장음표시 사용
141쪽
nec non, cc; acc, bcc; aacc, abcc, b acc,bbccia 'co dce. quarum priores, quae literam ι semel tantum includunt, respectu hujusce li-rerae, ordine reliquarum non immutato, subeunt Permutationes I, 2 , 3, , &c . juxta numeros naturales ue nempe unio c unam, singuli binionum ac, bc duas; singuli ternionum a ac, abc, bac, bbc. treS,& ita porro: posteriores vero, quae lit. c bis continent, permutationes ordine patiuntur I, 3, 6, Io &c. secundum trigonales; binio nempe unam, ternionum ac c, bcc singuli tres; quaternionuma acc, ab cc. ba ιι, bbcι singuli sex, & ita consequenter. Dico, ordine reliquarum praeter c literarum non immutato; alias enim ex . gr. abccnon 6, sed I 2 permutationes admittit, at quarum dimidia pars redundat, utpote sequenti quaternioni bacc attribuenda. Qubdsi jam quarta adesset litera, ea similiter omnibus praecedentibus permutationibus secundum singulas sitas dimensiones foret applicanda, ad formandum novas electiones, quae denuo permutationes reciperent secundum numeros vel laterales, vel trigonales, vel pyramidales,&c. prout accedens litera vel semel, vel bis , vel ter iis adjuncta esset.
Quo pacto nulla optatarum combinationum nos fugiet, neque etiam ulla bis computabitur. Ex dictis verb facith perspicitur ratio comstructionis sequentis Tabellae, qua numerum talium combinationum secundiim exponentes tam singulos quam universia expedite definio. Scribo ordine omnes exponentes combinationum, quas propositae resa 'bi ι- suscipere possunt, 'a o usque ad 9 ; & sub eorum primis colloco tot unitates, quot prima litera habet dimensiones, & unam amplius , nempe quinque; quibus si itim subjungo quinque numeros I
terales I, 2, 3, , , & totidem trigonales I, δ, 6, Io, Is, totidemque pyramidales I, , IO,aO, 3 H donec praeter seriem unit tum tot habeam series, quot altera litera b habet dimensiones, easq; gradatim dextrorsum promoveo, ut factum cap. 6. Tum addo terminos, qui in eodem sibi gradu perpendiculariter respondent, ut fiant numeri I, 2, , 8, I s M. Hos confestim duco in totidem la-xς Mes 7, &c. & trigonales a, 7, 6, io &c. singulos ordino multiplicando per singulos, ut praeter talem I, 2, 4, 8 &c. tot alix
prode ne numerorum series, I, , Ia, δ a. &c. I, 6, a 8O εύς quot tertia litera c obtinet dimensiones, quas rursus gradatim disp0 no & addo, continuaturus eodem tenore ulterius, si plures literae se
142쪽
peressent. Sic tandem ex ultima additione prodibunt numeri, qui multitudinem combinationum secundum eXponentes quisque sitos indicant, adeoque simul collecti numerum omnium simpliciter combinationum produnt: Res Combi
Exponentes 2. q. Combinationum s. 7.
Iasio 126o Distimus ex hac Tabella, qubd res propositae a ' b 3 ς contuneant unum nullionem, tres uniones, ' binarios, ais ternarios, &c. tandemque Ir6o novenarios ,&qubd summa omnium absolute combinationum sit 4ors . Methodo huic ex abundanti fidem conciliabit sequens laterculus, in quo primb adscriptas vides omnes iso rerum datarum electiones juxta hypothesin capitis , & dem ad I tm notatos numeros permutationum singulis competentes per regulam a , capitis primi:
143쪽
Colligitur hinc , quhd ex tribus diversis notis numeralibus
non computato nullione , quo nulla earum accipitur formari possunt or diversi numeri, in quorum nullo una notarum saepiusquam quater, altera quam ter , & tertia quam bis repetatur. Sem- mr autem omnes notae, quoties possunt, simul sumtae, hoc est, combinatae secundum exponentium maximum tot numeros suppoditant, quot numeros eaedem exhibent combinatae secundum e ponςntem proxime minorem; quod Theorema notatu dignum. Combinatoria dicere in praesens suscepimus. Potuisiemus quidem postremis hisce capitibus, ubi in com binati
144쪽
PARS SECUNDA. I 37hinationibus & ordo attenditur, & una eademque res eandem et Gionem Spitis ingredi posse concipitur, Varias iterum quaestiones nobis enodandas proponere , & inquirere, in quot combinationibus una pluresve res conjunctione vel divi im reperiantur, uti factum cap. ς' , aut, quot combinationes aliqua reS somel, bis, ter, quater &c.
posta ingrediatur ; aut, quot sint illarum combinationum, in quibus nulla rerum i datarum plus una, duabuS, tribus&c. Vicibus occurrit; ut in quibus designata quaepiam res primum, secundum, tertium&c. locum occupat, aliisve circumstantiis vestita apparet. Sed quia quaestiones ejusmodi in infinitum multiplicari possunt, malumus eas omnes hic sicco pede praeterire, & si quas earum deinceps ex usii nostro fore videbimus, earundem applicationem & enodationem in. reliquas partes reservare, quam ad particularia nonnulla hic loci d stendendo opus nunquam perficiendum aggredi. Hic itaque siaundae Palli limites figimus, mox transituri ad caetera instituti nostri Capita, usumque prolixum doctrinae hujus de Combinationibus in
Arte Conjectandi per plurima varii generis Plobi
145쪽
Usum praecedentis Doctrinae in
variis Sortitionibus & Ludis aleae.
Bsoluta in praecedente parte operis, Permutationum & Combinationum Doctrina, ordo jubet, ut ejus Usum amplissimum in de-- finiendis Expectationibus Aleatorum per
varias Sortitiones & Lucios aleae hac parte eXplicemus. Fundamentum generale hujus indaginis in eo consistit, ut omnes permutationes Vel combinationes quarum
subjecta materia capax est, pro totidem habeantur casibus aeque possiibilibus, & ut diligenter attendatur, quot horum casuum huic illive cossus ori faveant vel adversentur, e quo dein caetera per doctrinam primae Partis absolvuntur. Cum vero specialis fundamenti applicatio non levem saepe industriam requirat, &e emplis melius quam praeceptis addiscatur, nolo Lectorem prolixioribus protegomenis detinere, sed abs que mora ad ipsam enodationem sequentium Proble
146쪽
PARS TE RTIAE IS9matum transeo, quae nullo fere habito seleictu, prout in adversariis reperi, proponam, Praemimis etiam vel interspersis nonnullis facilioribus, & in quibus nullus combinationum usus apparet.
Quidam duobus calculis albo nigros in urna reconditis praemium proponit tribus eά lege, ut qui album extraxerit , praemio potiatur: , si secus omnes faxint, praemio quos careant. Primus autem extras et ipse A, S reponet ue secundin tertius C.
Ιquet, hunc casum tantum specialem esse Problematis generalioris occasione Propos XI. pari. δ. pag. 3 . seluti, quo plurium Aleatorum sortes exploravimus,qui aequali an inaequa- Ii, sortitionum a singulis continuo instituendarum numero aliquid praestare susceperunt ; ubi sortem cujuslibet hia generali formula expressimus: Itaque cum in praesenti exemplo lit . a n
merus omnium castium ) ob duos tantum calculos valeat et 3 ο cnu merus eorum, quibus praescriptum non impletur ob unicum nigrum valeat I; n ob unicam sertitionem a singulis instituendam itiadem I, s vero numerus omnium sertitionum hane praecedentium )pro primo A valeat o, pro secundo B 1, pro tertio C a ; fiet sub stitutis istis literarum valoribus o sera primi A b, sicuudi tertii C i ; sic ut ipsi quoq; alςam U0p0Πςnti xςlinquatur sui praemii.
147쪽
teris positu, ut prius, si alea Trabeuta omni jure in praemium se abdicare volens, jubeat reliquos tripartiri praemium inter se,
si nullus eorum album calculum elegerit: Quaeruntur tum eorum fortes 2
Quia sic omne jus praemii in selidum transit in tres reliquos ,
perspicuum eli, uniuscujusque expectationem meliorari hoc est,mς elus. quod juxta praMed. hypoth. soli Brabeutae convenisset.
PROBLEMA III. Sex, A, B, C, D, E, F, jussu Trincipis, quip emis magis favet quam primi aleapericlitantur: primi duo B eorsim sortirim Uient; uter eorum viseri sortietur cum tertio C, uter borum superior evaserit, cem
tabit cum D ; cporro uris ad ultimum Apraemiums repsirtabit, qui post ultimum
congressum victorsupereris. Supponituram Iem, brusii quoscuus aequaserae inters ce care, hoc est,ueutrum altero potiorem ad vim cendum expectationem habere, Quaerunturimorum fortes 2
148쪽
PARS TE ET IA. I IPrimus A praemio potiri nequit, nisi omnium reliquorum quinque victor evadat, hoc est, nisi quinquiζε continuo vincat; uti & Ω-cundus B: sed nec tertius C palmam reportabit, nisi alteruraum praecedentium Α & B, & omnes tres sequ*ΠῖςS seperet, hoc est, nisi quater continuo vincat, nec 'β R, trium praecede tium ambos sequentes, hoc est. lnisi ter continis vincat, & similia ter de reliquis . Unde constat, Probloma hoc pro casu speciali h bendum esse ejus, quo quaeruntur eXpectationes colluserum, qui aliquot sertitionibus quidpiam aliquoties praestare sestipiunt; cujus statutionem ad Propos XII pari. i. pag.38. tradidi, bella in eum usum supputata, juxta quam primi vel secundi sors erit tertii a ,
nem duplam ob aequalem in quavis sertitione numerum casuum ad vincendum & perdendum) sors primi vel secundi tertii quam ti X, quinti M sexti . Unde patet, exceptis duobus primis, qui aequali expectatione gaudent, quemlibet reliquorum proxime praecedenti duplo potiorem sortem nancisci ; omnium vero expectationes exhaurire integrum praemium is
Caeteris positis, ut prius, Mamus non aquam obtinere horrem in quavis alea, sed unum emi cum secundo β se congredientem du-ylo, cum tertio cum quarto plures ad vincendum quam perdendum ca
ssis habere, exceptis tantum duobus primis, quos aequo Marte certar ponimus: quaritur, ausis omno sex AEquale jus acquirant in S 3 p -
149쪽
Prclmium propos itum, compensatu per δε-plam proportionem casuumsubduplis expectationi ae praecedentis propossitionu '
Hle ob diversitatem sertium, quae in diversiis aleis regnat, calculus pauid intricatior: Consulatur Regula ad calcem Propos. XII pari. I. pag. . & formula, quam suggerit, ubi literae be h&c. numeros casuum ad Vincendum a Q&c. numeros omnium casuum in successivis aleis significant; exprimitur enim hac formula
expectatio aleatoris alicujus: qui aliquoties continue vincere tenetur, quantumvis in diversis aleis non idem maneat casuum numerus, quibus vincat ; uti in praeced. Problemate. Patet autem, quantitatem
hanc M dcc. hoc est, expectationem totalem, seu spem
vincendi omnes aleas, multiplicatione conflatam esse ex sortibus particularibus, quas habet ad vincendum singulas. Cons. Coroll. I. Prop. 3 pari. 1. Quapropter ut Problematis nostri Glutio methodica habeatur , investigandum successive, quaenam juxta hanc sormulam primi A sit futura sors, sit primo unum B, dein si duos B & C, hinc si tres, quatuor, ac denique omnes quinque reliquos vince suscipiat; id enim omne praerequiritur ad indagandum sortes caeterorum. Est verb sors ipsius, cum solum B vincere suscipit, I ; cum
duos B & C vincere contendit, m l , cum tres B, C & D, lactae j, , &c. ut eX apposito laterculo apparet. Quod idem intelligendum de secundo B. Quod spectat tertium C, is cum alterutro praecedentium quem in laterculis lit. P indigitamus congredi tenebitur ; utrumviS autem contingat, habet i expectationis ad illun vincendum: quare si praeter illum etiam sequentem D vincere susci
pi t, habebit M l ; si vero & ipsum Ε, oo . Similites
quarto D cum uno praecedentium P congrediendum erit: si cum C di m , habet ad illum vincendum ' si cum A vel B, habet λ, ςd aeque facile contingit, ut cum A vel B vel C congredi te neatur; quandoquidem omnes tres eandem habent expectationem ad
150쪽
PARS TERTIA. ors ipsim . . A l s
vincendum continue, quousque ordo certandi quartum D tangit, singuli nempe I, ut ex Tabula liquet: quocirca iple D per Prop. 3. pari. I. habet ad vincendum indefinite unum
trium praecedentium, qu*m ipsi sera objecerit; id uosi praeterea& quintum E vincere conplur, ita N Gnsebitur δ, M - &e. Non secus duinti E & sexti F sert plorantur, nisi quhd ipsos non aequὶ facith cum unoquovis ex madced xi ta di contingit. Nam . F. primus Α habet δd Vin i dum continue ipsos B, C, D, juxta