장음표시 사용
171쪽
ι 32 QVAEsTIONvΜ SOLvΥIo Alia solutio. Per . lecundi. est duorum numero Tum rectangulum medium proportionale inter duo-xum illorum numerorum quadrata. Posito ergo quadrato primi 1 q, erit secundi Iaso -Iq; proportionales ergo sunt hi tres numeri Iq. 317. I 2 1 o- Iq, &cum extremorum rectangulu aequale sit quadrato me-
ωquales, factaque reductione, I qq. & 12soq - 277ν29. Semissis numeri radicum est cas, ex cuius qua Erato 39osas, si absolutus tollatur, propter signum --,restant II 2896, cuius residui radix addita semissi numeri radicum constat subtracta relinquit 1gν. quorum numerorum radices quadratae 3 I, & 37, sunt Bumeri quaesiti. Sunt autem ex s6r, & 289 radices quadratae iterum extrahendae , quod numeri radicum
Septimam. Quaerantur duci numeri, ex quorum quadratis si subtrahantur numeri ipsi, restent 3 ao et si vero ei, quod ex numeris sit, rectangulo ijdem addan-:ur, fiant I9I: quaero qui sint numeri ρ Ponantur nu- Neri ΙΣ , Si ergo I m addatur ad 32o,prodeunt quaintra ta Vtriusq; 3 2o I aeta si Vero Iae,subtrahatur ex Isr,estat utriusque rectangulum I9I - ΙΣ :cuius duplum 8a-2-, additum ad summam quadratorum, conlat quadratum utriusque numeri simul To2-I . t cum uterque numerus simul positus sit Izor erit q quadratum Vtriusque simul r ergo Iq aequale estinc 7 2- IT cujus numeri radix quadrata 26, est
mma utriusque simul, qui si diuidatur in duas
172쪽
EXEMPLA C O Noe proposita , ct abstracte
Aliquid contracte proponere, est illud practice , ω materialibus rebus coniunctum proponere. ' Abstracto vero proponere aliquid. est illud materialibus rebus separatum proponere. Rem exempla declarabunt. Primum. Quidam herus suo famulo quot diebus, si laboret, mercedem I a, si ocietur multam 8 erucis rorum imponit. Anno finito , nec herus famulo aliis quid dat, nec famulus ab hero aliquid recipit. Quaero quot diebus laborarit,quot feriatus fueritὶ Haec quae sito abstracth sic proponitur. Diuidatur numerus 36st tot enim dies annus habet in duas Partes,ut altera ducta in II, tantum faciat,quantum altera ducta in 8. Po- matur prior I Zei; erit ergo posterior 36s-Im. Si illa in Ia; haec in 8 ducatur, erunt producta Iam, S 29 Io 8Zis, aequalia: igitur reductione, atque diuisione facta, proueniunt i 6 dies laboris, qui ex 361 subtracti. relinquunt a Is dies ocij. Secundum. Hospes quidam Vendidit so ureas vini
2Io aureis, quarum Vrnarum aliae habuerunt album, aliae rubrum vinum: Vendiditautem Unam urnam vini
albi 3 ; unam rubri 8 aureis. Quaero quot urnae sue-Ι a rint
173쪽
ε34 QUAE TIONvΜ soLvTIO 'rint albi, quot rubri vini t Haec quaestio abstrache sieproponitur. Diuidatur numerus 3o in duas partes, ut si
una pars in f,altera ducatur in g, producantur 2 Io. Ponatur pars prior I erit ergo alteras o-I- .Si illa in Rhaecin 8 ducatur,producuntur sma, & 24 -8z..t quae addita conflant numerum hunc 24 -smi, aequ/ilem huic a Io. Facta iam reductione & diuisione proueniuntIo,urnae vini albir erunt ergo vini rubri urnae Σo. Nam quinquies I o,faciunt f o: octies vero χο seis iciunt 16o,quae simul faciunt 2IO.
Tertium Sunt duo genera monetarum numeroi Eooo.Valentium au. 8o: quorum alterius generis Io, I alterius 2o valent unum aureum. Quaero quot sint quarum Io, quot quarum po unum aureum Valenti
Haec quaestio abstracte lic proponitur. Diuidatur ni 'merus Iooo in duas partes,Vt si una per Io, altera diui- do 'pereto, siciant duo illi quoti 8o. Ρosita priore Parte I ,erit altera I Ocio I . Diuisa illa per Io; haec per 2o,proueniut so , quae simul faciunt 1 o'' PPU.Sunt ergo haec 1 o- - his 8o aequalia. Facta reductione, & diuisione , proueniunt emo, pars Prior, erit ergo altera oo. Si enim Go per Io; qoo Per 2odiuidalatur,proueniunt εο , & 2o , quae faci
Quartum. Duae ciuitates distant 128 milliaribus, ex quibus duo tabellarij exeunt,occurrentes sibi xΣ die, conficitque quotidie prior uno miliari amplius, quam 'secuddus ; quaero quot milliaria quilibet quot diebus consciat i Haec quaestio abstracte sic proponi potest. Quaerantur duo numeri, quorum excessus sit I, ut si v-terq; ducatur in I'fiat summa productorum haec 228.
174쪽
Numeri sunt I asti & raue, I qui d ucti in I a faciunt12Συ,& ΙΣ--I1; horum summa 24M --I 2, est aequalis his 228. Facta reductione , & diuisione repe--itur maior Io; ergo minor 9; quare prior quot diebus 1 o, alter 9 milliaria conficit. Quintum. In qualibet duarum militarium turmarum , quarum altera alteram 3 oo militibusi superat, distribuuntur qoos aurei, & capit quilibet minoris turmae 3 aureis amplius, quam quilibet maiori se qua ro quot in qualibet turma sint militest Haec quaessio abstracte sic proponi potest. Diuidatur numerus Ooo per duos, quorum minor a maiore excedatur numero hoc 3 oo. sitque quotus prioris diuisionis maior quoto posterioris, numero hoc 3, Posito diuisore minore Im: erit maior I - - 3oq.per quos sit diui datur numerus Apoo, prouenient 'IT. Et uuia quotus prior posteriorem superat hoc numero I , addenda sunt posteriori 3 , ut fiant Sunt ergo iam H, ,& 'UB ico aequalia; & ii ac eandem denomii,otionem rcclucantur . communi sque
denominator abjjciatur, 3 q 39Gozυ,&qOCO PUΦ I 2Οoo oo. Reductione igitur, di diuisione fa ctis, proueniunt qOOCoo-3oozd . cuius numeri radices sunt 8oo, & 3oo, turmae militum; nam si AOCO per illas dividantur, proueuiunt 3 & 8, quorum lposterior priorem excedit 3,excedit quoq; maior turma minorem 3 oo militibus, & capit quilibet maioris turmae 3, quilibet minoris 8 au.ut quaestio voluit. Sextum. Quidam emptis I o ovinis panni rogatur qua lari unam ulnam emeris i Respondet, quanto mi uoris emi o ulnas , quam go aureis , tanto mi-- . I noris
175쪽
i QVAEsTIONUM SOLuvios noris emissem fovinas, quam 's aureis. Hare quae stio abstram sic proponitur. Quaeratur numerus, qui si ducatur in o , &so , atque ex productis reijcian turgo, &9s , residua sint aequalia, quaero qui sit numerus ἰ Ponatur numerus ille Im , qui ductus in OD, , di so,facit omi& som: ex quibus si demantur 8o. i di 93.restans quae,-8o,N o ZO-9s,quae sunt aequalia. Reductione, &diuisione factis , proueniunt I l,
atque tanti emit unam ulnam. Si enim una constati at aureis constabunt o, aureis 6 O, au. 73. Cum
aureisao. bene operati sumus. f Septimum. Sunt duae societates, quarum altera ali teram excedit I6socijs, in quarum quamlibet summa ι pecuniae distribuitur 683 aureis maior . quam sit v-s triusque societatis numerus, capitque quilibet mino, ris societatis 8 aureis ampliux, quam quilibet maioris. Quaero & quanta sit pecnniarum summa, & quot in qualibet societate socij l Ponatur societatis minori Συ,erit igitur maior I 'l'I6: utraque addita aureis σου 8, facit summam pecuniae distribuendae, hanc et miro .la abstractὸ sic propono quaestione. Diuida
en te, numero hoc 3. Quoti sut & - , di cum prior superet posteriorem octonario, ii posteriis ori addantur 8, erunt haec TET '' his se. qualiam reductis ad eandem denominationem, lublatoq; communi denominatore,haec Ioq Φ 8 32 ac his aqφ 73 6ZG q. II 2 6 ,cuius radix 3 2,est societas minor:erit igitur maior 48. Hae societates cum 688 aureis faci-
176쪽
LI g. III. IN GENERE. M unt 768, summam pecuniarum, quae per 3 2 diuisa reddit 2 ; per q8 duntaxat 16; habet ergo quilibet minoris societatis 8 aureis amplius, quam quilibet maio
DE NUMERIS IRRATIO ALI BV si absolutis. NVmeri irrationales absoluti sunt radices eorum rationalium absolutorum,qui radices rationales non habent. Exempli causa. Radix quadrata numeri l 6, non es irrationalω.sed rationalis, es e nim . Nec radix cubica numeri 2P es irrationalis,
d rationatu Ut enim I. Nec deniq; radix emo' lidiprimi numeri 3a est irrationalis ,sed rationalis,ess enim a At radix quadrata numeri 6, irrationaritis est siquidem numerus 5 non est quadratuι.Et radix cubica numeri 2o, irrationalis est, cum 2O non si numerus cubicus Denique radix superstidi primi nomeri P, es irrationalis, quod o nonsit -- merus siversudus. Signantur numeri irrationales, e radiees surda hoc modo, q ε,-aO, Q. Primu significat radicem qxiaratam, ex G, Secumdus radicem cubicam ex aΟ. Tertius radicemsuper-
177쪽
innotantur irrationales, quibus e ita rationales, nisi uoδ irrationalibus characteres cum Me signo op figantur, cosscupo ponantur. Numeri irrationales ab sol u ti sue radices sundae, diuidi possunt in simplices copstin. Simplices AE pleri*; mediales quod per istiae , inter duos numeros , quotcuque medi proportionales inueniri possint. Copositae dicuntur quod ignis hisce f, - copuletur, O disiungantur. Diuiduntur composita in ligatas,uν niuersales,odiuinctas .Ligataesunt in quibus partis culae coniunctim accipiuntur. Exemplum in numeris rationalibus hoc so ses 5,qua faciunt Io. Nam radix ex so, est 6; radix vero ex i5,es 4: fido se faciunt i o, quorum quadratum es Ioo. Radix uniueri Mis'es,quando primus characrerutramq particula a scit qui a arriculi puncto aut parethesistiungitur hoc modo, q. 2ὶ qs; authoe, .l ra . Na radix secuda particula, ν, i es 3 quae addita adaa particulanimam facit a sim, ius radix es s :totus ergo hic numerin Wq aa
Disti iactae,quis quidam adferunt unt eadem culeatis nisiquod in illis particulae separatim accipiuturnis in exemplo de ligatis altito , H 3 3 g ι 6, particulae non accipiuntur coniunIrim' paratim, faciunt enim 1, ct δἱnon, ut in ligatis, i olNos,hac diuisione mi facillis numeros irrationa- Iesin quibus primin character non utramq; partii culam
178쪽
eulam a cit vocabimus compositos odiminutos: In quibus utramque afficit, uniuersales. Dicuntur a quibusdam omnes numeri irrationales eo fantes duabus particulis, se ignos,bmomta Co- stantes duabus o signo , re uasue apolomae Cosantes vero tribus particulis o signin quibustumquirinomia, constantes quatuor, quadrimonia. Di uiari etiam hoc loco selet in adices irrationales,numeri, an non. Sed numeros esse , duo argumenta suadent. Primum est quod ex duobus irratio. nati ου producipossit rationalis,ut ex Qq in ao. fit 3 o. Etiterum est, quod,ut inter duos numeros eos tinuos,ut inter a s 3, infiniti cadunt'racti; ita inter eosedem infiniti cadereposesint irratio ales, cuius
In hoc cap. primo tradam elementa simpli um: se eundo compotitorum, & diminutorum, tertio uniuer
DE LADDITI ONE ET SVBTRHCTLone irrationalium plicium.
Simplices irrationales,aut sunt comensurabiles, aut incommensurabiles. Item, aut habent eosdem , aut diuersos characteres. Si habent diuersos ad eosdem ante opera
179쪽
x4o DE NvΜER. IRRAT i NA LIB. EL M. operationem reducendi sunt,hoc qui sequitur. modo. x 8 Si lices irrationales diuersas habentes characteres,ad eosdem reducere. . . Collocentur numeri supra , characteres' infra ut hic apparet. inde per crucem fiat multiplicatio talis qualem character inricat. Postremo vir que oducto νιerque character progatur. Exemplum. Sinstad eosdem characteres reducendi hi duo numeri ce is , O.' 8. Collocatione facta multiplicentur Is quadrate propteν characterem per crucem ei restondentem:8 cubice proptereavdem causam, O producentur 2 6, ct s s et quibus praefigatur νterque character hoc modo His expositis ad elementa reuertimur. Ae primo quide,si habeant diuersos characteres retiorentur ad eosde, ac tunc si fuerint in comensurabiles addatur per ' , subintrahantur per -Quanquam non sit necesse ad eosdem illos characteres reducere,possunt. . non reducti addi.
Vt si Mq8ad et 1a,addenda sint,fient Mq8-2. Si q8 ex siet 1 2subtranenda, restabunt et 12- q s. Si habeant eosdem characteres incomensurabiles sint, adduntur quoq; per Φ,subtrahutur per -Vt si a x,ad qI 3 ,adde da sint,fient qI I H qis.Sisi qI I ex qIs subtrahenda restabunt qIs -- qI I. Possunt in radices incomensurabiles quadrate per , secundi Eucli. addi.Si nimiru ad sudiam quadratorum,addatur dupluetus,quod ex ipsis gignitur.Vt si qI I,& q I3 addenda sint. Summa quadratorii est Zq. Nam quadratum irrat ionalisi,aut cubus,&e. habetur si ab ipsis character quadraticus,aut cubicus &c.tollatur,ita fit,ut horumduoru
180쪽
Lra. III. CAP. I. ART. I. 14rma. que 2. SIibtractio fit, sex summa quadratorum, subtrahatur duplum eius, quod ex ipsis nascitur, hoc modo. q χε - q 372 Si sint comensurabiles,hoc est, si diuis per aliquam
communem mensuram,quotos reddant quadratos,cuis
bicos,biquadratos&c.sic addutur. Quotorum radices adduntur,summa ad quadratum cubum, biquadratum,&c.ducitur: quadratum,cubusiniquadratum,&c.duciis tur in communem mensuram. & habetur summa. In subtractione radix quoti minoris subtrahitur ex radice maioris, residuum ducitur ad quadratum, cubum &c.
Exemplam. Sint addenda ma7,& qm. Diuisa pers,communem mensuram , reddunt quotos quadratos: & ,quorum radices 3. & a iunctae faciunt s , huiusu quadratum as ductum in s Producit 7s , summam,
Si q I 2 ex q27 subtrahecla sint,subtrahitur radix minora,ex maiore 3 ,& restat, cuius quadratum I.ductumini Jaciis residuum. secandam exemptam. Sint hi tres numeri H q ari.' s , q8o addendi: diuisi per 3 reddunt quotos quadratos 4,9,I6: quorum radices et, 3, 4m faciunt' huius quadratum 8I ,ductum in f, producit 4os,
f ortium exemplum. Sint hi MAEIo8, 32 adde di. Diuisi per reddunt quotos cubicos 27. 8: summae radicum est 3 , cuius cubus Ias ductus in η producitue oo summam.Sint iam Io8, ex . oo subtrahenda. Diuisa per , reddunt 17,Iλs, quotos cubi cos,quorum radices sunt 3,& s;subtracta illa ex hac,r linquit 1 cuius cubus 8 ductus in q,producit m 3 .residutun