LXXILIisdem positis:
Dico quod OG HL ductum in se subalterne maius existat solido quod resultat exiPHIN in se subalterno ducto.
654쪽
Ponantist L OZ & LOY, subalterne figuris Lo XV, LOG H. Tun Lo- GΗ auctum in LOYmatiis est quam LSGΗ,ductum in L OZ. sed Lo GH ductum in L O Z, maius est quam L O X v ductum in L o Z. ergo L O G H ductum in L Ο Y, hoc est L O G H ductum in se subalternὰ multo maius est quam L Ο XV, ductum in L Ο Ζ, hoe est ut patet ex praeced.quam NΡ ΗΙ ductum in se substernε Quod fuit demonstrandum.
PROPOSITIO LXXIII. CInt duae parabolet ABC, DEF, quarum axes AC, D H diuisi sint , e L-KB, V Q,G C ordinatim positae sint,
uti de L E, X L H R, productis deinde Α G in M Ze D H in N, ut sint quales Diuiti su by Cooste
655쪽
QUADRATURA CIRCULI. II 3 quales A Κ G M, item D L, H N, fiat K O linea aequalis G C , & L P ae qualis H F lineae; de per M dc o, item per N & P parabolae descriptae sint, quarum vertices M N N. Denique fiant rectangulis R V Q aequalia rectangula sub A MV; similiter rectangulis S XT aequalia fiant rectangula sub DN, XZs,A,st. M puncta littem puncta D, Z,N erunt ad .ei riculum vel '' ellipsin. Dieon attem sectionis ιΚGν eandem habere rationem ad sectionem AὸM cuius est pars, quam pars sectionis Z L HZ habet ad sectionem D Z N cuius est para. Demonstratio.
Cum enim sectio AOM, item DTN sit ellipsis aut circulus cuius axes AM,
DN ritem cum OK, Z L ordinatim applicatae ad suas diametros eas proportionaliter dividant, e erito ΑΚ segmentum ad suam sectionem ut segmentum Z DL est ad suam. Eodem modo ostendetur segmentum θ A G ad suam sectionem esse ut se 'egmentum Z DH est ad suam, rursus enim OG , ΖΗ ordinatim applicatae ad suas diametros. eas diuidunt proportionaliter. Igitur permutando erit segmentum o AK ad segmentum Z DL, ut sectio adlectionem. eodem modo permutando segmentum
θ A G ad segmentum Z D H, erit ut seetio ad sectionem, hoc est ut segmentu θ Α Καd ZDL legmentum. ergo diuidendo segmentum θΚGθ , est ad segmentum YLHZ ut segmentum o AK ad segmentum Z DL,hoc est ut sectio adsectionem, M permutando segmentum θKGο est ad suam sectionem ΑθM, ut segmentum Z LII Z est ad suam sectionem nempe D Z N. Quod erat demonstrandum.
QVod si rursus parabolae subalternet ponantur ut supra, & ordinatim applicat BK, CG, aequaliter distent a verticibus A& M, item infecundis parabolis subalterne positis ordinatim applicatae TX, Z X ae- oualiter etiam distent a verticibus D & N, sed ratio AM ad ΑΚ, non sit eadem cum ratione D N ad D X, sed ratio Λ M ad Α Κ, sit maior quam ratio D N ad D X.
Dico quod segmentum inter ordinatim ductas interceptum, nempe OKGεaci suam sectionem nempe A M, maiorem habeat rationem,
quam segmentum Z X X Z habeat ad suam sectionem nempe DT N. Demonstratio.
CVm posita sit ratio AM ad AK, maiorem habere rationem quam D N ad D X:
fiat ut A Μ ad AK , ita D N ad DL: erit igitur DL linea minor quam linea D X, Ac per praeced. segmentum θ A Kerit ad suam sectionem Α ο M, ut segmentum Z DL est ad sectionem DT N. Sed ZDL segmentum ad sectionem D Z N, mino-xem rationem habet, quam segmentum Z DX habeat ad eandem sectionem DTNcesem linea DL minor sit linea DX, ac propterea segmentum Z DL minus segme-io Z D Xὶ Igitur & segmentum θ A K ad sectionem A vM, minorem rationem haber. quam segmentum Z DX habeat ad sectionem D ZN, adeoque segmentum ORGO ad suam sectionem ΑθM, maiorem habet rationem , quam Z XXZ segmentum ad sectionem D Z N. Quod erat demonstrandum. ι
656쪽
PROPOSITIO LXXV. Ponantur in duobus
circulis aut ellipsibus opdinatim ad axem binae lineae AB, CD, EF, GH aequaliter a centiis distan
Oporteat binas parabolas subalterne connituere,
scilicet VI K, L MN, MO P Q & R S xvi segmetum IB D Κ, ductum in segmentum BN Μ D, de similiter segmentum P FG Q, ductum in segmentum F T S G, aequalia soliada producant cum partibur cylindricis quaru b ses sint ABDC, & EFGH,& altitudines V L & OR.
u B ad V D, ita quadratum IB ad KD quadratum. Denique fiat ut Iinea I B 'ad L D lineam , ita quadratum B N ad D Μ quadratum. erunt a puncta V,I,K, L MN ad parabolas. Similiter fiat in altera ellipsi vel circulo ΟER,nimirum fiat rectangialo super OR Ze EF, aequale rectangulum P FT , de sit ut OF linea ad lineam OG, ita quadratum PF ad OG quadratum. Tandem fiat ut Iinea RFad RG, ita quadratum FT ad GS quaaratum.erunt puncta S, P, Q, R, S, Τ ad pa- . rabolas
657쪽
rabolas. Dico factum quod requiritu diicta enim quavis Z λ vel X Y, quae aequidisset ΑΒ vel EF, ostensum est. rectangula Z μ λ ωX. Y, aequalia esse rectangu- iae πρι is sub L &-OR &αθ.Quare eodem discursia quo demonstrata aristus ostedeinus corpora quae fiunt ex ductu partium parabolarum inter se aequari pari l. Τ tibus cylindricis quarum bases sint A B D C & E F G H, & altitudines V L & o R, . pis' igitur perfecimus,quod fuerat imperatum. - -
PROPOSITIO LXXVI. DAtis duabus parabolis ABC, DEF inaequalibus subalterne consti
oporteat alteram inuenire quae ducta in se substerne idem producat seu aequale illi solido, quod esticitur perductum ABC in DE Ron viis c demonst-o.
Uluidatur axis AD bitariam in L, Se posita ordinatim E H, fiat LG media intee duas EL, LBrdemque fiat ut DL Iinea ad D Α lineam, ita LG quadratum asquadratum AK, fiatque L G aequalis L H&ΑΚ, adilualis D I, Sepet D GKMAHI, parabolae describantur aequales de similes,ut patet ex ipsa constructione: Se parabola D G K ducta in Α HI, aequale solidum exhibebit illi quod exhibet ductus parabolae D E Fin parabolam AB C: quod parebies ququis Me ducatur ordinatim ad communem axem AD: nam rectangulum MOP aequale erit rectangulo ΝΟ , quod ita demonstrabitur. Ratio rectanguli G L H ad rectangulum E L B, componitur ex ijsdem rationibus, ex quibus est composita ratio rectanguli Nod ad rectangulum MOP; nam est GL ad LE, ut ON ad OM: de L Bad L H, ut o P ad OQ. ergo cum rectangulum ELB, aequale sit rectangulo GL H; etiam rectangulum MORaequale erit N O QIectanguIo. quare solidum ex ductu DGΚ, in se subaltemὰ pro ductum aequaturi magnitudiniquae fit ex ductu parabolarum DERABC inter se. εIgitur perfecimus quod postulatum fuit.
658쪽
irsis Q VADRATURA CIRCvLI. PROPOSITIO L XX VII. SIt axis A B parabolarum A CD, B FE &AIC. HKo subalterna
constitutarum: sumptis deinde AN, O M inter se aequalibus & simili ter AO, BP, ita ut NM sit aequalis o P, ponantur ordinatim N IH,M KC, &OE, PD.
Oporteat autem rationem exhibere quae est inter corpora quae oriun
Emonstratum est a quod septoportio quet est inter rationes solidorum quae sunt ex
ductu I C Κ in se, & ex ductu R DF in seipsum, de ex ducta plani R FZX in se,&IKQT
in stipsum, eadem sit cum proportione quae reperitur inter rationes corporum quae fiunt ex ductu sit balterno eorundem planorum. Igitur permutando Ctiam proportio quae est inter
rationem solidi ex ductu ICK in se ad solidu ex ductu R DF. in se , & rationem solidi quodi nascitur ex ductu subalterno plani I CK in I ΚH ad solidum quod fit ex ductu subalterno' plani R DP in ERF, eadem cst cum proportione quς existit
inter rationes corporum quae, nascunt tir ex ductu FRXT
iisdem planis subalterne ductis: c .. 3n se. Igitur si proportio ra- tionis inter I C K in se dui ctum, de R DF in se ductum ad se a ': rationem inter RFZ X . in so. . du 2 um, de ΙT Q Κ, ductum ire se est ut proportio rationum λ ρο& π κ, etiam proportio quae est inter rationes cluporum quae oriuntur ex iistem planis in se subalterne ductis eadem erit cum proportione λia dc πκ, quare etiam proportio inter rationes corporum ex ductu IC K in se, &D RF in se ad rationem sblidorum ex ductu subalterno eorundem ortorum, eadem erit cum proportione quae est inter rationes corporum quae gignuntur ex ductu R X Z in se , de IT in se ad ration m corporum quae oriuntur ex ductu subalterno eorundem. Ac proinde ut est proportio rationis inter I ΚC,ductum in se subalterne N R F D subalterne ductu ni d rationem IKC in se ducti ad RF D ductum in se: ita est proportio rationis inter ER X Z ductum in se subalternE, de ΚI TQ subalterne in se ductum ad ratiori C
659쪽
p RXZ, ductis in se ad I aec di ictum in se. Fiat igitur ve R P D ductum in se ad 1Κ C, luctum in s e, ita R F D ductu in se subalternε ad λ&fiat ut IT Q.duetum in se ad FRXZ duetum in se, ita IT in in se subalterne ductum ad solidum erit iraque ut sblidum ex ductu C IK, in se substerne ad Lita solidum ex duetu subalterno FRXZ ad ψ ae proiiae cum hae magnitudines prius sint reductae ad cylindricas quantitates illis aequales, etiam proportionem rationum exhibuimus, quae sunt i litas ipsas magnitudines cylindricas, quod sufficit ut ex communis Geometriae pria piis eaedem partes cylindricae ad parallelepipeda illis aequalia reduci possint,pletu simus enim omnia quae ad hoc ipsum necessaria sunt, ut plenius in quarta Quadratura eognosci poterie.
PROPOSITIO LXXV MI mumit parabolet axis A B bifariam diuisus in C, erectisq; ad eundem
ordinatim CD, BE, compleantur rectangula DFA, EG C: diuisis deinde F D, G E proportionaliter in H & I, ponantur H Κ, & l L quae aequidi Hent ordinatim constitutis ad axem. Dico primo, ut A Q ad QS lineam ira esse quadratum M Q ad recta gulum M HK. Dico secundo, ut est linea D S ad S P, ita esse rectangulum N S L ad NIL tectangulum. . Demonstratis Disiligoc by Cooste
660쪽
que exu, linea V Yparallela EG, occurrens IL productae in Y. vllas ad DT. ita rectangulim N S Lad E T V. hoc est I s Y per ea quae de parabola praemisimus. rectangulum LIN aequatur rectangulis L SNI, &SINI adaatur commune L SN,etie LIN cum L SN aequale histribus L SNI, S INI, L SN. sed SINim quaturYLSI, eigo LIN cum L SN , aequatur L SNI, YLS , L SN. sed taetria conficiunt rectangulum YSI siue ISY, nam duo LSNI. LSN faciunt rectan. stilum L SI, eui si addis YLSI, conflatur rectangulum YsΙ. ergo Ys I aequatve L S N. eum LIN. rursos igitur diuidendo ut D S ad S T, ita rectangulum L S N ad rectangulum LIN. Ouod erat propositum.
t Isdem positis: I Dico rectangula M HK, NIL esse inter se aequalia.
D monstratio iussietur lib.de Parabola propos s
p ROPOSITIO LXXX. ΡArabolam ABC cuius axis Α o, contingat A E in vertiee A: sitque
B F ordinatim ad axem posita diuidens axem A D bifariam in Fieductaque D C quae aequidisset F B, ponantui diametris parallelae C G. BE, formantes cum AE,FG, rectangula GF D, EA F. factis deinde CH, Bl inter se aequalibus residuisque HG, I E bifariam in L &Κ diui sis, positis quoque H N, L P,&IM, ΚΟ quae aequi distent ordinatim constitutis ad axem, sermentur rectangula ER, Κ Q, GT, L s de Eo. ΚM, GP, L N. Dico tectangulum E R ad G T rectangulum, eandem habere proportionem quam GP rectrangulum adrectangulum Eo.