장음표시 사용
171쪽
ticum inter 1 &3. Sin ipse contingunt duo jactus instituendi , illis jactibus vel 2, 3, &ς. vel denique i a puncta consequetur ; &quis unus casus est, quo et puncta, & unus quo Ia: duo verb casus quibus 3 & duo quibus ii: nec non tres casus quibus , & totidem quibu*ro puncta acquirit, &sic porro; censebitur ejus expectatio, per Prop. 3. pari. I. punctorum aE U ' 3
LI , quod medium quoq; arithmeticum est inter extrema puncta a & tr. Quod si ipsim tres jactus instituere contingit, poteris illis jactibus impetrare 3, , &c. usq; ad i8 puncta, quorum quae ab extremis 3 & is aeque sunt remota, aequali semper casuum num xo subjacent; unde eodem modo ostendetur, quod ejus expectatio tum valeat puncta ro , medium itidem arithmeticum inter extrema 3 & i8. Pariter etiam , si ,3 aut 6 jactus ipsi peragendi sensi ejus e pectatio inter Sc et , inter & so, inter c & 3 , qui sunt extremi n meri punctorum quae φ, Sc 6 tesseris evenire possunt, media erit, adeoque punctorum i , i7ξ l& 21. Quare cum aeque facile contingere possit, ut collusor A vel i, Vel z. 3, 4, s aut jactibus defungi teneatur, a quam etiam habebit expectationem ad puncta 3 I, , et . 1 & xi; qui numeri cum & ipsi sint in arithmetica progres sone, interque extremos medius existat ia , indicant expectati nem hanc aestimandam esse punctorum.
Haud absimili ratione in h poth. procedere Iicet: nam si colluser A prima vice unum jaciat punctum, habebit unum. Si duo jecerit puncta, habebit puncta et, & praeterea adhuc unum jactum, qui ipsi per ante dicti valet si puncta ; adeoq; cum duobus illis habebit puncta l. Si tria ipsi puncta ceciderint, habebit praeter haec 3 puncta duos jactus, quos ipsi valere diximus puncta, proinde in totum nar bi pu:acta o. Non secus si aut 6 puncta primo jactu ev ' l, 'ςtur habere i l, aut puncta. Unde cum initibpari facilitato I, 2, 3, , s aut 6 puncta jacuta possit, aequam itid
172쪽
propter arissimeticam progressionem 4 mediam inter I , ρι'&23 puncta expectationem obtinζbit; quae quidem rurius est ut antea punctorum , rItaq; cum in utraq; hypotlaesi collusor A habere censeatur punis ea iri, quorum alteri B tantum 12 concessa sunt, coligendum vis dotur expectationem ipsius A potiorem esse quam B. Huius autem ntrarium ex priore solutione, quae sua lucς radiat, apparet; quart- quam prosectis dissicile dictu est, cur ille plura quam hic puncta, minorem autem depositi partem expectet, cum tamen acquisitio depolisti vi pacti pendeat a punctorum pluralitate .
teris p itis, ut ante , Collusior B pro rata
sua quadratum numeri pune forum primi
jactur concedi sibi postulat. site ritur nunc ratio fortium '
Distinguantur rursus hypotheses ra. Opoth. Intelligatur jactus primus non accenseri tat hibus collusoris A: Igitur si primo jactia unum punctum cadit, Collusori B ex pacto quoque tantum unum tribuitur, dum alter A instituet unum j ctum , e cujus 6 casibus unus est, qui unicum ; & s qui plura et pumeta advehunt: adeoque i casus qui ipsum ex semisse, & s qui ipsum ex asse victorem reddunt; id quod seriem ei parit Si primo jactu cadit binarius, ipse B ex pacto habebit bis duo seu A puncta, dum collusori A duo jactus concedendi: sunt autem in 1 iactibus as casus, interque illos tres punctorum tot quot habet B nempe punctorum 3 ut & tres pauciorum punctorum, & 3o
plurium: unde sers ipsu4 A fx x p . Si primo iactu ternarius evenit, acquientur ipsi B ter tria stu' puncta, ipsique A 3 jactus, qui casiis praebent 2i6. Hos inter iuri
173쪽
2s punctorum novem tot scit . quot habet B ) 16-ge plurium punctorum , quod seriem efficit ' Ρε -
Simili discita se reperitur, si primo jactu quaternarius, quin serius vel senarius prodierit, sortem collusiris A sore 1 l , aut pi is . Cum igitur omnes 6 casus primi jactus sint aeque procli ves, sexta pars aggregati harum fractionum ἔδ, ῆiga I, &3r s, nςmpo jIIm indicabit quaesitum; unde alteri B relinqui
. - nunc primus jachis de ipsi computandus cum jactibus colluseris Α: quo posito Si unum prodeat punctum, liquet utrumque colluarum habere punctum, adeoque depositi semissem. Si duo emergant puncta, habebit B ex pacto puncta , sterq; A praeter jactum quo jam iuncias est adhuc alium instituet, e cujus scassibus unus est, qui a puncta ci. e. si primi jactus binarium una computes, puncta, tot scit . quot B habet unus itidem casus qui pauciora, & qui plura ipsi afferunt: unde Ars ejus tunc erit Si tria jaciantur putam, B puncta ' habebit, A verb praecedenti jactui duos adhuc superaddet, qui 36 casibus sitiat subjecti. Ex horum numero sunt 3 qui sex ipsi puncta producunt h. e. compi
henso primi jactus ternario totidem, quot B habet) io casu qui pauciora, & ri qui plura; id quod collusori A senem progenerat Simili ratiocinio colliges, si prima vice 4, sives c puncta cadant, sortem collusoris A futuram vel γε et 1. Ob sex igitur casus primi jactias aeque proclives, sexta pars aggregati omniunt stactionum ) , i mpe ostendet quaeiatum; ita ut collusori B relinquatur cui scruisu in utraque hypothes potior expectatio contingit . PRO -
174쪽
In Gallia, Dania, Sureia, Belgio, inferiore Germania & I vis finitimis aleae quoddam genus in usii est, quod vocant Cinq Oncus, quodque inter duos collusores A & B duabus tesseris institui-xur, ludendi vices perpetuas in se recipiente altero eorum A. Conditiones sidi sunt tales: Si A prima vice jaciat 3 vel xi, aut punctaquplicat quae nque μη 4ρ let, ein .ufo puta duas unitates, duos binarios, ternarios &c. Vincit ipse A: sit jaciat ue vel ', vi xit alter B, si alium quemvis punctorum jecerit numerum, put
7, 8, vel Io neuter eorum qdhuc vicit, sed ludum prosequicnentur, donec aut s vel ' punista ceciderint, quo casii ipse semper B victor erit , aut donec idem praecise punctorum numerus, qui
primo jactu prodiit, redierit ; qui casis ipsum A victorem reddite conditio enim dς jaciendis punctis 3 vel ii, aut duplicatis quibusvis ipsi non nisi in ptimo jactu prodest. Quibus positis quaeritur ratio solitum φQuoniam colluser Α, quatenus prima vice 6, 7, 3 aut io incta jacere potest, ad sortes pervenit etiamnum incognitas & i
'xploratas, hae ante omnia veniunt investigandae. Ponamus itaque prima vice jecisse quaternarium, & nunc in
procinctu esse alterum instituendi jactum . Quare cum in duabus tesseris tres sint cassis, qui eundem quaternarium revehunt, ipsum
que A victorem ludi reddunt; & octo alii qui ue vel ' pulicta ais runt, eique depositi jacturam causantur; dum caeteri omnes ipsum ad repetitionem jactus obligant, eoque non plus e ficiunt per Cor. .HOp. 3. pari. I. quim si prorsus abessent; idcirco fiet ejus expecta tio ' x ij . quoque illi sors acquiritur, si primo jactu denarins ceciderit, cum in duabus tesseris denario & qua tem rio aequalis caseum num rus Iosponta4ῖ - ,
175쪽
Ponamus deinde, primo jactu prodiisse senarium. Itaque curis casiis sint, quibus altero jactu idem redire potest senarius, dum rursiis 3 aliis 3 vel ' puncta obtingere possunt , sequitur nunc collu sorem A s habere casus pro se, & 8 contra se, neglectis, ut antea, reliquis, qui ipsum in eodem statu relinquunt quod sortem ei parit
x i. Quanta quoque illius expectatio est , si primo jactu octonarius evenerit 3 cum Garius & octonarius eidem casuum numero sint obnoxii. Ponamus denique, primo jactu cecidisse septenarium. Unde cum idem septenarius sequenti jactu sex casibus redire possit, erunt nunc ε castis, pro collusere A, dum 8 ut antea siuit pro adversario , quod sortem ipsius A emcit .
His ita inventis pergo in Problemate, considerando statum collusoris A ante primum jactum, & examinando quot ille casibus
per jactum hunc ad unamquamque praecedentium sortium pervenire possit: Primo constat, in tesseris duabus sex esse casus punctorum duplicatorum quorumque, ut quatuor alios punctorum trium vel undecim, adeoque io in universum casus, qui colluserem A ex Iudi praescripto totius depositi dominum reddunt. Deinde etiam liquet ,
ut jam insinuatum est, 8 esse casus punctorum quinque vel novem , quibus ille contra toto depositio excidit. Praeterea numerantur 6 c
sus quatuor simul & decem punctorum, sed comprehens in iis ambo casus duplicati binarii & quinarii, quibus colluser A toto deposito potitur, quorumque ratio jam habita est; his igitur subtractis r manent tantiim ψ, qui ipsum ad sortem supra inventam A perducunt. Porro habentur casus io pro sex & octo punctis, unde demtis iterum duobus pro duplicato ternario & quaternario, relinquun tur 8, qui illum ad senem supra repertam promovent. Tandem reliqui sunt 6 casus ad puncta septem, quibus supra ostendimus i sortem acquiri . Omnibus igitur in compendium redactis, clarumost, expetitionem Aleatoris A, quam ab initio ludi ha , DN ζ, ac proinde col
176쪽
pARS TERTI A. 169lusoris B ' , se ut ratio sortium sit, ut 618' ad 481o. Unde
perspicuum fit, potiorem hujus quam illius conditionem esse, ut maxime sint qui secus existiment. inque partes ipsitus A transire malunt
imatio sortis in alio quodam A lea
Memini me olim tempore nundinarum quendam lite vidisse Circulatorem, qui sequens aleae genus in foro e onebat, eoque prae tereuntes alliciebat. Discus erat orbicularis ad libellam compositus, Versus medium parumper acclivis ; Limbum circumcingebant v I culi seu foraminuta contigua & aequalia, quae in quatuor distincta clam vel series numeris ordine ab I usque ad VIII quater adscriptis
signabantur; Medio disci perpendiculariter imminebat fritillus.
Fortunam periclitaturus per cavitatem fritilli quatuor demittebat globulos excipiendos in circumferentia disci a totidem loculis, auser batque praemium quod numeris horum Ioculorum in siimmam cotilectis dicatum conspiciebat, majoris minorisve pretii pro aggregati diversitate, ut ex subjuncto laterculo apparet. Singuli autem globulorum jactus ipsi quaternis numinis redimendi erant. Q ritur ipsius expectatio φConstat primb, quM unoquovis globulorum jactu ad minimum
, ad summum 32 puncta obtineri possunt, quorum utrumvis uno
duntaxat cini contingit, illud, si globuli singuli singulorum ordinum prima soramina sibintrant, istud ii ultima . Deinde observo, quod casus multiplicentur pro intermediis punctorum numeris, prout ab utrovis extremo aut 32 magis recedunt, &qubd maximo casuum numero sit expositus numerus 18, medius arithmeticus inter & 31 ;bini autem numeri a medio I 8 supra infraque aequaliter remoti aequa ii quoque casuum numero subsint. Tertib considero, quδd forami- nula, quae quovis jactu globulos eXcipiunt, vel omnia quatuor sina xa esse possint eodem citer nato numero; vel tria eodem, qua Y tum
177쪽
ο ῖo Io as sa tera duo diversis: vel denique 71 9 a a I 28 omnia quatuor differentibus 8la8 18 16 24 s determinatis numeris , qu 9la7 Io Ia Ι6 rum quidem primum unico, io 26 6 8 66 alterum tertium qua Ilias 6 6 976 tum 6, ultimum 216 casibus Iaia 4 6 I36' accidere potest. Etenim cum Ria 3 s 1776 quaterni sint loculi homologi ,3 iaa 3 34l aeto sve eodem determinato Iam Isaa 3 3 l asso mero puta I notati, si glob 16iao 3 3 l z893 lorum nonnulli puta tres ab
re posse, quot terniones in robus continentur, nempe quatuor; adeo ut si quartus instiper gi bulus in aliquem Ioculum alio numero, ex. gr. II. fgnatum se recipere debeat quod ob quatuor uniones in rebus rursiam quatuor ca sbus evenit) concludi possit, quater quatuor seu 36 in universum casias existere, qui essiciant, ut tres globuli tres loculos n. I signatos& simul quartus unum loculorum n.' II notatorum sebintret. Quemadmodum etiam colligere promtum est, ob sex biniones rerum qua
tuor, sexies sex seu 36 casus haberi, quibus contingat, ut duo loculi n.' I conspicui a duobns, & duo n.' II notati ab aliis duobus globulis occupentur: nec non sexies quater quatuor, h. e. 96 casus, quibus duo loculi num. I a duobus, unus loculorum n.'II a tertio, &unus n.' III a 4 φ globulo occupetur: ac denique . . . h. e. z is casus, quibus unus globulorum in locutum n I, alius in loculum n. II, tertius in loculum III, & quartus in IV se recipiat. Ubi tandem notandum, quod ad variationes illas r4, quae ex sela
globulorum permutatione mutua oriuntur, non attendamus, quirpe quae insuper haberi possunt ceu totidem casus secundarii, ex qui bus unusquisque primariorum conflatur.
178쪽
His ita praemissis & intellectis inquirendum est in numerum c suum cuivis Anctorum numero convenientem, eo fere modo quo supra post Prop. q. pari. r. ad numeros lactuum in tesseris 1nvestigandos usii fuimus; resolvendo vid. propositum punctorum num
qubd I ulis majores nGeri non sint adstripti) idque omnibus modis possibilibus, ac deinde singulis modis tu ta supra observata suos tribuendo casuum numeros, ii xum hibebit. At quoniam ei ratione numerus casuum duntaXat pro dato punctorum 'numero inveniretur, nobiS verbuniversis punctis necessaria est, poterimuS aliam com diosiorem inire viam, & omnia una operatione conlequi, hoc modo :In supremo sequentis Tabulae margine scribantur ordine n meri yunctorum a IV usque ad XVIII; sufficit enim horum dete minasse casus, ctim singuli supra XVIII cum singulis infra in casuum
multitudine , uti di tum, conveniant.
Ponamus, globulos omnes excipi Ioculis homologis, erunt eorum numeri vel φ unitates, ve binarii, ternarii, quaternarii quorum summae sunt, φ, 8, Iz, 16, &c. quμφ-x gre sinistro I. I. I. I caeteris a. a. a. a &c. u', ad 8. 8. 8. 8 me te subintellectis & e regione sub singulis punctorum numeris IV. VIII. XII. XVI. &c. notentur singulae unitates. Ponamus tres globulos excipi loculis homologis, quartum di- Versio: erunt homologorum numeri vel tres unitates, vel totidem binarii, ternarii&c. Si tres unitateS, quartus moi
narius, vel ternarius, quaternarius m. qui singuli iuncti unitatibus summas eniciunt V. VI. VII. VIII. ... XI; quocirca in mar nς signetur I. I. I. a creliquis I. I. I. 3 &c. usique ad I. I. I. 8 mznte
suppletis & e regione sita punctis V. UL VII. .. XI. sicribatur IC . Si homologorum numeri sint tres binarii , quartus ςrit Vell, ve 3,ὐA L ne cui iuncti binariis summas exhibent VII. IX. X. .. XIV. quare in margine pon tur λ tellectis) & E regione sub lingulis punctorum .
rursus scribatur i6. Similiter etiam procedendum, ubi homolog rum numeri sunt tres ternarii, istemst quarto I. a. aut s
179쪽
tres quaternarii, existente quarto I. a. S. aut s &c. aut tres quina quarto uno reliquorum, scribendo nempς 16 sub singulis punctorum summis, quas additi loculorum num ri efficiunt. Ponamus porro locuIos globulorum duos homolostos, & alio duos rursus homologos, sed a prioribus diverses: etunt numeri linculorum vel duae unitates cum duobus binariis, ternariis, quaterna rais &c. qui unitatibus juncti faciunt UI. VIII. X. ... XVIII vel duo binarii cum a ternariis , quaternariis &c. qui additi binariis constituunt X XII. XIV. &c. vel duo ternarii cum totidem quaru nariis &c. vel duo quaternarii cum totidem quinariis &c. &c. id' circo notentur in margine Tabulae I. I. 2.2, 2.2. D , a. a. a. 4&c. caeteris I. I. R. 3, I. I. - &c. nec non a. a. q. &c. S. s &c. compendii gratia omissis) e regione verb sub sinstulis numerorum tam expressorum quam mente retentorum summis scribantur 3 6. Pe inus deinde ponere Ioculos gIobulorum duos homoIomy, reliquos ab his & inter se diversios: erunt homologorum nuzri rursus vel duae unitates, vel duo binarii, ternarii &c- ω si unitates,
tertius erit vel binariuS cum quarto ternario, quaternario, quinario &ς vel ternarius cum quarto quaternario,. quinario &c. & ita consi quenter: si duo binarii, tertius esse potest ves r cum quarto 2, Φ, q=
harum combinationum I. I. a. S, nec non a. a I. 3