장음표시 사용
131쪽
De Combinationibi j I nutationibis mixtim flectatis.
IN Combinationibus, de quibus hucusque sermo nobis suit, nulla
ordinis situsque ratio habebatur, & unum eundemque eX. gr. ternarium constituere intelligebantur literae a, b, c, quocunq; scribsrentur ordine , seu ab c, siti ac b, seu b ac doc. Sed quandoque praeter complexionum varietatem ipsa quoq; ordinis &dispositionis variatio in rebus combinandis attendenda est; quemadmodum fieri solet in vocibus & numeris: Alia enim vox est vel sylIaba ab , & alia ba; Se alius numerus Ia, alius 2I ; quanquam eaedem literae eaedemque notae numerales concurrant ad formandas tum syllabas ab &ba, tum numeros ir & 2I ; sc ut totum distrinaen a diversa earundem si sp sitione proficiscatur. Restat itaque . ut hoc & sequentibus capitibus combinationum& permutationu doctrinam mixtim contemplemur, indagando, qu mvarie plures diveris res, aut quarum nonnullae sunt eaedem, & comis binari secum invicem, & combinatae inter se transponi possint, idq; nunc secundum unum eXponentem, nunc secundum plures ue & modbsic, ut nulla rerum datarum secum ipsa combinari debeat, modo sietit quaelibet etiam sesum ipsa combinari, pluriemue aded in eadem combinatione repeti queat.
I. Invenire numerum electionum plurium diversarum rerum , 'Marum nulla secum i a combinari debet ,
secundum unum exponentem. Solutio quaestionis ex praecedentibus promta est & facilis: Si multitudo rerum combinandarum dicitur n, atque eXponens combinationis, numerus combinationum neglecta consideratione ordinis intar res combinatas est ς μι
cap. q. Et quia singulae hae combinationes ex hypoth. constant rebus
132쪽
bus diversis c, quae per cap. I. Ordinem inter se variare possunt . a. 3 . q. c vicibus , sequitur, si & ordinis in combinationibus Labeat ratio, earum numerum totidem quoque vicibus majOrum fore quam ubi haec consideratio negligitur, ac proinde aequari
n. η -'1- 3ι ΦI; id quod sequentem Regulam suggerit
t inveniendo numero combinationum secundum datum exponentem :
Onstituatur Progressio Arithmetica, cujus com
munis differentia sit i, incipiens a numero reriam combinandarum , & descendens Per tot termino S,
quot unitates habet combinationis expone is; eritque factum ex ductu terminorum ejus quaesita combinationum multitudo. EX. gr. Quaterniones omnes in rebus Io, iique modis omnibus transpositi sunt Io. y. 8. o o . Onsectaria : I. Si combinationis exponens ipsi rerum numero aequatur, tantundem est, acsi simplices permutationes rerum data-xum quaererentur ; quippe cum omnes semper simul accipiendae, quae hypothesis est capitis i: eritque tum
M I. z. 3. .... n, quod convenit cum regula cap. I. z. Omnes res simul acceptae , hoc est, combinatae secundum exponentem aequalem restim muItitudini, tot recipiunt permi tati nes ordinis, quot recipiunt earundem combinationes omnes secundum exponentem unitate minorem et Ita res toties dispotii possunt diversimode quinae, quoties quaternae; nam permutationes omnes quinque rerum sunt seu per regulam hujus primi capitis; & permutation qu tarnionum omnium sunt
133쪽
s . . 3 . 2 per eandem hanc regulam: est verδ s. . 3 . et ae . . 3. 2. I. unde liquet dcc . 3. Summa unionum & binionum in rebus quotlibet aequatur quadrato numeri rerum: posito namque resum numero n, unionum numerus juxta regulam estis, & binionHm η .n -IOO nn quorum summa n in nn - nx nn . Sic . gr. colligere possumus, ' notas numerales significativas acceptas singulas & binas m dis omnibus constituere novies ' seu si diversos numeros , totidem scit . ab et ad ioci reapse invenimus non plures, si resecemus illos,
quos vel cyphra ingreditur, vel idem geminatus characis constituit.
. Numerus combinationum secundum exponentem quemlibet aequatur numero permutationum rerum totidem, quarum tot sint eaedem, quot unitates habet exponentis parallelus, reliquarum
vero singulae a singulis diversis. Sic tot sunt ternarii in rebus 8, quot permutationes rerum 8, quarum s sunt eaedem, nempe 8. . εω l x . permutat. per Reg. z. cap. I. hujus. a. Invenire nu/nerum eoctionum plurium diversarum rorum, quarum nuta secum i a combinanda ab-s uiis seu secundum omnes exponentes.
Si addantur numeri combinationum Per praeced. regulam staeundum singulos exponentes seorsita quaeini obtinebitur numerus omnium combinationum absilute. Idem tamen pauid expeditius inveniri potest, si attendatur ad proprietatem aliquam non contem nendam, quae ex collatis duobus ejusmodi numeris elicitur. Sint primo combinandae res quatuor: lConstat per praeced. reg. numerum unionum esse , binionum . 3, ternionum 3. , qualestionum denique 4.3.2.l; & propterea numerum omnium combinationum absolute - - . 3 - . 3 . z- . 3. z. . Sint dein combinandae res quinque 3 ubi simili modo colligitur , se am unionum, binionum, ternionum, quaternionum &quinionum, seu numerum omnium absolute combinationum esses s. . 3- - . . 3. 2 s. 4.3. t. I. Est vero Φ3 s. . 3. a s. . 3. I. I x sim
134쪽
4 4.3 - . 3.1 - 4.3. aT, hoc est, numerus combinationum Istrum s quinquies major numero combinationum rerum 4 unitate aucto. Unde discimus, numerum combinationum in rebus quo, cunque datis toties excedere numerum combinationum in rebus una paucioribus unitate auctum, quot sunt datae IeS. Intellige, non computato utroque nullione.)Quocirca clim unius rei unica sit electio , addito I ad i summΛ-que et multiplicata per et, erit productum numeruS Omnium combinationum in rebus duabus . Rursus addito 1 ad 4, silmmaque s multiplicata per 3, significabit productum Is numerum combinationum in rebus tribus.
Similiter addito I ad is, summaque, ducta in , exurgit
6 . numerus combinationum in rebus quatuor. Hune unitate auctum si ducas in f, habebis omnes combinationes rerum quinque 3 atque ita porris in infinitum , ut ex sinuenes laterculo apparet. Num. m. datarum i 2. 3. . . s. '. ro. a tanti combinatiori l I. . Is. 6 . 323 Iysis. 1369'. Iopsoo. 986 o'. 286 Ioo. Hae ratione colligimus, ' notas numerales, si sumantur stagulae, binae, ternae, &c. 8c tandem novenae, ac transponantur m
dis omnibns, recipere psis v , totidemque proin diversos numeros Armari posse, in quorum nullo character aliquis plus
CAPUT VIII. 3. I venire num Tum electionum plurium diverserum rerum, cum qualibet earum etiam secum ipsa combinari potest cundum vn m exponentem.
135쪽
IN cap. praeced, maestus fuit conabinationum numerus, quando nulla res plus semel in eadem combinatione repeti poterat. Nunc supponemus , rem quamlibet etiam secum ipsa jungi, adeoque bis, ter, quater pluriesve in eadem combinatione repeti posse ; investigabimusque, quis hoc sensu futurus si combinationum numerus, si in illis etiam, ut antea, attendatur ordinis varietas. Sunto datae res aut literae quotlibet a, b, c, d, 8cc. quarum numerus sit in , patet illarum tot uniones posse accipi, quot sunt datae res, puta m.
Applicetur iis prima litera a, praeponendo illam sngulis, ica:
aa, ab , ac, ad dcc . & habentur biniones, qui omnes incipiunt ab a , quorumque numerus aequari debet ipsi rerum numero in.
Deinde applicetur iisdem secunda b, praefigendo illam singulis. ut fani ba, b b, bc, bu& c. omnes sunt biniones a b incipientes, quorum proinde numerus itidem ipsi m aequatur. Simili ratione tertia c, & quarta d, caeteraeque si plures fuerint, singulis datarum rerum semel praefigantur, & exurgent novi biniones, quorum nonnulli incipiunt a litera ι, alii a d, alii a caeterarum aliqua ; eorum verb numerus, qui ab eadem litera incipiunt, perpetuo ipsi in aequabitur. mo pacto manifestum omnes in universiimbiniones repertos esse, eosque modis omnibus inter se transpositos ;quorum proinde numerus toties seperabit ipsi im rerum numerum, quot sunt datae res: quarum cum hic sit m, binionum omnium numerus erit in m.
His vero binionibus si denub applicare pergas datas res, unicuique illorum singulas has praeponendo, formabis omnes ternionum
ordines a aa, a ab , aaι, aad, aba, abb, &c. quorum qui ab eadem litera incipiunt semper tot.existunt, quot sunt inventi biniones ; mniumque proin numerus binionum numerum toties excedet quot fuerint datae res, ac consequUter erit m
Similiter si cunctis ternionibus identidem praefigi intelligantur sngulae literae, elicientur omnes quaternione. possibiles, quorum per cons uens numerus ternionum numerum rursus m vicibus superabit, eritque m '. Atque
136쪽
Atq; ita apparet, combinationum numerum secundum quem-ςunque exponentem perpetuo ni vicibus superandum esse a numero Combinationum secundum exponentem proXime sequentem: scilicet Clim numerus quaternionum sit m ', erit quinioniam numerus sinionum& generaliter si eXponens dicatur n, numerus combi-inationum secundum hunc exponentem erit in '. Unde expedita habetur
pro inveniendo numero combinationum modis omnibuου permutatarum secundum datum ex onentem , cumquHibet res etiam scum i a combinari potest. DAtias rerum numerUS elevetur ad eam potestatem, cujus index est datus combinationis exponens; &habetur quaesitum. Ex. gr. Omnes novem notarum num ratium quaternarii sumti & dispositi modis omnibus exhibent ρ' M'. 9. s.' , VariationeS ; totidem scit . numeros diverses, rojectis iis qui cyphram unam pluresve includunt, inter Ioco & ioooo limites eorum qui charactetibus scribuntur) interjici necesse est. Sic vocales A. E. I. O, quibus quadruplex disserentia proposistionum secundum quantitatem & qualitatem iti Logicis innuitur,ddmittunt terniones η. OO 6 3, unde totidem oriuntur modi syllogismi categorici boni malive, non 36 tantum ut voluit Aristoteles cum Interpretibus. Quhd si indefinitae & singulares propositioi QS ab universaliblas & particularibus distinguerentur, unde octUpleX earum nascereriar discrimen, numerus modorum omnino ad FI2 c
bum nim. octonarii, assurgeret. . Invenire numerum combinationim eju mori secundisse plures exponentes Quoniam ex iis quae modb dicta sunt apparet, numerum uni num in datis rebus m esse mi binionum mni, ternionum in , qua R terni α
137쪽
ternionum m ' &c. constat, numerum combinationum secundum exponentes plures ab unitate naturali ordine se consequentes, quorum ultimus si n, fore -m', summam scit . progressionis alicujus geometricae secundum rationem x ad m, cujus primus terminus est m, & ultimus m '; quaeque summa vult nota methodo compendiosus exprimitur & una quantitate sic effertur: ' ita ut instituta proportione m - r sit ad ut
m' - i ad quaesitum: unde sequens manat
pro in Ueniendo numero combinationum secundum plurex exponentes, quorum maximuου es datus .
Fiat, ut rerum datarum numerus unitate truncatus ad eundem integrum; sic illius potestas, quam in
dicat exponentium maximus, unitate truncata ad numerum quartum, qui optatam combinationum multitudinem exhibebit. Ex gr. ad indagandum, quot diver-ss modis inter se transponi possint io notae numerales, si accipiantur tum singulae, tum binae, ternae , quaternae, quinae & senae: vel addi possunt sex primi termini progressionis geometricae Io. Ioo.iooo. &c. vel, si videatur commodius, faciendum, ut ' numerus notarum unitate minutus ad ro eundem integrum, sic syypys ejus
dem potestas sexta sive quadrato- cubica unitate truncata ad quaesitum: utroque enim modo obtinetur ii Imo quaesita dispositi num multitudo . Notandum verb, non omnes istas dispositiones efficere peculiares numeros; quotquot enim nurneri a cγphris una pluribusve incipiunt, non differunt ab iis , quos sili characteres reliqui ne etis cyphris constituerent: quocirca ut secernantur utiles . superfluis, con-sdςrandum, quia ex decem notis selitariis unica est inutilis, ipsa Lil. 'phra: ex numeris , qui duabus constant notis, redundant Io;quai drauidem o singulis decem notis semel praeponi potest: ex iis qui faibuntur notis tribus, saperflui sunt Ico; ipsa enim o aut tor
138쪽
posta est sola, aut bis praefixa singulis noVem primis numeris, aut iςmel singulis inter V & ioo interceptiS. Ita eX iis qui quatuor cli iacteribus exprimuntur, supervacanei sunt Iooo ; singulis namque numeris, qui paucioribus notis scribuntur, quorumque si cyphram una complactaris sunt manifestis mille, praefigi potest una alterave Jphra, ut notarum quaternarius compleatur. Ob similem ratio- in ex iis, qui scribuntur notis quinque, eliminandi ioooo, &Iooooo ex iis qui constant notis seXr adeo ut, si a numero II 111iox IO-ioo in Iooo in Iocoo IOOOOOH IOOOOOo, leuiumma sex terminorum progressionis decuplae incipientis a Io, auseras IIIIII x I Io Ioo IOCO ΙOOoo in Iooooo summam totidem terminorum ejusdem progressionis incipientis ab unitate
quod compendio fit, auserendo solummodo primum terminum hujus ab ultimo illius, clim reliqui omnes se mutuo destruant) residuum indicet numerum omnium differentium ordinum, qui tribui possunt 1 o notis numeralibus non ultra senas acceptis, ad e prirnendum per illos totidem numeros diversos. Prout sanὲ evidens
admodum est, qubd ab unitate numerando ad usque Ι oooOOo, priamum & minimum eorum numerorum qui septem.notis constant, inveniuntur praecise 999999 differentes numeri; cum numerus 99999', eorum qui sex scribuntur notis maximus & ultimus, immediate exciapiatur a Iocoooo, ab eoque sola unitate disserat. Non secus iniri potest numerus omnium combinationum ac permutationum 14. literarum Alphabeti, si fiat, ut 23 ad 2 , sic vigesima quarta potestas numeri r neglecta unitatis ablatione, qua antam vasto numero non opus est ad numerum quaesitum; qui per Logarithmos eXpedite invenitur constare debere 3 notis, Sc mperare
Is' i quinti-milliones. Tantus vid. est numerus omniurni vocum
tilium & inutilium, quae ex 2 Alphabeti literis modis omnibus formari possunt, saltem si illas non ultra vicenas quaternas combina
Notare hic convenit peculiarem inter combinationes istas & potestates multinomiorum: Cum enim ad inveniendum buniones omnes literarum a, b, c, d, singulae cunctis sint praefigendae, de ad inveniendum terniones omnes, cunctis binionibus singulae hi
139쪽
IIa RIIS CONJECTANDIrae denuo applicandae, & sic porro, ut initio hujus capitis dii iunx; idemque etiam feri sileat, ubi quantitas literatis a- - θει - d ducenda est in se quadrath, cubice &c. sequitur, easdem literas, si spectes itur ut partes radicis alicujus multinomiae, binionibus suis exhibere ominia membra quadrati illius, ternionibus cubi, quaternionibus biquadrati &c. adeo ut membra potestatis cujusvis aIiter non exprimantur nisi per coacervationem comb nationum partium radicis, factarum sccundum exponentem aequalem potestatis indici: hoc tantum cum discrinnine qubd omnia illa membra, quae iisdem constant literis varie tanthm transpositis, cum eandem quantitatem designent, brevitatis studio in unum terminum conflari seleant, praefixo illi membrorum aequivalentium numero, qui coῆfficiens termini v cari consuevit. Unde discere proclive est, quod coefficiens termini
cujusvis exprimat numerum permutationum literarum illum termi
num constituentium, ipsa verb terminorum multitudo in quavis p testate aequetur numero combinationum, quae inter partes radicis neglecto earum ordine secundiim indicem potestatis datae institui pos sunt, quarumque numerus per cap. um invenitur. . Raod observasse operae pretium aliquando non exiguum erit , cum exinde promte definiri possit tum multitudo terminorum, tum termini cujusvis coeflaciens in quacunque potestate. Ita, eX. gr.
decima potestas trinomii per reg. cap. 1 constabit temminis 66, quorum a=-cc per reg. 2 cap. Imico cientem
habebit i . x zyro. Pariter cubus radicis quae. drimembris albεc-d continebitur terminis x ro, ejusq; termini a ab dc abc pro sitis coefiicientibus acquirent numeros 3'.
CAP. IX. Invenire numerum electionum rerum pluri' quarum nonnusta Diat eadem, nulla
140쪽
mero sepius in electione assumi debet, quam
ipsa reperitur in toto rerum numero.
HYpothesis haec est capitis sexti, nisi quod ibi omnes diVersi ordines unius combinationis pro una eademque electione, hic pro totidem diversis electionibus habendi sunt. De Problemate hoc sen se accepto nihil definitum inveuio apud Auctores ; ego quaestum sequenti modo exploro: Sunto ex. gr. combinandae & permutandae modis omnibus literae ea lege, ut in nulla combinatione a tapius quam quater, b quam ter, & c quam bis occurrat, hoc est, ut aliter enunciem, sint combinandae & permutandae omnifariam literae a auabbbcs seu , quarum sunt eaedem, item tres aliae,& rursam duae aliae eaedem, sique determinandus numerus harum combinationum, tam secundum singulos quam secundum omnes eXponentes. Constat, ante omnia electiones selius incluse nutilione quem unitatis nota designamus, se has quinque: I, a, aa, a', ara
Singulis harum applicetur litera b, primδ semel, dein bis, tertibter, ut fiant i Quae electiones: b, ah a ab, a, b, a ' b: nec non, b b, a b a abb, bb, a 'bb: ut de b' , ab , aab', a by, a ' b', plane ut factum cap. 6. Sed harum electionum illae, quas b semel ingreditur, per reg. I, cap. I ordine insuper recipiunt permutationes I, 2, prima vid. unam b, secunda duas ab ba, tertia tres Hab, aba, baa 3cc. Illae verb, quas b ingreditur bis, ordine permutationes admittunt x, 3, 6, Io, Is, juxta numeros scili. trigonales , prima nempe unam bb; secunda tres, abb, bab, bbae, tertia seX, AE abb, ab a abba, b a ab, b ab a, bbaa.&c. Et illae, in quibus . ter occurrit, permutationes ordine capiunt i, , io, ro, 3s, juX numeros pyramidales: quemadmodum etiam illae, si quae darentur
electiones, in quibus b ispius adhuc recurrit, permutationes admi terent juxta alios & alios figuratos gradatim altiores in infinitum. Hoc peracto, singulis praecedentium electionum permutationibus 1 ;a,b; aa, ab , ba, bb; a', AEab, aba, baa, abb, bab, bba, brue tertia porrδ litera e nunc semel nunc bis adjungi intelligatur; ita novae prodibunt electiones, ης,, 3 σης, ab cibac, bbι ; a ι &c.