Elementa arithmeticæ, algebræ, et geometriæ institutionibus physicis præmittenda auctore Francisco Jacquier ex Minimorum familia primariarum per Europam academiarum socio, ..

81쪽

va ELEMENTActa una super alteram cadens duos angulos efficiat ita ut unus sit recto major, alter autem minor, primus dicitur obtusis, alius autem acutus. Si talis sit rectarum positio ut eandem semper a se invicem servent di. stantiam, evidens est nullam esse linearum illarum mutuam inclinationem, ac proinde in infinitum etiam

protractae non concurrent seu angulum non efficient ,

tales lineae dicuntur parasielae . U. Ex lineae rectae definitione evidens est duas lineas rectas in unico duntaxat puncto concurrere posse; cum enim omni careant latitudine, communis intersectio in unico tantum puncto fieri potest. Neque ad aliam deinde intersectionem transire possunt i alterutra enim linea directionem mutaret, ac proinde non m-rent ambae rectae , quod est contra hyp. Id pro axiomate habent Geometrae & ita exprimi solet: Duae graneae rectae segmentum commune habere, nec spatium claudere possunt. Itaque tres saltem lineae requiruntur ut spatium undique claudatur; spatium undique clausum Aura dicitur . Triangultim est figura terminata tribus lineis, quae ejusdem latera vocantur . Haec autem latera si fuerint aequalia , triangulum dicitur aequilat rum s si duo tantum latera sint aequalia, triangulum vocatur H celes . Demum si latera omnia fuerint inaequalia , triangulum scalentim dicitur. Rursus autem triangulum ratione angulorum considerari potest ; si unum habeat angulum rectum, tristngulum rectangulum dicitur , actitangulum, si omnes habeat augulos acutos, & tandem obit angulum, si angulum obtusum habuerit. UI. Figura quatuor lateribus terminata, quadrilaterum generatim appellatur.Si autem aequalia sint figurae latera & ad angulos rectos juncta, quadratum dici- . tur; at simpliciter rectangulum vocatur, si latera duo opposita reliquis duobus majora sint; manentibus tammen angulis rectis . Paracelogrammtim appellatur figura quadrilatera, cujus bina opposita latera sunt mutuo

82쪽

GEOMETRIAE. ysparallela, etiamsi anguli lateribus comprehensi nodi sint recti. Si figura quadrilatera sit aequilatera , non tamen rectangula, Rhombus dicitur , & Rhomboidet vocatur si latera opposita duntaxat aequalia habuerit. Tandem quodlibet quadrilaterum ab iis quae jam enumeravimus diversium, Trapeatum appellatur; sed figura polaegona dicitur quae pluribus quam quatuor lateribus terminatur . Si latera fuerint quinque, sex, septem &c., figura peutagonum, hexagonum , heptagonum &c. dici solet. Figura autem polygona regularis est quae aequilatera & aequiangula est . VII. Axiomata & postulata plurima praemittere solent Geometrae, quae quidem nos omittimus. Quae enim est axiomatum de toto & parte utilitas ut intelliis gamus dimidiam lineam tota minorem esse p Ecquis statim non videt rectam lineam produci posse, circulum dato intervallo polle describi & reliqua hujuia

modi Uerum inter axiomata unum de figurarum

superpositione legitur simplicissimum quidem & in universa geometria utilissimum , quod sine aliqua explicatione praetermittere nolumus . Dicunt nempe ea esse qualia,quae sibi multi reperimposita perfecte coligruulit.

Principium illud superpositionis non ita intelligendum

est quasi in mutua figurarum applicatione consisteret, non secus ac artifex mensuram aliquam datae longitudini applicat ut inde veram longitudinem concludat; talis demonstrandi ratio minime foret geometrica. I eo positum est praedictum principium ut figuram alteri impositam imaginemur & deinde concludamus i. Ex partium datarum aequalitate , ipsam earumdem partium convenientiam sive eoincidentiam a. Ex hac coincidentia ipsam reliquarum partium a coincidentiam ac proinde & perfectam duarum figurarum aequalitatem & similitudinem . Itaque superpositionis principio intelligenda non est duntaxat mutua sigurarum applicatio, sed partis unius alteri parti immpositio, ut deinde Aguras illas inter se comparemus. Unde

83쪽

m ELEMENTA Unde evidens est idem valere principium ad demonis strandam figurarum inaequalitatem . Caeterum hoc unico principio cum angulorum mensura per arcus eirculares coniuncto, demonstrari possunt propositiones omnes quae ad elementarem linearum geometriam pertinent,

De Geometria linearum.

CAPUT I.

De linois rectis quoad mutuam positionem consideratis , nusio tamen spatio seu nauactura termicati. PROP. I. RECTA QUALIBET IN RECTUM CADENs

VEL DUOS ANGULos EFFICIT RECTos, vEL DU BUS RECTIS AEQUALEs. Etenim recta insistat perpendiculariter ut GE , vel oblique ut RE Fig. i. In IS casu paret ( ex des.) angulos GEF, GEc esse rectos. In casu altero, anguli duo CER , REF, simul sumpti, aequales sunt duobus angulis CEG , GEF, hoc est, duobus rectis. COR. I. Producta linea RE in o , simili ratione patet angulos FEO, OEC, duobus rectis aequales

esse, ac proinde duae rectae sese invicem secantes effetunt pngulos quatuor rectis aequales. Jam centro Edescribatur circulus, mensura angulorum quatuor eris integra circuli circumferentia, hoc est gradus 3 . Igitur angulus rectus erit quarta pars circumrercut lae, nempe OS'.

COR. II. Rectae GH, RO in unam lineam coaalascere non possunt , sed effciunt angulos GER, HEO ; qui dieuntur ad Certicem opposti. Illos autem angulos aequales esse manifestum est; cum sit dimiadium peripheriae RPO aequale dimidio peripheriae GFΗ , sublata autem communi parte GO , erunt arcus reliqui GR , FIO aequales inter se.

COR. III.

84쪽

GEOMETRIAE CAP. I. 'sCOR. III. Recta GE ad alteram CF perpendi cularis est , si puncta duo quaelibet G, E , a pumetis duobus quibuslibet , ut C , F , aequaliter di stent, hoc est, si GC-GF, & CE re EF. Etenim

puncta duo E, G, non magis inclinant versus C, quam versus F, ac proinde cum duo puncta lineae re e se positionem determinent ceX def), aequalis est

rectae totius GE , hinc & inde ad rectam CF , inelia

natio, ideoque ob angulos utrinque aequales, recta GE , perpendicularis ad CF. Patet aurem puncta

C, F, sumi posse pro arbitrio inter CE , & EF. COR. IU. Ex puncto quolibet E in recta CF

dato, duci potest ad eandem rectam perpendicularis GE . Etenim , & dato quolibet aequali intervallo Ec , EF, describantur arcus circuli, sese invicem secantes in gi recta per g , & E ducta erit perpendicularis quaesita , ob distantias gc , gs & Ec,

Es aequales.

Si punctum It extra rectam datum sit, simili ratione ducitur perpendicularis hE . Etenim ex punctoli sumantur aequalia intervalla he , hs ; deinde ex punctis c & f, tanquam centris & eodem intervallo describantur arcus circuli se mutuo secantes in g, ducatu rque lig , haec erit perpendicularis , ob aequales hc , iis, & ge, gs distantias. Evidens autem est in utroque casu unicam perpendicularem duci posse tunica enim est recta transiens per punctum E , vel h , quae cum recta CF, aequales hinc & inde efficiat angulos . Patet autem lineam perpendicularem esse omnium quae ex puncto dato ad lineam datam duci possunt brevissimam; cum recta perpendicularis non magis pendeat eX una parie quam ex alia, ac proinde neque ad dexteram declinet neque ad sinistram, ideoque brevissima est via ae puncto dato ad lineam datam. Item evidens est ex puncto dato ad lineam datana, uni eam perpendicularem duci posse. Eadem omnino est operatio, si recta cf in duas

85쪽

π6 ELEMENTA partes aequales dividenda proponatur. Ex punctis c ,s tauquam centris & eodem radio describantur areus circuli sese secantes in g ; deinde ex iisdem punctis& sumpto quolibet eodem intervallo describantur a cus se invicem secantes in h, recta lig, diuidet efaequaliter in E , ut patet , cum singula puncta re

DICITUR AEQUALIS ANGULO OGB, QUI INTERNUs EroppoSITUS VOCATUR . u.' A QUALES ERUNT ANGULI

BGF , GFC , QUI DICUNTUR ALTERNI. S.' ANGULI INTERNI ET AD EANDEM PARTEM Postri DFG , FGBAEQUALES ERUNT DUOBUS RECTIs . Cum lineae parallelae eodem inter se ubique disthnt intervalloc ex def. statim patet eandem fore parallelae utriusque BA , DC inclinationem ad rectam EO ; ac proinde angulos OFD aequalis est angulo OGB, quod erat 1. MPraeterea cum angulus GFG aequetur angulo DFO, ad verticem opposito cor. a. prop. I. erunt etiam aequales anguli BGF, G FC; quod erat a.' Tandem cum anguli OF D, GFD, aequentur duobus rectis si erop. i. b aequales itidem erunt duobus rectis DFG, FGB; quod erat g. v viceversa si angulus OFD aequalis sit interno & opposito FGB, erit eadem inclinatio rectarum CD, AB ad rectam EO, ac proinde rectae illae parallelae sunt inter se. B ursus si aequales sint anguli alterni BGF, G FC; vel si duobus rectis simul aequales sint interni ad eandem partem positi BGF, GFD, angulus exteris nus DFO semper aequalis erit angulo interno & opposito BGF, ac proinde rectae AB, CD erunt parallelae . Itaque ex ipsa parallelismi notione facile colliguntur tres primariae parallelarum affectiones necessario nexu inter se conjunctae, ita ut ex una qualibet in.ferre liceat rectiso illas esse parallelai. Porro in demon.

86쪽

GEOMETRIAE O AP. I. strandis proprietatibus illis nimis laborare videntur qui dam Geometrae . COR. I. Si duae rectae Ah, ΗΚ parallelae sint eidem rectae CD , erunt etiam inter se parallelae . Ete. nim inclinatio rectarum ΚΗ , BA ad rectam Eo eadem erit ac inclinatio rectae CD ad eandem. COR. II. Si per darum punctum O ducere opo teat rectam OΚ parallelam rectae CD. Ducatur utcumque ex puncto O , recta OF s deinde ex puncto F tanquam centro describatur arcus GD ; atque ex puncto O , & aequali radio describatur arcus aequalis FM . Tandem per duo puncta O, M, agatur recta OM , haec erit parallela quaesita , ut palec; aequales enim sunt anguli FOM , GFD, aequalibus arcuisbus subtensi , ut oportet.

TIAM UTRINQUE TERMIuATA , QUAE CRORDA DICITUR ( Fig. g. b , RECTA EX CENTRO CIRCULI AD

CHORDAM PERPENDICULARITER DUCTA , EANDEM SECAT IN DUAs PARTES AEQUALES. Cum enim recta EP e centro ducatur, punctum E aequaliter distat a punctis extremis chordae F, M, si ex desin. Praeterea cum recta EP sit perpendicularis ad chordam , singula alia puncta aequalem habent ab iisdem extremis distantiam (eor. 3. prop. I. b. Quare punctum P , aequaliter etiam distat a punctis F , M. Et viceversa recta quaelibet EP, per centrum transiens & chordam aequaliter dividens, eam quoque sev pendiculariter secat. Etenim cum recta EP ehi iam dividat aequaliter , punctum P aequaliter distat tab ex tremis F, M. Quia vero recta EP , traulit etiam Per centrum, punctum E aequaliter distat ab extremis F, M. Quare puncta P, E aequaliter distant a

87쪽

y8 ELEMENTA punctis F, M, ae proinde EP perpendicularis est ad F M. Rurius si recta EP perpendicularis sit ad chordam,

eamque aequaliter dividat, recta illa transit per centrum . Cum enim chordam dividat aequaliter, punctum P aequaliter distat ab extremis F, M. Praeterea cum iit perpendicularis, singula illius puncta aequaliter etiam distant a punctis F , M . Erit ergo centrum E , hujus perpendicularis punctum aliquod .

PROP.II. SI RECTA EH TRANsIENS PER CENTRUM DI IDAT AEQUALITER CHORDAM FM, AEQUALITER QUOQUE DIvIDET ARCUM FEM . Etenim cum singula puncta rectae Eri , aequaliter distent a punctis L M, aequalis erit puncti Il , ab extremis F , M distantia. Quare si iemicirculus G ME , semicirculo GFΗ , imponatur, congruet punctum M cum puncto F ,& ob punctum H commune, congruent & chordae ΗM , FH, & arcus iisdem chordis iubtensi.

COR. I. In eodem circulo vel in circulis aequalibus , chordae aequales aequalibus arcubus respondent, inaequales autem arcubus inaequalibus. Praeterea chordae aequales aequaliter distant a centro , chordae autem inaequales distant inaequaliter , quod evidens est ex superimpositionis principio . Nam chorda aequalis cum aequali chorda semper congruet, nec cum chorda inaequali congruere unquam poterit. COR. II. In eodem semicirculo vel in semicirculis aequalibus, quo maiores sunt vel minores arcus, eo majores vel minores sunt chordae & centro magis vel minus proximae . viceversa quo majores sunt vel minores chorciae , centro magis vel minus proximae i eoti iam majores sunt vel minores arcus subtensi.

COR. III. Ducta chorda FM diametro AB parallela intercipit aequales arcus AF, EM . Etenim , caeteris manentibus ut ante, arcus AH arcui BIAE ,& arcus Frim arcui H M, quare demptis arcubus aequalibus remanet AFm B M. Evidens est eandem esse

88쪽

esse demonstrationem si parallela N Z ad opposi asdiametri partes jaceat, erit nem se arcus FN m aris cul QCOL IU. Si ponatur rectam Nemotu sibi sena per parallelo a centro recedere, donec puncta duo N, sin coeant in G, chorda N eabit in tangentem quae nempe circulum in unico puncto tangit i evadens autem est in hoc etiam casu esse GN m G . COR. T. Ex corollariis praecedentibus patet qua ratione per tria data puncta circulus dei cribi possit, dummodo tamen puncta illa in eadem recta non jaceant . Agantur rectae duae quae jungant tria puncta data , hae erunt chordae circuli quaesiti. ceuare ductis

perpendicularibus,quae chordas dividant aequaliter,utraque perpendicularis traunt per centrum , quod proinde erit in communi utriusque perpendicularis inter lectione . Simili ratio ire dato circuli arcu centrum invenitur , totaque circumferentia describitur . COR. Ut. Hinc arcus circuli datus in duos aequales arcus dividi potest. Dacatur chorda arcum datum subtendens, haecque aequaliter per rectam perpendie vlarem dividatur , eadem perpendicularis Etiam angulum quem arcus metitur aequaliter in duas partes diuidet .

SCHOL. Ex hoc corollario patet facile dividi pos

se angulum quemlibet in partes a , g, 8, 16, 3a & ira

deinceps secundum terminos progressionis geometrimcae duplae ; sed, per geometriam elementarem, angulus in tres partes aequales dividi non potest ; atque haec est anguli irisectio a geometris per circiulim & r gulam , ut dicunt, hoc est per lineae rectae & circuli constructionem , frustra quaesita . Demonstrant enim Geometrae problema illud ad tertii gradus aequationem necessario pertinere , quae quidem aequatioucs per si luna circulum construi non possim t. Neque ob eandem rationem per sola geometriae elementa angulus

89쪽

dividi potest in partes s , 6, ,s &c. Talis enim dis

visio, pro diverso partium aequalium numero, ad altiores aequationum gradus Surgit. Id autem , quamis vis ad elementa non pertineat, breviter monuisita,

PROP. III. RADius EG IN PUNCTO CONTACTUs G AD TANGENTEM PERPENDICULARIS EST. Etenim quoniam tangens circulum in unico puncto tangit c excor. praee.), radius EG, minima est tangentis a centro distantia, ac proinde ad tangentem perpendicula

viceversa recta RT perpendicularis ad extremita. tem radii G, circulum tangit in unico puncto G. Etenim cum sit EG , minima rectae RT a centro Edistantia, alia quaelibet puncta rectae RT magis ductant a centro quam punctum G, ergo singula puncta praeter G, extra circumferentiam jacent . COR. I. Recta circumferentiam tangit in unico puncto ; cum ex centro E, ad rectam datam unica perpendicularis duci possit. (cor. q. ProP. I cap. I. b. COR. II. Iline facile ducitur tangens ad punctum

datum G. Ducto scilicet radio Ela , erectaque in GPerpendiculari RT. COR. III. Quoniam ad punctum datum in circumferentia , unica tangens duci potest, si per punctum

contactus agatur recta quaelibet, haec coincidit cum tangente vel circumferentiam secat.

COR. IT. Si duo circuli GNA, OG eandem habent tangentem , recta HG eidem perpendicularis per utriusque centrum puta E, P transibit. Jamvero si ducatur ES, jungaturque PS, quae producta se-eabit in o cireulum OG e, & in R tangentem RT; erit semper in triangulo ESP latus PS , minus duobus reliquis ES , EP c eae des lineae rectae ). Quare cum radii ES , EG aequales sint, erit recta PS, mi nor quam PG sive PO. Ergo quodlibet punctum S

90쪽

GEOMETRIAE C A P. II. 8r circuli GSF, erit intra circulum OG aes; ac propterea illi circuli se mutuo contingent in uuleo puncto G, in quo icilicet rectam RT tangunt . 3CHOL. Cum inter tangentem & circulum nulla duci pol sit linea recta, angulus, quem arcus circuli e Diicit cum tangente , minor est quolibet rectilineo , licet hic in inlinitum minuatur. Huius propositionis utilitas est in Phystea ubi agitur de divili bilitate in infinitum . Id vero maximam admirationem concertationesque maximas elicitavit ; nempe angulus contactus quem facit arcus cum tangente per infinitam

circulorum seriem in minimas partes dividitur, licet ipse quovis angulo rectilineo minor sit. Husus aute Inparacoxi Geometrici causam inde repetunt nonnulli, quod nempe anguli rectilinei natura , diversia omnino sit a natura anguli curvilinei in puncto contactus . Etenim quemaumodum infinitae lineae nunquam superliciem eiciunt, nec ulla inter has quantitates ratio potest assio nari, licet in partes intiuitas dividi posse sint ; ita etiam infiniti anguli contactus quovis rectilineo minores sunt, licet sint divisibiles in infinitum. Uerum iu hae lite geometrica logomticosa aliqua latere videtur. Si auguli nomine intelligatur portio unita spatii curva & tangente comprehensi, nullum dubium est quin spatium illud comparari possit cum potatione finita spatii rectarum duarum concursu intercepti. At si anguli rectilinei notio vulgaris adhibeatur , evidens est notionem illam absolute consideratam angulo contactus convenire non posse; cum in hoc angulo latus unum sit curvilineum . Itaque huiuS auguli afferri debet propria definitio , atque hac desinitione quae arbitraria omnino est semel constituta & explicata , jam nihil di incultatis superesse potest. Et requicem ipsa de solo nomine hic litigari demonstrat summa geometrarum consentio circa anguli hujus proprietates. Sed quidquid sit, quicumque geometricarum de monitrationum vim percipi ec , pro