장음표시 사용
141쪽
Consistit Reductio iiihocvt si unius tantum generis adsint Cossici,tandiu ab una parte in aliam' particulae transferantur, donec ex una parte sit tantum cossicus, ex aItera tantum absolutus. Si vero plures sintacossici, eadem transsatio tamdiu fiat, donec ex una parte sit so Ius m*ximus cossicus cum signo 'f' r ex altera parte minor cossicus cum absoliato. Quae translatio fit tum Perissia f. hoc modo, si ante translationem fuerit herit post illam --:contra si anxe illam fuerit - ,erit post illam '': tum ii is duobus principiis. Si aqualibus aqualia addas, qua coUantur, erunt aqualia; Osi ab AEqualibus aqualia demas, qua remanent,erunt aqua lia. Haec itaque s as O,liis 2o,ari,praecedente inuenta aequalia, ita reduco. Addo utrique parti qo, & erunt haec his fio aequalia.Nam cum prior pars ha
beat o minus quam 1 ra, radices, si ab illis tollo Ao, addo illis Ao: ergo & alteri parti εο addere debeo , ut
142쪽
LIB. ΙΙ. CAP. II. ARY. IL tot Iia, ita reduco. Addo utrique parti 1 M., & erunt haec E Zeb '' , his I o aequalaa: iterum tollo ab Utraq; parte', & remanent haec 8 Zab his Is c aequalia. Quartὸ haec I φ Io, his 6--7s aequalia,sier duco. Tollo ab utraque parte I - , & erunt haec Io, his 1 - 1 aequalia : miris addo utrique parti 71, eruntque haec 8s, his aequalia.
Denique haec 2 ozO- I q, his si I inuenta aequalia,sic reduco. Addo utrique parti 1 q, & erunt haec χο his si h rq aequaliarIterum demo ab utraque parte 9I, remanebuntque haec Σο--9I, huic I q aequalia. Ex
victis tectorfacile intestiget quo signum φ pubirabat unam
DE RESOLVTIONE SIVE DIUIS Done O radisis extractione .
Diuiso in hoc consistit,ut, si secta reductione, ab φna parte sit absolutus,ab altera cossicus , absolutus per cossicum,abiecto charactere,dividatur erit .n. id quod i prouenit, numerus quaesitus. Vt si in prima redu&ione dividantur so per 3 aedi, proueniunt Ia, numerus, qui in prima quaestione art. I. erat propositus. Si in secunda quaestione 42 per 6 mela dividantur,pro uenient 7, qui est numerus primus: erit ergo secundus II. tertius 17.
143쪽
Si in tertia, r36 per 8, diuidanxur, prouςnient i , numerus maior erit igitur minor 7. Si in quarta dividantur, 81 per prouepient IT, pecunia pyimi: erit ergo iuxta quaestiqnis sensum, pecunia secundi i q. ' In quinta quia ab una parte psi cossicus maximus , ab littera minor cossicus cum absbluto,debet vierq; , ram absolutus, quam minor cos licus, per maximum cossic si diuidi, iti ex produsto radix quadrata extrahi. Diuitis igitur et o m , -- I per I q, prqueniunt a. O --9I. Huius radices per iupra dicta Inuenientur, 13. 7. Semissis pnim numeri radicum est Io,eius quadratum 1 oo; ex quo subtractus absblutus propter signum relinquit 9, cuius radix quadrata 3, addita, & subtracta semissi numeri radicum, manifestas facit partes II, &7 : har ei m partes in se ductae,progignunt ' Ι; ut quaeqstio quinta volebat.
Extiit viraguticossica partibus, hactenus explicatis dis-eistimani inuenti, aquationis,preterquam enim quod iudiciistim requirit . cognitione quos tum Geometria, ct Arathmeticat tum multarum aliaruri artium cum irimis opus babet. ANNO ΤΑΤ io II. uersa dilumter, quando plures numeri proponuntur in-ρeniendissemper situ primo inueniri, pro quo ponizur IzM. Ἀ- . empli causa in hac quast. Tres diuidunt inter sie Ioo aureos ea teri,ut secundus 4 amplius capiat primo; tertius II. ampliss
144쪽
tertio,ierxj. Ponamin ergo primam habere im: habet ergo secundus I - φ q: tertius I M, 'r ID Summa omnium sis I9, aqualis es numero Ioo. S; ab νtraqueparte tollo 19; erunt 3 -, 9 8 I aqualia. 8I,'3 - , proueniunt 27, pecania pruni: habet ergo secundu3 3i; rertius 'a , Τηι numeri ulfaciunt Ioo. Povamus iam siecundum habere I me et habet ergo primus I TU Α,tertius I q. i I. Summa s*, Φ7isi aqualis Ioo: utraque parte tollantur 7: erunt hec 3 - , hisequatia. Diuisis igitur 9s per 3 ne, proueηiunt 32 pecunia secundi. - . . -r Ponamus vltimo tertium habere Ime, . habebit ergo secundus r ze -II prini G I IN. furuma die, --26, est aqualis ioci, addiris igitur utrique parti 16 erunt hec 3 TU, his D ς aqualia. Igitur diu sis r 26 per 3 - , proueniμnt qa, pecunia tertij.Vides ergo,quod in prima positione, I Zei valeat 27, insecunda miν tertia Α'tempers illum numerum m- ueniri.pro quo ponitur a , . Possent haec sui ficere: Ied quia regula haec ut pleraque alia, exemplis solet clarescere, pergimus porro. ' .
- In hoc eapite Sex genera exemploru proponemuri Frimi generis erut , in quibus vel diuiser est unito mel nulla reductione opus est. Se di generis Isi quae
145쪽
Lla diuisiosoluit. Tert j quaesoluit extractio radicis.
ISMarti, in quosiecundae radices occurrunt, Eumti, sisnt exempla geometrica. . Sexti, in quo contracte
EXEMPLA, IN VIBUS VEL Uor of -μου, vel nulla reductioneo Mes.
. Exemplam primum. Detur numerus, cui si addanturi II. &ab eodem subtrahantur 7. prior sit duplus posterioris. Sit numerus ille I Zeb: cui si addo ii r & ab eodem subtraho 7. fiunt Im '' Ii: restant I--7. Cum ergo iam numerus prior posterioris duplus sit, si duplicetur secundus,erunt haec I Ze,' iI his 2 α,-I aequalia. Et si ab utraque parte tollatur Im, haec II. his ira -r Rursus si utrique parti addantur xq,haecas, huic Irata numerus igitur quaesitus, est 2s: nam asdiuisia per I ZO, reddunt 21.4 Secundum exemplum. Dentur duo numeri disserentes septenario, hac lege: ut si minor ducatur in x, &producto addantur 3: maior in f,& producto addatur x,fiat maior duplus minoris.Sit minor I m: erit igitur maior I ΣΕΦ 7.Si minor ducatur in a.&'producto ad dantur 3, fient 2- - 3 :Si maior ducatur in 3: & producto addatur Ii fient 3ZElar. Cum ergo iam maior duplus sit minoris, si minor duplicetur, erunt haec
η Φαhis 3 -- aequaliam igitur ab utraq; parte
146쪽
LIR. ΙΙ. CAP II. ART. III. ac tollantur 3 .erut haec laestis his 11 aequalia: si rursus ab Vtraq; parte tollantur 6erit S tria, aequalis hisce l6. Numerus ergo quaesitus minor, e 1t I igitur m ior 2 '. Tertium. Detur numerus ex cinus ἰ, Τ, si tollantur go, restent i oo. Esto numerus i mrdietae illius partes sunt όμ, Σ , -; suma I M, , ex qua fi subtraham 8o, restant 1 --8o aequalia hi sce I Oo.Si igitur Vtriq; parti addantur 8o,erit S I am aequalis hisce 18ωisitur i8o est numerus quaesituS. Quartum. Detur numerus, ex cuius ι, si subtrahantur I 3.residuu ducatur in Α,proueniunt q8. Esto nume-Tus I m,ex cuius si tollo Is,restant ira -I3s his ductis in . proueniunt Irti--12 , aequalia his 48. Si igitur utrique parti addantur erit S i z aequalis Ioorergo Ioo est numerus quaesitus.
Quintum. Duo habent pecunias. Primus dicit secundo, si mihi dares unum aureum, haberem quantu tu 'inia fert secundus , si mihi dares tu unum , haberem duplo plus terquaero quantum quilibet habeat Pono primum habere Im, cui ii secundus unum dederit, habebit I 'I.Cum ergo inter I Τ'I,& pecuniam residuani secundi,ponatur aequalitas, habebit secundus I re cui si primus dederit unu ,retinebit primus t ZU-I, ha hebit secundu I a '' s. Cu m ergo iam pecunia secundi sit dupla primi, si quod primus retinet duplicetur,e
runt haec χαμ-2, his Izari' 3 aequalia:& si utrici; parti
addantur 1, haec am,his Iz φ 3. Rursus sab utraque parte tollatur I Zeb: haec s, huic am: primus ergo . qvi ponebatur habere i habet s i qui si dederit secundo i
s, retinebit ipse habebit secundus 8, unde si tollaturr,retabunt 7, pecunia secundi.
147쪽
Hic notetur miriasiis numerorum natura. Nam si altera
teri det 8, reperieturpecunia primi Ao,sicuηdi s 6, quantum nimirum creatur eae ductu 8 in 19 7. Idem νerum est in quemcunque numerum ducantur 1 7. Sextum. Sunt duo numeri eto. &21 ,& inueniendi sunt alij duo, in quadrupla proportione, ut si maior ada s,minor addatur ad 2o,conflati pumeri habeant triis piam proportionem .Ponatur primus Iras erit ergo secundus M , qui additi prioribus eo quo diximui modo, iacient Iol I mei, de 2sq. . Hi numeri cum ponantur esse in tripla proportione, ducatur minor, nem
q. 4 Σ .Si igitur ab utraque parte demantur 3Σ ,erut&hi εo,his 23 φ Izdaequales:si rursus ab Vtraq; par te tollantur as,erunt & his 3 aequales huic I Mi. Numerus ergo minor, qui ponebatur I 24,erit 3 s. cuius quadruplum Mo;erit altera o& 3 1 faciunt s3;atas,& 14o faciunt I 6squi numerus cum dat triplus numeri 1 s,bene operati sumus. Septimum. Detur numerus i ex quo si tollantur 3 , residui ε addantur 7; iumma haec ducatur in 3 , rursus que ex producto tollantur 18,restenta I. Esto num exusa asti, ex quo si tollantur 3,restant I - 3: tertia pars cui si ,addantur, fiunt ' β, haec insducta faciunt et Izφis: hinc si tollantur I 8,restat I ai, squalis huic iit ergo a I est numerus quaesitus. pctauum. Detur numerus, cui si addam 7, & ex eo iam demam II : atque ex conflati,& ressidui summa tob.
Iam numerum ipsum,residuoque huic addam 4 , fi -
148쪽
Lis. II. CAP. II i. ART. Ιἰ aossint 27. Esto numerus I ac, cui si addo I , & ab eodem subtraho is,& utrumque coniungo, essicio 2 Φ - 4rhinc si tollor numerum ipsum,restant Ide, q,quibus si addo , efficio I m,aequalem hisce 27: ergo 27 est numerus quaesitus. Nam si illi addo , conflo 34; si adimo II ,relinquuntur 16: summa 34,& I6, est so, ex qua si tollo 2 7, restant 2 s,his si addo 4, conflo27, numerum desideratum. num. Dentur duo numeri , quorum differentia sit ia hac lege . Ut si quartam partem summae illorum ducam in a, & ex producto tollam s. relinquantur ro.
Sit numerus minor I m: erit igitur maior Izala '' I 2.
Suma utriusq; est a z φ 1 i; quarta pars, =3, quae ducta in raeacit Ira for Unde si demam ς,restatim, aequalis io. Ergo Eo est numerus quaesitus minor: ergo maior 32: summa utriusque si,quarta pars Is ducta iiia,facitas. Unde si tollam 6, restant Zo. iDecimum. Progressionis Arithmeticae primus teris minus est 7, Vltimus 4o, summa omnium 282, quaero quis sit humerus terminorum ρ Pono esse I ac: summa
primi,& vltimi est 4 , quis in βαυ, semissem numeri terminorum ducta, facit-: ergo et 8 , de illa sunt
aequalia. Facta igitur diuisione,erit numerus termino rum i 2. Differentia progressionis, repetitur per regu- Iam tertiam. Progressi Arith. . . Vndecimum. Quidam mercator lucratur se suae pecuniae: de summa expendit ' residui lucratur e penditque de hac postrema summa Is r denique resi. clui huius ultimi lucratur l , atque expendit s: ac tamdem reperit se as aureis amplius habere,quam ab initio
habuerat. Quaero quot ab initio habuerit au. quot iam
149쪽
habeti pono habuisse 1 - , cui ἰ addita. Acili 2 2Eu his sublatis 8 restanti 8. Quibus si addatur
huius , t si ' -- s ,quae addita his ἱ α, - 2 1, facit
3 o, ii ue 2 --. 3 o. Vnde si tollantur s , revittanta αυ-3s. Haec cum numero hoc a s superent pecuniam,quam ab initio habuit,erum laceca s, his Oft s aequalia;& si ab utraq; parte tollatur haec I adi haec IZ ,-3 3, his 2 3 Rursus si Vtrique paristi addantur 3 Lerunt & haec co. huic I aequaliat ab initio ergo habuit Eoau. iam habet 83. iARTtCvLvs II.
primum exemplum. Quidam mercator rogatus, quot haberet pecunias, respondit si pro mercibus darem i, & ineae pecuniae 3 tu Vero mihi donares so, haberem 2 os: quaero quantum habeat pono habe re I ae . ex qua si . & e tollantur, restant Hai, quae .cum 1 o faciunt i Zei ε 3ωsiunt ergo i so, &Loo aequalia ; & si ab Utraque parte tollantur so . erunt & haec l-M , his Is o aequalia. Diuisi igitur 11o per let . proueniunt i ooo; atque tot mercator habetau. Nam l delooo sunt 6ota, e est aso; quae subtracta de to oo, relinquunt i o; his si addantur Io, conflan
secundum. diuidatur numerus Ioo in duas partes, ut i maioris sint aequales minori cum s. Ponatur ma-
150쪽
i masti: erit igitur minor Ioo-I m. Maioris i faciuta No: minor cum s facit Ioue - I α, i sunt ergo haee' mihis tos-I aequalia .Et si viriq; parti addatur Izri, haec ii Σ , his Ios.Diuisis ergo Ios per illo, proueniunt 6o,pars maior; erit igitur minor o. Main
risi suntque; totidem quia minor cum 3 facit, bene
Tertium. Da numerum, cuius triplo, si tollam 3 o. residuum duplicem, producto deducam I4o residuuducam in in. a producto tollam Ioo,restet nihil.Qiueto qui sit numerus'Pono esse I ae, , a cuius triplo si tollam 3 o,restants - 3o;ab huius duplo G -6o,si deducam Iqo, restant isa - aoo haec in ducta, progignuta -- 8 oo,a quibas si tolla i oo,restantis oo. quae sunt aequalia nihilo.Siue hoc αε - so' sunt sequalia uni o. Et si viriq; parti addatur 9oo,erunt & haec 2 lais 9ooςqualia.Diuisis igitur 9oo per 242 pr ueniunt 37 , numerus quaesitus.Si enim ab eius triplo Ira tollam 3o,restant 8al;&si ab huius duplo Iss, demam i 4o,restant 23; ac denique si a quadruplo huius
21, nimirum a Ioo,tollam to orestato.
st rium. Inueniatur numerus.cui si addatur 4 sui,& 7, tantum supra 'o excrescat quantu ipse est infra 79, Ponatur numerus ille i-:4ui si addatur se sui, &7,fienta .Hic numerus cum tantum si supra 'O ; quan- tu i adest infra 79,fir. ut si IMAX7',& so exi em 7 subtrahantur.residua 79-IM 3c I N. f7-9o, sint aequalia .Quare si Vtriq; parti addantur so,erunt &ha ex cy- IM ,his I Σῶ7 aequalia. Si rursus viriq; parti addatur 1 a D, erunt &haec 169,bis 1 a. 7 aequalia.