장음표시 사용
101쪽
etd est ut i ad a, e rit in ut I ad et iniae 3 ,de propterea etiamin ut 1 ad 3 - 1 M ; in sin ut i ad ψ--i x dc generaliter
in serie c ut i ad c . ΙΙ. Quia rationem i ad rini memoratam in ultimo lemmate hic interpretamut per rationem i adc, erit r c - 1x per propr.
I. numero cyphrarum, a quibus columna c incipit. Quare cum indicto lemmate repertum sit g -h-Hi--ἰερ M A sequitur qubd g--θ- summa terminorum quoium numerus est n) se habet ad q in n-r numerum terminorum munus numero cyphrarum sicut I ad ι; hoc est, summa terminorum quotlibet ab unitate incipientium ad totidem terminos sequenti uitiamum aequales, ut Iadc. Consiecturium: Ex hac osterisa proprietate facile nunc est, invenire tum terminum optatum, tum fiammam terminorum seriei cujuslibet: Sumti intelligantur termini aeque- multi ex pluribus continue columnis, & sit numerus sumtorum ab initio cujusque columnaen, adeoque numerus terminorum ab unitate sexclusis cyphris initi Iibus) in secunda columna n-i, in tertia n-2, in n-3.&c. per propr. quo posito quaestum ita colligo: Summa terminorum n primae cohamnae, nempe, n uni ates seu -aequatur termino π I, hoc est, termino sequenti ultimum secundae columnae, per propn ex t bulae genes. .areaermini huius in n-ι numerum terminorum ab
unitete 1dae columnae ducti subduplum, seu T , per ra propr. aequale est aggregato terminorum et i columnae, & simul'per ι propti ipsi termino sequςnti ultimum tertiae cot Unde fimiliter hujus term i m n - 2 suum, tarmin. ab unitate 3 Φη col. ducti siubtriplum,
D mpe i , aequatur pζr propi. ararmato terminorum 36M Columnae, insimulque per propr.'rps' termino sequenti ultimum 'F. Quocirca & hujus termini in n-3 num. terna. ab imita xxcpi ducti subquadruplum, puta exhibet summam terminorum tae columnae, . uia ue terminum qui sequitur ul- tinetum ci rursus isthisi ternum in η - ducti subquintuplum
102쪽
plum producit dummam terminorum col.
& simul terminum qui excipit ultimum 6' 3 atque Ita conte quoiater. E quibus igitur insertur, qvbd sui I ma terminorum η primae columnae sit. 'n .n & generaliter columnae c,
n m-ouia quaelibet harum quantitatum etiana eXprimit terminum nin I sequentis columnae,
sequitur quod ipse illius terminus optatus seu ultimus n habeatur mutato solummodo ubique I in v - ι; adeoque quod terminus optatus, secundas columnae sit tertia Tm , - & generaliter columnae c, 2 m
scholiam: Mesti, ut hoc in transitu notemus, numerorum Gguratorum contemplationibus vacarunt: quos inter Fauthaberus &Remmelini Ulmenses, Wallisius, Mercator in Logarithmotechni Prestetus, aliique sed qui proprietatis hujus demonstrationem unia versalem dederit & stientificam, novi neminem. Wallisius in Milthm. Infinitorum fundamentum suae methodi jacturus, rationes quas habent series Quadratorum, Cuborum aliarumque potestatum
numerorum naturalium ad seriem totidem maximo aequalium, inductione investigat; indeque prop. Ir6 ad contemplationem Trigo nalium, Pyramidalium, reliquorumque inuratorum transit: sed satius fuisΚt fortequo naturciae rei eonvenientius, si vice verSa tracta tionem numeroIum figuratorum, eamquα universali & accurata de' monstratione munitam praemisisset, . ac tum demum ad potestatum
summas investigandas perrexisset. Praeterquam enim quod modus demonstrandi. per inductionem parum scientificus est, insuperque pro qualibet serie peculiarem operam deposcit 9 illa utique omnium judicio praecedere debent, quae caeteris natura fiant priora & simpliciora, quales vides rota: numerι fim prae potestatibus, tum
103쪽
quod illi additione, hae multiplicatione generantur, tum & praecipue quod series figuratorum a suis respective cyphris incipientes ad Ieries aequalium rationem habent eXam submultiplicem, qualem non habere possunt series potestatum s saltem in terminis numero Gnitis) absque aliquo excessu vel defectia quicunque cyphrarum numerus ipsis praefigatur. De caetero namque ex cognitis figuratorum Iummis nihilo difficilius investigari poterunt potestatum summae, atque ex his priores collegit auctor; quod quomodo fiat, paucis ostendam. Proponatur series numerorum naturalium ab unitate I. 2. 7. . . &e. usque ad η, & quaerantur omnium ipserum, item omnium quadrforum, cuborum dcc. ex ipsis fiammae: Quoniam in 'b. combin'. terminus secundae columnae indefinite est n- x, &
Lumma omnium terminorum, hoc est, summa omnium n-r
μ i per consect. praecedens inventa GOR ' , erit si x x ΦIi ; sedIt summa omnium unitatum) est n; quare summa omnium n seu In x Φn MPorrb cum terminus tertiae columnae indefinite acceptus per idem consech. sit - & summa omnium ter
. a & summa omnium terminorum I
104쪽
etiam continuare poterit absq; his ratiociniorum ambagibus: Suinta enim ι pro potestatiS cujuslibet exponente, fit silmma omnium n lau
Dnς-7 . . . . & ita deinceps, exponentem potestatis ipsius η continue minuendo binario, quousque perveniatur ad n vel nu. Literae capitales A, B, C, D &c. ordino denotant m cientes ultim Ium terminorum pro μη, occ. nempe A M D B
105쪽
AU 1 .l , D x - ig. Sunt autem hi coefficientes ita comis parati , ut unguli cum caeteris sui ordinis coefficientibus complere debeant unitatem ; sic D valere diximus - ῆJ, quia ζ - γρε Φλ --x 1. Huius laterculi beneficio intra iemi uadraim tem horae reperi, quod potestates decimae sive quadrato-surselida mille primorum numerorum ab unitate in summam collecta efiiciunt 9 Ι O99 ala I ala J I 9 as O. E quibus apparet, quam inutilis censenda sit opera Isaraelis BuI lialdi, quam conscribendo tam spissis volumini Arithmeticae suae Iim finitorum impendit, ubi nihil praestitit aliud, quam ut primarum tantum sex potestatum summas partem ejus quod unica nos com secuti sumus pagina ) immense labore demonstratas exhiberet. Antequam caput hoc finiamus, paucis adhuc indicare lubet, quomodo suppositis iis, quae deseriebus figuratis ostensa sunt, pos sint quaevis etiam aliae series figuratarum analogae quae scit. diis rentias suas primas, secundas, tertias &c. aequales habent, adeoque ex continua additione terminorum alicujus seriei aequalium generan-T ) ad homologas inuratas reduci, ac proinde summari, vel postremi ipsarum termini inveniri . Sit series quaevis aequalium D, ex cujus additione nascatur series C, dc ex hujus additione series B, &ex hujus tandem collectione series A, sumtis ad arbitrium primis serierum terminis a. Vocabitur series A figuratarum analosta
tertiae seriem D, dcc. Et fu niam apparet, riem A componi ex seriebus unia
l &c. Iateralium g00 imm 1, 3, io, &c. pyramidalium I, , O, zo. &c. in pri-mOS disterentiarum terminos seorsim ductis, quarumque Ommum postremi termini summae per ante di talia litur, ipsius quoque
106쪽
quoque hinc seriei A postremum terminum & summam termin rum obtineri posse constat 3 nimirum si numerus terminorum voce tur n , erit ultimus terminus seriei Axa in n - -
singulos exponentes seorsim; ubi simul ostenditur, in quot combinationi tus una pluresve res procripta conjunctim etet di visim reperiantur.
EX cap. praec. constat, numerum combinationum
secundum quemcunque eXponentem aequari aggregato respectivae seriei numerorum figuratorum, ad tot terminos continuatae, quot fuerint combinandae res. Quare cum ibidem si ostensem, posito numero terminorum n summam seriei cujusvis c esse 'U -I sequitur, eandem hanc quan-
Patet autem, quantitatem istam designari per geminam progressionem arithmeticam, unam a numero rerum descendentem, ascendentem ab unitate alteram, quarum communis excesscs est unitas, &. utraque tot terminorum, quot unitates habet combinationis exponens c: quippe cum in utraque differentia primi & ubi imi termini sit c t. Unde talis emergit N et Regula
107쪽
pro inveniendis Combinationibuου cundum datum
Flant' duae Progressiones Arithmeticae, una descenis dens a numero rerum combinandarum, altera ascendens ab unitate, quarum communis differentia sit unitas, & utraque tot terminorum, quot unitates habet combinationis exponens: tum factum ex ductii terminorum prioris progressionis dividatur per factum ductu terminorum posterioris. Quotiens erit quaesita combinationum, quae secundum datum eXPonentem in Titui possunt, multitudo. Ita ex gr. ex Io diversis rebus sumi possunt quaternariim M 21. . . 2.3. a Nota: Si plusculae res ad combinandum sint propositae, praesertim secundum exponentem itidem majustulum ; ut hi propositum sit inquirere, quoties ex rebus centum vicenae possint accipi, suppuratio s. undum regulam instituenda perquam proliXa & taediosa s.vaderet, excrescente producto multiplicationis ad ψo usque notas. are tum, ut quaestum compendio consequamur, poterimus tem nos progressionum ante multiplicationςm per communes divisores tollere, hac ratione:
108쪽
Deinde divido utrinque per ioo, delendo superius roo , & scribendo inserius v loco io . ro x roo ; iret una divido per 8, scribendo superius 11 loco 88, inferius delendo modo ascripta et . . m 8: porro quia s. is x sis, deleo infra ist, supra loco 's scribo s: divido ti-uinque per ', scribendo superius ' loco 3I, & in serius et Ioco 18 : divido per ψ, ponendo superius 23 loco sta, inserius loco i6: tandem divido ter per l, substituendo superius I, 3 & Ioco 8r, is & s , inferius delendo omnia. Sic erit reducta series ad hos teriaminos, 93, 27. 93. 8'. 87 . 83. 7 . 3 . Ι . a 3 . 9 . S , cti continue exhibent 13198337o o38o968297o numerum vicenari
Qubd si quis in numeris tam prolixis, ubi exacta praecisio n tessaria non est, ea quae ad usum sufficit acquiescere velit, is utiliter dc magno cum compendio Logarithmos adhibebit. Nam si summam Logarithmorum ab I ad ro squae reperitur i8.386ir su trahat a summa Log-orum ab 8s ad ioo quae est 39. ii 2 36, vel etiam ipserum tantum numerorum 98. 'I. 93. qui post institutam progressionum reductionem remanserunt) Logarithmos addat, statim obtinebit ro. 'ista Log-um numeri combinationum quaesiti, qui numerus propter chara isticam sui Log-i ro constare debet notis ri. Harum priores quatuor in Canone reperiuntur sῖs 9, sequentes tres e comparatis proximorum Lokorum differentiis eli-ςiuntur 833, caetera i loca cyphris suppleri possunt, sic ut quaesitus
combinationum numerus acceptus sits 3s 9833oo oo OO OO OO OO OO.
Porro ex allata Regula, quam pro InveniendiS combinati nibus secundum singulos exponentes adduximus, sequentia mananx corollaria rcor. I. In dato quovis rerum numero, crestente eXponente combinationis quousque medium numeri rerum attigerit, crestit ipsa
combinationum multitudo; crescente vero ulterius eXponente, haec iterum decrescit: Ita in rebus octo plures continentur biniones quam uniones, terniones quam biniones, quaterni neS quam terniones: sed si pergas ulterius, pauciores inVenies quinariOS quam quaternarios, senarios quam quinarios &c. Cons. propr. 6 Tab. num. fg. Etenim
1 vel l numerus unionum in rebus octo coontinue ductus in I. f. . -
109쪽
qui juxta regulam sunt numeri binionum, terni num, quaternionum, quinionum, senionum&c. Unde cum pri
rum factorum f. l . ἱ singuli sint majorς unitate , reliqui t . I
&c. unitate minores, sequitur, siccessiva producta ex istis factoribus, hoc est, numeros combinationum aliquousque continue cres cere, & postmodum iterum decrescere debere. Quod verb crescant, donec exponens combinationis dimidium rerum numerum attingit,
inde liquet, quod fractionum istarum l . I. l . l. ex quarum
continuo ductu numeri combinationum resultant, quarumque priamus numerator perpetuo rerum numerum, denominator primus unitatem aequat) termini superiores & inferiores pro unoquoquequentium exponentium binario sibi propiores fiunt illis unitatis decrementum , his incrementum passiis) proindeque se mutuo assequuntur in tot terminis, quot indicat semissis primi numeratoris sive dimidius remm datarum numerus; post quos terminos ipsi denomin tores suis vicissim numeratoribus majores fiunt, Sc ab iis majori subinde intervallo recedunt. r. 2. Duo exponentes, qui simul componunt ipsum rerum numerum quos parallelos vocabimus combinationes habent aeque multas. Sic in rebus octo tot habentur septenarii quot unitates, tot senarii quot binarii, & tot quinarii quot tornarii, propter 8 20 in1 6-4-22Os - Huc reser propr. 6 & 7 Tab. num. in. Ratio G videns : Quoties enim ex rebus octo eX. gr. binae accipiuntur toties utique aliae senae relinquuntur: ergo toties quoque e converso senae postunt accipi, sumtis nimirum iis quae relinquebantur antea & relictis quae sumebantur. Idem ex praescripto regulae sic evincitur: Juxta illam numerus binariorum in rebus octo est adjiciantur numeratori & denominatori factores progressivi aeque - multi, quoad ad-jζctorum ultimus in denominatore primo adjectorum in numeratoreaequetur, scit. sic factum ex adjectis aequatur unitati, numeratoribus & denominatoribus inverse ordine se mutub destru
entibus; ipsumque aded productum integrum l ὀ non dis
110쪽
- a numero binariorum '. patet autem facile, productum illud indigitare numerum senariorum, seu combinationum quarum exponens una cum binario datum rerum numerum complet; quandoquidem primus adjectorum in numeratorς qui por hyp. postremo adjectorum inldenominatore, h. e. ipsi combinationiS exponenti aequatur H primo omnium seu ipse rerum numero tot unitatibus differt, quot ipsum alii praecedunt, hoc est, quot unitates habet eXponens combinationum, quarum numerum praecedentes factores insinuabant. r. 3. Exponens aequalis semissi numeri rerum, si datus rerum numerus est pars aut duo eXponentes contigui quorum summa constituit rerum numerum, si hic est impar, suppeditant maximum numerum combinationum. Fluit eX praecedd Corollariis. Nam ex. gr. in rebus octo numeri septenariorum & unitatum, senariorum
binariorum, quinariorum & ternariorum aequantur. per 2. Coroll. Cum ergo plures dentur quaternarii, quam ternarii, binarii vel mnitates per T. Cor. etiam plureS erunt quaternarii, quam combinatio
nes secundum ullum alium exponentem. Similiter in rebus novem numeri octonariorum & unitatum, septenariorum & binariorum, senariorum & ternariorum, quinariorum & quaternariorum aequantur per z. Cor. Cum igitur quinarii & quaternarii quoad suos exponentes sint medio numeri rerum proximi, patet eorundem numer omnium reliquorum maximos esse, per I. Cor.
r. . Numerus combinationum rerum quotcunque secundum exponentem quemlibet ejusve parallelum aequatur numero per mutationum rerum totidem, quae duum tantum sint generum ta tesque ut reS ejusdem generis numero conveniant cum eXponentibu paralleliS combinationum; puta, tot sunt, tornarii vel quaternarii, in rebus 7, quot permutationes rerum totidem, si tres ipsarum sunt
eaedem, & reliquae quatuor eaedem. Nam numerus ternariorum juxta regulam M M M numero permutati num dictarum per Reg. r. Cap. I hujus. Cor. s. In quolibet rerum numero, multitudo combinationum secundum datum exponentem aequatur summae combinationum