장음표시 사용
661쪽
Quoniam EB, GC sunt aequales lineae mi aequidistantes ex constructione , sicut ... a etiam ELM GH: igitur rectangulo RΚO aequatur ΤLΡ rectanguluin. unde ut est Κ R ad L Τ, ita est L P ad Κ O. sed rectangulum E R est ad rectangulum GT, A rectangulum GP ad Eo, ut siunt eorum bases, cum altitudines communes vel aequales sint ex constructioner Igitur manifestum est rectangulum ER ad G T,eam habere proportionem quam habet G P rectangulum ad rectangulum E O. Quod fuit demonstrandum. Grossimum. HIne liquido constat etiam rectangulum Κ ad LS rectangulum, eam obtinere proportionem quam rectangulum LN ad ΚΜ rectangulum, discursus enim idem est cum priore quo hoc demonstrari debet: quod similiter intelligendum est de quavo subdiuisione linearum E B, G C, modo reliqua seruentur quet in constructione sunt adhibita.
ΡROPOSITIO' LXXX LIisdem manentibus:
Dico parallelepipedum quod oritur ex rectangulo ER la se ducto, ad illud quod gignitur ex GT dueto in s eandem habere rationem quδhabet solidum ex ductu plani G P in se, ad illud quod fit ex ductu superficiei E O in seipsam. Demon alio.
DArallelepipedum ex ductu ER rectanguli in seipsum, ad parallelepipedum ex A ductu tectanguli GT in se, eam habet rationemquet inter bases reperitur , cum altitudines ex constr sint aequales. Sed eadem quoque reperitur proportio inter bases parallelepipedorum quq fiunt ex ductu plani GP in se, & ex ductu plani Eo in se- a pisso. ipsum. Igitur patet parallelepipedum ex plano ER , ducto in se ad solidum ex G Tin se ducto emergens, eandem habere proportionem, quam solidum ex ductu Plani GP in se ad solidum ex EO in seipsunt ducto resultans. t
662쪽
Dico proportionem quae est inter rationem eorporis ex ductu E R in se, ad corpus ex ductu GT in se,& rationem eorporis ex ductu GP in se, ad corpus quod fit ex E O in se ducto, eandem esse cum proponioneruae est inter rationem corporis ex ductu plani K Q in se, ad corpus exucta L S in se, & rationem corporis orti ex ductu plani L N in Ie ad eo pus ortum ex plano K M in seducto.
' ostensem est quod ratio quae est inter eo ora orta ex ductu E R in se, & G TR in se, eadem sit cum ratione quae est inter corpora orta ex ductu GP in se replani E O in seipsum. Item quod ratio quae est inter corpora nata ex ductu Κ in se, dc L S in se,eadem sit cum ratione quae est inter comora orta ex ductu plani L N ih ιν. ixisse, M plani in seductLigitur cum utrobique si ratio aequalitatis, manifestum νω- est , quod in propositione fuerat assertum.
Dico proportionem quae est inter rationem eorporis orti ex ductu ER in se, ad corpus ortum ex ductu Κ nse, dc rationem corporis oriaeae ductu plani G T in se ad L S in se ductum, eandem esse cum proporti ne quς est inter rationem corporis orti ex ductu G P in se, ad corpus o tum ex ductu plani L N in se, & rationem corporis orti ex duetu plani Ε Ο
in se, ad corpus quod fit ex ductu plani K M in seipsum. Demonstratio.
e M. V ocuimus e proportionem quae est inter rationem eo poris orti ex ductu ER in ad corpus ex ductu G T in se,de rationem corporis ex ductu G P in se,ad cor pus quod fit ex Eo in seducto, eandem esse cum proportione quae est inter rationem corporis ex ductu plani K in se, ad corpus ex ductu L S in se,de rationem corporis
663쪽
poris orti ex ductu plani LN in se ad eorpus ortum ex plano ΚΜ in seducto. ergo permutando , proportio quae est inter rationem corporis ex ductu ER in se ad G T '. 'e' in se,&rationem corporis orti ex ductu KQ in se ad L Sin se, eadem est cum proportione quae est inter rationem corporis orti ex ductu G P in se ad Eo in se,& r tionem corporis LN in se ad K M in se. quare F etiam proportio quet est inter ratio-εν pem corporis orti ex ductu E R in se, ad corpus ortum cx ductu QK in se. & ratione corporis orti ex ductu plani GΤ in se, Zt L S in seipsum,eadem in cum proportione quae est inter rationem corporis orti ex duceu GP in se, ad corpus ortum ex ducta planx Ninis, Se rationem corporis orti ex ductu plani E O in se, ad corpus quod fit ex ductu plani ΚΜ in seipsum. Quod erat demonstrandum.
Figura inmersi prosequentibiu propositioniti
CInt ΑΒ, CD axi parabolae aequidistantis, inter se aequales, a quibus demptae ae- quales A E, C R diuisae sint quadrifariam s& per diuisionum puncta positae sint oris
dinatim ad axem 3 perficiantur denique rectangula G, H,Ι,Κ, M L, M,N,o. Deinde rectangula T,V,XX, M P, , S. His ita peractis, ponantur hae figurae iubaltemὰ.sei licet fistur A E Pnfiat simisis Ze aequalis A Eρ ., dc sebalterne constituta. Idemque fiatae figura CFωκ, quae subalterne posita sit cum figura CFur, formenturque productis parallelis rectangula &-κ,-ω.
elarios m sequentibus procedamus, transferantur rectangula quae in schemate V uniuersali sunt inter parabolam D B ae de parabolas subalterne positas in sche. -- rna particulare primum, dc corporaorta ex ductu rectanguli G in se, Hin se, I in se,Κz in se, item corpora nata ex ductu rectangulorum iv, X, Y, in seipsa, centur coris Pora G,H,I,Κ: item T,v,X,Y. Item corpora quae nascentur ex ductu rectanguli Gin Z rectangulum, rectanguli H in β, rectanguli I in γ, de Κ in item ea quae exsurgunt ex ductu rectanguli T in λ, rectanguli Vin m rectanguli X in ν, dc tectanguliae in ξ, vocentur sine addito corpora I γ,Kδ de sic de caeteris. In secudum vero schema referantur rectangula LG,ΜHMI OK, item PT, , R X,S Υ: ac rectangulo quidem LGin schemate uniuersali, aequale sit rectangulum L. in secundo particulari: rectangulo vero M H,N I, 8tc. aequalia sint in secundo schemate rectangula Μ,N, O, item P,Q, R, S rectangulis, P T,Qy, dcc. in primo schemate.Denique rectangulis πZ, ea, σπιθλn φ ει, aequalia ponant utin secundo
schemate rectangula. ,σs,dcκ, p,il ,αν. Ac Corpora quidem quae nascentur ex ductu
rectanguli Lin se. Minse, Nin se, O in se, item ex ductu rectanguli P in se, Q in se.
665쪽
Dico quod proportio quae est inter rationes eorporum G g ad TPis ad L. I, eadem sit cum Proportione quae est inter rationes corporum
NAm ratio corporis G Z ad T λ,composita est ex ratione reaansuli Gad Τ, det elanguli Z ad λ; item ratio corporis P te ad L π , composita est ex ijsdem rationi-hus : componitur enjm ex ratione rectanguli Pad L, hoc est ratione tectanguli Gad . - ro. Τι&ex ratione rectanguli κ ad .. hoc est ratione biectanguli Z ad x Eadem igitur est ratio corporis G Z a & ratio corporis P κ ad L .. Eodem discursu patet ra- tionem quae est inter corpora H λ3e U meandem esse cum ratione quae est inter corpora inp ω M t. Nam riirsus ratio corporis H a ad Uει, composita est ex ratione rectanguli H ad V, ω rectangitii 3 ad μ: exijsdem autem etiam componitur ratio co potis υ, ad Mir componitur enim ex ratione rectanguli Q 1dM, hoc est eratioue . . tectanguli H ad v, & ex ratione rectanguli φ adi, hoc estis adia. Quare cum rationes utrobique eaedem sint , patet quod proportio quae est inter rationes corporum G Z ad T λ, & P nad L .; eadem sit cum proportione quet est inter rationes corp-
tum H β ad Um M ad Μ ρ: Quod erat demonstrandum. corollarium. Quod de ptoportionibus hariam rationum dictum est , id etiam ge quibusvis proportionibus corporum lite diuisorum intelligi volumus, modo corpora sumamue prout hIe sumpta sunt. nimirum asserimus quod proportio quet est inter rationes corporum His ad Uμ, α Q. ad Me, eadem sit eum proportione quae est inter rationes corporum I γ ad xν, &R ad Nσ, item eadem cum proportione quae est inter rationes corporum K ad Ys& S. Most, cum in his sit eadem demonstratio Idemi in sequenti obseruandum.
Dico quod prisortio quae est inter rationes corporum Ggad T Se H a ad vi , eadem ut cum proportione quet est inter rationes corporum P n ad Lm dc ad Μ t. Dem Bratia.
I monstratum enim est prEcedenti propositione quod ratio corporum GE MA T λ, si ad rationem corporum P a & L ., ut ratio corporum His & v ρι, est ad tationem e porum οφα Mρ. igitur i permutando ratio corporum GEMTλ, ad imιε. rationem corporum H β & νει est ut ratio corporum Pn M L. ad rationem aporum Q φ ad Μν, hoc est proporito quae est inter rationes corporum G Zad Tλ, M H β ad eadem erit cum proportione quet inuenitur inter rationes corporum
666쪽
667쪽
Hi ne collige quod proportio quet est inter rationes corporum G Z ad As &Tλad V ει, eadem sit cum proportione quae est inter rationes corporum P ἀ ad Q p&L. ad Mi.
PROPOSITIO LXXX vl. Iisdem positis:
Dico quod proportio quae est inter rationes corpotum G ad T , se H ad V, ad proportionem quae est inter rationes corporum P ad L.& Q ad M, sit ut proportio quae est inter rationes corporum G Z ad 4-Ha ad V meis ad proportio laesti quae est inter rationes corporum P ad L. , dc .
O Stensum est . quod proportio quae est inter rationes corporum Gad Τ, 5 1 ad
U,eadem sit cum proportione,quae est inter rationes corporum P ad L, dc Q ad -- ' πιε M. Similiter demonstratum estς quod proportio quae est inter rationes corporum G Z ad T λ, & H β ad U μ, eadem sit cum proportione quae est inter rationes corporlim Ρ-Lαν, ad Q φ ad Me. Igitur cum proportiones quae comparantur inter se aequales sint, constat quod proportio quae est inter rationes corporum G ad Τ, dc Had U, ad proportionem quae est inter rationes corp'rum P ad L, & Q ad M, sit ut proportio quae est inter lationes corporum G Z ad 1λ, & Η β. ad Uμ, est ad proportionem quae est intcr rationes corporum Pκ ad LN ,& ad Mi. Qtuod erat demonstrandum.
Si erectὸ etiam inferes , quod proportio quae est inter rationes corporum Gad Η, Τ ad V, ad proportionem quae est inter rationes corporum P ad QA L ad M, sievi proportici quae est inter rationes corporum G Z ad His, λ ad V ι, est ad proportionem quae cst inter rationes corporu Pκ ad N LN ad Mi.nam druistis proportio qtiaecst inter rationes corporum G ad H, Se T ad v eadem est cum proportiune quς est inter rationes corporum P ad d& L ad M. Ex altera veto parte cum cistensu insit, e quod proportio quae est inter rationes corporum G Z ad His, de Τλ ad hV eadem sit cum proportione quae est inter rationes corporum P κ ad Q p, & L .ad M , constat igitur sicut prius veritas propositionis, quam etiam ad duas sequentes extendi volumus. Coron cundum. Eodem modo ostendetur quod proportio qtiae est inter rationes corporum Gad T,S: P ad L, ad proportionem quae est inter rationes corporum H ad V, & Q ad M, sit ut proportio quae est inter rationes, corporum G Z ad T λ, &Pκ. ad L, ad proportionem quae est inter rationes Hβ ad V ι,& Q p ad Mi. scilicet per propositionem iam positam, rationesque permutando per Aq.de proport.
Ruritis dico quod proportioqitae est inter rationes corporum G ad T & I ad X ad proportionem quae eli inter rationes corporum P ad L, ec Rad N, sit ut proportio quae est inter rationes corporum G Z ad T λ
668쪽
v- QUADRATURA CIRC ULI. Figura uniuersis. Diuitiaco by Corale
669쪽
QUADRATVRA C l R C V. L I. ,1ε & I ν ad X., est ad proportionem cluet est inter rationes corporum P . ad Lis, de R ad N QDemonstratio.
DEmonstratiim enim est' quod proportio quae est inter rationes corporum G ad -- T. de I ad X,sit eadem cu proportione quae est inter rationes corporum P ad L, M R ad N. Item demonstrarum b est quod proportio quae est inter rationes corpo- hrum G Z ad T λ , I γ ad Xν, sit eadem cum proportione quae est tutor rationes corporum Pn ad I. π,& R. ad No'. Igitur cum proportiones quae inter se comparamur caedem sint. φ constat veritas propositionis.
PROPOSITIO LXXXVIII. Iisdem positis:
Iterum dico quod proportio quae est inter rationes corporum H ad V, dc I ad X, ad proportionem quae est inter rationes corporum Q ad M,& Rad N, sit ut proportio quae est inter rationes corporum His ad V N& l , ad X ,, est ad proportionem quae est inter rationes corporum inpud M , de Rip ad N R A. Demonstratio.
D Vrsus enim ψ proportio quae est inter rationes corporum H ad V, & 1 ad X, eadem est eum proportione quae est inter rationes corporum Q ad M, Se R ad ει N Item' proportio quae est inter rationes corporum Ha ad Uμ, ω Iγ ad Xν, ' ιμ- eadem est cum proportione quae est inter rationes corporum ad M Risi ad N M. Itaque elim iterum proportiones quet inter se comparantur eaedem sint. constat veritas propositionis.