장음표시 사용
261쪽
pulorum sbi re rundentium in altera, adeoque & omnes omnium,tiunt submillecupli: nam infiniti pars millesima & ipsa infinita est.
3. Summa seriei infinitae, cujus postremus terminus evanescit, quandoque finita est, quandoque infinita. . Sequitur etiam, si modo in Geometriam saltum facere per miniim est, spatium Curva Hyperbolica & Asymptotis comprehen sum infinitum este: Secta intelligatur Asymptotos linea a centro Ain partes aequales infinitas in punctis B . C, D, E, dcc..e quibus ad curvam educantur rectae totidem alteri Asbmptoton parallelae BM, CN, DO, SP, &c. & compleantur palallelogramma AM, BN, CO, D P, &c. quae ob basium aequalitatem inter se erunt, ut altitudines, ut rectae B M, CN, DO, EP, &c. hoc est, ut i, st, , i,&ς-eX natura Hyperbolae ; cum igitur si imma &c. infinita ostensa sit, erit & summa Parallelogrammorum AM, BN, CO,
DP, &c. infinita, multoque magis sp tium Hyperbolicum, quod Parallelogrammis illis circumstriptum est.
XVII. Invenire summam serierum Leibniti narum, D. H. I. aliarum que qliarum denominatores sunt numera Quadrati aut Trigonales, minuti alii Qua ratis vel Trigonalibus.
Cel. Leibnitius occasone mirabilis suae Quadraturae Circuli in principio Actorum Lips publicatae, mentionem injicit summae qua
rundam serierum infinitarum , quarum denominatores constituunt seriem quadratorum unitate minutorum, dissimulato quo eam repererat artificio. En breviter totum mysterium :
demto primo termino, . . . . FxY- γῆ -ὐεπ& c. x ε-
262쪽
inmorabile autem prorsus est, quod summa seriei D, τ - ου
at si ex hic iterum simplici faltu terminos loco pari positos ms, ut relinquatur δελε dcc. ejus seriei infinitae summa
est vera magnitudo circuli nullo numero exprimibiliS, sumto vid. quadrato diam*ixi . rCaeterum generaliter invenire possumus summam cuiuslibet feriei cu us numeratores constituunt sieriem ores seriem quadratorum minutorum communi aliquo quadrato O. aut etiam' seriem Trigonalium minutorum communi aliquo divero Trigonali T: si observemus, ejusmodi series nasci pe sobductionem seriei harmonicae truncatae ab initi r '.' A qi , indicat ibi duplum radicis quadratae communiS quadrati P Dic duplum unitate auctum radicis trigonalis numeri trigonaliS T a s ipsa integra I ' Pre . r. ad inveniendam summam seriei D, I Ueuius denominatores sunt quadrati, a , ψ', is , 8i, &c. minuti communi Quadrato Q - - - ' 'DI IMIE
263쪽
eadem multata sex Prinus terminis . . I x - &c. relinquitiar. . . CNψMI BM
Rursiis pro invenienda summa seriei f, a fi ε' I Scc. cujus denominatores sunt Trigonales Io, IS, H, 28, 3 , s, &ς- minuti communi Trigonali T . 6, 6, 6, 6, 6, 6, &ς. cujus Radix Trigon. & duplum 4, ', IJ, za, iis, 39, &ς.
Iterum, cum denominatores sunt 'el numeri Trigonales minutiatio Trigonali, vel 'adrati minuti alio Quadrato ; ut & per X V.
quando fiant puri Trigonales, ut in serie l--i at, quod notatu dignum, quando sunt puri 'Quadrati ut initie H-ὸ- ῆ - Π &c. dissicilior est, quam quis expectaverit,
summae pervestigatio, quam tamen finitam esse, ex altera, qua mari festo minor est, colligimus : Si quis inveniat nobisque communicet, quod industriam nostram elusit hactenus, magnas de nobis gratias Hoc saltem monere adhuc liceat, quod spatium Hyperboloido bicali scujus natura exprimitur per aequationem xv Maab, hoc in , in qua Quadrata abscissarum ex Asymptotis sunt in applicatarum ratione
264쪽
ratione reciproca, & Asymptotis suis comprehensum, eodem modo ex finita hujus seriei summa finitum esse demonstrari possit, quo, simile spatium in ipsa Hyperbola ex infinita seriei Harmonicae summa infinitum ostensiim est. X V I ta Invenire siunm in seriei tu ini a reciproca numerorum Trigona dium, Pyran tum, Trianguli- Pyramidesium , Draim ι- ram tum, o Muratorum a timis c aspis gradus in infinitum οῦ atque insinitarum si maris siminam. 1 Quemadmodum si a serie stactionum harmonicὶ progressionaliun lv c est, serie reciproca numerorum naturalium A, eadem multata' primo termino subtrahatur, nascirilr Rries fi actionum, quarum numeratores sint unita es, denominatores trigo tu in onpis ; ut patet ex demonstr. XV. Ita si a serie reciproca trigonalium B, ca
dum truncata primo termino subducatur, eXoritur serieS fractionum, uuarum numeratores Progrediuntur juXra Dumeros natural CS 2. 3.
: e &c sed quae reducuntur ad fractioneS, quarum omnium rimineratore. sunt bi rii, denominato S vero p)r milium tripti , unde ipsa series ad seriem reciprocam pyramidalium C, ut ad i. Pariter si a serie hac reciproza pyramidalium , ipsemet mutilata primo termino subducatur, relinquiIur se isS fracti Olaum, quarum numeratores oroe ediuntur juXta numeros trIgonales S. 6. ro. Iy. &c. iea quae reduci possunt ad aliaS, quarum numeratores omneS sint termvgrii, denominatores vero trianguliU a t. in v quadrupli, unde ipsa
series ad seriem reciprocam trianguli-pyramidainim D, ut Ud I: Et lic dein ps in infinitum. Quocirca cum singulae hae per lubd
stionem genitae series, quarum numeratores sunt unu tum, derit min tores figuratorum multipli, per AX. aequi polleant unitati, ip'ae figuratorum series reciprocae ordine dabunt seminas, ut sicquitur:
265쪽
. z. Summae hae a secunda serie ordine collectae sunt ra , rJ, id, 14 , &c. unde summa summarum est xl &c. quae infinita est: quin & demtis singularum serierum prinais termi nis seu unitatibus, summa fit i c. quae itidommisita per XVI. at demtis inseper secundis terminis i P tumina evadit finita & aequalis 1 in cood, per XIX. Invenire siummam seriei finita res roω Πima alium, 'ramid
lium, Tria ult- P amrdacium, Pyram. Pyramidaliam, O figuratorum at Doris c usuu gradus in insinitum. . . serie numero terminorum n, postiemi te ini moeriebus directis numerorum naturalium, trigon. pyramid.
per ea qu demonstrabuntur alibi) sunt ordine hi, qui sequuntur: denotantibus hic & ubique punctulis continuam multiplicationem uantitatum, quibus interseruntur.)
& qui hos immediatὸ excipiunt, sunt isti:
propteria erunt ultimi termini in eorundem seriebus reciprocis
Jam si a qualibet serie reciproca eadem ipsa truncata ab initio& aucta in fine uno termino methodo Prop. X V. subtrahatur, sub ducto sigillatim secundo termino a primo, tertio a secundo, sequento ultimum ab ultimo, nascitur series terminorum totidem, quae per ς quae an praeced. Propos dicta sunt, seriei reciprocae figuratorum gra dus sequentis aut subdupla est, aut subsesquialtera, aut subsesquites tia, &c. atque insuper per observata Propos XV. aequalis primo tox mino minus sequente ultimum ejus seriei, per cujus subductionς nata fuit: unde ipsa sitim ma friei finitae reciprocae si uratorum quo Lumcunque Obtinetur iaci ei ut sequitur: B. Tii
266쪽
2S 7 INFINITIS. M. Trigon. usque ad x .
X X. Invenire summam seriei infinita reciprocae Trigonaliam, P ramidalium, Triang. Pyramidalimn, O . multatae terminis initialibus quotlisset: Oin iturum puminarum summam.
t. Summa seriei infinitae integrae Trigonalium, Pyramidalium, Trian . Pyramidalium, &c. est , , P, Φ, b, &c. per XVIII. si ex
- Α &c. per XIX. subtracta ergo hac i summa
omnium, erit summa reliquorum nini .nina. ni3
r. summa serierum omnium mutilatarum seu nullo seu uno termino est infinita, duobus terminis est per XVIII. Hinc si demas tertios terminos qui constituunt seriem trigon lium B trunca tam duobus terminis, cujus summa per ea quem est erit reliquorum omnium summi ' M M Hinc denuo si quartos terminos auferas qui se ant stristin pyramidalium C itidem reui catam duobus terminis, semmamquς proin per praeced. essiciunt 3 Kk relin
267쪽
.relinquetur caeterorum omnium summa - ' x x - . Hine iterum si quintos terminos reseces, exibit caeterorum summa
si sextos, , septimos, ri; δcc. adeoque universaliter si ex unaquaque serie tollantur n termini, erit mutilatarum ita serierum omnium flamma relicua
singula enim seriei hujus membra singulas figuratarum serierum mutilatarum summas exprimunt, per t. pari. hujus ; adeoque & omnia ommum. XXI. Seriei hujM ,-- UL - -
, ,T. multatae primo termino a seipsa integra, methodo Prop. XV. quam ejus semma x a, primo sta termino hujus, per Axioma
268쪽
XXII. Iuvenire si iniim serierum Κ, L, M,N, quarum numeratores sunt arithmethe progressionales, d nominatores Trigonalium integrorum aut Quadratorion unitate minutorum quadrata.
mutilatae primo termino a seipsi int gra nascit series aliqua , c jus termini sunt subquadrupli terminorum respondentium seriei K ; unde per AX. 3. series K m ita . Per subductionem vero ejusdem seriei mutilatae duobus primis terminis a seipsa integra oritur series, quae quadrupla est seriei L;
&c. multatae primo termino λ seipsa integra emergit alia, quae Oct
pterea duplum seriei M, hoc est, omnes terimini locorum imparium seriei L i, adeoque reliqui termini ejusdem seriei, hoc est, ipla
XXIII. Invenire Hunnas serierum Q ct R , itim V ct X, sec. quarum d/hisminatores sunt termini integri progressionis quadrupla, noncupla, o c. numeratores vero termini progressonis dupla, tripla, πώ. ulittate tum mimus tam aucti. Operatio talis et ,
269쪽
dcc. x &c. XXIV. In serie quavis insinita, cstu numeratores omnes sunt ae luales, Gnominatores vel numeri naturales , rei eoru idem quadrata, cubi, aut alia quae- curque potestas ,summa termiuorum o Vnium in locis imparibin est ad simmum omnium in paribus , ut sim is potestas binarii uultate mu tata ad unitatinia Puta in numeris naturalibus, ut I ad ι; in quadratis ut et ad 1
in cubis ut ad i; in biquadratis ut is ad i ; S c. 'Modus investigandi talis:
270쪽
INFINITIS. ass- &c. hoc est, summa terminorum in locis imparibus dimidia seriei totius, & proinde aequalis summae reliquorum in Patet hinc rursum veritas Prop. XVI. cum enim, S, , cui tamen aequalis modo ostensa est 3 quae utique conciliari nequeunt, nisi sun a utriusque sieriei statuatur infinita, hoc est, tanta ut quae inter illas intercedit differentia, rationem aequalitatis destru
re non possit. In Numeris Quadratis:
adeoque priolis subsesquitertia, hoc est, i in; in i ri V. aequalis I posterioris , hoc est , termitti omnes locorum
in serie proposita constituunt tres quartas partes totius seriel , & Iiqui unam : quare summa terminorum illorum ad siummam arum, ut 3 ρd . . . o ' Eadem investigandi methodus observetur in reliquas potcltatibus.