장음표시 사용
111쪽
secunddm eXponentem antecedentem & datum in numero rerum prae cedenti; ex gr. tot sunt quaterniones in rebus decem, quot terni nes & quaterniones simul in rebus noVem. Namque per regulam
numerus quaternionum in rebus decem ix, i x ' num plus numero ternionum in rebus noVem, Aliter ita: Una decem rerum datarum vocetur Aue manifestum, tot dari praecise quaternarios in quibus A non reperitur, quot quaternarii ex reliquis novem positiat accipi; tot verb esse alios in quibus reperitur A, quot terniones comprehenduntur in novem caeteris, siquidem singulis istis ternionibus adjectum ipsum A totidem quaterniones emcit, quos omnes A ingreditur ex construct. Quare cum quaterniones illi in quibus reperitur A, & in quibus non reperitur, exhauriant omnes
quaterniones possibiles ex datis rebus accipiendos, constat propositum. Cons. propr. 4 & Tab. num. Q.
Cor. 6. Numerus combinationum secundum omnes exponentes pares inclusis nullione aequatur numero combinationum secun dum omnes impares, proinde utervis semissis est numeri omnium
combinationum simpliciter sinclusi quoque nullione) h. e. cum iste
in rebus n sit et' per Reg. cap. a. utervis illorum erit et ' . Demonis stratum habetur ibidem ad calcem dicti capitis, sed idem quoque ex praeced. Coroll. sic deducitur: In rebus ex. gr. novem est unus novenarius, sicut in rebKs decem unus denarius, deinde utrobique est unus nullio, ac praeterea tot sunt unitates & binarii simul in rebus
novem, quot soli binarii in rebus decem; tot ibi ternarii & quater narii simul, quot hic soli quaternarii; tot quinarii & senarii ibi, quot hic senarii; tot denique septenarii & octonarii ibi , quot selio tinnarii hic, per praeces' Coroll. s. quare numerus omnium simpliciter combinationum rerum novem aequatur numero combinationum Vrum decem taundum exponentes pares. Rurses, per itam Coroll. tot habentur in rebus novem nulliones & unitates simul, quot unitates tant: ira in rebus decem; tot ibi binarii & ternarii simul, tot quaternarii & quinarii, tot senarii & septenarii, tot denique octon rii & noxenarii, quot hie seorsim ternarii, quot quinarii, quot se
112쪽
septenarii Sc quot novenarii: quocirca numerus omnium simpliciter combinationum rerum novem aequatur etiam numero combi-inationum rerum decem secundiim e ponentes impares. Ergo nuis meri combinationum rerum decem secundum eXponentes pares &secundum impares inter se sequantur. Ecce rem in synopsi:
Supersunt nobis hic loci nonnullae quaestiones enodandae, quae circa combinationum materiam formari possunt, suumque aliquando usiam habent ; ut, cum indagandum proponitur, in φtot combinationibus una pluresve res imperatae sive conjunctim sive divisim reperiantur. Rusmodi quaestiones cum in infinitum multiplicari possint, omnes ad unum genus Problematis reducere conabimur, quod universaliter sic enunciamus: Dato numero rerum combinanis darum & exponente combinationis inveniendum sit, in quot combinationibus ex aliquot de gnatis rebus nonnullae, quae & ipta praescriptae & determinatae sint, exclusis caeteris reperiantur, puta, si ex numero rerum omnium n, combinatarum secum invicem secundum exponentem ι, designentur aliquae A, B, C, D, E, qu rum numerus sit m, sive major sive minor exponente c, & quaeratur in quot combinationibus designatarum nonnullae A, B, C,
quarum numerus sit is, una junctae reperiantur exclusis caeteris D &E. Dico, Problematis generaliter sic concepti selutionem non minus promptam esse, ac specialis cujusvis casses; & numerum combinationum quas recipiunt res n-m secundum exponentem c -b
quique numerus per Regulam invenitur
Tr i . T . . e - b ) conse-stim quaesto satisfacere. Nam quia numerus reium combinatarum est , , designatarum ex illis m, erit exemptis designatis reliquarum numerus u - in , quas si combines inter se secundum exponen-
113쪽
tem c-b, habebis novas combinationes, in quibus nulla designatarum reperitur ; quare si illarum singulis adjungas praescriptas'A, B, C, quarum numerus ponitur b, het tum utique combinationum exponens c, ipsae verb combinationes singulae comprehendent ex designatis solas A, B, C, seclusis reliquis, quod imperatum fuit. Quod si numerus earum ex designatis, quae combinationes optatas ingredi debent, sit quidem determinatus, ipsis verb res non sint determinatae, sed quomodolibet ex designatis accipiendae; patet, numerum combinationum hinc toties multiplicari, quoties ex designatis in rebus diverta b res eligi possunt, nempe per regulam
Vicibus , sic ut tum numerus combi nationum quaesitus sit 3 m - b- I
Nota, sin--mς nulla institui potest combinatio, quae praescriptam conditionem habeat. Sed haec ad nonnullos O ciales cassis applicabimus: Quaeritur primo, in quot combinationibus reperiatur data quaelibet res Quia hic designatur res unica, erit m & b M I, adeon
x numero combinationum quaesito, qui quidem ad numerum omniucombinationum ' ς I r , , t . a . 3 . . . .e ien belut e ad H, exponens sicit. combinationis ad numerum rerum combinatarum
uti constat, si utraque stactio dividatur per '
& miltiplicetur peret. Sunto jam designatae res duae A & B, & definiendus sit
combinationum numerus, in quibus reperitur A absque B. Quia hic vi x 2, & b M r, erit numerus quaestus cuius proinde duplum, numerum combinationum denotabit, in Quibus alterutra ipsarum A & B absque altera reperituri ῖ. Porris si quaeratur, in quot combinationibus reperiantur ambae
114쪽
. Sin quaeratur, in quot combinationibus neutra designaxarum repetiatur, invenitur, ob vi OO 2 Sc si x o, quaesita combinationum multitudo i '. et '. 3 . . . . c 's. Ita etiam si rerum designatarum tres sint, &quaestio sit, quot combinationes ingrediantur duae A & B absque tertia C, quo ςdsu in valet 3 &hr ; quaesitus combinationum numerus invenitur: 3 n 'Et quia ex tribus ter binae possunt a cipi, triplum illius numerum combinationum exhibebit, quas duae designatarum quaecunque exclusa tertia ingrediuntur. Atque ita pond in aliis. Appendis: ExpIicata numerorum figuratorum natura, usuque quem in combinationibus praestant, instituti nostri flum tantisper deseremus, promissi in fine Propos 7 Part. I facti memores, donec porrb hic ostenderimus, quomodo expectationes duorum collus
rum indefinite ad quotvis deficientes lusus in symbolis exhiberi pocsint, quod olim quoque Pascalium occupavit; Duo autem praestbsunt modi, quibus id consequi licet: unus reconditior, ex constructione Tabellae ibidem institae & consideratione progressionis, quam numeri illius inter se servant, petitus; quem nunquam se assequi potuisse scribit Pascalius in epistola ad Fermatium, ut legere est in ii
jus operibus Tolosae impressis A. 16 9, p. I 8o: alter magis planus Robvius, ex combinationum doctrina immediate dimanans, quo Auctor ille in ma Problematis Glutione videtur usias. I. Mod. Sint duo collu res A & B, quorum illi n, huic mIudi ad vincendum desint, & quaerenda sit utriusque expectatio, h. e.
quaerendus sit in dicta Tabella numerus areolis n columnae verticalis,m. Adjecti intelligantur in columnarum capitellis tot termini pro gressionis duplae ab unitate, quota est unaquaeque inter columnas; unus primae, duo secundae. tres tertiae columnae dcc. hoc pacto
115쪽
Et apparebit primo intuitu, progressiones has duplas ordine
continuari pes denominatores fractionum in columnis, adeb ut denominator areolae n columnae cujuslibet m si terminus m - - n progressi nis duplar ab unitate , i. α potestas binarii, cujus exponens m in - r, sive, Ad numeratorcs verb fractionum quod attinet, perpendi debet quod unusquisq; eorum ex constructione Tabellae loc. cita insinuata aequetur duobus aliis, quorum unus illi immediate supra, alter ad sinistram positus est; hinc enim inserri potest, numeratorem
areoloe n columnae cujuslibet aequari quoque summae omnium n numeratorum columnae praecedentis una cum terminis ipsi in vertice ata
j ctis ac praeterea unitati ; indeque porris haud difficilius colligitur, ubi series numeratorum secundae columnae una cum terminis ipsi p:aefixis ) discerpi possit in duas alias series, tertiae in tres, quartae inquatuor, & generes ter columnti cu uslibet m in alias m series, &c. quarum primae simper sint series monadum, secundae series later i una cum una in vertice cyphra, tertiae series trigonalium cum cy-Pb duabus, quartae pyramidalium cum cyphris tribus, &ita dei ceps, hac ratione:
116쪽
Unde cum terminus m - η, per consect. Cap. 3 hujus, in se emon dum sit 1, in serie lateralium , trigonalium P 'pyramidalium ' 1 &c. ci generaliter in
que ad ε μερο ν η ε' )η-' 3 Et quia per C p. 4. iisdem: hujus quantitatis membris etiam multitudo denotatur nullionum, unionum, binionum, ternionum &c. in rebus m l n - I coinprehenserum, sequitur dictum numeratorem conflari
ex aggregato omnium nullionum, unionum, binionum, caetera rumque ordine combinationum rerum m n- 1 usque ad illas inclusive combinationes, quarum exponens sit m - r r idemque proin
aggregatum divissim per 2M ' 'x ex ribiturum totam fractionem datae areolae, h. e. per hyp. Optatam expectationem colluseris A,
seu partem depositi I, quae collusori debetur, cui ' Iudi deficiunt, dum alteri itidi m. Nota: s-x η - r, hoc est, si collusori Bunus tanthm Iussus deficiat amplius quὲm ipsi A, portio depositi quae huic debetur aequalis censebitur 3ggregato combinationum re-
117쪽
rum ru, E nullione ad illas inclusivὲ quae habent n pro exponente, divise per r qui numerus est omnium simpliciter combinationum rerum an per Cap. a ) Hinc ergb si demas semissem omnium simpliciter Combinationum nempe a nullione ad dimidium earum numerum quae exponente n gaudent, uti colligitur ex Coroll. et Sc3 hujus) divisum per integram seminam omnium ab Alute combinationum , h. e. si demas partem deposti quam contulit collusor A) relinquetur pro lucro ipsius A. sive pro eo quod ipsit ex pecunia alterius debetur, semissis combinationum secundum selum exponentem n divisis per summam omnium absilute combinationum qui quidem semissis cum se habeat ad id quod depositit alter B 9 ut integer numerus combinationum secundum exponet tem n dicta ratione divisus hoc est, per Reg. cap. hujus, ut 'divisus per i ad I, manifestum facit, partem quae debetur colluseri A ex eo quod deposuit alter B, ςXprimi per i . , - div. per 2 λ . EX. gr.
si in m 8 & m x s , h. e. si collusori A deficiant 8 Iussis, ipsique B y,
debebitur illi ex pecunia hujus portio, ' ζῆ P. ἐξ, ξ
per et , quae portio factoribus paribus numeratoris reapse octies pera divise, & singulis factoribus denominatoris per a multiplicatis reducitur ad fractionem divisione producti octo primorum imparium per productum totidem primorum parium numelorum. Ipsa solutio Pastaliana, quae Auctori suo tantopere arrist. II. Mad. Alter modus silvendi Problema, qui ex consid ratione combinationum immediate fluit, sic habet: Disquiro, quot ludi instituendi sint, ut unus colluserum nec nisi unus in numerum suorum lusitum necessarib compleat ac vincat; videoque requirim ρη-i Iudos: etenim absilutis m*n-r ludis, quorum unus evicerit m i, alter n -i sic ut utriq; unicus desit proximus lusus alterutrum colluserum infallibiliter victorem reddet . Fingo itaque institui ab ipsis m n - i ludos non quod paucioribus ludis alterutri constare victoria non possit qua semel obtenta finita est aleat sed quia re-
118쪽
PARS SECUNDAE iidui ad n n-i Iudi, si maxime instituerentur, complando quoque alterius numero non sufficiunt, eoque victori nequicquam praejudicare possunt) fingo inquam institui a colluseribus ni H n iludos, & considero qubd ipse A deposito potiatur, quoties accidit
ut alter B aut nullum, aut unum, aut duos, aut tres, & c. aut denique m - x horum ludorum, nec plures, evincat; id vero tot casibus Contingere posse liquet, quot nulliones, uniones, biniones, terniones, dcc. ac deniq; combinationes secundiim eXponentem m-r in ludis vi inn- I continentur. Quare cum totidem casus habeat A ad obtinendum depositum i , & reliquos ad perdendum, sitq; numerus ominium casuum et m- ν' i ceu omnium simpliciter combinationum; erit ipsius sere per . Cor. 3. Prop. I. pari. aequalis aggregato dictarum combinationum sanullione ad illas inclusive, quae exponente m - Igaudent divise per et ' in '' I, ut sepra. Notar si numeri deiacientium Iussium m Sc n exiguo differant, satius est quaerere per s. Coroll. cit. Prop. quantitatem sistius lucri, seu quantitatem expectationis colluseris A non respectia totius depositi sed respectu solius pecuniae alterius. EX. gr. sit m x n i, adeoque m in n - ix 1 η; denotabitur numerus caseum, quos habet A ad obtinendam pecuniam alterius quae nunc sit I) per numerum combinationum in ludis 1n ab exponente o usque ad exponentem n; & numerus Casuum, quos habet ad perdendum tantundem, h. e. ad obtinendum I, per numerum reliquarum combinationum secundum exponentes superiores: quare cum bini exponentes paralleli, inferior & Ω- perior, per Cor. et hujus combinationes habeant aeqv multas, eoq; se mutuo destruant, relinquentur pro excessu, quo numerus illarum
combinationum harum numerum superat, selae combinationes s cundum CXponentem n semissem ipsius an , quarum numerus est
crum colluseris A respectu pecuniae alterius emergatan. 2 nT2' ' ' ' .'. I div. per a n, itidem ut supra. N que absimili modo definietur hoc lucrum in casu m M n - - 1, aut x n φ 3 &c. Reperio autζm, quod dato numero n, lucrum ipsius A in casu m ae lucrum illius in casu in x n-r,
119쪽
In gratiam eorum, qui speculationibus numerorum delecta tria , obiter adhuc addo duas proprietates Tabellae Prop. 7. Part. Isubneaeae e quarum utravis idem quaesitum e sculpi potuisset. Una est, quhd numeratores columnae verticalis tertiae sint Τrigonales 3, 6, Io, IS, 2I. &c. aucti numeratoribus columnae 2 ix ,1, 6, 7, 8, &c. qudd numeratores col. quartae sint Pyramidales *, io, 2o, 33, 36, M. aucti numeratoribus JG I, I6, 22, 22, 37, &c. numeratores columnae Triang. Pyramidales F, 3s , 7o, i26,&c. aucti numeratoribus a6, 42, 6 , 93, 13o, . incipiemdo perpetub a secundis terminis. Altera, quod numeratores col. 3Π sint Trigonales is, Io, is, 21, &c. aucti numeratoribus primae I, I, I, I, &c. numeratores Pyramidales Io, zo, 3s, Sis, &c .l aucti numeratoribus ad*s, 6, 7, 8, &c. numeratores Triang. Pyramidales is, 3F, 7o, Iris, dcc. aucti numeratoribus 3xi 2r,29, 37, &c. initio semper facto a tertiis ; atque sic porrb.
C A P. V. Invenire num e rum combisatiouum, cum qualibet rerum combinandarum is caeter quiadem diversa existit, attamen spius in eadem combinatione recurreme potest.
IN Combinationibus praecedd. capitum nullam rem secum ipsa jungi , neque aded plus semel in eadem combinatione accipi posse
supposuimus; nunc vero hanc insuper conditionem adjiciemus, ut unaquaeque res etiam secum ipsa jungi , adeoque in eadem combin tione saepius redire queat. Sunto igitur combinandae hac ratione literae a, c, d, M. Fiant
120쪽
tot series duot literae, & singularum capita occupent singulae literae, ceu totidem uniones, ut factum cap. 2. Pro binionibus cujusque seriei ii Vei iζndiS, litera, quae ejus ς put est, non tantum cum omnibus praecedontibus literis, ut ibi se stum fuit, sed & secum ipsa combinari debet: sic habebitur in pria serie unus binarius a ; in secunda duo binarii ab , bb; in tertii tres abc, cc; in quarta quatuor ad , bd, cd,dd. &c. Sic etiam pro formandis ternariis unaquaeque litera non modb omnium praecedentium serierum, sed & suaemet seriei binariis ad jungenda : ut habeantur, in prima serie ternarius unus a aa; in secunda ternarii tresa ab , abb, b bb; in tertia LX aac, abc, b, c, ac ι, . sic , c cc; & sic deinceps. Atque hoc ipsum quoque in combinationibus omnium aliorum
exponentium observandum ; qua ratione nullam electionum, quae circa datas res institui queunt, praeteriri poste liquido constat. En Schema:
d. ad. bd. cc d L aad. abcbj d. acri b c cccc a d. bdd. cdd. ddd. Hinc vero haud dissiculter colligimus, uniones omnium seri xum rurses esticere seriem monadum, biniones seriem lateralium, te
Diones trigonalium, caeterasque combinationes majorum eXponen tium itidem constituere series aliorum figuratorum altioris generis, prorsuS Ut combinationes praecedd. capitum, hoc solo cum discrimine, qubd ibi series a cyphris, hic ab ipsis statim unitatibus incipiis ani ; unde u in Tabulam redigantur, hanc dispositionem prae se ferent: r