장음표시 사용
241쪽
qUae quantitates componuntur, ut patet, ex tot rationibus aut quot sunt factores: at horum numerus est v, h. e. infinitus; cum inter primum nr n, aut m '& ultimum nr I aut ηιε 1 differentia sitn - I. Idcirco rationes istae sunt infinituplicatae rationum &, ac proinde simpliciter infinitae: qua de sequela si dubites, concipe infinitos continue proportionales in ratione rs-s ad rs-r, vel rs εν ad rs -s ; erit primi ad tertium ratio duplicata, primi ad A. Vm triplicata, ad sxV quadruplicata, &c. ad ultimum infinituplicata rationis : constat autem, rationem primi ad ultimum infinite magnam esse, ob ultimum x O. Hic Co- νιλ Posit. nostra 6 de Serium I finitis. Quare etiam constat, in-fnituplicatam rationis vel infinitam esse. Ostensium itaque est, quod in potestate insta ite alta binomii terminus maximus IH ad duos L & A rationem habeat omni asJgnabili ratione majorem. Q. E. D. Lemm . s. Postis, quae in praeced. tantus intelligi potest numerus n, ut summa omnium terminorum ab intermedio & maximo Mod ambos usque L & o inclusive sumtorum, ad summam omnium reliquorum eXtra ilira limites L & A utrinque protenserum rationem habeat omni data ratione majorem. Dem. Vocentur termini intra maximum M & limitem siti- strum L, secundus a maximo F, tertius G, quartus H, &c. & extra limitem L, secundus ab ipso P, tertius quartus R, &c. Quo
part. 2. Lem. 3. erit quoque vicissim a e.
Quare clim positio x numero infinito, ratio si infinite magna, por
242쪽
Lem. 6. sortius etiam caeterae ratiOnos p di , &e. erunt in finitae; eaque propter A infinita, h. e. omnes simul termini intra maximum M & limitζm L contenti ii finities majores erunt totidem simul terminis extra L porriniS ipsi L proximis. Ee quoniam numerus omnium terminorum ζXtra limitem L numerum nium intra eundem & m Ximum M non utS1 -I h. e. non nisi finitis vicibus superat, per Lem. ipsique insuper termini eo minores evadunt, quo sunt a limite remotioseS, pζr L. pari. 3. Lem idcirco termini simul omnes intra M & L etiam non com-Dutato M) omnes simul terminos eXtra L adhuc infinities imperabunt. Similiter autem ostend 'tur ab altera parte, quod omnes intra M & Aeonclusi termini omneS eXtra A porrectOS quorum numerus priorum numerum per Leth. I. non nisi r I vicibus excedit infinities
siderant Quare denique omneS termini inter utrumque limitem
i &Λ comprehensi s demto licet ina imo M) omnes omnino te minos extra positos itidem infinities superabunt. Ergo multo magis uita cum maximo. E. D. schol objici posset contra & Lema, ab his qui speculationibus infiniti non assueverunt, qubd eti insi in cassi numeri ninfiniti factores quantitatum, quae rationes 37 & - eXprimunt,
valent acnr-ου evanescentibus ratione singulorum
factorum numeris I, 2, 3,&c. feri tamen possit, ut omnes collecti vel in se ducti propter infinitum factorum numerum ) in infinitum excrescant , adeoque rationem Infini-
inplicatam rationis infinite diminuant, h. e. finiatam reddant Cui scrupulo melius satisfacere non possum, quὶm si nunc porro modum ostendam assignandi, reapse finitum numerum n, sive finitam potestat m binomii, in qua summa terminorum intra limites L & Λ ad summam tζrminorum extra, rationem habeat data ratione quantumvis m)M , qu m lit ra si designo, maiorem; iutpote quo ostensio objectionςm ultro corruere necesse est.
243쪽
Hunc in finem assumo rationem quamlibet majoris inaequalitaris, quae tamen sit minor ratione π pro terminis ad partem sis nistram ) puta rationem , eamque toties m vici bus o multiplico, quoad aequet vel superet rationem c. s- I ad I, hoc est, ut sit - x vel c. s - 1. Quoties autem id fieri do beat, compendiose investigatur per Iogarithmos ; nam sumtis quan-.titatum Iogarithmis fit mLr 1 - mLr x vel , L. Iri, & divis
sione peracta statim habetur m e QE- , quo invento se pςD
go : In serie illa fractionum sive factorum . .
q. resultat ratio es, observare licet, quod singesae fractiones sint minores quam , , ita tamen ut ad hanc continue propius accedant, quo major initur n : itaque quaelibet earum aliquando fiet aequalis ipsi -- x ; Quare videndum , quantus sit accipiendus valor n, ut fractio scujus numerus ordinis est ni aequetur ipsi -- . Est verb ut ex progresmonis Iege perspicuum fit fi ctio ordine m haec. is, vi, a quae adaequata fractioni, dat n x m & inde x vit --. Dico, hunc elle indicem potestatis, ad quam si elevetur binomium ν - ι, suturum ut terminus maximus M superet limitem L plus quam c. 3 - ivicibus. Nam quia fractio ordine m per hanc assumtionem numeri η diis hypoth. & vero fractio secum ipsa vicibus multiplicata, h. e. per constr. aequet vel superet c. s fit ut
244쪽
st ut haec fractio in omnes praecedentes fractiones ducta multo misgis excedat ι . ; cum singulae praecedrum majores sint quam. Ergo magis adhuc superabit c. I, quando ducitur una cum praecedentibus in omnes etiam consequentes, utpote quarum singulae Ditem aequalitatis Uti nem CX edunt. productum omnium harum fractionum rationζm CXhib*r termini M ad L; igiae omnino constat, terminum Μ supdras Q limitam L PluS quam c. ι- r
multo magis secundus a maximo Μ siecundum a limite L sus quam ι. . - 1 vicibus superabit, & magis adhuc tertius tertium, &c. Itaque tandem omnes termini intra maximum M & limite L sup rant totidem e maximis extra hunc limitem plus quam c. s - 1 viciabus , adeoque superant totidem illorum s I vicibus sumtos plus quam c vicibus. Ergo multo evidentius superant omnes extra limitem L, quorum non nisi s - 1 vicibus plures sunt, plus quam o vi cibus .
Pro terminis dextimis pari modo procedo: Assumo rationem
Deinde, in serie fractionum ' ηυ-ns in is ' rr nr v I rationem et innuit, pono fractio.
nem, quae ordine est m, nempe , aque elicio n m ' ' , ac proiit ni mi ε . Quo facto similiter ostendetur, ut antea, qubd binomio νε s ad hanc pote. statem sublato, terminuS ejus maximus Μ superabit limitem Λ plus quam c vicibuS & per consequens etiam, Rubd omnes maximo M & limite A conclusi superabunt omnes extra hunc limitem, quorum non riisir I vicibus plures sunr, plus quam si vicibus. Itaque finaliter tandem concludimus, qubd elevato binomio rins ad potesta-Hm, cujus in X aequetur majori harum duarum quantitatum
245쪽
236 RTIS CONJECTANDI, i ta i ri , simul termini inter utriumque Iuni-L & A comprehensi multo pluribus quam ι vicibus superabunt omnes simul terminos extra limites ab utraque parte protensos. Re-krta igitur est finita potestas, quae optatam habeat proprietatem . 'N 'rimi . Mquitur tandem Propositio ipse, cujus gratianam omnia dicta sunt, sed cujus nunc demonstrationem sola Lenam tum praemissorum applicatio ad praesens institutum ab luet. Ut Circumlocutionis taedium vitem, vocabo casus illos, qui S eve Pus quidam contingere potest, faec dos seu fertiles; & 'minimos,fh ohri c 'n ς00xing*rτοῦ nec non experimenta la, quibus aliquis cassium fertilium evenire de
prehenditur; & in fecunda silve semia, quibus sterilium aliquis coi tingere obsiervatur. Sit igitur numerus casuum fertilium ad num rum sterilium vel praecise ves proxime in ratione adeoque ad n m V mmum. tu ratione seu 'ν quam rationem terminent, A . . Ost . ndum est, tot posse capi experimenta, ut datis quotl puta c vicibus inrisimilius evadat, num
rum fertilium observationum intra hos limites quam extra casurum esse, h. e. numerum fertilium ad numerum omnium observationum rationem habiturum nec major in qu in imc minorem quinirem. Ponatur numerus capiendarum observationum nt, &
exiitant baeciandae, exceptis primo nulla, dein una, duabus, y, &c. eratious. Quandoquidem autem in qualibet observatione praestolunt eX hyp. t casus, eorumque r foecundi & s stetit s, & snstuliis, si ' n h* QR combinari, combicile possunt, fa-ςi z P rQt, huic negotio quadrare Regulam Annotationibus Prop. XIII.
246쪽
XIII ptimae Part. in fine subneXam, & ejus Corollarium secundum , quoi universalem formulam continci, cujuS ORC C gnosicitur, quod expectatio ad nullam observationem terilem sit r' ad unam Ur s: i' , ad duas sterilcs ad tres nI.nt I. ni J--3 & sic deinceps ; adeoque rejecto communi nominet in quod gradus probabilitatum seu numeri casuum, quibuS contingere potest , ut Omm3 CXPerimenta sint foecui da, vel omnia lsterilia, ordine cus contingere potest, ut omnia e X pCsImensa IIIJ Lnia praeter unum sterile, vel omnia praeter duo, c. iine exprimantur per ' rus m. ni I . ut ' ut - 3, 3, . ipsis sinios nempe terminos potestatis ni binomii r -s, in Lemmatis modo nostris excussae: unde jam caetera omnia oppido manifesta sunt. Patet enim ex progresssionis natura, quod numeruS c suum, qui cum sterilibus experimentis
saecunda adducunt, sit ipse terminus maximus potestatis M, utpote quem in termini praecedunt, & tir sequuntur, per Lem. J. Item , qudd numeri illorum casuum , quibus aut dr in ii aut tir n eX rI- mentis Decundis caeterisque sterilibus esse contingia, exhibeantur per terminos potestatis L & Λ, quippe int ruallo n terminorum a maximo M utrinque distantes; & per consequenS iam, quod summa casuum, quibus non pluribus experimentis quam m-kn, nec paucior bus quam nr -n faecundis esse contingit, exprimatur per lummam terminorum potestatis intra limites L Ω Λ complehensorum,
summa rei quorum casuum, quibus aut plura aut pauciora eXpe rimenta foecunda redduntur, per caeterorum terminorurn lImites hos L & Λ eXcedenti uim summam eXpressa. Quare cum tanta sumi possit potestas binomii, ut summa terminorum utroque limite L & Λ inclusorum pluribus quam c vicibus superet summam caeterorum limitin hos excedentium, per Lem. q.& ς sequitur etiam , capi posse tot observationeS, Ut summa casuum, quibus numero fertilium observationum ad numerum o Iaium rationem habere contingit, non eaecedentem limites M
247쪽
, seu , pluribus quam ι vicibus superet sumam casuum reliquorum ; h. e. ut pluribus quam c vicibus probabilius reddatur, rationem numeri observationum fertilium ad numerum omnium intra hos limites , quam extrq castiram esse. Quod demonstrandum erat. In speciali autem horum applicatione ad numeros satis per se paret, quod quo majores in eadem ratione assumuntur numeri r , seo arctius quoque constringi possunt limites rationis Idcirco si ratio inter numeros casuum per eXperimenta detem minanda, silex. gr. sesquialtera, pro r&s non pono 3 dc a, sed 3o & ao, vel scio & aco &c. sufficiat posuisser x 3o, i x ao, &
statuatur insuper c x I O sic set ex Scholii praescripto, proterminis ad sinistram:
ra x mi in assso. Unde per ibi demonstrata insertur, quod institutis assso experi mentis multo plus millies verisimilius si, rationem quam numerus fertilium observationum obtinebit ad numerum omnium, intra hos limites J dc it casuram , quam extra. Atque eodem pacto, posita 6 M IOCOO,aut c x Iooeoo&c. cognoscetur, idem plus decies mi,
248쪽
millies, si capiantur 36966, &c. & sic porrb in infinitum, additis nempe continuo ad assso aliis STO8 experimentis. Unde tandem hoc singulare Lqui videtur, quod Si eVentuum omnium observationes per totam aeternitatem continuarentur, c probabilitate ultimo in pei sectam certitudinem abeunte) Omnia In mundo certis rationibus & constanti vicissitudinis lege contingere deprehenderentur; adeo ut etiam in maximὸ casualibus atque fortuitis quandam quasi necessitatem, &, ut sic dicam, fatalitatem agnoscere teneamur ; quam n scio annon ipse jam Plato intendere voluerit, suo de universiali rerum apocatastasi dogmate, secundum quod omnia polt m- numerabilium seculorum decurium in pristinum