장음표시 사용
121쪽
sumus duabus columnis contiguis, sive verticalibus: ita di,
122쪽
terminorum nun ero aequalium, summa terminorum columnae pro cedentis aequatur postremo termino columnae sequentis. Eisibus facile est, invenire summam terminorum seriei cujusvis, adeoque & numerum combinationum secundum exponeniaxem quemcunque. Nam si numerus terminorum, hoc est, rerum vombinandarum dicatur n, erit summa unionum seu terminorum
siriei primae, hoc est, ultimus terminus seriei secundae, itidem n. Intelligatur seriei secundae praefixa cyphra, ut numerus terminorum fiat n in i ; per cujus dimidium si multiplicetur terminus ulurimus n, erit productum summa binionum seu terminorum secundae seriei, per x et propr. cap. 3; adeoque & postremus terminus tertiae, per a propr. hujus. Intelligantur seriei tertiae praefixae duae cyphrae, fietque numerus terminorum nina ; in cujus trientem si ducatur terminus ultimus modb inventus - exurget summa terni
num seu terminorum seriei tertiae, & simul etiam postremus iij. per eaῶdem. Eadem ratione summa terminorum quartae seriei seu quaternio
riei c, seu combinationum secundum eXponentem c , reperitur tan- - i. VH .n VII '.. Ubi notandum, qubd existente
n factorcs fractionis possunt abbreviari dividendo numeratorem& denominatorem Per n . Π -- I. na .... c, ut habeatur - : & quia haec fractio ad formulam e
acta simul indicare debet summam c terminorum seriei n - i, sequitur quhd aggregatum η xςrminosum in serie c sem per aequetur aggregato ι -- 1 terminorum in striς η , quae alia non inelegans hujus Tabellae propriςt . ςst. Indo vero resultat sequens
123쪽
pro inveniendis combinatonibus scundum datum ev Nentem, tam eadem res eandem combinationem
se pius iniredi poteP. FIant duae Progressiones Arithmeticae ascendente S,
altera a numero rerum combinandarum, ab unitate altera, quarum communis excesius sit unitas, & utraque tot terminorum, quot unitates habet combina ti 'nis exponens: tum factum ex ductu terminorum prioris progressitonis dividatur per factum ex ductu terminorum posterioris; eritque quotienS quaesita combinationum secundum datum exponentem multitudo Hoc sensu numerus quaternionum in Io diversis rebus contentorum
ι . 2.3 i. M . Nota : Si c'mbinationis exponens sit maior rerum numero quod utique feri posse in praesente hypothesi liquet) compendi laus erit, inchoari priorem progressionem ab hoc exponente unitate aucto, & utramque feri terminorum uno pauciorum, quam stat da
tae reS. Ita numerus combinationum secundum exponentem io in
Sed & numerum combinationum secundum plures exponentes ab unitate se aliquousque consequentes, hoc est, summam serierum quotcunque verticalium, nihilo dissicilius venari licet: Clim enim ex. gr. io primi termini primarum columnarum verticalium iidem sint qui primi termini io primarum transversarum atque insuper summae horum terminorum aequentur undecim terminis columnae Verticalis demto selo primo seu unitate s singulae scit. summae singuli torminis, ut ex propr. rda bellae liquet) manifestum est, etiam 30 primos terminos primarum columnarum verticalium, h. e. summam omnium unionum, binionum, ternionum dc quaternionum iumen inum ex rebus io, unitate deficere ab undecim primis terminis
124쪽
nis columnae V, hoc est, numero quaternion m sumendorum ζX rebus ti . hoc est, a numero combinationum sumendarum ex rebus una pluribus secundum datorum eXponentium maximum.
Quod idem etiam sic ostendo: SinguloS quaterniones sumendos eX rebus undecim res undecima vel non ingreditur plane, vel ingreditur semel, vel bis, vel ter, vel quater; sed manifestum est, quaterniones, quos res undecima non ingreditur, esse illos ipsos quos decem reliquae inter se sorinare possunt; nec minus per*icuum, quod numerus illorum quos semel tantum dicta res undecima ingreditur, Rquari debeat numero ternionum sumendorum ex Io reliquis; licui etiam numerus illorum quos bis ingreditur, numero binionum ; de quos ter ingreditur, numero unionum: quandoquidem ternionibus semel, binionibus bis, Sc unionibus ter adjuncta quaterniones essicit: praetereaque constat, quod unuS sit quaternio, quem res undecima
quater repetita constituit. Unde concluditur, numerum quaternionum comprehensorum in rebus II, hoc est, una pluribus quam sunt datae res, Unitate eXcedere omneS simul uniones, biniones, terniones Sc quaterniones i erum datarum decem; nisi his quoque nullionem accensere velimus, quo casu ipfS aequabitur. Quapropter, clim existente numero rerum datarum n, 8c e ponentam maximo ι, numerus combinationum hujus exponentis in rebus ni I per Reg. cap. . inVeniatur numerus combinationum re-
xum n secundum omnes exponentes ab I usque ad c utpote unitate
majus sit ipsen , hoc est, exponentium maximus major rerum nu mero, poterunt fractionis termini co casu dividi per, ac proinde quantitas compendiosius eXpri-
125쪽
pro invenien is Combinationib- secundum stlures exponentes ab unitate se consequentes:
Constituantur duae Progressiones Arithmeticae as.cendentes, altera a numero rerum combinandarum unitate audio, ab ipsa unitate altera, quarum communis excesstis sit unitas, & utraque tot terminorum, quot unitatibus constat exponentium maximus. Quod si tamen exponentium maximus major sit rerum numero, satius est, priorem inchoari ab hoc CXponente unitate aucto , & utramque fieri tot terminorum, quot sunt datae res.) Tum factum ex ductu terminorum prioris progressionis dividatur per factum ex ductu terminorum posterioris; eritque quotiens quaesita combinationum multitudo, si scit. ipsum nullionem una comprehensum velis; sin velis exclusum, quotiens unitate multatus quaesitum indicabit.
Ita numerus omnium cum nullione unionum, binionum, ternionum di quaternionum in rebus to x x Iool , in
rebus tantum tribus ex V m 3s; at nullione excluso numerus combinationum est ibi rooo, hic 3 .
Invenire numerum combinationum , cum non
nusiae rerum combinandarum sunt eadem , nuta vero saepius in combinatione repeti debet, quam ipsa reperatur in toto rerum
126쪽
PARS SECUNDAE II9 IN praeced. capite licitum erat, quamlibet datarum diversarum
rerum secum ipsa conjungere toties in combinatione, quot unita xς. habet ejus exponens ; quo pacto dari potest combinatio secundum 'exponentem quemlibet, quae eX una sola re faepius repetita ςψnstet. Alia quaest o est, cum determinatus est numerus vicium, quibus unaquaeque rerum datarum secum ipsa jungi potest: ut cum ςombinandae veniunt literae a, b, ea ut in nulla combinatione litera a saepius quam quinquies , t quam .qu xor, o quam xςr, & d quam bis repetatur, ubi manifestum eli, inullam earum
inmbinationum, quarum exponens quinarium superat, ex una lotalitera conflari posse. Tantundem autem est, si quatuor istae literae dicta lege inter se eombinandae sunt, acsi datae forent literae quatuordecim, interque tu S quinque a , quatuor b, tria c & duo d, modis omnibus inter se
combinandae, sed ea eonditione, ut nulla saepius in combinatione occurrat, quam ipsa reperitur in toto rerum numero ; hoc est, acsidata foret quantitas algebraica aaaaabbbbιcιdd sive a b 'c' ἀ- ,
cujus omnes divisores quaererentur ue quandoquidem divisores alicujus quantitatis aliter non exprimuntur, nisi per totidem combinationes factorum ejus: aded ut doctrina hujus capitis praecipue pro inveniendo numero divisorum datae alicujus quantitatis inservire
Liquet primb, unius literae a tot esectiones aut divisores dari p0sse, quoties ipsa in rerum numero occurrit, seu quot ipsi in quantitate tribuuntur dimensiones; adeoque si nullionem electionibus vel
unitatem diviseribus accensere quoque velis, unam dari electionem aut diviserem amplius, puta sex: x, a, a a, a L a' a . Deinde, si literab accedat, constat illam in singulas sex praecedentium electionum aut divisorum duci posse ; unde totidem alia nascuntur electiones, b, ab , aab, aib, a 'b, a lib. Quibus si alaterum b adjungas, sex novas electiones habebis; bb, abb, a abb, a 'bb, 3te. Et his si tertium si applicetus, seX aliae electiones emergent, iterumque sex aliae, si his applicetur quartum: adeo ut lit x b toties sex novas electiones suppeditet, quoties ipsa in dato rerum humeto occurrit, seu quot ipsa in proposita quantitate dimensiones obtinet
127쪽
obtinet, nimirum quater sex eleistiones , quas omnes b ingreditur ex constructione. Unde si his sex primas electiones , quas b non ingreditur, alannumeres, habebis in universum quinquies sex sive ro electiones. In singulas porro harum 3o electionum seu diviserum si tertia liatera c ducatur, prodibunt 3o novae electiones , & si prodituris eadem Iitera adjungatur denuo, prodibunt 3o aliae I iterumque go aliae, si applicetur tertium: unde ter 3o electioneS eXurgunt, in quibus mmnibus lit. c reperitur. Quibus proin si addas praecedentes 3o, in quibus illa non reperitur, numerabis in totum quater so sive Iro e- Iectiones. Tandem si singulas harum reto eIectionum vel divisorum eadem ratione per quartam literam d ob duas ejus dimensiones bis multiplices, produces bis Ito novas electiones, quae omnes literam d conistinent; adeoque computatis una prioribus tro quae eandem non continent) omnino ter iro sive 36o electiones. Et tantus quoque in universum divisorum numerus existit propositae quantitatis c d φ, dummodo, qubd hic semper subintelligendum est, literae a, b, c&d totidem primos ab unitate & a se invicem diverses numeros indigitent. Patet autem, accessione cujusque literae numerum omnium praecedentium electionum vel divisorum toties multiplicari, M semel amplius, quot literae accedentis fuerint dimetisiones. Quζobscivato ratio percipi potest sequentis Regulae:
pro infestigando numero diviserum alicum quantitatis
data, sive numero combinvitonum rerum plurium, quarum nonnu sunt
dUmeros dimensionum, quibus constant singulaeae, uti; , --qVR0xi R Cm Pi Positam constituenta
E OGuctum eorum continuum numerus omni iam
128쪽
PARS S E C Π π D A. III divisorii in datae quantitatis, siti omnium combinati Oniam, quarum literae illam conmitirentes sunt capace S. Jbi tamen unitatem dem re memineris, si nullionem e combinationibus aut unitatem e divisoribus expunctata Veiis . Ex. gr. in quantitate proposita literae dimensiones habent s, ,3, 2, qui numeri unitate sigillatim aucti emciunt , 1, 4, hi vero in se ducti 3so numerum
mnium cum nullione combinationum, seu omnium cum unitate dia viserum quantitatis datae. Nota: Si numerus diversarum literarum a, b, c, d datam quantitatem constituentium sit n , omnesque literae aequali dimensionum
numero gaudeant, qui sit p, fiet per regulam numerus combinationum vel divisorum p i n. Et specialius sip x i , hoc est, si datae quantitatis singulae literae unam tantum dimens em habent, aut si
datae res combinandae omnes sunt diversie, numerus diviserum vel combinationum determinatur ad 2', reditque hypothesis capitis secundi ; cujus proinde silutio cum ista conferri poterit, ut utriusque
Qui autem ad discursum praesentis capitis vel leviter attenderit, facile porro si opus determinabit, in quot electionibus vel diviseribus quaelibet res aut litera reperiatur. Nam si quaeratur ex. gr. quot divisores propositae quantitatis a sed φ ingrediatur litera a, indagandum solummodb est, quot diviseres inclusa unitate admittat x liqua quantitas b' dy; his enim cum in iis a non reperiatur si literam istam adjungas semel, habebis omnes divisores, in quibus
6 reperitur unius dimensionis: & si adjungas bis, habebis omnes eos in quibus est duarum dimensionum: & si ter, illos in quibus trium&c. unde concluditur, tot esse divisores, in quibus litera quaelibet secundiim eundem dimensionum numerum reperitur , quot reliquae
Iiterae in universum divisores admittunt: cum igitur quantitas d*per regulam praeced. recipiat S. . 3 x 6o divisores sconnum rando illis unitatem P complectetur etiam quantitas a b' d; di viseres totidem , in quibus a unam obtinet dimensionem, totidemque in quibus duas, tres&c. dimensiQnes; adeoque ob quinque dimensiones ipsius a quinquies co sive 3oo divisores obtinebit, in quibus
129쪽
quibus ista litera utcunque secundum aliquem dimensionum numerum occurrit. Neque dissicilius definitur numerus electionum aut diviserum, in quibus reperiantur ex. gr. duae literae, a cum duabus & b cum tribus dimensionibus ; nam si singulis diviseribus reliquae quantitatis quorum numerus per regulam invenitur . 3 ia) adjungas a ' b', palam est oriri totidem divisera opi tae conditionis, nec dari plures , & sic in aliis. Plus dissicultatis babere forsan videbitur quaestio, quae num rum inire iubet diviserum omnium ex aeque-multis dimensionibus constantium, hoc est, combinationum secundum singulos exponentes seorsim. Ad id perquirendum methodum adhibeo, similem illi, qua sepra in pari. r, post prop. 9 ad numeros jactuum in tessoris investigandos fui usus: Scribo ordine omnes eXponentes combinationum seu omnes dimensonum numeros, quarum proposta
quantitas capax est, nempe a o usque ad I pro quantitate a b νι'd Lb horum primis eolloco sex unitates, una vid. plures quam est numerus dimensionum primae literae, quibus subjungo sex alias unitates, de his rursum sex alias &c. donec habeam series unitatum una plures quam est numerus dimensionum secundae literae, sed si gulas series uno gradu dextrorsum promoveo, atque tum addo quae perpendiculariter in eodem gradu sibi respondent unitates, ut fant numeri I, 2, 3, Φ, &c. Horum deinde numerorum iterum s ries una plures constituo quis, est numerus dimensionum tertiae lia terae, illas similiter gradatim ad dextram promovendo, & postin diun addendo, ut prodeant numeri 1. 3 , 6, Io, Ι &c. quorum numerorum moX rursus ordines uno plures, quam est numerus dimensionum quartae, gradatim pono & addo, continuaturus eodem
tenore ulterius, si plure literae adessent. En Tabulam: Numeri
130쪽
I 8 ITI Io 6 3 i Io I9 3o 41 49 sa 49 ΑΙ ῖQ I9 Io IQuo facto qui ex additione ultima resultant numeri singuli , denotabunt multitudinem divisorum vel combinationum secundum singi, los dimensonum numeros seu exponentes supra scriptos. Sic indi-vante Tabella reperio, qubd quantitas proposita habeat unum diu serem nullius, 4 divisores unius, io duarum, Ist trium &c. dimemsionum, sive, quM habeat unum nullionem, uniones, to bini
neS, 19 terniones, & sic porrb; qui omnes collective sumtishmmam conficiunt 36o, ut oportebat. Qui rationem similis operationis pro tesseris intellexerit, rationem hujus quoque non difficiater capiet.
Plura de his, diviseribus praesertim sat nimium ab instituto aliena) legere est in s prioribus sectionibus mistellaneis Exercit. Matth. n. Schootenti, nec non cap. 3 & Dissert. Joh. Wallisti de combinationibus Tractatui ejus de Algebra subnexae. Quos Auct ros adeat qui volet. Nos properamus ad alia.