장음표시 사용
71쪽
62 ELEMENTA ARITHMETICAE tione. Sit Ox: -- m g : I, erit Iax m a, & X-m . Simili ratione proportio arithmetica in aequa tionem per additiovem mutari potest . .' Loco quantitatis cujuslibet in aequatione, alia ejusdem va-
ioris substitui potest. Sit 3x y m ag , & y m s ,
erit 3x m ag - O m IS, & x mi et tet S s.' Si pars aequationis quantitatem quaesitam continens, signo aliquo radicali assiciatur, delendum est signum radicate, & altera pars aequationis ad eam evehi debet potestatem , quam indicat ipsum signum radica
II. His praemissis permutationum regulis quae ex antea demonstratis facile intelliguntur, jam problema aliquod unius dimensionis solvendum proponemus . Et primo quidem quaestionis propositae distincta habeatur notio & singulae conditiones attente considerentur. Si alicujus problematis conditiones ita exprimantur ut tot habeantur incognitae quot aequationes, poterit semper deveniri ad unicam aequationem quae unicam incognitam habeat. Nam sint. E. G. Ioaequationes & totidem incognitae, poterit, conferendo primam cum secunda, eliminari per regulas praescriptas una ex iis incognitis , inveniendo novam aequationem quae illa careat ; tum idem praestari poterit conferendo primam cum tertia & ita porro , ac habebuntur jam novem aequationes cum novem incogui iis , quae eodem artificio ad octo reduci poterunt cum octo incognitis & ita porro, donec perveniatur ad unicam aequationem cum unica incognita. Hinc si habeantur tot aequationes quot incognitae , problema dicitur determinatum , & unicam vel finitas numero sinlutiones admittit. Si fuerint plures incognitae quam aequationes , problema dicitur indeterminatum in solutiones habet insinitas. AEquatio 3x-X Tet a sest
72쪽
est aequatio determinata , sed X --y etet Ia , est indeo terminata ; etenim si ponatur X m I& y m II, vel xma, Stym IO, & ita porro, semper invenietur x. -y ia, ita ut infiniti sint valores qui pro x&ypositi numerum datum restituant. Regulas hactenus explidaias ad facile exemplum transferamus. Mercator quidam nummos quotannis triente adauget, demptis Ioo nummis quos annuatim impendit in sumptus , & post tres annos sit duplo ditior, quaeruntur numini. In hoc problemate plures latent conditiones se evolvendae & enuntiandae . Quantitates incognitae ultimis alphabeti litteris designari solent . Itaque
mercator habet certam nummorum summam, quae dicatur X . Anno primo eXpendit nummos Ioo . Quare residuum , X IOO . Quod adauget triente , ideoque habetur X Im ----m - - . Anno secundo eXpendit nummos Im, quare resi
get triente , ideoque fit fi SQ in 16X- 'QP . Anno tertio expendit nummos i s
quod adauget triente; quare fit . Tandem post tres annos fit duploditior ; ergo si' ax; ex hac aequatione
fit 6qx-Iq8oo m s X, atque X - I 8O . Quare habentur nummi in ipso initio atque etiam lucrum. III. Si in aliquo solvendo problemate perveniatur ad aequationem quae ipsum quantitatis incognitae quadratum , & praererea productum ex ipsa quantitare
73쪽
M ELEMENTA ARITHMETICAE incognita in aliquam datam quantitatem involvat haec aequatio dicitur secundi gradas , vel quadratica . In talibus autem aequationibus hac regula utendum est. Singulos aequationis rerminos quae incognitam
quantitatem continent ad unam partem transferas, ita ut singuli termini cogniti ex parte altera maDeant.
Si quantitatis incognitae quadratum coeficiente alio quo assiciatur , per hunc coeficientem singuli aequationis tetmini dividantur . Tandem dimidii coeficienetis quantitati incognitae praefixi lumatur quadratum , quoci ex utraque parte addatur . Jam pars aequationis v quae incognitam quantitatem contiuet ad perfectum quadratum reducta habebitur , ex qua proinde radix quadrata extrahi poterit & deinde per regulas praescriptas, quantitatis incognitae valor eruetur. Pona mus y- --ay m b' , addatur hinc & inde quadratum dimidii coeficientis a, erit y- --ay ---a- mb3 ---a , extractaque radice fiet y - - - :etr et Q -- a , & tandem y m ---- - - λ Diligenter observandum est radiei quadratae praefixum fuisse signum -- hoc est, . . vel - . . Etenim radix quadrata cujuslibet quantitatis ut a potest esa, vel - a, ideoque y - - m G- a svel - - -- α i cum -κ restituat quadratum b -- a 'non secus ac lacit b-a ---oT-ca . Quare aequationes qua-
dratteae duas admittunt solutiones: Sic in praesenti exempla duo sunt valores radicis y , unus nempe y m
At quoniam positiva sunt omnium quantitatum quadrata , hinc patet quantitatis negativae radicem esse imposs
74쪽
RT ALGEBRAE. Mimpossibilem seu assignari non posse, quae ideo dicitur
imaginaria . Aliquando contingit aequationes nullam selutionem admittere . Exemplo sit y - ay -- Ja o ; erit y - ay m - Sa , & y - ay -- a etet ga -a m - Da , extractaque radice, habebitur F
- - m ---I Iai, & y m -----oa . Ex quibus 'manifestum est duos valores radicis y esse imaginarios , cum assignari non possit radix quantitatis Ha .
Si ergo in solutione problematum deveniatur ad quantitates imaginarias, signum est admodum manifestum vel problema esse impossibile , vel adhibitam esse methodum, quae aliquid impossibile involvit , prorsius ut fit in argumentatione dum res ad absurdum reducitur.
IT. Radices imaginariae quae eandem sub signo radicati quantitatem habent ut per multiplicationem efficere possunt productum reale in quo nullum supersit signum radicate, dummodo radices
illae numero pari semper multiplicentur. Eleuim evam nescere non potest signum radicate, nisi terminus hoc signo affectus multiplicetur per alium terminum squi idem signum radicale habeat & eandem quantitatem signo inclusam. Iam vero ita sublato signo radicali, si productum ex prima multiplicatione per idem signum radicate multiplicetur , novum pro ductuin assicietur quoque signo radicali ; at si ruta sis multiplicetur per idem signum radicate , iterum evanescet signum radicate & ita deinceps. Si Polynomii terminus aliquis contineat radicem im ginariam , quale est polynomium X - a - - , , evanescere non potest signum radicate , nisi polynomium datum multiplicetur per aliud, quod a primo differat tantum quoad signum vinculo radicali praefixum . Ita inpolynomio proposito solum productum Arith. E ex
75쪽
66 ELEMENTA ARITHMETICAE ex X - a - in X - a delere potest si. gnum racicale, factaque multiplicatione habetur xx tax -- aa -- b; in hoc enim solo casu producta singula ex unoquoque termino reali in , sese mu tuo signis contrariis elidunt, atq* e hinc patet terminum b, qui continet productum ex duobus radicali bus-- - b - - b , esse necessario positivum . Itaque quantitatum imaginaristrum frequens usus occurrere potest ; ipsa enim impossibilitas non solum Ier multiplicationem aliquando tollitur, sed etiam
unima binarum quantitatum, quae ex realibus de ima ginariis sunt mixtae, realis esse potest; ita quantitatum g - δ& 8 - -i, summa est realis nimiis rum I r, atque etiam realis est differentia nempe s . Patet autem aequationes omnes tecundi gradus ponse repraesentari per hanc formulam x- - pX m q,
in qua p, q , designant quantitates quaslibet vel positiva', vel negativas.
AEquationum quadraticarum doctrinam facili exem plo illustrabimus. Itaque hoc sit problema, invenire scilicet in linea duo quaecumque luminaria conjum geme punctum tale, ut luminaria illa ex hoc puncto aequali luce fulgeant. Distanna inter duo luminaria dicatur a , sitque illuminationis ratio ut m ad n i praeterea dicatur X distantia minoris luminaris a Puncto quaesito, erit distantia luminaris alterius ab e dem puncto a - κ . Jam ponatur luminarium effectus seu lucis intensitatem esse in ratione reciproca duplicata distantiarum a pulicto lucido, ut vulgo statui-Dr a Physicis s sumptis distantiarum quadratis, erunt intensitates aucis ut et & --,-- . Res ita se
haberet si aequalia forent luminaria , at quia c ex hypoth. lucis quantitates absolutae unt ut m ad n ,
erunt luminarium effectus ut - Ed- .
76쪽
Itaque ut habeatur punctum quaesitum, instituenda
di addito , ut moris est , dimidii coessicientis qua- , . admae mmm aam mmm
m m n. Ex his evidens est unius radicis valorem esse negativum, alterius aut 1 positivum . Etenim si quantitas radicalis siguo - assiciatur di jam quantitas tota fit negativa in autem assiciatur ligno positivo - - , jam quantitas - merit positiva, cum sit c ex hypoth. n major quam vi , ideoque emu, major quam m. Superest ut radicis negativae us 1 explicemus. Iumemoriam revocauda int, quae de quantitatibus negativis jam dicta sint, scilicet quantitates negativas secundum directionem positivis oppositam sumendas esse . In praesenti problemate quantitaris X valor negativus facile intelligetur, si observemus punctum quaesitum a nobis considerari tanquam inter duo i minaria constitutum. At ii attendatur ad alterius e sus possibilitatem , ponendo nempe punctum quaestatum in linea producta ultra luminaria, jam valor radicis prodit positivus. Et quidem si distantia punctia minori luminari dicatur X; ut ante, erit luminaris masoris distantia, a -X, quadrata autem distantiarum erunt xx & aa - - aax ii XX , quae per conditiones problematis in aequationem reducta praebent maa Ea - 2amR
77쪽
68 ELEMENTA ARITR. ET ALGllBRAE. IamX -- mxx m n XX l resoluta aequatione habeo
positivus, hicque solus problemati setisticiet in casu
proposito. Alter autem valor uegativus a
significat sumendam esse directionem oppositam , , punctumque non in linea producta ultra luminaria, sed in ipsa linea jungente constituendum esse . Problema ad casum particularem transferamus. Ponaturnm m, praecedens formula A ma m --, mn in hanc abit x m m a - I. inare duplex valor radicis x erit , a & - a, qui quidem duo valores determinant puncta duo , quae problemati aeque satisfaciunt. Punctum unum locatur iniet duo luminaria , illiusque distantia a lumine vividiori duplo major erit quam a debiliori. Punctum alterum constituetur tu linea producta, illiusque a lumine debiliori distantia aequalis erit ipsi luminarium distantiae . Facile autem sine ullo Algebrae auxilio intelligitur utrumque punctum problemati satis,ete ; eum duo illa puncta lumini debiliori duplo proximiora sint,qugna vividiori quae vim habet quadruplo majorem . Ηoc exemplo illustrantur quae de quantitatibus negativis breviter antea attigimus. Haec sunt Arithmeticae& Algebrae elementa, brevi ssima quidem, sed tamen rerum varietate copiosa, quantum ad nostras institutiones physicas satis esse judicavimus.
78쪽
De definitione , divisione Geometriae.
Eometria est scientia magnitudinum , Olidorum nempe, sterseterum & linearum. Solidum est magnitudo in longum i tum & profundum extensa . quamvis autem nihil sit in rerum natura continuum quod tres illas dimensiones simul non habeat, illae tamen seorsim considerari possunt , vel etiam duas tantum concipet e possumus de tertia minime cogitantes ; atque hinc intelligitur norio superficiei Selineae. Superficies est magnitudo tantum in longum& latum extensa. Linea autem est magnitudo extemsa tantum in longum. Et requidem ipsa, itineris longitudinem nobis repraesentamus, non attenta Cui latitudine, & planitiei latitudinem intelligimus, terr rum profunditatem nequaquam considerantes. Deni
iue si concipiamus lineae terminum , cujus nulla parsit, nulla extensio, jam terminus ille punctum dicitur . Itaque ad explicundam Tyronibus Geometriae definitionem , id primum ostendi debet quomodo
per varios abstractionum gradus ex corporis p sici,& prout est in se, consideratione ad corporis geometrimis & simpliciter extensi contemplationem perveniam mus , ac deinde ad superficiei & lineae uotionem pringrediamur, atque laudem notionem puncti formemus. Neque methodo satis philoiophica utuntur qui E . statim
79쪽
yo ELEMENTA statim superficiem definiunt terminum solidi, lineam terminum superficiei, & punctum terminum lineae . EX praecedenti definitione nascitur divisio geometriae in geometriam linearum , superficierum & solidorum. Quare tres erunt geomctriae sectiones . I. De
lineis. a.' De superficiebus . 3. De solicis. In prima sectione linearum positionem illarumque mutuam relationem expendemus. Porro linearum nomine non solum intelligimus lineam rectam , sed etiam lineam circularem , cujus utilitas est maxima in considetanda linearum rectarum mutua positione . Quare au geometriae elementa pertinent quoque circuli proprietates. In secunda autem sectione superficierum proprietates & mensuram considerabimus. In tertia tandem sectione proprietates solidorum , illorumque mensuram demonstrabimus. At recta methodus postulat ut rerum demonstrandarum varietatem in unaquaque sectione variis capitibus distinguamus. II. Lineam repraesentare solent Geometrae tanquam genitam motu puncti. Si punctum directio. nem non mutat , linea hoc motu descripta re ita dicitur; cuma autem appellatur, si punctum perpetuo mutet directionem. At fatendum est ita simplicem esse rectae & curvae notionem ut ad clariorem ideam magisque elementarem reduci vix possit. Rectam definiunt alii lineam omnium inter duos terminos ductarum brevissimam . Caeterum inde evidens est datis in .
linea recta punctis duobus : datam es te hujus lineae
positionem , ita ut unica duntaxat recta per haec duo puncta transire posse. Ex his etiam intelligitur quid sit superficies plana, omnium superficierum eosdenIterminos habentium brevissima, vel cui linea recta undequaque adaptari potest. Circulus definitur figura plana , unica curva linea comprehensa, quae periph ria dicitur, sive eireumferentia, ud quam omneS remctae lineae a puncto medio , quod centrum dicitur, ductae , aequales sunt inter se , circumferentiae pars quaelibet
80쪽
GROMETRIAE. yx libet arras vocatur. Linea reis a per centrum ducta Seutrinque terminata , aiameter dicitur g rectae autem a centro ad circumferentiam ducto emidiametri vel radii appellantur. III. Anguli notio ope circuli facillime concipitur . Duae lineae rectae in aliquo puncto concurrentes angulum efficere dicuntur. Angulorum mentura est arcus, quem ipsorum latera comprehendunt in peripheriae irculi ex anguli vertice tanquam centro descripti. Porro dum dicitur anguli menturam esse arcum circuisti, nihil aliud significatur nisi aequales esse angulos, si aequales sint arcus ex angulorum vertice & eodem . radio descripti. Ita dum dicitur angulum esse alterius duplum , nihil aliud intelligitur nisi arcum unum altero esse duplo majorem. Itaque anguli natura in m jori aut minori inclinatione unius lineae ad aliam consistit . Igitur angulus eum sit mera linearum inclinatio& apertura , extensio vel quantitas proprie loquendo dici non potest ; ac proinde, abstractione facta ab omni extensionis consideratione, angulum alterius duplum dicere non possumus , cum id dici possit duntaxat de quantitate comparata cum alia quantit te homogenea . Quia vero mera linearum apertura Farmies non habet, angulus non est quantitas proprie dicta, atque hinc factum est ut anguli mensuram cum circuli arcu comparaverint Geometrae. Circulus dividi solet in partes aequales scio, quae gradus dicunturi singuli gradus dividuntur in Go. minuta prima, quodlibet minutum primum dividimus in iso. secunda &sic in infinitum. Gradus per o, designari solent, minuta autem per lineolas numeris superimpositas. Ita si forte occurrant 35',ay 36v ga V, lege 33 gmdus, asminuta prima , 36 secunda, ga tertia. IV. Ex angulorum notione pendet linearum mutua positio . Linea dicitur alteri lineae perpendicularis, quando in ipsam incidens facit angulos hinc & inde quales, angulus hujusmodi dicitur rectas. At si re-