장음표시 사용
191쪽
triangula, o latera proportionalia habeant. Sed cum rectangulum a es maius sit rectangulo pe r, ut inferius ostendemus: sequitur ex octava quint ι maiorem egie proportionem rectanguli aes ad quadratum e c, quum re Iangus per ad idem qnadratum e e; hoc est, quam restangis ad bad quadratum de . Reliquum est, ut ostendamus , rectangulum a e 1 maius esse ipso per. ιd au tem fiet hoc pacto. Quoniam enim angulus erp maior es angulo cocoanguis c r p aequalis i6. primi. est angulus e pr: fieri potest, ut ab angulo ep r auferamus angulum aequalem ipsi cI a. aufera- prinu.
tur; ersit rpg. est igitur ut se ad er,' pe ad eg, ob similitudinem triangulorum efr ,epIO propterea rectangulum se I aequale est rectangulo per . sed rectangulum fea maius est i o f is. se,u.eg. quare o maius erit rectangulo per: quod ostendi Ie oportuit. Et quadratum e c ad rectangulum per eam habet, quam quadratum d c ad re- Rctangulum a d b. J Propter triangulorum eorum similiturinem. Est autem ut rectangulum aes ad rectangulum per, ita rectangulum at fadip- clam xl o. J Proportionanque rectanguli aeI ad resiangulum per, ex ui Oma tertia sexti
componιtur ex proportione, quam habet ae ad pe, O ex ea, quam habet e ad ere Er eodem modo proportio re Ianguli alsia rectangulum X l o componitur ex proportione aladix, Olf ad ιο. sed proportio ae ad pe est raram proportioni al ad I x , si si situdinem triangulorumae , a Ix: o proportio item es ad er est eadem ei, quam habet is ad Io: simile es enim triangulum fer triangulo fio. cum igitur proportiones eaedem sint, ex quibus re tangulorum eorum proportiones componuntur: erit rectangulum aes ad rectangulum per, sicut ais rectangulum, ad rectangulum X lo.
Et u t quadratum dimidiae maioris diametri ad rectangulum ad b, ita quadratum Di, k ad rectangulum a k b. J MOUruuit hoc Apollamus primo com rum, propositione u gesima prima. Sed rectangulum x l o ad quadratum c I habet eam, quam rectangulum a k b ad Equadratum k c. J Ob triangulorum similitudinem . . Sed linea cm est in superficie coni. constat igitur, & h punctum in coni esses Fperficie . J Cui hoc non probatur, is tegat primamproposivim prim conicorum Apollonst.
Sumatur conus uerticem habens C punctum, in cuius superficie sit circulus, uel Bacutianguli coni sectio circa diametrum eb. J Si quidem circulus circa diametrum ebdescriptus fuerit: iam inuentus erit conus uerticem habens pune Ium e , in mus 'perficie sit data acutianguli coni sectio. Si uero non circulum, sed elusim circa diametrum eb contigerit describit , quoniam ab eius centro recta linea stuper planum, in quo ipsa est, erecta ad ipsum e pertingit: p terimas ex se, qua proxime monstrata sunt, conum inuenire uerticem habentem e punctum: in cuius superficie acutianguli coni sectio circa eue descripta deprehendatur. Est igitur ut quadratum n ad rectangulum fd g. ita quadratum I m ad rectangu- clum e t h. ' Vt enim quadratum n ad rectangulum fing, ita quadratum alterius diametri, siseue circuli, sue estipsis ad quadratum e b: quod antea posuimus. ut autem quadratum alterius diametri ad quadratum e b, ita quadratum semidiametri ad quadratum dimidia eb: O ut quam , s quinii. dratum semidiametri ad quadratum dimidiae eb, ita quadratum i m ad rectangulum elb; quod monstravit Apollonius in primo conicorum, propositione vigesima prima. ut igitur quadratum n H.quinti. ad res angulum sng, ita quadratum I m ad rectangulum ei b.
V t autem rectangulum s d g ad rectangulum ad b , ita rectangulum e l b adi' Dsum p t r. J Proportio enim rectanguli fds ad rectangulum ad b, composea est ex proportιο- ,3. sexti. ne, quam habet fd adad, oe ex ea, quam habet d gadd b: O ita preportio rectanguli el b ad rectangulum p i r composita es ex proportione e ι ad ρι, O l b ad I r. sed ut f dad a d. ita et ad pi , ob si titudinem triangulorum af d, p e l. ut autem d gad ab , ita ibad Ir; propterea quod simile es triangulum g db triangula bir. quare eisdem existentibus proportionibus
192쪽
ρ' irtionibus, quae rectangulorum proportiones componunt, erit ut rectangulum fdg ad ipsum a d, ita elb ad pir. E Sed ut quadratum n ad rectangulum a d b, ita quadratum lili ad rectangulum akb . J constat id ex eadem vigesima prima primi conicorum Apollam. F Habet autem&rectangulum pir ad quadratum ci eandem proportionem,quam rectanguluni akb ad quadratum k c. J Est enim ex quarta sexti ob si liturinem tiriata lorum , ur pi ad ci, ita ah ad Ur ut ἐν ad c ι, ita ad Le. I PROPOSITIO EM X. Eandem ergo proportionem habet quadratum lineae perpendicularis h li ad recta gulum a kb,& quadratum sc ad rectangulum ad bd quoniam aequalis est f g alteridiametro Sequitur hoc ex uigesima prima primi conicorum pollonis: est enim se aequalis semidiametro datae sectionis . nam modulos lineis D, a b quousique conueniant: set triangulum, cuius basis D. O lineae basi quidistantes id,gb: eritq; ut ab ad fg, ita ad ad D . O cumlast aequalis alteri diametro, ut positumest: erit O fc aequatis semidiametro . 3 Habet autem & rectangulum s l g ad recitangulum akb proportionem eam,quam sc quadratum ad quadratum ad ellipsis. J Proportiones enim laterum, ex quibus rectangulorum Wfiorum proportiones componuntur eaedem sunt: nanque es in f c ad au, ita si ad
c Quare rectangulum sig aequale est quadrato lili. J Nam Ostensum est , ut quadratum D ad rectangulum adb ; hoc est ad quadratum ad , ita quadratum , ad rectangulum a b . ita rectangulum HI ad rectangulum a b . quare ex nona quinti sequitur rectangulum s ι quale esse quadrato b P Est igitur linea c n aequalis ipsi e s. J Positum iam est, quadratum es excedere quadra
pexprimi tum dimit alterius diametri , quadrato ex. sed cum angulus ad x rectus sit: erit quadratum cnaquale quadrato x n, quod es dimidium alterius diametri, O quadrato cx: O propterea linea cn aqualis erit linea eLE Ergo ut quadratum m o ad quadratum m i, ita est quadratum x n ad quadratumnc . J Sunt enim ιriangula inlo,nca aequiangula, ut monstrabitur. ιdcircoq; latera habent proportionalia . nam ductis lineis gx,fx, gn, fu, quoniam trianguli 10 e duo latera scie x aequalia sunt duobus lateribus Ic, ex trianguli I ex; O angulus ad e re Ius in primi. utroque: erit linea D aequalis lineae I xro rursus tria
Iuli sex duo latera se, xu aequalia sunt duobus lateribus
Ix ,xn ipsius gaen triangli; a' anguli ad x recti. linea igitur gn,' cadem ratione sunt aequales. quare o triangulum sne aequale est, Omniale triangulo Inc. Oangulus D n aequalis angulo gemtinea erra e n perpendicularis est ad ipsam Q. fedolis. primi. m ducta est perpendicularis ad eandem. aequidistantes igitur sunt Im,in. At verooea quidistamio. dee. tes sunt ipsae hs , dx . quare angulus olm aequalis est angulo x en oe angulus ad O rectus aequalis angulo resto ad x. reliquus igitur angulus, reliquo angulo aequalis,intriangulum mio tria gula nex aquiangulum, quod monstrare uolebamus. Ve
193쪽
Vt autem quadratum mi ad rectangulum ah b, ita en quadratum ad ipsum adiJErit igitur ut quadratum mi ad rectangulum fig, ita quadratum en ad quadratum es. ut autem re tangulum fig ad rectangulum a O, ita quadratum es ad quadratum a d. nam rursus productis lineis H, abusque adeo, ut conueniant, fiet triangulum; curus basis erit fa, Myaequuti fantes lineae e d, lcgb: OOb id , ut si ad a , ira II ad kb , O se ad a d. Quare ex aequali cui quadratum m l ad rectangulum ah b, sic quadratum en ad quadratum a d. Perspicuum est igitur perpendiculares m o , lili aequales esse. J Concluditur ex nona P αι, quadratum mo esse aequale quadrato b . quare o latus lateri aquale erit.
Omnis eo ni ad conum proportionem compositam esse ex proportione basium,& proportione altitudinum &c., Qui sint, qui hoc monstrarint, non adhuc comperi, fortasse innuat Euclidem; ex iis enim, quae ipse tradit in duodecimo elementorum libro , illud facile elicitur. Et quanquam uerissimum sit in omnibus non solum curus, sed or cylindris ipsis: potis mum tamen de 3s dicitur, qui super inaequales bases, O inaqualialtitudine constituuntur . nam; in bases quidem habent inaequales, altitudinem uero eandem ,proportionem habent, quam eorum Ues, ut monstrauit Euclides libro duodecimo propositione undecima. at qui bases aquales, altitudinem uero inaequalem nacti sunt, proportionem habent eandem, quam eorum altitudines: iriquod ipse idem monstrauit propositione decima quarta eiusdem libra. Itaque nos non haec solum, scd est acta quam plurima demonstrabimus, ab his non abhorrentia. postquam nonnulla, qua ad eorum demonstrationem faciunt ,praemiserimus.
v I O P O S I T I O I. Omnem praeterea cylindri portionem triplam esse portionis coni, quae basim h
beat ipsi eandem, & aequalem altitudinem Aec. J Cum cylindri, com portiones eandem basim, o aequalem altitudinem habuerint: erit cylindra portio portionu coni tripla; quod monstrabimus c ut ipse inquit 9 eodem prorsus modo, quo in decima propositione duodecimi Euclidis monfratur, omnem conum cylindri tertiam partem esse, qui eandem basim , O aequalem at titud nemhabeat. Duram uero describemus inesti , hoc es ini a basi, quemadmodum supra docuimus in sextam huius scribentcs. an v ILO P O s I T I O I I. Coni & cylindri portiones, quae eandem habent altitudinem, adinvicem sunt,
scuti bases. Et hoc facile demonstrabilis, quo modo in undecima duodecimi eiusdem Euclidis demonstratumes, sub eadem altitudine existentes conos, ac cylindros a uicem esse, sicuti basies.
tio ad portionem, sicuti altitudo ad altitudinem. cylindri portio ad plano secetur I b, quidistanti eis, quae ex opposito planis, uidelicet ipsis ab ,edra puncto autem e , termino axis portionis demittatur tinea es, perpendicularis super planum, in quo G cd: O occurrat plano I h in puncto L. Dico sic esse portisnem bI ad Dorti nem g d, ut altitudo e L ad altitudinem U. producatur enim linea es utraque ex parte in i mpuncta in ponantur si e L linea quales quotcunque libueris en, n l: ipsi autem hyponantur in quales quotcunque se, xm: ducantur per puncta im plana aquae stantia ipsis a b, e dr σad ea usque producatur olindri portio Oq. praeterea per puncta n x ducantur plana quid amita νύdem, qκε portionem ipsam fierent. mamfectum est ex iis, qua superius monstrata sunt, his planis portionem esinor secantibus, sectiones fieri coriacutianus sectiones, seu ellipses, aequa-kr, o similes. Q are statiatis sectionibus contenta aequaba erunt. Itaque intelligantur porti
194쪽
nes csindri pr,rb, di,tq, quarum bases sint statia coni acutianguli Iulionibus rs, ab , t I, qu contentia. quoniam ipsa in , ne , e , altitudιnes sunt aequales: portiones pr ,r b, brad inuicem sunt, sicuti basis, ex antecedenti . bases autem sunt aequales. Oipsae igitur portiones aequales erunt. Et eodem modo, quoniam ipse m x,xf, sh, sunt aequales: O bases aequales: poremnes qt , id, dg inter se sunt
quales.Demon'abitur tandem,quemadmodum in tertia decima duodecimi
Euclidis portionem b g ad portionem Id esse, sicut altitudo e ad Ualt
tudinem r quod monstrare uolebamus.
re in cylindro scaleno, ut si plano secetur aequi distanti eis, quae ex opposito planis, sit cylindrus ad cylindrum, sicut altitudo ad altitudinem . Eorum etenim cylindrorum basis circuli siunt, ut monstrauit Serenus m lindricis, atque squales circis;qiadaequales habeam diametros. faciet a tem ad eius demonstrationem undecima duodecimi Luciis , quam etiam ad conos, ct cylindros scalenas referri Milest, quod prohibeat,quemadmodum,
Maniihilum etiam est, si cylindrus quilibet, seu cylindri portio plano secetur aequidistanti eis, quae ex opposito planis, esie cylindrum ad cylundrum, seu portionem ad portionem, sicut axis unius
ad axein alterius. De recto enim cylindro patet ex demonstratis ab Euclide, de scalens autem, O Olindri portione patere potest ex iam dictis, nam ut altitudo ad altitudinem, ita aris ad axem ex fecundu stati et mentorum , vel ex decima septima undecim. Π nmo x: in i 11.24
Quae inaequalibus basibus existunt cylindri, & coni portiones, adinvicem sunt, scuti altitudines. Sint inaequalibus basibus ab ,e d 0lindri portiones eb, Decra punctis Ah, quae sunt terminiarium rimittantur lineae perpenssiculares gh , I ad plana, in quous sunt bases ab , cd. Si oportionem Olindri eb ad portionem fd esse , cui altitudo gh ad altitudinem U. producatur rum Uu1que ad m; ita ut sit im aequalis ipsi gh: O per m ducatur planum mn, aequidsam cd plano: is inque eo intelligatur producta portio fd, quae sit se. Quoniam igitur eb, cn ob dri portiones eandem habent altitudunem: adinvicem sunt sicuti bases. bases autem sunt aequales. ergo O cylindri portiones eb, cn inter se sunt aequales. Praeterea cum ostiari portis sn plano quodam feretur ed , aqvidistanti eis , quae ex opposito Mamr c En ri portio en ad portionem fd est , sicut altitata mi ad altitudinem l k, aequalis autem monstrata es portio en ipsi portioni eb. portio igitur eb ad portioncm Ira es, scut mi; hae est ab altitudo ad altitia nem U. sta
195쪽
RQ e lindri ydinis ad c lindri portionem, sic pomtio coni ad coni portionem ς nam cylindri portio tripla est portionis coni, ut dictum est. quare σ comportio ab I ad coni portionem ed est, ficus Ab altitudo ad altitudinem Ur quod fuerat monstratam. Hoc idem facile coeludetur de cylindris, ac conis scatenis ex decima , & undecima duodecim Euclidi sala
na cum antecedenti. PROPOSITIO V. . . o.
Cylindri omnes, S coni inter se propo tionem habet compositam ex proportione basium, & ex propo tione altitudinum. Sivi duo estiari siue recti, siue sicaleni a x, eo; ax quidem, cuius balissit
circulus ab e d, altitudo I; eo autem, cuius basis circulus elah; crastitudo m n. Dico Otitarumax ad cylindrum eo pr portionem habere compositam ex proportione basis a
ex proportione altitudinis V ad altitudinem mmollitur hi cylindri habebunt aqualem altitudinE, uel non squalem. habeant primo aequalem: O sit ut basis ab ed ad lasim elah, ita linea r ad lineam s. ut autem V ad m n, itas ad lineam t. Iam ex undecima duodecimi cylindrus a X ad cylindrum eo habet eam proportione ,
quam basis ab e d ad basim ecth; hoc est, quam
196쪽
quare cylindrus ax ad cylindrum e o habet cam proportionem, quam radi. proportio autem ead i composita est ex proportione r ad a, qua est proportio iam ab c d ad basim efghr in ex proportione s ad t, qua est altitudinum I n m. Otactus igitur axad cylindrum e o habet propnnionem compositam ex proportione basis ab c d ad basim efgh, O ex proportione altitia ius hi ad altitudinem m n . quoniam quilibet cylindrus triplus est siti coni: bubebit a Ic contis iaconum e ng proportionem compositam ex proportione basium , O proportione altitudinum. QMd Ii csindrorum ax, eo non sit aequalis altitudo; habeat Olindrus eo maiorem estitia nem, ut m n maior sit, quam U: reseceturq; ab ipsa mn linea mp, aequalii ipsi h l: O per ρducatur planum sic dens cylindrum, aequi di amq; eis, quae ex opposito Flams: O si rursus, Me basis ab c d ad basim elab, ita r ad s. ut autem mp ad mn, ita s ad u. erit ex undecima du decimι Utinctus a X ad 0lindrum eq, cuius bos est circulus elah , altitudo mp, ut basis ab cd ad basim eis h; hoc est, ut linea r ad lineam stoe ex decima quarta iisdecimi , iis, qua nos M.quinti. monstrauimus cylindrus eq ad λdrum eo, ut m p ad mn; hoc es ut s ad a. quare oti os ax ad cylindrum eo erit, ut linea r ad lineum v. star ad a proportio composita est ex proporti ne rads, qua est proportio basium, O ex proportione s ad a, qua est allatiamum . ol rus igitur a x ad cylindrum eo proportionem habet compositam ex proportiones sis ab c d ad basim elah, O ex proportione altitudinis V ad altitudinem mn. Et eodem modo conus alc ad conum e ng proportionem habet compositam ex proportione basium , O prosor lane altitiainum: quod demonstrare oportebat.
rannio PI P. VI. Portiones eylindri,&c ni inter se proportionem habent composi
portione baiasium,& exproportione altititudinum.
driportiones aneo: a X quidem,
cuius bases sitibutium ellipsi a , ed contentum, a
titudo Ureo aurem, euius basis
statium elab Alipsi contentum o altitudo m n. MUrubimus ex
dem ratione , ehabeat aequalem altiturinem ,siue inaequalem; poditionem Olindri ax ad portionem e
197쪽
tione basis ab ed ad basim elah, ex proportione altitudinis Ll ad altitudinem mn .e r cum cylindri portio tripla sit portionis coni t habebit O coni portio alc ad portionem conι eng propomtionem eompositam ex proportione basium earum ab c d ,efgh, ex proportione altitudinum ul, mn: quod fuerat nobis propositum . . P RO P O s I T I O VII. Cylindrus omnis, plano per diametrum parallelogrammi, quod ex eius sectione ver axem fit, ducto bifariam secatur. Sit cylindrus a x, cuius basis circulus ab ed; axis Ll: O sicetur plano, ut d Num est: secetur autem o altero plano per axem ducto, ct erecto super planum secans , quod faciatsimon parallelogrammum ac xp: γ plani per diametrum parallelogrammi secamis,sit recta linea ep. Dico cylindrum plano percp ducto bifariamsecans Sit alter cylindrus huic si lis , O aequalis eo, cuius basis circulus efgh; axis m siccemr κ iitidem duobus planis, ut pin altero factum ess: fitq; sectio per axem parallelogrammum e go q: ergq recta linea plani per dia
metrumsecantis Erit iam parati logrammum ego
diameter g q dia metra cp aequalis . quare est psis facta plana per Δa- iisti, erit 'essini 'facta luno per diametrum cp ducto; nam earum maior diameter o radem diametro parallelogrammi; minor uero aqualis diametro basis , quod ιn principis bruus monstratust Itaque conreuet parallesograminum parallelogrammo, posita m n super V ; O g q 1 π 'Mneruet autem O planum secundum g q plano secundum cp -; - ω congruet igitur O pars secta a lindro eo,m quas n, parta Iecta ab alio cylindro, in quas ita hia aucti I partium superficies super c ebus similiter. Rursus pinta n m superi Io n sester k, m super ι; congruent . parallesogramma, ct cadet q super c; σgμου qa platis sicundam ep congruet pars secta a cylindros In quam nam si ct e ab alio e lindro, in qua l: O item pars in Pan, partι m qua Quoniam igitur pars eadem utrique congruit parti: msectum est partes aquales inter se se . quare Ulindrus plana per c p ducto bifariam secatur. quod ostendere oportebat.
Culindri omnes, & cylindrorum portiones, & item coni, & conorum portiones inter se, proportionem habent compositam ex proportione basium, &ex propor
ntitites a a alia duratur ad rectas angulos eidem, qua sit q4 βως si S: Lia Vportio , producta ex parte elab usique ad lineam er, quam n m secet in u: per er A
198쪽
tur planum secans erectum si per planum per axem: deinde per lineam q s duratur aliud planum secans, quod plano per lineam er ducto aequidistet. Erit r q cylindrus, basim habens circulum circa diametrum er, tu, aequalis cylindri Pontioni eo: nam pars er g, adiuta ylindri portioni, qualis es parti qso, dempta ab eadem. es enim erg dimidia olindri, cuius iam scis A Iccunca clametro emydem. rectangulum igitur ex diametris ellipsis efg la est aequale quadrato gy: O propterea statium ipsa ellipsi contentum
A. phimi. Pries circula circa diametrum gy; ex septima huius . Et quoniam angulus egr aequalis est a Iulo nmp: anguli erg,npm utraque recti: erito' reliquus angulus rei quo angulo aquatis 'O triangulum erg triangulo npm simile . quare er ad eges, ut np ad n mi hoc est ad tueri .. stati. ἀPalam. Et rursus cum tres linea proportionales simi er, II ,eg: erit , ut er ad eg, ita quadraeosoLio. tum e r ad gradratum gy; hoc es circulus circa diametrum er ad circulum circa diametrum ξν.
' autem cylindrorum bases ex altera parte restondent altitudinibus, η inter se sunt aequales; ex dec ma quinta duodecim. aequalis est igitur cylindrus 1 olindrorq .sed lindrus r q es aequalis storti l cylindri eo, ut monstrauimus. quare Ogη lindrus eidem portioni eo est aequatis. Oproportis cylindri a x ad Ilindrum In est eadem proportioni eiusdem ad Olindri portionem eo. sed proportuo cylindri ax ad cylindrum gς, composita est ex proportione circuli a b c d ad circulum circa diametrum II , ex Proportione i ad n p. ergo O proportio erustam cylindri a x aderet.quinti. lindri portionem eo composita est ex eisdem proportionibus. proportio autem circuli ab ed ad timculum circa diametrumg3 est eadem proportioni eiusdem circuli ab c de patia ellipsi efgh contentum; quod quidem ipsi circulo circa II diametrum est aequale. proportio igitur cylindri a x ad latdra portiorem eo composita est ex proportione basis ab ed ad basimet efgh, ex proportione altitudYm, ι' ad altitudinem np. At uero triplus est cylindrus ax,conia Ic: O portio es hi eo item tripla portionis coni eng. ergo oe comate ad com portionem eng proportio composita
est ex proportione basis ab c d ad basem efgh, ex proportione altitia rus ih ad altitudinem np: quod propo mus monstrandum.
199쪽
Ex his colligitur , cylindros omnes ,& eorum portiones, & item conos,& eorum portiones, sub eadem quidem altitudine existentes, eam inter se proportionem habere, quam ipse bases, super aequalibus autem basibus existentes, eam habere, quam altitudines.
P RO P O S IT I O IX. Similes coni, & cylindri porriones in tripla sunt proportione diametrorum consimilium, quae in bilibus. coni, O cylindri portiones similes, quae set, dictum est
superius. Sint autem hae , quarum bases quidem ab cd, efg b statia ellipsibus contentat diametri uero basium mas res ac , eg; minores bd, ID; er axes Umn. Dico coniportionem, cuius basis abcd, uertex I ad reni portionem, cuius basi elab , O uertex n, triplam habere proporti nem clus, quam habet diameter ae ad diametrum cis uel
quam bd ad ipsam ID. nam nisi ita sit habebit coni portio ascdi eam propontionem ad solidum quoddam minus ipsa coni portione elabn, aut aduratus. stasimili ratio equa utitur Euclides in duodecimo, ubi monstrat similes c nor , O cylindros in tripla proportione esse riametrorum,
tuae in basibus, O hoc loco monstrabimns coni portione ab ci neque ad solidum minus ipsa coni portione ela bn, ne que ad maius, eam proportionem habere. Quare ad ipsam ela b n triplam proportionem habebit eius, quae est ac ades, aut bI ad fb. ut autem com portio ad coni porti nem , ita O cylindri portio ad c litari portionem. Cyli dri igitur portio, cuius basis a b c d , uertex l ad 0-dri portionem, cuius basis e fgh, uertex n, triplam habet proportionem diametri ae ad diametrum eg, uel b d ad fh: quod fuerat propositum. P IL O P O S I T I O X. Aequalium coni, & cylindri portionum bases
ex contraria parte respondent altitudinibus ; de . quarum coni, & cylindri portionum bases ex contraria parte respondent altitudinibus, hae inter se sunt aequales. Hoc monstrabimus eadem orsus ratione, qua monstratur in decima quinta duodecimi Euclidis , Aequalium conorum , O lindrorum basies ex contraria parte ressumdere altitudinibus: O qu rum item bases ex contraria parte respondent altitudinibus onos, γ lindros quatis esse. Monstratum siquidem est, conorum, O cylindrorum portiones sub eadem quiem altitudine existentes aminter st proporitionem habere, quam ipsae bases, In aequalibus autem basibus existenses, eum bab re , quam altitudiner. quibus propositum facile concludetur.
De conis item, ac cylindris scatenis uerum id esse monstrabimus non alia rati ne , quam in eadem decima quinta duodecimi de rectis monstratum est. anque o hi cum sub eadem sint altitudine proportionem habent inter se, quam eorum basies: O cum in aequalibus basibus statuantur eam habent, quam altitudines.
Horum autem omnium manifestae sunt demonstrationes. J Demonstratimes eorum, cum non adeo manifestae sint his temporibus , nos omnes ferre tentabimus, immutato tamen ord ne , prout methodus ipsa postulare videtur.
200쪽
P RO P O S I T I O I. Si conoides, aut sphaeroides quodlibet plano secetur per axem ducto : sectio erit eadem illi, quae figuram describit: diameter autem eius erit communis sectio planorum i eius scilicet, quod secat figuram; & eius, quod per axem ducitur erectum super planum secans.
. Secetur contides , aut sthaeroides quodlibet plano, ut diEctum est sic tur aut altero plano per axem,
eres Io super planum secans: O sit gurae Iulio a b c : sit autem sectio ebs, quae figuram ipsam describit: sectionis eius diameter, O axis figurae sit bd. Dico fectionem ab c esse eandemsenioni e bs atque eius diametrum esse lineum b d; communem uidelicet planorum sectionem. Intelligatur manente linea b d circumferri sectionem ebs. itaque cum sapplicauerit se ad creongruet tota superficies ab e cum superficie ebs O fiet ex ambabus se perficies una. ergo O e ad ipsum a se applicabit. quoniam enim ebs festio est, qua figuram describit: quocunque ea peruenerit, congruet ipsus superficies cum superficie plani secantis figuram per axem , C peres puncta transeuntis; ita ut linea ebs m communis
sectis plani eius, O superficiei figmra . quare cum congruat superficies ah e cum superficie ebfrer linea ab ecum linea ebscongruet; O erit sectio ab c eadem sectioni e bs, cuius diameter erit linea b d: quia monstrare ponebat. rict ita,
PM POSITIO II. Si conoides, aut sphaeroides quodlibet plano secetur super
axem erecto e sectio circulus erit centrum habens in axe. Sit consides, aut sphaeroides quodlibet, cuius aris a b: Iecetur autem plano, ut dictum est; iuod faciat in s perficie siectionem , lineam ed. Dico cd circulum esse, centrum habentem in linea ab. Sit enim e punctum, in quo Iulea a b occurrit secanti plano : Oper axem, O ed puncta ducatur planum secans figuram , er faciens s moram ea d. eris statio eadem illi, quae figuram describit, ex antecedenti; O eius diameter Enea ab. O quoniam puncta ced, sunt in plano secanti super ocis erecto rsunt autem cris plano secanti