장음표시 사용
151쪽
ii, Qv Ars TIONVΜ SOLUTI Deniq; si ab utraq; parte demantur T,erunt &haec I 62, his Σ aequalia. Diuisis ergo I 62 per 2 proueniunt 72. Numerus quaesitus, cui si sui cum 7. addantur, fient 97,qui numerus tantum eit supra 9O, quantum 72 sunt infra 79. 'Quintum. Ementium agrum ioo aureis ait alter alis teri, si mihi tuae pecuniae i, & s aureos dares agrum emere possem. Infert alter,si tu tuae mihi dares, emerem agrum. Quot quilibet aureos habet ' Pono primum habere I Zei: alter ergo habet i Zo . lae, si qui. dem cum primi habet ioo cuius dimidium cum sadditum pecuniae primi, conficit sue quae sunt aequalia his Ioo: & si ab utraque parte tostam Ff , erunt& haec 4s, his I Z .aequalia. Diuisis ergo per ἱ prooueniunt sq, pecunia primi, cuius , nempe Is ex Ioo sublata relinquit 8r, pecuniam secundi; huius enim dimidium 4 I, ciam 3 additum pecuniae primi facit Ioo. Pari modo I pecuniae primi addita pecuniae secundi,fa
sextam. Dividatur numerus Io in duas partes. Vt maiore per minorem diuisa,proueniant Zo. POno maiorem I Zo: erit igitur minor Io - , Συ:diuiso illo per huc, prouentut- λα, quae sunt aequalia his 2o. Si ue haec - , ut ni S 'aequalia. Et reductis illis
ad eade denominatione, haeccis j a s his φρῖ Σπsublatoque communi denominatore, haec Iaeti, his,oo aom. Et si Vtriq; parti addantur zo i. hscar m. his et Oo. Diuisis igitur auo per 2I , proueniunt spars maior: erit igitur minor li, Diuisis enim , I per li, pro aiunt aO,quod orat propositum.
152쪽
IIS LIB. II. CAP. III. ART. II.
Reducunturhafractiones X E' ad eandem donominasionem per omnia, Pt in reductione de absolutu diximus. Ducuntur enim denominaetores in fle, ct fit communis
in i M Oft i zia hoc modo i is, Surimum exemplum. Viator qGot diebus 7 milliaria conficit; alter Ia diebus post ab eodem loco discedit, peragitque quotidie milliaria 9: quaero quom die hic. posterior priorem consequat ui 3 Hic prinius L milliaria conficit, antequam posterior iter instituit,septies. n. xa sunt 84. Quare inueniendus est numeru qui ductus in 7, productoque additis 84, tantum fiat, quantum si idem numerus ducatur in s. Ponatur numerus ille I riti, quaeducta in , facit 7 ruti, quaecum 84 faciunt 7 μ 84. Idem numerus ductus in ' facit 9 Zei; sunt ergo hec Σα - 84. his 9 m aequaJia; & siublatis ab utraque parte 7 et haec 8q, his a me, Diuilis igitur 3 per ram, prouoniunt 62. Atque tot diebus posterior priorem consequitur. Duetis enim 42 in 7, & producto additis 84. fiunt 3 8; totidem fiunt ex ψ2 'n'. ociauum. Dividatur numerus 38 in tres continuhproportionales. & quod fit a primo, Vt tertio porportionem habeat sesquialteram ad id, quod fit a primo &secundo. Ponatur secundus Izala: erunt ergo primus& tertius simul 38-i ze,. Secundus in se ductis facit et qr totidem cum faciat primus in tertium, fit. Vt productum primi, & secundi habeat ad productum secun- di in se proportionem sesquialteram,per proprietat. R. progress. geomet .erit erSO quod fit a primo, di secundo
153쪽
α AESTIO Num -soLvΤIo 'q, quod diuisum per I am , producit numerum pri-anaum subtractus a summa Drimi & tertij,relinis uit tertium 38-ir siue νε Τμ . Ductus primus in tertium facit - 'q, quod est aequale Iq , quadrato nimirum secundi; siue,sublato denominatores, eoque in Iqducto, erunt haec Isq his 2 28 ZO- Ioqa qualia.Et si utrinque addantur I oq haec a 2 8 his I9q; se abbreuiatis characteribus haec a 28,hisis m. Diuisis ergo 2 28 per I9, proueniunm, numerus secundus;primus ergo,qui inuentus est i 'erit 8, tertius I 8. Nonam. Quidam expendit suae pecuniar i , plus Io aureos; qua expensione facta, reliqui illi erant xxo aurei: quaero quantum pecuuiae habuerit ρ Pono habuisse i . Vnde si expendatri plus o , restant δι--7o, quae sunt aequalia his 22o. Si igitur viriq; parti addantur 7o; erunt & haec ἡ-, his 29o aequalia. Diauisis igitur 29o, per laeti, proueniunt Tas ; atq; tot aureos habuit: ex quibus si a , &7o subtrahas restant 22o.
Decimu. Quatuor inter se diuidunt Iooo ureos,secudus toties captis,quoties primus a,terti toties F, quoties secudus ,quartus toties 7. quoties tertius 6. Quaero
quid quilibet capiat Pono primum capere Im:&quia quoties primus capit 2, toties secundus capit 3 , dicoeti iaml 3 , inuenio pro secundo M . Rursus quia quoties secundus capit q, toties tertius capit 3 , dico. l l-l 1, & inuenio pro tertio φάμ. Denique quia quoties tertius capit 6, totie, quartus capit 7,dico. 6 li' ae,l7, & reperio pro quarto liue lἱ Συ. Stima omni uestetim,squalis Ioso. Uiuisis igiturIooopex οἱ prouemut 1 a L,pecunia primi;qua si ducas Productu diuidas per 2,ins prodit pecunia secudiar 8l :
154쪽
hac ducta in f,producto diuiso per prouenit pecunia tertij 28s II. Deniq; hac ducta in 7 producto diuiso per 6, prodit pecunia quarti 3 3Mi. Summa omnium est
a ooo: bene ergo operati sumus.' . '
Vndecimum. Habeo duo pocula. & Vnum opereulum,quod istimatur 9o aureis. Additum operculu precto minoris poculi facit summa duplam preci j maioris poculi additum vero precio maioris,facit summam tria piam precij poculi minoris.Quaero quid utrumque poculum valeat' Pono minus valere ΙΣ , cui si addanturso, erit summa IZe, 'so dupla preci j poculi maioris: rnatus ergo valet e M, s 4 s. Si iam 9o ad maioris precij poculum addantur,erit summa serae iis 3 tripla precii minoris poculi: Ergo cum precium minoris positum sit Im,erunt haec 3 hisάμ, 4 I3 s aequalia;& si ab traque parte ollatur ξ me . haec 1 - 2 e , his I 33. Diui sis ergo I 33 per αἱ ΣΟ, proueniunt sq, precium minoris poculi: cui si addantur 9o,& summa per a diuida
turpnuenientur 72 precium maioris poculi. - .
Duodecimam. iidam habet duo pocula , & 6 num operculum. Alterum poculum aestimatur 6o aureis, s operculum addatur poculo 6o aureorum , eris
summa dupla precii poculi ignoti : si addatur opercurulum poculo precij ignoti, erit summa tripla precii po
155쪽
centur, erunt haec IM,''so, his 3 so 2 Ze, aequalia,&, facta reductione haec 3 Z his scio. Diuisis ergo sooper 3 ad proueniunt roo,precium operculi , alterum
ergo poculum Valebit 8o. au. Decimum tertiam. Est progressio Arithmetica I 2 tem minorum, sumna a omnium est 282 , d jssercntia s. Quaero quis sit primus terminuερ Pono Ira : ersio Vltimus erit 3 3 'i' I m per I. regul. progres: Arithmet.
Summa primi, & Vltimis 3 '- χ m, quae diaeta in ε, semissem terminorum, facit r98Φ 3 2 Σ ,aequalia his 282: igitur facta reductione,& diuisione, erit terminus primus IDecimum quartum, quinque vinae panni nigri , & panni rubri valent reto aureos , & eodem precio is vinar panni nigri , & is rubri valent 23 8 . au. Quid Vna vina panni nigri , quid una rubri valet Ponov-
nam nigri Valore I MA quinque ergo Valent 3 agi, ac proinde Irubri valebunt IIO-s . Eodem modo rivlns nigri valebui I Izet,quindecim rubri II 8- I Iras. Si iam dicas, vinae panni rubri valent I Io-3 ras,quid Valent I reperies 23 3 -- Io TU; sed & valent
238- ira, Sunt igitur 23 IO Zei,& 238-I Ize, aequalia; factaque reduci ione ' Σ ,&α ἔ:Diuisis igitur et ς per ' rati , proueniunt 8 ; atque tot aure S valet Una vina panni nigri , &quinque, Ao', quibus ex IIo subtractis , restant 7o r ergo cum 7 Vinae panni rubri valeant 7o aureos . V alibit una, IO. Rursus cum II vinae panni nigri valeant 88
156쪽
Prinu . Dentur duo numeri in dupla proportione, quorum quadrata in se ducta faciant 181 64. Pono primum Iae: erit ergo secundus 2 m; horum quadrata I q. qin seducta faciunt q qq. Quare haec qq, his 38164 sunt aequalia. Diuisis ergo 18s , per A qq, proueniunt 166 i,quorum radix biquadrata,propter characterem qq, est II, numerus primus:erit igitur sese
Secundum. Dentur duo numeri in tripla proportione, quorum cubi coniuncti faciant 96o . Ponatur primus Iaderit ergo altri hora cubi conlucti fataciunt 28 Cisiunt ergo 18 et , &96o aequalia. Quare diuisisssoη per et 8qproueniunt 3 3. cuius radix cuin bica propter characterem c est 7,numerus primus: erit ergo secundus 2I. Tertium. Inneniantur duo numeri, quorum disserentia sit Io,faciantque numeri illi in seducti 19. Po- 'natur primus IM,:erit igitur alter Iz Io: hi n imeri in seducti faciunt xqφN-.Sunt ergo hic IqΦΙΟΣ , his 43 9 aequalia: &si ab utraque parte tollantur Io rari erit& Iq, his 419-Iozes, aequale. Cum ergo hi tres numeri seruent proportionem Arithmeticam,eorumq; ex ponentes sint 2.o.I.poterit ex illis radix quadrata extrahi. Diuisis igitur 4 39 -I OZe,, per I q, proueniunt '
157쪽
r I 8 Qv Ars TIONvM SOLUTIO 4s 9- Ioze: huius numeri radices sunt i 7, & 2 .Nam semissis numeri radicum esti eius quadratum 2 s, ad quod additus absolutus, propter signum , sicit 48 thuius numeri radici quadratae 12, si addatur, & subtrahatur semissis numeri radicum s,prodeunt dicti num
Q ιrtum. Sit numerus zo in duas partes diuiden- . dus, hac lege, 't partes in se ductae , gignant 9I. Pono primam parteIm: erit igitur altera δο-I Ze,,quae in se ductae faciunt zo MD-Iq. aequalia his 9 I. Facta reductione, erunt haec et o Ma - 9I, huic I q aequalia.
Quibus ex numeris,cum eorum eX ponenteS I. . . semuent proportionem Arithmeticam,potest extrahi radix quadrata. Diuisis enim ΣΟΣ 91 per I q,proueniunt zo 9I .E x quo iam extrahitur radix quadrata.Se- missis numeri radicum est Io , ex cuius quadrato Io
subtrabus absolutus propter signum - , relinquit 9; cuius radix 3 addita, &subtracta semissi, exhibet pamtes Is R 7, inquas numerus zo diuidendus proponeba
Quintum. Quaeratur numerus, qui maior sit alio quodam numero 6, alio minor δ, faciantque illi duo numeri in seductis 32. Sit numerus ille I astir ergo svnitatibus illo maior erit Iz. 6; minor vero8 unita tibus, erit 1Σχ -- 8. Hi numeri in se ducti, faciunt i q-2---68 , quae sunt aequal a his 9 12;& facta reductione, erit Iq, his 98oo''im aequale. Dimidium numeri radicum est x, ad cuius quadratum I, absolutus additus propter signum 4 , facit 98o1: ad huius Vero numeri radicem quadratam 99,additum dimidium numeri radicum, facit Ioo, qui est numerus quaesiitu ima-
158쪽
- L 13. R CAP. III. A RT. III. Iisior illo 6 unitatibus est Icc , minor 8 , est sa: at hi, duo numeri in seducti faciunt s7sar ergo quaestio Io-
sextKm. diuidatur numerus I 2 in duas partes, ut quod ex multiplicatione partium sit, diuisum per partium differcntiam , reddat Iri. Partes sunt prior Izeb:altera Ι--I Σ ,qus in se ductae factur ir Te - q. Differentia partium est 2- - I 2. Ram s3I2 3 Tei, eX' Iam subtrahantur, restant a Ma-I2', per quam differ tiam si i i I diuidamur,erit quotus 'in et qui est aequalis numero x7 . Hi duo numeri di dii ad eandem denominationem faciunt quae sunt etiam aequalia. Abiecto ergo denominatore communi. erunt quoque nUmeratores 24 Σα - 2q,&7o , --42O , aequales facta reducti 'ne, erunt haec 2 q, his χο- 6 aequalia. Diuisis iam 42o 6 per 2 q,prouemunt 2IO - 23 . Semissis numeri rata dicum est It l, ad e;us quacrarum I 32 absolutus propter lignumst additus, facit 3 a 4: ex huius radice quadrata I 8 si semissis numeri radicum . propter fgnum , subtrahatur, restant 7, pars maior:erit ergo minor s. Nam hi numeri in seducti faciunt 33. qui numerus per eorum differentiam 2 diuisus, reddit quo- i
Septimum. Dei t tr duo mameri, quorum diffe- .rentia sit 8, hac lege , ut si differentia quadratorum . ipsorum subtrahatur ex ipsorum rectangulo, re in Ua - itur. I .Pono primum esse I -:etit ergo alter Iz D-8. . Quadrata ipiorum sunt I q,& ι qΦ I6M Φ 6q. uisitae in . tia quadratorum est IC TU H. isq; qua eX rectangulo .
159쪽
octauum. Sunt tres numeri proportionales , quorum summa est yi. medius ai. quaero qui sit primus,quitertius' Pono primum esse , ad; & cum secundus sita I ierit tertius 7o I ae,. Quoniam vero quando tres numeri sunt proportionales in rectangulum extremorulaequale quadrato med ij,fit ut liqc 44I, his Iozd Isis intae' ualia;& si vir que parti addatur Iq. erunt &haecq I '' Iq, his Io zo aequalia: rursus si ab utraque parte demantur Α I,erit & hoc I q,his To--qqI π qurile. Semissis numeri radicum est 3 s , eius quadratum 122s , Vnde subtractus absolutus . relinquit 78ε, huius numeri radix 28 addita semissi,facit 63, subtraeta x eodem relinquit 7. Sunt igitur hi tres numeri T. 2 i. ,3 simul facientes si I,quaesiti, sunt enim, Ut quaestio volebat,proportionales.
Nanam. Dentur duo numeri , quorum quadra. ta habeant proportionem hanc e , faciantque quadrata cum numeris . I 628. Quia quadrata ponuntur habere proportionem hanc O , habebunt numeri hanc l numeri enim 3,2, sunt numerorum P. & qradices. Quare si primus numerus ponatur Imrerit al- summa quadratorum est', summa numei ruiti lati:ergo hec Pi I sunt his Is 28,aequalia;&
160쪽
diuisis ergo 1628-έ per i Τ',proueniunt FOCY3 Semisisis numeri radicum est , eius quadratum QII, ad quod additus absolutus . facit sol ny ex huius radice quadrata et 2 Fnsi tollatur semissis nu- meri radicum, restant χχ,numerus primus : ergo cum alter ad hanc proportionem habeat sesquialtueram, hoc est talem,qualis est inter 382,erit alter 33.
Decimam. Duo ca pones habent vinum. Primus 8o; alter Izomensuras, vendit posterior unam mensuram Vno aureo carius, quam prior.Venditione peracta,habent ambo simul 44 aureos. Quaero quot men- suras quilibet uno aureo vendiderit φ Pono priorem uno aureo Vendidisse Im zergo alter uno aureo vendidit I Συ '' I, adeoq; prior omnes posterior omnest et aureis vendidit. Haec simul faciunt quae iunt his 4 aequalia, siue his '. Quae si aci ea nisdem denominationem seducatur,erunt haec M M' , his aequalia, sublatoque communi cie Dominatore, haec toozdi 8o, his ΑΑ qi Facta ergo reductione & diuisione,proueniunt fu, cuius numeri radix est 4: vendidit ergo prior mensuras V-no au, posterior 3. Nam si diuidasSO per ψ . proue niunt 2 o. si Iao per D proueniunt 24 , quae limul faciunt 44,ut quaestio Voluit. sed extrahamus radieem quadratam ex hoc nume o .
Vndecimum. Detur numeruli . ex cuiuS biqua- .drato si tollantur Io quadrata, residua sint 3 oos 11. Ponai