장음표시 사용
161쪽
aequalia. Si virique parti addantur- Ioq, erit & hoc 3 qq, his 3 oo 3II' Ioq aequale. Radix numeri Moo1 Is Ioclest I 8 s , ex quo numero, cum n Umerus radicum habeat characterem hunc q , eruenda est radix quadrata,quae est 43,qui num crus est Is, qui quaeritur. Duodecimum. Detur numerus, cui ilabi quadratum,& cubus simul,ad x I eius quadrata habeant proportio, Nem,quam 'sad I. Ponatur numerus ille I m: erit iniis inr eius quadratum I q, cubus Ice. bi quadratum I qq.
Quadrata 2 i sunt ad I qq ic , vir ad 36, Ductis ergo atq in 36,erunt haec Iqq i iet, his 736q aequalia. Et si
ab utraque parte tollatur Iet, erit hoc Iqq, his sq-x et aequale. Hic locum numeri radicum renet Ice; ab soluti 7s q. Exponentes horum char. cterum qq, et,q, sunt q. 3. 2 . ex quibus si subtrahantur 2,restam a. I.o, ut proinde abbreuiatis charaeteribus,rq aequale sit his 73 -I me . Semissis numeri radicum est ; ad cuius quadratum Z additus absolutus, propter sigri iam 'i', Ω-ci t 71 6 4. Lx huius radice 27- , si tollatur semissis nurimeri radicumi propter signum - , restant 27 , nUmerus quaesitus. Abbreuiari autem nans tantum chara fieres possunt, quando eorum exponentes sunt numeri. Quando duo sunt numeri,tertius o, abbreuiari non p. sunt , H in pracetiue exemplo, in quo exponentes erant q,2 ,ο. 3
Decimam tertissi Est alicuius progressionisArithmeticae ab unitate incipientis sum a s I disseretia A. QuaeriturVltimusterminus, Pono esse Iae,. Ex quo si per regulq. progres Arith.tollo primu reliquu per disterentiam diuido,& quoto unitate addo, habeo numeria termi-
162쪽
LIB. II. CAp. III. A R Υ. ΙΙΙ. I 3norsi ly.inciuus semissε N ',si duco summa primi,&Vltinutetmini,nimirui mi I,produco δ'=r 'εἶ, summam terminorum psed Ν 9I, est eadem sitim ma: erago ', & 9i sunt aequalia,quae si ad eande deno minationem reducantur, & communis denominator tollatur, erunt & haec Iq-Α- - 3, lais 728 aequalia, di , facta reductione hoc Iq.his 723 -Α - , cuius numeri radix a ue,est terminus ultimus. Decimum quartum. Quidam cornicit milliaria Ioso Primo die unum, secundo i amplius : tertio rursus amplius,& eadem deinceps differentia. Quaero quanto tempore totum iter absolua' POno I m dieru. Vnde si tollam I,& residuum ducam indifferentiam ἰ pro ductoq; addam primum terminum, efficio v Ntimum terminum; per regul. I. progressi Arith. cui si addo primuin, hoc est, I,efficio ' , quo in semi L. sem numeri terminorum,nempe in fi ducto produco 'MMG summam omnium terminorum; sed & eadem summa est ioso; sunt ergo & Io9o aequaliar erisgo & facta reductione ad eosdem terminos , & comis muni denominatore abiecto haec I q' 9z his Io9oo,& si ab utraque parte tollantur 9 Zm, hoc I q,his IO9oo i 9Σ , cuius numeri radix IOO , est numerus dierum, quibus milliaria Iodio conficit.
In hoc exemplorum genere pro secundis radicibus t
163쪽
primas reducuntur, ut exempla docebunt. Primum exemplum. Inueniantur tres numeri, quorum primus cum I 36, sit duplus secundi,&teriij. Secundus cum 184,triplus primi , & tertij. Tertius cum 17 quadruplus primi,&secudi .Ponatur primus i Zυ, qui quia cum i36, est duplus secundi & tertii, erunt secundus & tertius simul ira, 68,quibus si addaturierunt omnes tres Ier i 68. Ponatur secundusi A. iiii si subtrahatur ex I tu i 68, restant primus &terti us,1; am'-68-I Α. Quia vero secundus cu I 8 q. hoc est, i
ao4. Iterum s ab utraq; parte tollantur i8 .haec qA.his ἱ- - 2o. Ergo si ΑΑaequantur his 'lae lao;aequabitur, I A ,his It ''s.Secundus ergo,qui ponebatur I A, est rimis. Ponatur tertius I Beergo primus, & secuniadus erunt Iz-Φ68 IB. Et quia tertius cum 1 6 est quadruplus primi, & siecundi erunt haec IB φ i s. his 6-φ17χ- AB aequat ia. & si Vtriq; parti addantur B, haec 1Bq. I 6, his C=27χ.Rursus si ab utraq; parte tollantur I7s,haec 1 B, his 6-Φ9σ.Quare si s Baeqn 1-tur ii iss- .s 96, equabitur Is, his Ι - ΖΔ φ I9S. Tertius ergo; qui ponebatur IB, erit I l za fas . Cum igitur primus positus sit Izo, secundus, & tertius inuenti sint
164쪽
numerus primus. Ergo secudus,qui inuexus es ς fherit 3 2: tertius vero,qui inuen rus est 3I-- s . erit 8.Nam si 24 ducantur in I ἐ-, prouen erit 17, quae cum s faciunt 32 . Et si a docamur in I ac proueniet 28 quae cum I9sfaciunt 8. Quod autem inuenti
tres hi numeri a da, quaeitioni satisfaciant, facile probabis. Secundum. Tres habent pecunias, si secundus , &tertius dent primo i suae pecuniae, habebit primus Ioo. Si primus,& tertius dent seuundo suae pecuniae. habebit secundus Ioo.Si primus,& secundus dent tertio lsuae pecuniae. habebit tertius Io . Quaero quantum quilibet habeati Pono primum habere Im; secundum,& tertium I A. Si ergo secundus, & tertius primo lsuae pecuniae dederint, habebit primus Iae H A: quae erunt aequalia his Ioo ; & si ab utraque parte tollatur Im haec ξ R,his ioo- I quare & I A , nis 3 oo 3 Ergo secundus, & tertius, qui ponebantur habere x Α,
habent 3oo-ῖ-: ergo Omnes tres habent so 2 Σ Ρonatur secundus habere I B: quo subtracto ex so 2-,restant soO-2-- IB, pecunia primi ,& tertii.
cuius e addita adpecunia secundi, facit e B φ 7 1 l .
quae sunt aequat ia his Ioo; & si ab utraq; parte tot tantur
, Donatur tertius habere Io: ergo primus , M secta.dus habent 3 oo ZU Io; cuius i cum et' faciti , aequalia his Ioo. Si ab utraque parte trilla
165쪽
ως Qv AESTIONvM SOL vTII turis erunt &haec ΦC-- - , his εο aequalia. si reique parti addantur I Zm, haec Φ c,his i - Φ o: er go &Io, his ire, o.Tertius ergo, qui ponebatur hahere I C, habet ἱ- 'so.Cum ergo primus habeat I , secundus ε 3 3 l, habebunt omnes tres 2 ἱ Σ Φ , sed& habent soci-2 - . Haec ergo his 3 oo a zala sunt aequalia:& si viriq; parti addantura Z , haec ε σοῦ et 83 2, his soo. Rursus si ab utraque parte tollantur 83 4 ,haec ἡ Ζ his ars l. Diuisis ergo 2 6l per qz-,proueniunt 1 2, pecunia primi: se cundus ergo,& tertius, qui inuenti sunt habere l
solutam esse facile probabis. υνι ium. Duo habent pecunias. Primus aicit secun do. si dederis mihi ἱ tuae pecuniae, habebo Ito aureos: secundus dicit primo, si dederis tu mihi tuae, thabebo IIo. Quaero quot quilibet habeat ἰ Pono primum hahere Iaia, secundum I A. Si ergo secundus dederit
primo A, habebit primus 1 ad 4 A, hoc est 1io: igiis
tur facta reductione, erunt A,& I IO-IZd aequaliarergo I Α,&33o-3 ZO. Quare secundus , qui pone batur habere I A habet 3 3o-3 - Cui si primus deis deriti mo, habebit secundus Iso a r avi, hoc est, II ors acta ergo reductione erunt 12o , &. 2 rata aequa
Iia. Quare diuisis aro per 2 proueniunt 8o , pecunia primi: ergo secundus , qui inuentus est habere 3 o -s ac , habebit so. Quaestionem recte solutam
Quartum. Dentur tres numeri, hic lege, ut primus di tertius habeant proportionem duodecuplam ad si undum; secundus uao & tertius ad primum quindus, cupiam;
166쪽
LIB. II. CAP. III. ART. 1 v. Fa cupiam; quaero qui sint numeri Esto primus Im. tertius IA;summa IZ 'IΑ est duodecupla secundi:e gri secundus est stri cui si addo tertium 1 A,efficio AZ3A ,qui numeruscusit quindecuplus primi radeerunt Is m, & aequalia; & si ab utraq; parte tollatur: --, erunt il6,&IAE aequalia: Igitur . cum it 6 denti dabit 1 A, as ':ergo tertius, qui ponebaturi Α,erit I 3 et μ',hic cum primo.IZO,s cit I et τῆς qui numerus cum sit duodecuplus secundi, erit secundus sati. Maro cum primi, & secundi sit proportio, qualis est numerorum Is,& I 6, tertius qui inuentus est II 4 Z ,erit I79. Habemus ergo res nu- mevos II. I6. 179 , qui id quod propositum est pra stant, Idque in terminis minimis; nam in maioribus alii esse possunt. Vt hi tres 2 6. 31. 3 1 8; di hi I3o,16Q. Πλ
Hic notetur mirabissi natura numnorum. Namst priores duos statuas νηitate maiores, quam uni denominatores pr portionis, semper inuenies primum, oesecundum. Vis sint inueniendi tres numeri,hac lege, i priwin cum tertio sit quadruplus secundi; secundus cum tertio quintuplus primi rit Lmini secundu3 6. Tertius inuenitur, si via secundus quadruplicrtur, O ex producto auferatur primuι, vel primae quintu- .pMetur,o exproducto auferatur secundia3 Vtrum eata I ceris,reperies I9 iumerum tertium. i
Sunt quaedam quaestiones. quae iacilius per primas, . quam per secundas radices soluuntur. Prima. Quin-
167쪽
Qv AssΥIONUM SOL vTI I 28 que habent pecunias,omnes seciuso primo Is ', omnes seci use secundo I 6: omnes seciuso tertio I o. Oma . nes secluso quarto I 6o. Omnes secluso quinto I r.
Quaero quantum quilibet habeat i Si ponamus primum habere Im,habebunt reliqui tanto plus, aut mi nus et m,quanto numeri a quibus excludutur, superant, aut excedunt, numerum, a quo primus excluditur. Habebit igitur secundus Izei h 8, tertius I Ze,' 'IJ, quaristus Iad quintus IZQ-I8:ergo omnes 3- χ;
sed& habent Imi se io ;cum enim primus h aheat im&quatuor reliq'ii Is , habebunt Oinues I Is rsunt igitur J- - 2, &IZe, i sq, aequalia; & facta reductione, q-, Sc IF s. Diuisis ergo Is 6 per ψα proueniunto pecunia primi;habebit igitur secundus 67,tertiuSFs, quartus 33, quintus .
Secunda habetur apud Peletarium de radicibus secundis, quam & elarius habet pag. 3 1 suae Algebrae.
Coae sic habet.Quaerantur duo numeri, quorum quadrata faciant 3 o: duo vero numeri in seducti, faciant gmaioris quadrati. Pono primum esse i md, i erit igitur
secundLs aes, quadrata Vtriusque factum εἰ q:siunt emgo 3 o, & 4. aequalia. Facta diuisione. proclit quadra. tum maioris I migitur minoris erit IAq, adeoque numeri ipsi I & I 2. Demon'νatio pendet ex 4 flecundi Euci: Cum enim quod feex duobus numeris sit medium proportionale inter quadrata numerorum,erit νι quadratum maioris,ad id quod sit ex numeris ta numerus maior ad minorem ergo cum pono nxm ram maiorem I Hrit minor rata. ARTI -
168쪽
primum. Est rectangillum, cuius maius latus est duis plum minoris, minus 3 pedibus: arsia Vero est aos peis dum quadratorum ; quaero quanta simi latera Pono minus esse Imrerit igitur maius 2 --3 , haec in se ducta faciunt 2 q- 3 m, quae sunt aequalia his ros:& si utrique parti addantur 3 - , haec 2 8 his aQ9 4, 3 et . Diuisis igitur 2o9' 3 - , per a q, p ueniunt Ioq -hi m. Semissis numeri radicum est i eius quadratum,additum ad absolutum, facit I o s,: ad huius radicem I o l, additus semissis, conflat II , latus minus: igitur malus est I9. tribus unitatibus minus quam 2,duplum minoris. secundum. Est columna rectangula , cuius latera haseos habent proportionem duplam sesquiquintam altitudo vero tripla est lateris maioris ; est columnae crastities est pedum cubicorum I 32o: quaero, quanta sint latera, & altitudo' Si ponatur minus latus I -:erit imaiusVati, altitudo i l . Ducta latera in se faciuntl ' : hoc in altitudinem creat ' crassitiem e igitur
sunt aequalia his I seto; quibus per il diuisis,
proueniunt Iooo, cuius numeri radix cubica Io, est la- tus minus: erit ergo maiu6 22, altitudo G. lTertium. Est triangulum ab c, cuius latus maxi-
169쪽
primi Eoclid quadratu lat ris ab squatur quadratis lateru b d , a d, si subtraxero quadratu lateris b d ex qua- bdrato lateris a b, restabit quadratu lateris a d .Eode m do si subtraxeroquadratu lateris d c.ex quadrato lateris ac , restabit quadratum lateris ad . Igitur si ex Ao O, quactato ipsius a b, subtraxero x q, quadratum ipsius bd. restabit oo - Iq, quadratum ipsius ad . Item si I- 2M I J quadratum ipsius d c,m 169, quadrato ipsius a c subtraxero, restabit ΑΣ ,-272- I mquadratum ipsius a d. Ergo oo-- Iq.& 62Σ - 27x- rq sunt aequalia, & facta reductione 672 axq; Aa m. Diuisis igitur 67 2 perfla Σ ,proueniunI 16 , pars ma ior bd , quae ponebatur Imr quare minor d c est Quod verum esse hinc constat. quia si tam quadratum ipsius bd , ex quadrato ipsius ab; quam quadratum ipsius d c, ex quadrato ipsius ac subtraxero , restabit quadratum ipsius ad IA ; ergo ipsa a d erit I 2. pedum.
Quartu. Ad diametrua bducta est perpedicularis ce , quae qualium diametrus est xo,taliuipia est 3 pedum.Quaero in quas
partes diametrus in cfecta sit,
quadratu perpedicularis ce est aequale rectagulo sub a c, cb co
telo per I 3 sexti; si diuidatur a bita,ut rectangulum sub partibus
170쪽
eontentum sit aequale quadrato ipsius ce, inueniemus a c, 16;c b, ' pedum. Ponatur b d I - r erit ergo to- tacd 43I Zei. Et quia per penult. primi &-tertii, tam quadrata ipsarum c d , ce; quam rectanguluma d, bd aequale est quadraro tangentis de , fit ut haec So4 8 4 Iq, his ΣΟΣ Iq sint aequaIia r & reductione facta , haec8o,his ia m. Diuiss igitur 8o periam, proueniunt si, exterior bd , quae posita fuit
Im : Ergo tota cd est Io l, cuius quadratum II 3 . si q adrato ipsius c e iungatur , prodibit quadratum tangentis dς, adeoque de ipsa tisigens, II l pedum. ι. ' Quintum. Trianguli ab c, rectanguli, latus bc sit 1s s summa duorum, ac, ab ue pedum: quaero quanta sint latera a b, a ct Pono acesse a Ztar erit igitur ab 731 - 1 m. Quadrata laterum ab , bc ae quantur quadrato lateris ac , per penuit.
x primi. Est igitur hoc 1q, his 38 o - Iso
Sextum. Dentur duo numeri,quorum quadrata faciant Iaso,numeri Vero in se ducti 327 t, quaero qui sint numeri Haec quaestio per ε. secundi ita solluitur. Reiactangulum numerorum inueniendorum est sar: ergo duo rectangula sunt Ios , quaecum summa quadrato. rum faciut 23oqmi numerus est quadratu utriusq;nu.
meri simul est ergo uterq; simul 8. Qiti si diuidatur itduaspartes,ea lege,ut partes in se ducti faciant3 27,erui