장음표시 사용
251쪽
Um non ita pridem in Serierum Infinitarum speculationem incidissem, prima, cujus summa post Geometricam Progressitonem ab aliis jam tradi atam mihi
1ese Osserebat , erat series fratctionum , quarum denominatores Geometrica
numeratores Arithmetica progressione cresicunt: quod cum Fratri indicassem, non tantum mox idem adinvenit ille, sed & praeterea novae cujusdam fractionum seriei, cujus denominatores Trigonalium, Ut vocantur, numerorum dupli erant, summam pervestigavit; quam vero & ipse, cum significasset, postridie detexi , propositis ei vicissim aliis nonnullis, quae interea, Ut clavus
clavum trudere sistet, occasione hac repereram. Quibus inventis certatim alter alteriam sic exercuimus ut
paucorum dierum spatio non tantum serierum illarum,
quas Celeb. Leibnitius in Actis Erud. Lipsi Anno i 68a
M. Febr. & i 68ῖ. M. Octob. recenset, noSque paulo antea mirati fuimus,siummas dare possemus, sed & plura alia eaque non contemnenda CX gemino duntaxat fundamento invenerimus , quorum unum consistit in resolutione seriei in alias infinitas series, alterum in subductione seriei uno alterove termino mutilatae a seipsa integra. Horum vero praecipua cum eorum nihil apud hos quos legi hactenus, publicatum viderim) enucle-
252쪽
r N F I N I T I S. 24 Ianda proponam, praemissiS nonnullis, quae passim apud alios quoque vulgatae Prostdnt, PropositionibuS, ne illas aliunde petere opus esset. Caetzrtam quantae sit necessitatis pariter & utilitatis haec serierum contemplatio, ei sane ignotum esse non Poterit, ctui Persipectum habuerit, ejusmodi series sacram quasi esse anchoram ad quam in maxime arduis & desperatae solutionis Proble matibus, ubi omnes alias humani ingenti VireS naui ragium passi velut ultimi remedii loco confugiendum est.
Mne quantum est divisibile in partes se minores. omni quantitate finita potest accipi major.3 Si quantitas quaepiam multata parte sui aliqua subtrahitur a seipsa integra, relinquitur illa pars. PROPOSITIONE S: I C tuod data quavis quantitate mi tu est, istud est non- quantum seu nihil. D . Nam si quantum esset, dividi posset in partes se minores, per Axiom. I. non igitur esset data quavis quantitate minus, contra hyp. II. Quod data quavis quantitate majus est, infinitum est. Nam si finitum esset, illo posset accipi quantitas major, per
Ax. r. non igitur quavis data quantitate foret majus, contra hyp. III. Omnis Progressio Geometrica continuari potest per terminos in nitos.
Semper enim fieri potest: Ut primus terminus ad secundum, sic postremus ad sequontζm , & sequens ad alium & alium sine fine in infinitum quorum quidζm tζrminorum nullus aequari potest vel nihilo vel infinito, cum secus ad illum praecedens eam rationem habere non posset, quam habet prim S ad secundum, contr. defin. progr. IV si si Pruresto Geometrica qμι μηqsie A, B, C, D, E; alia arit metica totidem terminorum A, B, F, G, H, incipiens ab iisdem terminis A
253쪽
O B , erunt reliquorum singuli in Geometrica singulis ordine sibi resondem
ritus in arithmetica ma res, tertius tertio, quartus quarto, ultimus ultimo νadeoque omnes omnibus. Quia enim A. B:: B. C:: C.D:: D. E. erit per 2 s. s. Eucl. tum
r BOO ex nat. Progr. Arith.) unde F: tum A- D B FM A G; unde D G: tum A--Ε B--D B in Goo AH-H , unde E H. Quae erant demonstr. V. In progressione Geometrica cresiente A, B, C, D, E perveniri tamdem potest ad termi,um E quovis dato Z majorem. Incipiat ab iisdem terminis Progress o Arithm. A, B, F, G, H, Continuata quousque ultimus II supei et Z id enim fieri posse claret,)tum vero continuetur Geometrica per terminos totidem, eritq e per Praeced. postremus E, D Z. Q. E. D. Coroll. Hinc in Progr. Geom. ci essente infinitorum terminorunt
postremus terna: nus est m, per Prop. II. soo est Nota Ilifinitia)VI. In Progrε C. Geometr. dies hue A, B, C, D, E pervenitur tandem ad terminum E q fovis dato Z minorem Constituatur Progressio asscendens Z, T X, V, T, in ratione B ad A, quousque ultimus terminus t sup ret A, quod fieri posse per princed. constat; tum continuetur altera descendendo per totidem terminos A, B, C, D, E; eritque ultimus E dato Z. Quia enim Progressiones η, B C, D, E, dc T. V X, I, Z, mr eandem rationem A ad B progrediuntur, Sc terminos numero ae tu iles habent, erit eX aequo A. E :: T. Z. sed A T, per consti. Ergo & F Z. QE E. D. Coro . Hinc iri Progr. Geomet. decrescente in infinitum continuata ultimus terminus est O , per Prop. I. VII. Di omi Progr. Geom. A, B, C, D, E, primus terminus est ad secumdum ,sicut summa omnisin excepto ultimo ad hummam omnium excepto primo. A. B:: A--B C D. B--C D E. Quia enim A. B:: B. C:: C.D:: D. E. erit per Iz. s. Eus. A. B: τε BH-C D HE. Q E. D. VIII. Progressionis Geom. cf-unque A, B, C, D, E, siummam S invenire.
254쪽
disseremiam duarum quantitarum, quibuS interseritur, eum non d finitur, penes utram sit ζ ςς iv ὶ . . . e re Ri Pro uisio Geometri descendendo continuetur in ini nitum , adeoque u muS terminuS PM Coroll. VI. evanestat, eriet summa omnium : unde liquet, quo pacto infiniti etiam term ni finitam silmmam constituere possunt. IX. Si Aries infinita contihine pro riique o m A, B , C, D, E, sec.
at in ratio e A ad erunt 'mina omnium terminorum , omnim/ν emto primo, omnium demis duobM yrimis, σέ. etiam continue proportu' vales, quidem in eadem 3 asione A, B . Quoniam A. B:: Γ. C:: C. erit tum Aq. Bq:: Bq.Cq: tum etiam quare dividendo rationes aequales per aequales , v. B- Summa omnium ad omneS sequentes primum, ut hi ad omnes sequentes secundum. in E. D. Et promta per I'. s. EucI. summa omnium
ad omnes sequentes primum, ut primus ad secundum. in E. D. X. Seriei in t asta um, i, Ilia Gunumeratores ct denominatores crocutit Progressione Arithmetia ultimvi terminus est stactio cium umerator 2 DRomiu tor Aut communes progresω- nuvi diserentis. - Ad hoc anablice investigandum consideretur quaesitus termis nuS Ut cognituS, A vocetur t; numerus vero termini ut quaelitUS, dicatur N; eritque ex generatione progressioniS terminuS Optatust M u r , quod debet infinito :& ciuiae numerator hujus fractionis est finitus snam infinitus esse nompo st, alias i deberet esse ideoque esset i ii , ipsenue adeo fractio negativa qu3ntitas, quod absurdum,) oportet ut deni milia
ror sit aequalis nihilo, ac proinde t, & t Vc . E. D. Brevius ita: Ex seriei gςnesi patet, terminum infinitesimum cste
rost. Summa omnium torminorum, sive ultimus primo major
255쪽
sit minorve, necessario infinita est; infiniti enim termini minori horum duorum aequales infinitam dant summam: Unde a sortiori, &c.
XI. Fractionis ad aliam ratio composita est ex rvit e directa nanurat rum se reciproca denominatorum. Q c ac
Nam T. 5 n. a. Cin D. B. QE E. D. XII. In serie factionum, quarum numeratores cresunt Progressione fritiudenominasores Geometriis , aut pice versa , ut . - ς .F G H 1 . δ' T c A N nomen ordinis ultimi termini ad nnitatem majorem rationem habeat , quam G ad G - F, erit ille terminus ibi sequenti major , hic minor.
CN. CN-C VG. F. Ergo C C: in C Nin F, ergo sortius ob AG AF a ΦΛ C-C: in G A -- CX: in F, hoc est, Numerator termiani N in G Numeratore termini sequentis in F: Sed ita se habet terminus A ad terminum sequentem, per praeced. Quare terminus Nmajor sequenti, Sc ita deinceps ab illo omnes. QE E. D. a. II p. Inversis invertendis eodem modo demonstratur.
rum numeratores crescant progr. Arithm. O denominatores Geom. erit ultimu terminus o, sin isti crescant Geometri hi Arithm. erit ultimus - . I. I p. Si primus terminus secundo non sit major, continuari
saltem poterit idiogresso, quousque praecedens superet sequentem, per praeced. Esto - , & sint infiniti continue proportionales G, I, V, L, N, PUP erunt & ipse fractionesu ' Γ' ν T T. nihilum tandem abeunt ο, &c. per IV. multo magis in nihilum abibunt. χ E. D. a. H p. Nisi primus secundo minor st, continuetur progressio, quouise praecedens sequenti minor fiat, per Praeced. Esto E,
256쪽
es, - α - in infinitum desinuiar per Cor. V. Quare cum S N,
rores cresimi pregressitque Geometris a P cmqttς ν numera m rem progrediuntur vel Dxta numeros natur 91 1, 2, S, φ, cyc. Vel tr quaru 1, 3, 6, 1σ.orc res pyramidast ,- G, zo, . g t j ta Ταadratos 1, , y, 16,' O . aut cubos 1, 8, 27, 6 , O . estri ve 'tumultiplices. r. Si Numeratores progrediuntur juxta numeros naturales: Summa invenitur , rosiolvendo seriem propositam a in alias infinitas series B, C, D, F, &C. quae singul* geometrice progrediuntur, qu
r. si Numeratores siunt juxta Trigonalas: Series proposita G resolvenda est in aliam is, cujus numeratores sint juxta praecedentem hypothesin, hoc modo.
257쪽
habeat ut dis ad d- 3. Si N,meratores fiunt juxta Dramidales: Series resolvitur in aliam, cujus numeratores progrediuntur juxta TrigonaleS , quaeque ad praecedentem seriem se habet, ut ii adse;
unde summa ejus invenitur x ι :ἀ-s propositae seriei numeratores sint juxta figuratos cujuslibet gradus , ejus summa se habebit ad summam similis seriei gradus praecedentis , ut ii
ad d-r: unde reliquarum omnium summam invenire proclive admodum est.
q. Si Numeratores sunt juxta Quadraros :Series L resolvitur in aliam 31, cujus numeratores sint Arithmo aice progressionales, adeoque juxta primana hypothesina
Sc. M oc. Si Numeratores sunt juxta Culose Series resolvitur in aliam, cujus numeratores sint Trigonalium
sextupli unitate aucti ; unde ejus summa juxta secundam hypothς' sin
258쪽
loco sint series sequentes , Numeratorum
Grati Patet, in omnibus hujusmodi seriebus postremos terminos in nihil desinere, & evanestere de rς quod psum iam pr ced. Propos de earum una eX abundanti ostendimus , cum alias illarum summae finitae esse non possent.
serie harmonicὶ proportionalium Ν, eademmet multata primo termino P subtrahatur, e Oritur nova series cuius denomi fores Trigonalium dupli sunt, culuSque adeo summa aequalis erit ipsit primo termino seriςi H rmonicae N, Per Ax. 3.
ii ,36 Ti si ὶ termino T mihi seriei ualem esse primo termino seriei
δ M - . Cujus rei ratio osti qu)d, si lx serie S subtrahitur senester. ε ii minorum
259쪽
minorum totidem T, in qua singuli termini postremum praecedem tes singulos primum consequentes in altera destruunt , residuum , hoc est resultans series evidenter debet adaequari primo termino stariet S minus ultimo ipsius T ; adeoque ipsi primo seriei S absolute aequalis esse nequit, nisi tum cum ultimus ipsius T in nihilum desinit, uti quidem desinere perspicuum est in serie P vel N: at non eva nescit pariter in serie T veI S, verum est x ', per X. Quin itaque po
XVI. nnia feriei infinita barmonicὶ progressionalium,
Id primus deprehendit Frater et inventa namque per praeced. summa seriei Φ1 Ι - Τὸ ρ γε , Visurus porro, quid emese geret ex ista serie , ἱ- ' 1 1 - 11 - 16 , &c. si resolVeretur methodo Prop. XIV. collegit popositionis veritatem ex absurditate manitesta, quae sequeretur, si summa seriei harmonicae finita statu
Seriem A, ε ε - ελε , &c. x fractionibus singulis in alias, quarum numeratores sunt I, 2, 7, , &ta transmutat S i
riem Gae a, totum parti, si summa finita esset. Ego
260쪽
INFINITIS. 2 SI Ego postmodum, cum indicasset, idem ostensive hunc in m dum : Summa seriei infinitae harmonicae - , sup
rat datum quemvis numerum. Ergo infinita est, per II. Esto datua numerus N quantumcunque magnus: Abscinde a principio seriei aliquot terminos, quorum summa aequet vel superet Unam unitatem numeri Ν, & a serie reliqua iterum aliquos abs inde, quorum summa aliam unitatem numeri Ν superet, i que sit fieri possit repete toties, quot in numero N sunt unitates; sic termini abscissi omnes fuderabunt totum numerum, multo magis igitur tota series eundem superabit. Si neges , abscissis aliquot reliquoS unitatem superare posse, esto primus reliquorum, qui post abscissionem ultimam re
manserunt, Τ, & sicquζntζS . , Constituatur ad duos primos terminos ἱ Progressio Geometrica , cujus
ideo singuli post secundum termini singulis respondentibus in Pr gressione Harmonica minoreS sunt ob denominatores majores, per Iri& continuetur haec usque ad squod quidem fiet in terminis nu mero finitis propter a numerum finitum eritque haec series Geome
trica finita x et , VIII. Harmonica itaque terminorum totidem superabit unitatem. E. D.
Coroll. i. In proposita serie initio sumto a quolibet termino, erunt ab illo deinceps omnes, usque ad illum, cujus locus designatur per quadratum numeri ordinis primi termini, simul sumti unitate majores: sic termini a 2 Q ad xv In usque unitatem superant, hinc aeto ad hinc a 26 ad 6 6 ri 16 hinc a 6 '8ῖ 's O: 6 &c. Nam in Geometrica progressione termini his limIti s intercepti unitatem aequant; ergo in Harmonica superant, ubi& plures intercipiuntur & majores; majores quidem uti vidimus; plures quia denominatores terminorum, cum sint minores quam in
Ceoni trica per IV. tardius illos limites assequuntur. et Patet , omnem aliam seriem harmonicam infinitam, summam quoque exhibere infinitam , ut ζX. gr. si loco il listi&c. Proponatur