장음표시 사용
71쪽
praestandum aut plane non privstandum susciperet: ) quamobrem, per ea quae ad lit. L Prop. XI. annotavimus, rejecto fractionum harum communi denominatore significabunt numeratores numeros casuum, quibus unusquisque horum eventuum contingere potest. Tertiis denique observandum , quod juxta tenorem Problematis primus A victoria potiri debeat, quotiescunque sive selus sive cum alterutro reliquorum sive cum utroque album calculum et gerit ; secundus autem B, sive selus sive lunctim cum C id praestiterit ; & tertius C, non nisi cum solus id effecerit: quotiescumque verb evenerit, ut nullus trium album educat, quod tunc sit guli perveniant ad series, quas habere inventi sunt , cum nigri uno Pau iores ipsis superesse ponebantur. Quapropter additis in unum casibus, qui cuique tum favent tum adversantur, invenimus primum A habere casus ad vincendum seu obtinendum depositum et , &-casus ad perdendum ; secundum Bad vincendum & b abbι - ab co ad perdendum; &tertium C bcc ad vincendum &bΤ 3bbc- - abcc ad perdendum: omnes vero tres habere casus, qui ipsis ad sortes jam antea ii vestigatas perducunt ; quae sortes si dicantur i ' . - ---
72쪽
PARS PRIMA. 6sQuibus ita praemissis, ut ad GIutionem nostri Problematis reveristamur, supponendum porrb est, singulis colluserum restare duos calculos nigros: Sic lit. b & c valobunt & α pro quibus si stitui possunt minimi in eadem ratione termini et M i) ; & quia ratio ibrtium in cassi praecedenti cum singulis unus restabat calc ius niger, quam literis ρ, s t indigitamus, expressa fuit per numeros Ior, zo, , quorum silmma ψε t 12s; hine juxta praemissam formulam expedite inveniuntur numeri 23s , o, 2s , xprimentes rationem sertium, quas colluseres in casa praesenti possident. Eodem pacto, si singulis tres nigri seperesse supponuntur, quo easu lit. b & ι valent & 3, ipsaeque ρ, 3, t numeros modbii ventos 23si, 7 o, 2s ; ratio sertium reperitur designari per numeros a68sI, Istro, 7s . Si residui sint singulis nigri, sic ut valor Iit. b M c sit ψ & hoc est, in minimis terminis r & r) inveniuntur series se habere in ratione xy83sr, y oro, 76zy.
Si restent singulis nigri s , hoe est, si sit. b & e valeant 's,
habetur ratio sertium in numeris Io87 or, syoy o, 322ory ; seu
dividendo per ν, in iro823, 6 66o, 3 783. Si singulis sipersint nigri s , adeoque valor sitib 8c c sit φ &ο, seu 2 & 3; exprimetur ratio sertium per s32 23,3 26ro, 33ys . Si singulis adhuc remaneant nigri r , sic ut Iit. b de ι signis ςent & , prodibit ratio sortium in numeris I98 623, 12366ro.
i's . Si denique nuIIo adhue esculo educto omnes 8 nigri singuli sapersint, literaeque b 8c ι valeant & 8, hoe est, et & a, qui qui dem casus is est, quem nobis enodandum propossiimus , & cujus gratia praecedentes omnes pedire prius necessum habuimus, invenimus, qubd optata ratio sertium colluserum A, B, C, designeatur per numeros 6 76s 8, z3 37o, 2768 67. Applicationem methodi nobis usitatae ad hane hypothesin L
ctes ipse si vult instituet. Nos illam brevitatis gratii praeterimus.
73쪽
A Certat cum B quod ipse ex 4o chartis lusori Is, id est, io cujusque speciei, 4 chartas extracturus sit; ita ut ex una tumue specie habeat unam. Et invenitur ratio sortis A ad sortem B ut ioco ad
Solutio : Pone primδ, jam tres diversarum specierum chartas extractas esse ; quo facto ex unaquaque harum specierum adhuc remanebunt st, hoc est, eX omnibus tribus speciebus et solia, Mex quarta specie io. Unde couctat, qubd quartum folium extracturus liabeat et casus ad perdendum , io ad vincendum 3 id quod ipsi valet depositi. Pone deinde, duas disserentium spectenim chartas extractas esse ; qua ratione ex iisdem speciebus adhuc restant solia i8, sicut ex reliquis duabus solia et O. .Quapropter tertium solium exempturus is easus habet ad perdendum, ro ad obtinendum tres chartas diversarum specierum, hoc est, ad obtinendum praecedet
tom expectationem N ; id quod ei sortem parit
ne tertili , extra, tam esse unam cliartam 3 sic ex eadem hac specie, cujus est extracta, supersunt chartae 9, ex reliquis vero triabus speciebus chartae 3o. Idcirc. secundum solium accepturus 'habi casus ad perdendum, & 3o ad acquirendum diveris speciei solium , hoc est , ad impetrandam sortem modo inventam .
id quod tantundem est ac si haberet ἴii . 'Si nulla adhuc charta extracta si, sors extrahentis eadem est
cum pigredente, manetque e quoniam omnes o casus ipsum necessirib in eum stilum conjiciunt, qui in paragrapho praeced. sψρο positus fuit. Quare tum etiam sors contracertantis erit IS A tio sortium, ut tooo ad 813ρ, quemadmodum habet Auctor, Prob malis taurin etiam aliter per Combin monum doctrin m confici potest, uti parte tertia post A qua docuinae e plicationem ellcndemur.
74쪽
AS sumptis, ut ante, I a Malculis, 4 albis & 8 1ii. glis , certat A cum B , quod Velatis oculis calculos ex iis exu Dpturus sit, inter quo S 3 albi erunt. Quaeritur ratio sortis ipsius A ad sortem ipsius B.
Etiam istud Problema in tertiam libri partem rejicere cogiat aur, quoniam ad ejus selutionem artis combinatoriae notitia praeis requiti videtur.
PROBLEMA A& B assiimentes singuli ia nummos ludunt tri
bus temeris hac conditione et ut, si is puncta jaciantur , A tradat nummum ipsi B ; at si i puncta
jaciantur, B tradat nummum ipsit A; & ut ille ludum victurus sit, qui primum Omnes habuerit nummos. Et invenitur ratio sortis ipsius A ad sortem ipsius B, ut a 44I obas ad 282429 36 8 I.
Solusio: Considerandum primb, in tribus tesseris contineri jactus diversos, & inter hos dari is jactus punctorum quatuo decim, & 2 jactus punctorum undecim ; adeoque is casus esse in quolibet jactu, quibus efficitur ut aleator A a collusere B nummum accipiat, & 2 casus quibus contingit ut hic ab illo nummum
Consequatur , alioS Vero Iz cassis, quibus uterque eundem num momm numerum pristinamque proin sortem retinet. Deinde attendendum, quod illi i 4 casu; irriti, quibus col-
Iusorum sortes invariatae manent, per ψ Coroll. 3. dissimulari pocsint ac si prorsus abessent, isque teneris tribus solum in do 1 r perirentur jactus, quorum ly ipsum A nummo potiri faciant, &: ipsum B. Tertio & .illud considerandum , Qubd pro numeris casuum 2, is & 2 , utpote compositis intςr se substitui possitit per a I 1 Cor.
75쪽
Cor. 3 , minimi in eadem ratione termini i , s & ' ; in quonini tamen rursus locum, ut generalior fiat silutio, nos literas a, b
Quibus animadversis in enodatione propositae quaestionis ita deinceps progredior , ut inquiram ordine, quaenam futurae fuissenteoltu serum sortes, si singuli asun psissent nummum unum, deindes duos, postea si tres, quatuor &c. quousque per inductionem p reat , quaenam iis sortes nunc competant, ubi singuli assumserunt
Si singuli assumant nummum unum , perspicuum est , sortes
eorum fore in ratione ipsorum numerorum b dc c. Si singuli accipiant nummos duos, primus jactus emciet, ut colluser Α vel 3 possideat nummos, vel ut unus tantum ei supersit.
Si tres possidet, habet b casus ad acquirendum omnes quatuor, hoc est , ad vincendum seu obtinendum depositum r; & c casiis, quibus ei relinquuntur nummi duo, hoc est, quibus revertitur ad sortem initib positam, quam vocare lubet α; quod proin valet m . Si unicus illi nummus superest, habet b casis ad recuperandum duos, hoc est, sortem α; dc c casis ad perdendum ludum 3 id quod efficit Atqui ut post primum jactum tres nummos nuis meret , rursus b sunt casus ; ι verb casus quibus ipsi unus tantum relinquitur. Itaque ab initio b casus extant qui ei dent &ι qui dent -; id quod sortem gignit& relinquitur collusori B-; adeb ut sortes ipserum sint in ratione bb ad c c.
Si singuli assumant nummos tres, primo jactu eontinget, ut colluser A vel 4 nummorum compotem se videat, vel ut duorum tantum ; in quibus statibus expectationes ejus 3pruentur x & '. Si qu/tuor nummorum compos est, ulterius Vol ipse primus ab autero dum nummos impetrabit ac vincet, vol ab ipso duos cons quetur
76쪽
huetur alter, sie ut ei relinquantur adhue nummi duo r sed ut ipse primus duos proximos nummos consequatur, b b cassis praesto sunt,& casus quibus idem alteri obtingit cuti ex eo quod mod6 ostensum est collato cum annot. Propos XI. ad lit. I colligitur quapropter b b casus habet ad x, & έ ς casus Ad seriem 3, quod ei valet cumque id ipsum etiam appellomus x, erit x ai, seu 3 oo Similiter cum duo tantum ipsi restant nummi, bb casus habet ad recuperandum adhuc duos alios, hoc est, ad impetrandam seriem x, & cc cassis ad perdendum suos& cum iis omne depositum , quod tantundem est ac si haberet; cumque tum etiam habere supponatur I, fiet
sod stpra inventa quoque I x --, quare---
x ; atque hinc x x ; non I αὶ demum accedendum ad statum inutib positum, cogitandumque quhd ubi singuli tres nummos assuismunt, b casibus contingere possit, ut collusor A post primum j eum nummos possideat , hoc est, ut sortem x acquirat ;-c casibus, ut duos residuos habeat nummos, id est, ut sortem I sive consequatur. Unde tunc ejus expectatio cinstitutam Minis in divisione 4 , & relinquetur colluseri B-, sic ut seri β
eorum nunc sint in ratione b' ad ι3.
Quandoquidem igitur sortes colluserum A & B inveniuntur se habere in ratione fimplici numerorum b & c, cum a singulis unus nummus assumitur ἔ M in ratione duplicata horum numer rum, cum a singulis assumuntur duo; & in triplicata, clim trest facta inductione colligimus, quhd ac priS etiam quotlibet nummis sortes istae perpetub futurae sint in ratione toties multiplicata nu
merorum b dec, quot nummi . Pgulis fuerint assumpti; & qudd, 3 Per
77쪽
per consequens in proposito Auctoris exemplo, ubi ab unoquoqueti ast impii supponuntur, series hae se habeant, ut hoc est, restituendo & ', pro b d c, ut et , Io isas & 28r .a9736 8s;
quemadmodum habet Auctor. Quod ipsum etiam vcl absque calculo utcunque sic inferri potest: A habens omnes nummos praeter unum habet b casus ad vincendum , & B .habens omnes praetegunum, habet c casus ad vincendum; dein A habens omnes numismos praeter duos habet b casus ad obtinendum omnes praeter unum,
id est, ad b casus praecedentes, ideoque b vicibus b casus seu bb c sus habet ad vincendum; & B habens omnes praeter duos ob ismilem rationem habet cc casus ad vincendum: atque ita pro singulis nummis qui colluseribus ad vincerulum desunt, praesto sint ipsi A b, Sc ipsi B c casus, quibus ipsis accessus se ad casus praecedentes ; quare clim ab initio Iudi uterque habeat nummos Ir , 5c
proinde utrique totidem ad vincendum deficiant, numeri b & c duodecies positi ac in se ducti exhibebunt rationem sertium, ut antea. Quod si quis tamen ratiocinium istud non sit evidentiae hahere existimet, neque etiam inductioni sitis fidat, is deinceps simili compendio, quo Auctor in Propos. XI. usus fuit, progredi poterit , nempe transeundo statim ad nummos sex, & hinc ad dum decim , omissis omnibus intermediis casibus. Quanquam ne sic quiadem ulteriori calculo indigemus ; idem enim qui supra subductus habetur in hypothesi duorum assumtorum nummorum, etiam valet , si loco unius nummi quotlibet n nummos, & loco duorum in nummos assumtos intelligamus, dummodo pro numeris casuum bc quibus alterutri colluserum unus nummus acquiritur vel deperditur substituamus quoque numeros casuum, quibus ille n nummos acquirere vel amittere potest , adeδ ut hinc legitime inser mus , rationem sortium quas habent colluseres cum snguli et unum mos assumunt perpetuo duplicatam esse debere ejus quae obtunet cum singulis tantum n nummi assumpti sunt. are cum s Pra in casu trium assumtorum nummorum ratio sortium rep rta sit ut b' ad ι', erit illa in casu nummotum 6 ut b' ad indeqtie porris in casu nummorum it ut ad quemadmodum inductione collegeram .
78쪽
Et sie quidem liquet de sortibus collusenim, cum ambo aeque multos nummos acceperunt 3 scd nondum consul de s ,rtibus quas Rcquirunt in quolibet statu, in quem ludum proseqtiendo pe nimponunt, quando uni plures, alii pauciores nummi contigere. Interini etiam pro illis regula generalis datur; posito namque m pro numero nummorum quos habet A, & v pro numoso eorum quos habet B, reperio quod ratio sortis A ad sortem B semper sit futura, si h ε: eRquantur, ut m ad n; sin c excedit b, ut v ad cni n ; quorum demonstratio, cum operosiorem calculum deposcat, Lectori enodanda relinquitur. Nos verb absque ulteriore mora ad alteram propositi nostri partem traii.imu
79쪽
Nfinitam varietatem , quae cum H naturae
ldi operibus, tum in actionibus mortalium eluia incet, Quaeque praecipuam hujus Universa pulcrituclinem constituit, non aliunde quam ex diversimoda compositione, mixtura & transpositione partium ejus inter se originem ducere palam est. Sedouia multitudo rerum ad effectum aliquem producen-cium concurrentium saepenumero tanta est tamque varia , ut dissicillimum sit recensere vias omnes, quibus earundem compositio vel mixtura fieri vel non fieri potest, hinc fit ut nullum sit vitium, in quod homines etiam maxime prudentes & circumsperii frequentius incidant illo, quod Logici communiter appellant is Aloi Iem enumerationem paritum ἔ adeo quidem ut non
Doctrinam de Permutationibus& Combinationibus.
80쪽
PARS SECUNDA. 7ῖVerear dicere, hanc unicam iere scaturiginem esse ini nitorum eorumque gravissimorum errorum, quos in ratiociniis nostris circa res tum cognoscendas tum Rgendas quotidie committimus. Quare merito sito utilissima censenda est Ars, Combinatoria didia, quae huic mentis nostrae destinui medetur , docetque sic enumerare modos omnes possibiles, secundum quos res plures permisceri, transponi vel conjungi invicem possunt, ut certi simus, nos nullum eorum Praetermisisse, qui instituto nostro conducere valent. Quanquam enim hoc negotii eatenus sit considerationis Mathematicae, quatenus in subducendo calculo terminatur; si tamen usum & necessiitatem spectes, universale prorsus est & ita comparatum, Ut sine illo nec sapientia Philosophi, nec Historici exactitudo, nec Medici dexteritas, aut Politici prudentia consistere oueat. Argumento sit hoc unicum, quod omnis horum labor in conjectando, & omnis conjectura in trutinandis causarum complexionibus aut combinationibus versatur.
Unde quoque nonnulli eximii Viri , ac nominatim Schootentus , Leibnitius , Wallistus, Prestetus , materiam hanc sibi tractandam sumpsere, ne quis existimet nova esse hic omnia quae prolaturi sumus ; tametsi
quaedam mori contemnenda de nostro adjecimus, inprimis demonstrationem generalem & facilem ProPrie tatis numerorum figuratorum, cui caetera pleraque innituntur, & quam nemo quod sciam ante nos dedit eruitve. Cum itaque nondum plenum Artis systema habeamus, tum Vero ne illa quae habemus aliunde petere sit opus, visum est totam Doctrinam ab ovo ordiri ac ne quid indemonstratum relinquatur ex primis sundamentis eruere; quod tamen breviter fiet &