장음표시 사용
91쪽
datae literae. Qua ratione satis manifestum est, datas literas in istis feriebus omnifariam inter se junctas esse, nullamque earum fieri me electionem, quae non in una harum serierum reperiatur, sed& nullam esse quae alicubi bis occurrat; adeoqtie omnes una series suppeditaturas omnes electiones possibilςβ, quae circa datas literas institui queunt. Harum igitur numerus initur facile, si attendatur quδd in qualibet semper serie una mplius inveniri debeat electio , quam in anis recedentibus omnibus seriebus simul ; quoniam litera, quae illius seriei caput est, ibidem semel ponitur sola, & praeterea una asymit secum omnes electiones praecedentium serierum. Hinc enim sequitur, quia in prima serie est electio unica, fore in secunda electiones duas, in tertia 4, in quarta 8 , & sic deinceps in pro reclione geometrica dupla : quandoquidem progressionis duplae ab unitate hanc quoque naturam esse constat, ut fiamma terminorum ouotlibet unitate aucta sequentem terminum exhibeat. Quocirca summa electionum in seriebus omnibus aequalis est summae terminorum totidem progressionis duplae ab unitate, hoc est, per modbmemoratam proprietatem ipsi termino sebsequenti ejusdem pro- ssionis unitate multato ; qui quidem terminus sebsequens idem est cum producto binarii toties posti & in se ducti, quot ipsum in progremione termini praecedunt, hoc est, quot sunt series, quarum electiones quaeruntur. Unde talis exurgit
pro invenireris omnibus electionsim rerum daturum secundam omnes exponentes:
Λ producto binarii toties positi & multiplicati in
ue, quot sunt datae res, auseratur unitas , reliquum indicabit quaesitum.
datarum numero n, numerus omniumum limpliciter, puta, omnium unionum, binionum, temnionum &c. erit Id ne si nullionem seu electionem , qua ex rebus datis nulla sumitur, quaeque in quavis Ierum multitudine una
92쪽
una semper est & unica, simul comprehendas, fiet numerus ille et rcum nullione ipsos quoque uniones roseces, quorum numerus ipsi
rerum numero perpetuo aequatur, erit numerus binionum, ternionum , caeterarumque compleXionum a 'n I. EX. gr. Septem Planetarum conjunctiones vel complicationes omnes diversae sunt 2 ' - Ix 2.2.2. r. r. r. 2 - I MI 28 IN Iz ue unde si demas electiones , quibus singuli Planetae seorsim accipiuntur, quaeque proprie non conjunctiones sed disjunctiones Planetarum sunt, relinquetur numerus omnium conjunctionum stricte dictarum, quibus Planetae vel bini vel terni &c. vel denique septeni junguntur, χ' - - ti Iro. Sic etiam duodecim, uti vocant, Registra seu fistularum ordines in organo pneumatico, quibus sonus mox sibilans mox tremebundus efficitur, aut aliter modificatur, variari possunt ryy -x oys vicibus. Nota: Si quis examinet series combinationum supra in typo expositas, observabit, in qualibet serie csela prima excepta, quae unicum unionem a complectitur) numerum electionum secundum exponentes pares aequari numero electionum secundum impares ;saltem cum id in aliquot ab initio seriebus verum deprehenderit, idemque quoque in serie proxime sequente locum habere concludet: nam litera, quae illius seriei caput est, juncta praecedentium serierum electionibus iis, quae impares exponentes habent, parium; δίiis vicissim quae pares habent juncta, imparium exponentium complexiones efficit ; adsciscens vero primae seriei unionem a , paris, &ipsa per se sela accepta imparis exponentis electionem constituit;
unde & in hac serie numerum harum numero illarum aequari con stat. In omnibus igitur seriebus simul sumtis numerus electionum secundum impares eXponentes numerum electionum secundum pares
unitate seperabit; aut si his in seper nullionem accenseas, aequabit. Quocirca ctim numerus omnium electionum simpliciter inclusi nul
Iione ostensus si et', erit ejus semissis sive potestas binarii proxime
minor z' numerus electionum secundum solos impares; & , demto rursum nullione, Σ ' ' I numerus electionum secundum selos pares exponentes. Idem quoque demonstrabitur infra in Corollia 6. .
93쪽
De Combinationitus secundum singulos exponentes seorsim , ubi de i umeru Figuratis , eorumque proprietatibus
agitur. EX typo Combinationum praecedentis capitis manifestum fit, lim. ram quae cujuslibet seriei caput est, adjunctam unionibus seri
rum praecedentium efficere suae seriei biniones, adjunctam binioniabus essicere terniones. ternionibus & sic porrh: adeoque lammerum binionum in quavis serie aequari summae unionum in omnibus seriebus antecedentibus, numerum ternionum summae bini num, numerum quaternionum summae ternionum & generaliter ni merum combinationum secundum datum quemcunque expone rem in serie quacunque aequari summae combinationum omnium praecedentium serierum secundum exponentem unitate minorem dato. Sequitur hinc, quddUniones, quia in singulis seriebus reperiuntur singuli, omnes
inter se constituunt seriem a. r. I. I. I. &c. seu, seriem unitatum.
Biniones in prima serie nulli sunt, in secunda r, in tertia i--1x r, in 1 - 1 x3, in s 3 3 - 1 in ax ς&c. pro eomnes biniones inter se constituunt seriem o. r. a. 3. . s. &c. hoc est, seriem numerorum Arithmetice progressionalium sive Latera- ti a Tentiones in prima & secunda serie nulli sunt, in i , in x x 2M 3, in r-2--3M s, in is 4 i 2 3-- lx io.&c.
omnes itaque ordine accepti seriem conficiunt O. O. I. 3. 6. IO. IJ.&c. hoc est, seriem numerorum, ut vocant, Trigonalium. . QV :ζmiones in tribus primis seriebus nulli sunt, in i, in x , in 6 1 3 6xio, in DR 1 3 'σε Iox ro.&c. qui omneS ordine assumti seriem ossiciunt O. O. O. I. . Io .eto.&c. seriem videt. Pyramidalium. Pari
94쪽
Pari ratione Quiniones omnes seriem constituunt Trianguli pyramidalium o. o. o. o. r. s. I s. 3s. &c. Seniones seriem Pyramidi- pyramidalium O. O . o. o. o. I. 2I. &c. aliaeque combinationes sicundum altiores exponentes emciunt aliaS atque alias series Figuratorum altioris generis in infinitum. Et sic occasione Doctrinae Combinationum in speculationem insperatam Numerorum Figuratorum incidimus, qua appellatione vulgb insigniuntur numeri, qui ex continua Arithmetice proporti natium indeque ortorum numerorum additione vel collectione gene
Ut verb hae figuratorum numerorum series sub unum aspectum derent, eoque facilius comprehenderentur quae de illis dicenda su- rsent, sequentem apposui Tabellam, quam quis nullo
Combia tionum, seu Numerorum Figuratorum. Exponentes Combinationum.
95쪽
quousque voluerit tum deorsum tum deXtrorsam continuabit. Ni meri barbari in sinistro Tabulae margine adscripti numerant col innas transversas, & simul rerum combinandarum multitudinem: numeri vero Romani in supremo margine consipicui numerant columnas verticales & una exponentes combinationum innuunt. C lumnarum verticalium prima est series Monadum seu unitatum , secunda series numerorum naturalium seu lateralium ab una cyphra incipiens, tertia series Trigonalium incipiens a cyphris duabus, Pyramidalium incipiens a tribus, Trianguli-Dramidalium
incipiens cyphris ι & sic deinceps.
Habet haec Tabula proprietates plane eximias & admirandas ;praeterquam enim quod Combinationum mysterium in illa latere jam ostendimus, notum est interioris Geometriae peritis, praecipua etiana totius reliquae Matheseos arcana inibi delitescere. Nos proprietatum
aliquas hic delibabimus, & quidem delibabimus tantum, nullius nisi primariae illius, quae proposito nostro inservit demonstrationem
accuratiorem allaturi, cum caeterae vel ex hac ostendi possint, vel ex ipsa Tabellae constructione & numerorum figuratorum genesi satis pa
Mirificae proprietates Tabulae Comlinationum:
r. Columnarum iverricalium secunda incipit ab una cyphra, tertia a cyphris duabus, ' a 3hμβ ὁ & generaliter columna ι a cyphris c - I .
r. Columnarum verticalium termini primi significativi a sint stia dextrorsum oblique descendendo ordine sumti riadunt ipsis te minos primae columnae Verticalis, secundi secundae, tertii tertiae, &ita deinceps : puta, primi constituunt seriem monadum, secundi lateralium, tertii trigonalium &c.
3. Secundus ab unitate terminus columnae verticuis cujuslibet aequatur ipsius columnae numero. . Terminus quivis Tabellae aequatur flammae omnium stiperiorum praecedentis columnae verticalis. . Quilibet terminus aequatur duobus aliis immediate supra sepo
96쪽
si postis, quorum unus est in eadem Verticali columna, alter in praecedente.
6. Columnae cujusvis trar sversae termini ab unitate aliquousque crescunt, deinde per eosdem gradus rursum decrescunt. Idem intellige de summis columnarum verticalium aeque-altarum, ceu terminis sequentis columnae transversae, per propr. 7. Columnarum verticalium aequ altarum bases, sive termi ni columnae transverta cujuslibet, primus quidem & ultimus signia ficativus perpetubinter se aequantur, ut & secundus & penultimus, tertius & antepenultimus, atque ita porrb, si columna furibus te minis significativis constet. s. Quin & senatis ab initio cohmanis verticalibus quotcunq, cum totidem transversis, collectisque in unam summam qui in ebdem verticali sibi respondent terminis, erit summa prima aequalis penultimae, secunda antepenuItimete, tertia proante nultimae, & sic deinceps. Exhibunt enim hae summae ipses columnae transversae λquentis terminos primo eXcepto. Cons. propn & 7. EX. gr. Quinque primae columnae tum verticales tum transversae sent:
I. O. O. O. O. 1 . o. o. o. 2. I. O. O. 1. 3. I. O.
I. q. 6 . q. IS. IO. IO. s. I. Termini sextae colamnae transverse primo eracepto. s. Columnae transversae ordine exhibent coemcientes omnium
potestatum a radice aliqua binomia genitarum; nempe secunda coefrieientes radicis I. I . tertia quadrati t. a. 1. quarta cubi I. 3. 3. r.
quinta biquadrati L. . 6. . I. & sic porrb. io. Summae serierum transvers sum progrediuntur in conti nua ratione dupla': semmarum Vein summae ab initio collectae te minos constituunt progressionis duplae unitate multatos ; putaM et xx
97쪽
Fluit ex iis, quae in praeced. cap. de Combinationibus simpliciter dicta sunt. 11. Termini seriei verticalis cujuslibet ordine divisi per terminoseollaterales seriei praecedentis cinitio vel ab unitate vel a suis respesctive 'ris facto) exhibent quotos Arithmeticὲ proportionales,
quorum communis disserentia est fractio, cujus numerator est uni ras , & denominator ipie numerus sive secundus ab unitate terminus seriei dividentis. EX. gr.
Non dissiculter haec proprietas , si opus foret, deduci posset ex se
ret. Summa terminorum quoteunque seriei verticalis eui lubet a stis respectivὲ cyphris incipientis ad semmam terminorum t tidem ultimo aequilium eam haut rationem, quam habet unitas ad illius seriei numerum; hoc est, Aggregatum numerorum quotcunq; lateralium ab una taphra seriem auspirantium.est ad aggregatum numerorum totidem nuxim eorum ceu ultimo.aequalium , ut radet; trigonalium a Vphris duabus, .uti ad pyramidalium a tribus, d . &c. Idem quoque valet de ratione, quam habet silmmate minorum seriei cujuslibet ab unitate incipietuis ad summam totia maximum semienti termino aequalium.
98쪽
denaque scopo nostro primarib inserviat, vitan hic est exponere methodum , qui talem proprietatis Ἀδειξιν exhibeo, quae simul. & scie tifica sit, R propositum universaliter concludat. -m in finem isquentia Uaestruo lemmata: r. Iemma: Summa terminorum quotlibet primae seriei ad shmimam totidem terminorum ultimo aequalium rationem habet aequalistatis, sive ut Iad I. Dem. Cum enim series meris constet unitatibus, erit summa terminorum quotlibet, silmma tot unitatum , h. e. tot terminorum ultimo oequalium, quot sunt termini. 2. Lemmae In qualibet serie a suis respecti cyphris incipie te, si quota est ipsa inter series, tot ab initio sumantur termini, erit, summa terminorum omnium ad summam totidem ultimo aequalium , ut i ad seriei numerum. Dem. Numerus enim cyphr rum quamcunque seriem auspicantium unitate minor est talei numstro, pςI propr. I. his igitur si accedat sequens terminus, numerus torminorum seriei numero aequabitur: sed terminus, qui proxime cyphras sequitur, est unitas, pecM i propr.
99쪽
propr. 2. Unde terminorum aggregatum aequatur unitati, & aggregatum totidem ultimo aequalium ipsi scriei numero; quare constat 3. lemma: In quacunque numerorum serie, si summa terminorum ab initio sumtorum ad si immam totidem ultimo aequalium perpetud eandem habeat rationem, quotcunque accipiantur termini, puta ut I ad R, ita ut fiamma terminorum aequetur surri adi totidem ultimo aequalium divisae per R; erit numerus terminorum assumiatorum ablato R ad eundem numerum unitate multatum, ut sumtorum penultimus ad ultimum.
Dem. Sumti sint ab initio termini quotlibet A. B. C. D. quorum numerus sit m penultimus C, & ultimus D. Est utique A B - COO A B C D - D, hoc est, per hypoth. & aeque - multiplicando, C in N - 1 x D in N - D in R x D in N-R, adeoq; N - R. N - I:: C. D. Quod erat demonstrandum. 4. Lemma: In Tabula numerorum figuratorum si duae fiat co- Iumnae verticales contiguae, in quarum priore quotlibet ab initio temmini ad totidem ultimo eorum aequales habeant constantem rati nem ut i adr; habeant verb in posteriore termini aliquot ab initio sumti ad totidem sumtorum ultimo aequales rationem uti ad r in re
habebit quoque addito sequenti termino, silmma omnium termin rum una cum adjecto ad tot terminos adjecto aequales, quot sunt cuni adjecto termini, rationem ut I ad rH- Τ.Dem. Samii sint in posteriore columna termini E. F. G. H, quos proxime sequatur I; atque sumantur in columna immediate praec dente termini totidem A. B. Q D; sumtorum Vero utrinque nume
Cum olim horum Fratri copiam fecissem, animadvertit ille posse
100쪽
demonstrationem eleganter abbreviari, postremis tribus lemmatibus unum conflatis, hoc modo :Lemnia: In Τab. num. fig. si summa terminorum ab initio seriei Verticalis cujusvis ad summam totidem maXimo aequalium ubique rationem habeat ut 1 adr, habebit summa terminorum seriei proxime sequentis ad summam totidem marimo aequalium rationem ut et ad
Dem: Sint series sequentes a. b. c. d. &c. & o. h. f. &c. nu- i merus terminorum prioris sit n, posterioris
quitur nunc Propositio principalis: In Tab. num. D. Iumma termin rum quotlibet a suis respective cyphris incipientium ad summam trtidem ultimo aequalium, item summa terminorum quotvis incipientium ab unitate ad summam totidem ultimum sequenti aequalium, in serie prima seu monadum est ut et ad x, in serie secunda seu lat talium ut i ad 2; in tertia seu trigonalium hi 1 ad 3, in y seu pyr
midalium ut i ad φ, & genetraliter in serie quacunque ut I ad illius wIiqi μ' hi mi serie eonstat ex primo lemmate: de secun da tertia, xi &c. e reliquis. Nam quia summa terminorum quo hiat ad summam totidem ultimo aequalium in prima serie est ut rad i erit vi horum lemmatum in ut 1 ad 1 4-i xi; & quia in