장음표시 사용
61쪽
, 8 Cuidi Vbaldi e Marchionibus M.
Si in data cochlea ellipsis per helicis initiunt
transiens helicem Contingat, Contactus punishum erit in secunda helicis quarta, neque ellipsis helici amplius occurret.
Sit in cochlea ellipsis A B D, quae helicem
AGH contingat in D. Dico primum punctum D esse in helicis quarta GH, neque enim potest ellipsis helicem contingere in G puncto quartae,nam& puncto H occurreret,unde in Ghelicem secaret,similique ratione,neque contactus punctum esse po tes: inter Α G, quia ellipsis helicem secaret, necesse est igiturpunctum Desse inter GH, itaque ostendendum relinqui--
tutellipsim in alio puncto helici minime occurrere posse, neq; primum potest ellipsis helici occurrere, puta in D, &in G, neque in D&H, neque in D, & in alio puncto inter AG existente, ut in eriori hostensum fuit. Qisere si fieri potest occurrat primum in punctis DE, ut in L. figura, quae sint in quarta G H, unde necesse est, ut helix existat, vel ut DFE, ita ut sit helix basi propinquior, quam ellipsis, vel sit ellipsis basi propinquior,quam helix, ut D NE, siue etiam helix &ellipsis congruant in DIE. Quod si hoc postremum fieri posset, tria ducantur cylindri later D K IL EM, similiter ut in praecedenti pro pter helicem esset AK ad KD, ut A L ad LI, & AM ad ME, quod sane propter et lipsim seri nullo modo potest. Caeterum si esse
posset, ut ellipsis ADB helicem contingeret puta in D, ipsique rursus occurreret in E, eLsetque helix DFE basi propinquior, quam ellipsis portio DE; erit perfectὁ DEFD spacium; quapcopter ut in praecedenti ostendetur duci
62쪽
duci posse ellipsim AKL, ut in 3. figura, quae laclicem secet in ptinctis KL maneatque ΚFLbasi propinquior quam ellipsis portio Κ L, quod utique fiet , si ducatu rellipsis ΑΚ L perpu-ctum S, quod quidem sit in cy- Iindri latere R F, fitque punctiun S inter FR. Quam qu niam ellipsis portio ΚL ellipsi,
portioni DE occurrere nop test. quod eodem modo ostendetur,ut in prςcedentiὶ & est KL basi propinquioriquam DE, &KL secat helicem in K, ergo,&DE multo magis helicem si cabit in puncto D, quod est c
tra id,quod suppositu est. ds helix fuerit ut A GD NEH, ellipsisque ΑDd helicem comtingat in D, ruinisq; ipsi occurrat in F, quae quidem puncta infelicis quarta GH existant, ut .
dictum est, sitq; si fieri potest)ellipsis portio DE propinquior basi,quam D NE, primum quidem patet D N E D esse 'acium; quapropter eodem modo demonstrabitur duci posse ellipsim AMN, quae helicem secet in punctis MN, nempe t si ducta tuerit ellipsis AMN, quae transeat per punctium O, quod quidem sit in cylladrilatere PQ; 1itq; pun m o inter pu PQ Ιtaq; quoniam ellipsis AMN helicem secat in punctis MN in quarta GDH existentibus, erit helicis punctum Q au propi Diotiquam punctum O cllipsis, quod fieri non potest . .
63쪽
6o Ciuidi Vbaldi e Marchioniblis M.
Praeterea non potest ellipsis helicem contin-ecrc , ut dictum est, apiique rutius occurrere in B, ut in . figura nam ducto latcre DK, cum sit AG D maior quarta , crit & AK circuli V - - qu arta maior,&propter ellipsim AK ad KD minorem habebit proportionem, quam AKCad C B, propter helacem vero esset AK ad ΚD, ut ΑΚ C ad CB, quod esse non potest . Neque si per)ucatur helix ex H in OP, potest ellipsis helici occurrere , Ut in O, prumum vero constat punctum ellipsis B esse in ter H C, non enim potest ellicis punctum H csse inter BC, quia ellipsis helicem secaret in prima quarta,neq; potest helix ellipsi occurrere Ut Ostensum est, erit igitur B inter H C, quare ducto latere cylindri O similiter, ut in praecedenti ostendetur AKC ad CH maiorem habere proportioncm,quam ad CB, quae quidem omnia demonstrare oportebat.
Ex hoc patet medium ellipsis punctum Bessem ter H C. i
Si in cochlea ellipsis per helicis quartam
transiens rursus helicis medietatem secuerit, in duobus alijs punctis secabit alterum quidem in prima quarta, alterum Vero in secunda, quae aequaliter a quadrante distabunt neq;
amplius ellipsis helici occurret, & ellipsis portio inter sectiones in prima quarta existes erit basi propinquior, quam helix, quae vero fuerit in secunda quarta,erit helix bali propinquior, quam ellipsis.
64쪽
cilius quaita sit AG, in qua quod-ui sunaatur punctum D, &per GD planum ducatur platavi AB eiectu,
quod in sectione sit ellipsis H DG Κ, sectio enim haec est ellipsis,quia planum secans non est basi AEC mquidistans, ut patet ductis lateribus GE DT, qu inter se sunt inςqua lia, siquidem minor est TD, quam EG, sumatur in secuda helicis quarta G B punctum F, quod aequaliter distet a G, ut D. Dico ellipsimhelicem quoque secare in F, ellipsis e portionem DL G propinquiorem esse bas,quam helix D G, hclicis vel oportioncni GMF basi propinquiorem esse , quam ellipsis GF, ellipsisque helici amplius non occurrere. Ducatur per D basi ar- qui distans circulus D IN, &inter DG GF in helice duo utcumq; sumantur puncta OM, cylindrique latera ducantur OP Meta quae ellipsim dispescant in L R, ducaturq; latus FS. Quoniam enim propter helicem ita est D I ad I G, ut DS ad S F, helicis vero portiones D OG.GF sunt aequales; ergo DI IS inter se sunt a uales;caeterum propter ellipsim quoniam DI est aequalis I S, B: vi DI ad I G, ita est D S ad SF: erit purustum F in ellipsi; ergo ellipsis, quae per DG transit,etiam per F transibit. At vero quoniam propter cl-lipsim DP ad P L maiorem habet proportionem,quam DI ad I G, propter helicem vero ita est DP ad Ρ O, ut DI ad ΙG, maiorem habebit proportionem DP ad ΡL, quam ad PO: quare pumstum
L propinquior est lysi P, ac perconi equens basi, quam O. chioniam autem propter ellipsim minorem habet proportionem Dinad M, quam DS ad S F, & propter helicem ita est Dinad QM, sicut m ad S F, minorem habebit proportioncm D ad QR, quam ad Qt, quare pulvstum M propinquior est basi, quam R, atque hac ratione omnia ellipsis puncta DLG propinquiora esse basi ostendetur, quam helicis puncta DOG, puncta vero h clicis G MF basi propinquiora esse,quam ellipsis puncta G R F.
65쪽
6, Guidi Vbaldi e Marchionibus M.
Reliquum est, ut ostendatur,ellipsim helici amplius non occurr te. Si igitiar fieri potest, sutina.
figura,) occurrat primum ellipsis heliei in duobus punctis MD, in prima helicis quarta AMG existentibus. Ducatur per D circulus D RΡ basi aequidistans, ducanturq; latera MR G E. Quoniam enim propter helicem ita est
DR ad RM, ut DE EG, deest punctum M in ellipsi; ergo&propter ellipsim quoq; erit DR ad R M, ut DE ad E G, quod
esse non potest, eum propter ellia
psim maior sit proportio DR ad RM, quam DB ad FG. Occurrat autem si fieri potestin ellipsis helici in duobus punctis FN in secunda quarta helicis G F Bexistehtibus,sumatur in helice AG punctum D, quod aequaliter diastet, a G, ut F. Ducaturque per D circulus basi aequidisian quit . . priora tera Cylindri secet in E P, & quoniam propter helicem ita est D E ad , 'c. . EG, ut DP ad PF, ut in helice ita est D G ad GF,.ut DL ade Uuom. ΕΡ, erunt DE EP aequales ,& quoniam ita est D E ad EG, veDP ad D F; luntque puncta GF in ellipsi; ergo punctum D in ellipsi esse sex demonstratisὶ necesse est.Quamobrem aliud in helicis quarta GA sumatur punctum M, quod aequaliter distet a G, ut N, eodem prorsus modo, ducto per M circulo MIS basi aequid istante, ostendetur, punctum M esse in ellipsi. Qinire in prima helicis quarta G Aelliptis helici occurrit in duobus punctis M D, quod fieri non posse, proxime demonstratum est. Verum neque potest ellipsis praeter puncta MN etiam helicem secare in B, quia cum ellipsis transeat per G, helici quoquc occurreret in A, atque ita contra id, quod stipponitur Istix AMG, veluti GN B ellipsi, neque in prima, neque in secunda quarta occurrere posset, quia helicis portio AMG a basi magis distaret,quam ellipsis,& GN B propior esscibas, quam ellipsis, ut patet in quarta huius propositione. inod si perducatur helix ex B in liri occurratque si fieri potcst helix ellipsi in H. Ducatur latus HO, Gmiliter, ut antea, propter ellipsim DLO ad OH maiorem habet, L Κ cum sit DLO maior DL, &LΚ maior OHὶ propter helicem, vero ita est DL ad LB, sicut DLO
66쪽
DLo ad ΟH, ergo DL ad LB maiorem habebit pro ortionem, quam DL ad L Κ, quod fierinonpotest,secarioturellipsis helicem in tribus tantiam punctis, ridictum est, &c. quaequidern omnia demolistrare oportebat.
Iisdem positis, ellipsis vero HCΚ non se-cri quidem helicem AGB in quarta GA,
sed ad alteram partem, ut in puncto M helice ad hanc partem perducta ; si igitur perdu-Catur etiam helix ex parte B, fiatque GBNaequalis G A M. Dico ellipsim secare helicem quoque in N,. porti'nemque CAM a basii magis distare, quam ellipsis portio CH M, helicis vero portionem CBN basii propinquiorem esse,quam ellipsis portio GKN, neque ellipsim helici amplius occurrere.
67쪽
6 Guidi Vbaldi e Marchionibus M.
Intelligatur per puncta A Bparallelogramum per axem, ducaturque per M circulus M IV
basi aequi distans; qui ellipsim secet quoq; in S, iungaturq; Ms, qtiae cum s t communis sectio circuli,&ellipsis,quorum plana sunt parallelogrammo AB ser axem erecta, erit M S plano ΑΒ er Ela, ductaque L Z circuli MIvplaniq; AB communi sectione, erit M S ipsi L Z perpendicularis . Deinde cyli id fi latera ducantur GI N V, ducanturque . VF NP plano AB per axem rectae, erunt sane MS VF NPinterseparallelae.vnde V F est in
plano circuli MIV, &ipsi L Zperpendicularis, & quoniam it est M AG ad G BN, ut M SI ad ΙZV, suntq; MAG GBNHuale ergo M I AZU inxς i a i Isc sunt aequales,eademq; ratione quoniam sent AG Ga ςquales,cum sntholicis quartae, erunt LI IZ circuli quartae ex quibusco ligimrMS VF interse aeqVales esse. Deinceps ducatur cylsi latus siti inter SI ubicunque sumatur punctum C, ducaturque cylindri latus C D F, sitque D in ellipsi, E verojnhelice , itaque quoniam propter ellipsim SC ad CD maiorem habet proportipnem, quam S I ad Ic. si ipsis SC SI communis addatu resinferentia's LM P uiatoresnhabebit proportionem M SC ad CD, quam M SI ad I G, propter helicem autem ita est M SC ad CE, sicut M SI ad I G, maiorem igitur habebit proportionem 1 SC ad CD, quam ad CB, quare maior est CE, quam CD, hacque ratione ostendetur omni puncta helicis SDG basi propinquiora esse,qua helicis puncta G, sed quoniam helix circulum in uno tantum puncto dispescit; helicis portio QAM cum circunferentia MLS non conueniet, nisi in M, qu rehelix QAM a basii magis distat,quam circunferentia MLS, ' cunferentia vero ML S abas magis distatiquam ellipsis portio M H
ergo helix QAM a basi magis distabit, quam ellipsis M HS, unde sequitur helicis portionem M AG a basi magis distare,quam ellipsis portio M HG. Hoc demonstrato sumatur inter I F, quod vis pun&m O, cylindrique latus ducatur OR T, sitque punctum R in helice, T
68쪽
vero in ellipsi. Quoniam igitur propter ellipsim SI ad I G maiorem liabet proportionem,quam S O ad OT, communis addatur SI Mipsis SI SO, habebit M SI ad I G maiorem proportioneni,quam MSO ad OT, sed propter helicem M SI ad I G est, ut M SOud ORi habebit MSO ad OR maiorem proportionem, quam ad OT, minor igitur eli OR, quam O T, &hoe modo omnia puncta elislips; GP a basi magis distare ostendetur, quam puncta helicis G RX i eq; enim potest hclix occurrere ellipsi in P; nam quoniam helix pe transit per G; ipsi quoq; helici occurreret in S, quod fieri non Posse ostensem est; deinde in circunferentia UZF quodvis punctum iumatur Z cylindriq; latus ducatur ZΒΚ, quod helice secet in B, ellipsim vero in K. inoniam igitur NP erecta est plano per axem ducto ΑΒ, cui etiam est erecta basis,circulus nempe MIV; erunt puncta N P basi aequaliter distantia, unde ellipsis puncta in P KN existentia magis a basi distabunt,quam puncta NP, quare maius est latus ΖΚ, quam UN. Itaque quoniam maior est Mi V, quam MIZ, & ΖΚ maior est V N; maiorem habebit proportionem M IV ad VN, quam MIZ
ad ΖΚ, sed propter helicem ita est MIZ ad Z B, ut Mi V ad VNmaioremigirur proportionem habet M IZ ad Z B, quam ad Z Κ, quare maior est ZB, quam ΖΚ, ac propterea punctum B basi propinquius existit, quam Κ, atq; ita ostendetur omnia puncta helicis X BN propinquiora esse basi,quam puncta ellipsis PKN, ex quibus constat helicis portionem G BN basi propinquiorem esse, quam helicis portio GK N. Quod autem helix imn occultat amplius ellipsi, perducatur helix ex N, ut NY, &si fieri potest ellipsi occurrat in puncto Y, cylindriq; latus ducatur Y 9. Quoniam enim circunferentia MI9 maior est ci
cunferentia MIV, &p-stum Y in elupsi existit; latus VN maius erit 9 Υ, habebitq; proptereara Is ad 9Υ maiorem proportionem,quam MI.V ad UN, sed propter belicem sicut MI' ad sc ita est MI vad VN, ergo MIy ad sandem Ac &maiorem habet proportione, quam M IV ad U N. & eandem,quam M IV ad V N, quod fieri non potest. Non igirurbella ellipsi ampliu occurrere potest, quae quidem
Ijsdem positis, dico portionem G A Mhelicis meaietate minorem existere.
69쪽
66 Cuidi Vbaldi E Marchionibus M.
Si enim si seri potest) G A Messet medietas helicis, fiat helicis portio G BN aequalis portioni G A M, nimirum Ollipsis helicem quoque secabit in N ex praecedenti. Sed quoniam GAM est helicis medietas,erit M AGBNintegra helix,quare puncta M Nsunt in eodem cylindri latere. Reverδsiuat quoq; puncta M N in ellipsi; ergo puncta M N cum sint in eodem cylindri latere) sutunum punctiam, helixq; propterea sibi ipsi occurreret,quod fieri non potest, quod demonstraret
Sit in cylindro helix AB C. quam secent duae ellipses paralles ACC DEF ; quae
sint plano cylindri per axem ducto AF erectae, sitq; helix A B C -'medietate minor Ἀ-uidaturq; helix DBE bifariam in B. ;ungaturq; BE. Dico BC perductanxplano
70쪽
parallela , dc quoniam pi Da LEFACG sunt parallela, lineaqι BE occurritplano DEF, eadem BE plano quoque R CG occurret,quod demonstrare oportebat. Eodemq; modo patet ductam lineam BD plano AC G occurrere.
Ex his facile colligitur helicem B A aequa lem esse ipsi BC. Propter enim plana DEFACC parallela S propter helicis regularitatem in cylindro, quae ubicunq; eodem modo se habet secabitur helix. ita ut pars D A sit aequalis E C, quod cum sit B D aequalis BE,