De infinitorum spiralium spatiorum mensura, opusculum geometricum. Authore f. Stephano de Angelis Veneto, ordinis Iesuatorum s. Hieronymi, in Veneta prouincia definitore prouinciali

91쪽

Spatiorum Mensura . 77ETenim, cum Ct, linea in trilineo sit aequalis

circumferenti e IR , inspirali, & A B, in tri. lineo aequalis semidiametro K A, seu RA, inspurali: triangulum C B I, erit aequale sectori R A I. Tunc in RS, accipiatur quodlibet punctum 2, &describatur circumserentia a s, semidianaetro A a,' occurrens spirali in s; & facta in trilineo BQ, aequali Aa, sit MN PQ, parallela C A. Ad modum dictorum in proposit. i 7. deducemus, MN P, in trilineo aequalem fore circumferentiae 3 1 ε 3, inspirali. Cum verbetiam Nn in trilineo sit aequalis circumferentiae a 43, inspirali quia ex hypothesi, ID, est aequalis circumferentiae R h. ) Ergo MN, in trilineo, erit aequalis circumferentiae a s , inspirali. Quia vero RS, est aequalis OA; exper- . tis in methodo indivisibilium patebit, omnes ci cumferentias trilinei RIS, in spirali concentricas circumferentiae R I, aequales fore omnibus lineis trilinei CGl, parallelis C I. Ac proinde trilineum ipsum Ri S, aequale sore trilineo CGI.

SCHOLIUM.

Cum vero supra probatum sit, i riangulum C BI, aequale esse sect ori R AI; ergo triangulum BCI, erit ad trilineum CGI, ut sector R A I, ad trili-ncum Ris. Quare per conuelsiones i rationis, erit sector ad spatium S AI, quod includit, ut triangu-

92쪽

a 3 De In iurum 3 l umquoque posse de partibus proportionalibus. Non

enim tantum totus excessus aequabitur toto trilineo CGE D. Sed etiam pars clausa peripheri BCDF d, spirali Bl SM, peripheria ME, Ser m EB, erit aequalis quadrilatero C G H D . Item reliqua pars G MEG, aequalis trilineo EG H. Idem dicatur de caeteris partibus proportionali-

SCHOLIUM II.

Ergo pere uel sionem rationis, erit circulus ad apsum spirale spatium, retriangulum C B D, ad sp, Muin comprehensam rectis CB, BE, Moetua CGE.

93쪽

. Spatiorum Mesra. 69 Cum vero e1 proposit. Iq. sit triangulum CBD, ad

illud spatium , ut factum sub differenti. potestatum AB, BF, uno gradu depressiorum potestate trilineis nempe eiusdem gradus cum spirali) in quadratum BA, ad tales partes differentiae potestatum AB, BF, Vno gradu superiorum potestate trilinei nempe duplici gradu superiorum potestate spiralis, in quae se

habeant ad ipsam , ut numerus trilinei unitate minutus nempe ut numerus gradus spiralis in ad numerum trilinei unitate auctum Inem pe ad numerum gradus

spiralis binario auctum. Ei go etiam circulus radi jA M, erit ad spatium spirale GMSis G, ut factum sub differentia potestatum B A, AG, eiusdem gradus cum spirali, in quadratum B A, ad tales partes differentiae potestatum BA, A G, duplici gradu ab tiorum porestate spiralis , quae se habeant ad dictam differentiam, Ut numerus gradus spiralis ad ipsum

SCHOL IV M III.

Immo ex sches. citat. proposit. l4.poterimus alias eompendiosiores rationes assignare. Nam in spirali lineati deducemus, esse circulum ad spatium, ut quadratum B A, adrectangulum B AG, cum ἰ qu drati s G. In quadratica, Vt idem quadratum B Asad idem rectangulum BAG, cum , quadrati Cp. Et uniuersaliter deducemus, esse circulum ad spatium , ut sactum sub quadrato As, inomnes singu-

lares

94쪽

o ' De Iugnitorum Spirallam lares partes potestatis adgregati AB, AG ἰ vnuis gradus inferioris, grada spiralis, ad tales partes omis. nium singularium partium potestatis adgregati AB, A G, uno gradu altioris potestate spiralis, quae se habeant ad ipsas, ut numerus gradus spiralis, ad numerum binario auctum. g i

PROPOSITIO XVIII

nia spatia Diralia successive inscripta in quibuslibet iam eulis simul sumpta ,sunt ad tot circulor maiores quotus

es numerus reuolutionum, ut numerus Padus oratis adnumerum binario auctum. . . is i.

SInt quaelibet spatia spiralia A G H, H RPM,

MN LSR, inscripta in circulis radiorum AH, AM , AR. Dico omnia illa spatia simul sumpta esse ad tot circulos radi j AB, quotus est numerus reuol tionum nempe in nostro casu ad tresi ut numerullgradus spiralis, ad numerum binario auctum. Nempe in prim Vr I. ad 3. Insectand. vi L. ad 6. Vt s. ad

. . Sit etiam triangulum QR Z, cum sibi inscripto trilineo parabolico QR Z, gradus congruentis gradui spiraliMsitque talis indolis, ut Z Ε, Υ E, ET,sine aequales AB, AM, AH;& Qia sit aequalis tot peripherijs B F DC, quotus est numerus reuolutionum. Ergo ex proposit. anteced. spatium contentum rectis QE, EX, &curua QM erit aequale spatio sph

95쪽

hariorum Mensura.

97쪽

PROPOSITIO XX.

Diagr/mmatisms proposit. anteced. si inspirali acceptombibbet puncto M , induta A M, centro M,ιntem uallo A M, describatur peripheria EM. Sector A ME, erit a patium spirale A MGA, quod comprehendit, trictum sub quadrato. E A, in disserentiam potestatum EA, AG, eiusdem grasis cum spirali, ad tales partes disserentia potestaιum EA,. AG, duplici gradu alti rum potestate spiralis,quae se habeant ad ipsam, i nume-

'. - , rus Diralis,ad numerum binario auctum.

NAM in trilineo, supposita B Ο, aequali A E,

& FO,qquali GE, iam ex schol. pri. prop. t T. patet, trilineum GEH, in trilineo aequale esse eraeessui GMEG, & GH, aequalem fore circumferentiae EM. Cum ergo etiam radius A E , sit aequalis Bos altitudini trianguli GBH, duincta prius rqcta . BG ὶ Ergo ei sangulum BGH, erit aquale se4ori A EM: diem ad trilin cum GEH, ut sector . M RE, ad excessum ipsius supra spatium; nempe ad G M E G. Ergo & per conuersionem rationis, erit sector ad spatium A M G, a se comprehensuitis ut triangulum G B H, ad spatium G BEG. sed ex proposit. i q. triangulum est ad illud spatium in assignata ratione. Quare pater pr0positum.

99쪽

eo . De la torum Ipinatum

SCHOLIUM.

Etiam ergo in praesenti propositione licebit collugere ea omnia, q aae supra varijs vicibus fuerunt col. lecta. N mirum in spirali lineari, esse sectorem ad spatium, ut q i ad at Pn E A, ad rectangulu n EAG, cum ψ quadrati EG. in quadratica , Vc quadratum EA, ad rectuagulum EAG, cum I quadrati GE. Et uni ieri aliter , esse sectorem ad spatium, ut factum subqiadrato E A, in omnes singulares partes adgregati potestatis EA, A G, unius gradus inferioris potestate spiralis, ad tales partes omnium singularatim partium potestitis adgregati EA, AG, uno grad i superioris potestate spiralis, quae se habeant ad ipsaS, ut numerus spiralis, ad numerum binario auctum.

PROPOSITIO XXI.

Si in schematibus proposit. anteced. M B, BF, in trianeo stat aequales Κ A, AG, in spirali ue in circumfrentia I RN , sit aequalis C D, in trilineo, item circumferen tiam re, linea CI, in triane', DA, in tribueo aequilis tot integris circumferent ii radi, quotus ect -- merus reuolutionum nitate minor. Tribneum EGI, in trilineo, erit aequale tritaeo R IS, inspirali, quo ess. excessussctoris RAI circumscripti patio SAI, Fu--stra Usem. Etenim

100쪽

Spatiorum Mensura . IVETenim, cum Ct, linea in trilineo sit aequalis circumferenti e I R , in spirali, & A B, in trilineo aequalis semidiametro K A, seu RA, in spurali: triangulum C BI, erit aequalla sectori R A l. Tunc in RS, accipiatur quodlibet pulvinum α, &describatur circumferentia a s, semidiametro A a,' occurrens spirali in s; & fa ista in trilineo BQ, ae- quali A a, sit MN PQ, parallela C A. Ad mo- , dum dictorum in proposit. II. deducemus, MN , . in trilineo aequalem fore circumserentiae I a 4 3, inspirali. Cum verbetiam N P, in trilineo sit aequali Scircumserentiae a 4s, in spirali quia ex hypothesi, ID, est aequalis circumferentiae R h.) Ergo MN, in trilineo, erit aequalis circumferentiae a s , in spirali. Quia vero R S, est aequalis O As exper- . tis in methodo indivisibilium patebit , omnes ci cumferentias trilinei RIS, in spirali concentricas circumferentiae R I, aequales fore omnibus lineis trilinei CGI, parallelis C I. Ac proinde trili

SCHOLIUM.

Cum vero supra probatum sit, triangulum C BI, aequale esse sect ori R AI ; ergo triangulum BCl, erit ad trilineum C GI, ut se r R AI, ad triliti cum Ris. Quare per conuersionem rationis, erie sector ad spatium S AI, quod includit, ut triangu-