장음표시 사용
71쪽
terminos esse antecedentes,& consequentes, praeter pri mum, & Vltimum,quOxum ille tantum est antecedens,
Progressio vim est,in qua non omnes termini fune antecedentes, & consequentes. hoc est, non est, ut priamus ad secundum; ita secundus ad tertium: sed tantum. vi primus ad secundum; ita tertius ad quartum. Talia progressio cernitur in his quatuor numeris a.ε.I. in quibus est, vi 2 ad ι ita 3 ad 6; non autem. ut 1 ad Α;ita
ad 3, cum inter a &q sit subdupla, inter Α & 3 sesquia
ut melius intelligantur proprietates geometriss proini Fessionis notabis, Numerum in se ipsum ductum diei quadratum, ut est numerus 9, qui nascitur ex 3 in se, iiis quidem ter 3s t s. Deinde idem numerus in qu - dratum ductus dicitur cubus, ut est numerus 27; nam ter s sunt a . Idem numerus ductus in cubum, diciturhiquadratumr Idem in biquadratum dicitur supersiolia
erim minu. In omni progressione geometraea
72쪽
Li R. I. CAP. I ART. IV. ε . Continua numerus tertius est quadratus, &.vno praeter misso quintus, septimus nonus. Undecimus, &c. Quartus vero est cubus, & duobus praetermissis septimus,de Cimus, decimus tertius, &c. Rursius quintus est hiquadratus, & tribus praetermissis, nonus, decimus tertius,
Secunda proprietas. Si quicunque terminus in se ducatur in continua proportione, tantum aberit productus ab illo, quantum ipse abest ab unitate. Vt in progressione prima, quartus. hoc est, 8 tantum abest , ab unita te, quantum ipse abest a sq. Unde manifestum est, non esse necesse, ut omnes intermedij termini inueniantur. Vt si in prima progresione inuenire velim terminum vigesimum septimum, duco in se decimum quartum. nempe 8 ist, producoque67Io8864; hic in se ductus progignit quinquagesimum tertium. Tertia proprietas. Datis tribus terminis quibuscunq; progressionis continuae, crit quadratum medij , aequale
Quarta. Datis in continna progressione quatuor qui huscunq; terminis, erit productum mediolum, aequale producto extremorum. Idem in discreta verum est. si fuerit, ut primus ad secundum, ita tertius ad qua
tum . Vnde si in regula proportionum productum primi , O quarti equais fuerit productosecundi O revir, operatio legia
Quinta. Quadratum cuiuscunque numeri progressionis continuae, est aequale producto duorum aequaliter ab ipso distantium.
73쪽
e DE PROGREssi ONE Ggo ΜETRICA Musica progressio est talis trium numerorum series, ut quqest proportio maximi,& minimi,ea sit disserentiarum maximi &medij, &medij atque minimi. Vt in his tribus numeris Videre licet, G. 4. 3. Disterentia ma-
ω imi & medi jest 2; medj j & minimi i. inter quos est proportio dupla,quilis etiam est inter ο& 3 maximum,
Reperiuntur tres musice proportionales,ex tribus arithmetice proportionalibus , si primus arithmetichproportionalis in secundiis tertium,secundus vero interitu ducatur: Ita ex his tribus 2. . 6. arithmeticε pr . portionalibus reperiuntur hi tres 8. I 1. 2 .musicε proportionales .Quod autem eiusmodi numeri sint musice proportionales, inde costa quod in plerisq; reperiatiae tres illae proportiones ex quib.tota Musica pendet; nimiru dupla,sive vi quae octauam constituite sesquialtera sive αμ πεντε, quae quinta constituit:sesquitertia, siue ast τεvisci quae constituit quarta.Cernuntur enim in his numeris π.4.3. dictae proportiones: nam inters& 3 est dupla: interis &4 sesquialtera inter & sesiquitertia. At in his et 12. 8 cernuntur tripla, i quae eg composita qX dupla, & sesquialtera, estq; apud musicos duodecima: dupla,& sesquialtera; hoc est , octaua & quinta. Quod ut melius intelligas, noueris aispud musicos esse Undecim consonantias, non quod plures noti sint,cum infinitae sint; sed quod his undecim ta-- tum in cantilenis componendis utantur musici. Sunt autem istae I. s. s. 6.8. IO. I 2.13. I . . 2O; quarum haeseXI. s. 8.J2.I1.1'. sunt persectar: Hae quinque 3 6.ro. Is .ao imperfectae.Componitur tertia ex 32 &27. quinin
74쪽
ima ex ' ς & et . duodecimex 3 &I. decimatertia ex et & 8. decima quinta ex 4 & 1. decima nona ex σ& a. vigesima ex 27 & ε, quarta ex & 3. Tonus ex 8. Semitonium maius ex 2187 & zo48 ; semitonium minus ex Σ36 & 2M. &c. Quae dicta sunt sor assis melius intelliges ex hac figura. In qua spacium in tot partes sit diuisu, quot faciunt duo numeri consonantia
componentes,numereturque ex b in d minor numerus; ex d in a maior- atque ex d fulcrum erigatur ; nam si tangantur chordae a e, e b edetur illaconsonantia,quam numeri illi componunt. Exemplum. octaua componitur ex ,,& i: Si ergo ab a in det; ad inbunum numeretur, erigaturque exd fulcrum ,& utraque pars chordae a e, e b tangatur, edetur octaua. Si vero a d in nres,
d b in duas diuidatur,edetur quinta, &c.
Aduertendum etiam est, duos illos numeros,ex qui hus consonantiae componuntur, per modum fractioianis poni ; hoc modo ἡ, l. Iam si consonantiae consonatia addenda sit, ducantur ram superiores, quam inferi-.ores in se; ita ut ex his , ,octaua nimirum,& quinta, sat haec ἔ, siue , nempe duodecima. Si vero una ab altera subtrahenda sit , fiat id per crucem. Vt si haec ex hac ἱ, nempe quinta ex octaua sit subtrahenda , re
75쪽
Figurae geometricae numeris repraesentatae, sunt aut planae,aut solidae.Planae sunt,trilaterae, quadrilaterae.&multilaterae.Solidae, sunt cubi , parallelepipeda, columna pyramides, &c.
Numerus mmu est . qui gignitur ex ductu duorum numerorum in se.Vrsi 8 in 6 ducantur, gignentur q8, qui numerus planus dicitur.
Malli It cantes, vocantur latera.
Vt si in figura BC, latus A B ponatur 8, AC 6 pedum: figura ipsa
diculur plana. Habet haecfigura 8 cellulas,qui omnes sunt quain Gratulae,& dicuntur pedeS qua
drati , si quidem latera pedibus
mensurentur. Numerus quadratis ex numero in seipsum ducto creatur, cuiusmodi sunt ε. 9. I 6. 23. 36. v 6 6 8 I. Ioo.&c. Nam primus ex binario in seipsum aucto cre-i atu secundus ex terna rio,tertius ex quaternario. Sunt praeter quadratos numeri tria viares,pentagonii hexagoni, heptagoni. octogoni.Triangulares fiunt ex summa progressionis arithmeticae ab unitate incipientis, cuius differentia est unitas. Ita ex I & d fit 3 ; eae 1.2.s fit 6; ex I. 2.3. Io.&c. Quadrati fiunt ex summa progressionis arithmeticae ab unitate incipientis, cuius d isserentia est binarius. Ita I &3 fit . Ex I. - .fit 9.EX I.3.1.T.fit I 6.&c. Pentagm creantur ex summa progrestionis arithme-
76쪽
LIE. I. CAP. IV. ART. v. tie ab unitate incipientis,cuius disserentia est ternarius;Itae I. .fit 3,exI.4.7 fit 12.ex I. . . Io fit 11 dici Hexagoni creantur ex summa prostremonis arithmeticae ab unitate incipientis, cuius differentia est quaternarius.Ita ex I. . fit 6. EX I. 1 9. fit I .Ex I.ss .as. fin
Heptagoni fiunt ex simili progression eulus differentia est 1;octogoni ex illa,cuius differentia est 6.&c. Numerus altera parte longior est , qui producitur 1
duobus sola unitate differentibus cuiusmodi sunt. 2.612.2O.3Ο.q2.primus nascitur I & 2; secundus ex A.
gom generari emqua raro collate-rali, O trianguli. pracedente Secundo, Hexagonum ex quadrato collaterali. O dupla pracedetis trianguli. Tertio. nolineas transuersa
77쪽
ad hunc 3 fore ennesionum,ctc. Quarto.M ex duplo quadrati subtrahatur radix , resare caruierale Hexagonum. ininto. Semisse umina Hexagoni, Oradicis, esse quadratum.
Sexto. Duplum quadrati mutilatum triangulo costate in Γ,relinquere Pentagonum collaterale. Septimo. Datu tribus triangularibus continuis, summam extremorum unitate excedere duplum medis Octauo. Datis quatuor triangularibus continais, summam extremorum binario excedere pummam mediorum. Nono. Duos continuos triangulares cossi tuere quadra eam. Decimo. Summam quadratorum duorum triangularium continuorum, constituere triangularem. Sint duo triangulares continui 3 9 6, eorum quadrata 2 2 36,faciunt F.
triangularem nonum. Vndecimo. Datis tribus triangularibus continuis, productum extremorum cum medio facere quadratum medij. Duodecimo.Datu quatuor triangularibus contιnuis pro ductum extremorum cum medijs pnitate excedere productum mediorum. Multa alia deducet ex hac tabula ingeniosus is Borai ANNOΥATro II.
Si quis miretur cur, quando hacIuy per fractum minus viro racto, quando Per stactus per integram multiplicatur, minua integro proueniat, is rem hinc facile inte
78쪽
L A. r. CAP IV. ART V. tur tres cellular quando duo,nimirum a I g duco in f,a ride. e e producuntur 6 cellula: quando vero dιmidium cuntaxat a b duco in ad, de e c,producuntur tantum tres dimidia ce lata, hoc est, 1 Patet ergo cur,quando duco i in s producatur minae quam 3; hoc est tantum I l. Quando verostarium perfractum, aut integrum perfractum diuido, cur plus proueniat sic ostendo. Toties conistinetur in quoto, quoties diuisior in diuidendo. Vt cum diuida 3 a per 4, progeniunt 3, eo quod in Ia ter contineantur. Em go etiam cum diuido 3 per ei proueniunt 6; ideo, quod νt ins βxies continetam, ita etiam unitaου in quoto sexies continerι debeat. Idem de multiplicatione ostendo. Cum enim qua sesi proportio νniis multiplicantis, Θ νnitatis, talis sit producti, ct alterius multiplicantis, si multiplicentur 3 per i , fitque pnitatis oe I nvorrio dupla erit quoque 3, O producti dupla. ac proinde pro actum erιν Il, mnud quam 3, alter multipli
ANNOTAT Io III. Possunt ex planorum numerorum notitia huiusmodi quasti-tincida deducι. vi urea circularis , cuius diametrus est xo opassuum,area Σο iugerum. Quarosi diametrvi fit sue o passuum quot iugerum futura fit a reai' accipe pro diametris quadrata, diametrorum, hoc modo, I νοο ο l χο l Iaasso, o reperies, operatione absoluta, aqs iugera. Eodem modo agendum est,si area fit quadrata, pentagoη hexagona, O . Sit enim area quadrata, culin latera pona tur so palsuum, area Ia iugerum: quποβ latera ponantur1οε passuum,ε ετ iugerum sit area Zaccipe quadrata laterum
79쪽
Numerus solidus est, qui ex tribus in se multiplica- . is gignitur Vt,ex 2. 3. 4 fit 2 . Solidus numerus. aut est cubus,aut parallelepipedum,aut pyrami ,aut columna&c. Cubus est,cum tres aequales numeri in se ducuntur; vel cum idem numerus in se, postea in productum ducitur. Veluti sunt numeri 8. 2 .sq.72 χΙ-Primus fit ex x; secundus ex 3; tertius ex Α, quartus ex s, quintus ex ε. Parallelepipedum fit ex duobus, aut tribus ;si ex
dirobus,erit basis quadrata;si ex tribus oblonga,possunt bases quoque eri triangulares,bexagonae, Pentagonae, Dramussi habeat trianguIarem basim, fit ex aggre-g omnlivn triangulorum.Quadratae la summa qua dratoo
80쪽
Lra. I. CAP. IV. ART. V. Tadratorum .Pentagonae ex pentagonorum. Hexagonae ex hexagonorum,& Columηa, cuiuscunque generis sint, fiunt ex ductu e iuscunque numeri in superficiem illius speciei , cuius sunt ipse columnq, ut triangularis in triangulum,& numerum quemcimq; quadratae in quadratum.& num rum quemcunque. Pentagonae in pentagonu m,&c.Vide hac de re Franciscum Maurolycum initio libri pris
ANNOTATIO I. Sequuntur ex numeris silidis har. Primὸ. Si Doram unangularium numqrorum conlisuoram quadratum minoris ex quadrato maioris tollatur, restare cubum,cuitu radix es radix maioris trianguli. Secania stos primos imparerps νηirarem, ne a 3 ct scοψisuerecubum bino , Dessequentes T. 9.I cubum ternari . QuatuorseqMηtes 13. 13. I7. s,c tam quaternarii quod si quisspire νφtit,qui impares cuiusca que radicis cubum cοψ ant,deducat ex quadrato istius na- meri numersm νnitate minorem, O habebit minimam im rem,eundem numεrum eidem quadrato addat, O habebis maximum imparem. Exemplum. Volo ire, qui duodecim impares constituant ςubum duodenarii .Quadrato duodenari, addo, O ab eodem tura II,numeram restate minorem duodenario,