장음표시 사용
61쪽
4s lamitorum Spirafium A C, una eum facto sub d icta differentia quadrat rum o A, AC, in quadratum A C. Quod utique est manifestum.Nam ex prop. I s.fector OAD,est ad sputium C A D, ut factum sub quadrato O A,in differen, tiam potestatum OA, AC, eiusdem gradus cum spiarali, ad sui talem partem, & facti subdifferentiaquaadratorum OA, AC, &sub potestate AC, eiusdem gradus cum spirali, quae se habeat ad haec, ut num rus ad numerum binario auctum. Ex praesenti proposit. idem sector O A D, est ad idem spatium C AD, ut idem factum sub quadrato OR, in disse rentiam potestatum OA, AC, eiusdem gradus cum spirali ad talem partem differentiae potestatum O AE,
A C, duplici gradu altiorum potestate spirali, quae se
habeat ad dictam differentiam, ut numeruS adn merum binario auctum. Ergo ambo consequentia harum proportionum erunt qualia. Cumque sint similes partes illarum magnitudinum cuius sunt pamtes: etiam integrae magnitudines erunt aequales. Dis
ferentia ergo potestatum OA, AC, dupli gradu altio- Iu gradu lpiralis,erit squalis facto sub quadrato OA, in disserentiam potestatum OA, A C, eiusdem graduscu spirali, una cum facto lub differetia quadratorum O A, AC,in potestatem Co, eiusdem gradus cu spirali. Quod utique illud idem est, quod supra dictum fuit.
sed sicuti in schol. prim propositi antpced. d
62쪽
Spatioram mensura pressi fuerunt termini proportionis dictae primae, &fecundae spiralis ad terminos inferiores, sic licebit
ipsos in praesenti deprimere, & compendiosiores rationes assignare, ut ibidem factum fuit. An vero necesse sit in alijs spiralibus alitorum graduum retinere proportiones illarum potestatum, adeo ut nullatenus liceat ipsas deprimere , non videtur affirmandum. Sed quomodo possint deprimi, videat lector proprio Marte. Saltem enim ex doctrinis Francisci Vietae explicatis innotibus prioribus ad Logisticen Speciosam a proposit. 34. infra, colliget posse dictas proportiones deprimi uno gradu. Colligitur enim ex ibidem ab ipso ostensis. Consectarium suum vniuersale, quod habet post proposit. α . Quod isserentia potestatum si adplicetur ad disserentiam titerum orien tur singuiaria bomogenea quibus constat potesas gradus pro-Yime inserioris adgregati ipseorum laterum , semel sempta. Et e coutra. V. g. fi cubus O A, minus cubo AC,
adplicetur ad OC, differentiam laterum o A, A QOrientur quadratum OA, rectangulum OAC, &quadratum AC, simul,&sernet sumpta; quae plana sunt omnia singularia plana potestatis unius gradus inferioris, nempe quadrati, adgregati laterum OA, A C. Et se in alijs potestatibus. Cum ergo proportio sectoris O AD, ad spatium C A D, sit cadem cum ratione facti sub quadrato OA , indifferentiam potestatum OA , AC, eiusdem gradus cum spirali, ad partes explicatas differentiae potestatum OA ,
Λ C, duplici gradu di torum potestate spiralis: patet
63쪽
48 De Infinirerum Φratum ambos terminos huius proportionis posse adplicari ad UC, diserentiarn laterum. Sed haec Omnia mellius percipientur exempli ficando in tertia spirali. In hac sector O A D, est ad spatium C A D, ut factum sub quadrato O A, in disserentiam cuborum O A, AC, ad ' differentiae quadratocuborum OA, A C. Si adpliceturad O C. differentiam laterum disserenistia cuborum OA , AC; orietur summa planorum sit gulariter, quibus constat quadratum adgregati laterum ΟΔ, Co, simul sumpturum; nempe quadratum OA , rectangvium OAC, & quadra
Si verb adplicetur ad eandem O C. d gerentia
quadratocuborum O A, A C orietur summa plan planoruia singulariter, quibus constat quadratoquadratum laterum adgregati OA, AC, simul. sumptorum, ne pe. Quadratoquadratum o A. Plus cubus Ο Α, in A C. Plus quadratum Ο Α, in quadratum A C. Plus ΟΑ, in cubum A C. Plus quadratoquadratum
Ergo in spirali cubi caerit sector O A D, ad spatium spirale CAD, ut quadratoquadratum D A. Plus cubus Ο Α, in Α C. Plus quadratum Ο Α, in quadratum C A. ad ' planopianorum supra ennu
Ex quibus videtur posse deduci aliam regulam generalem assignandi rationem sectoris OA D, in quacunqLe spuali, ad spatium spirale CAD. Et haec
64쪽
erit , quod sit ut saetium sub quadrato DA, in om-ries singulares partes potestatis adgregati OA , AC, v no gradu inferioris potestate spiralis , ad omnium lingularium partium potestatis adgregati tales partes OA , AC, uno gradu superioris potestate spiralis , quae se habeant ad ipsas, ut numerus spiralis ad n umerum binario auctum. Sed his, & similia comis
pendia, ut diximus, lector proprijs adinveniet viribus , si operibus Analystarum aliquando incubuerit. Quam plures etenim adinveniuntur, qui egregio, occum summa laude in hac materia scripsere 3 sed omnibus Colophonem imponet Excellentissimus Gemmetra Carolus Rinaidinus Serenissimi Magni Pri ripis Etruriae Mathematicus in quodam magno v resquod iam exantiauit,quodque in posterum, immo quam primum, typis committet. Quamplurima e enim vir ille egregius tum philosophica, tum ma r 9 in
65쪽
.1s De In Minum Syralium 'themattea molitus est: sed inter haec extat opus algebricum absolutissimum in quo praeter omnes Analysis partes, concinnavit etiam librum non paruum, in quo in amplitudinem artis soluta fuere plus quam 3 oo. problemata.
Si in senilis anteced. proposit. semidiametro minori linea , in scribatur sector Ac M. Erit C OD, trilineum exisces .s sectoris maioris seupra spatium, ad um tri lineum exeesse patis seprasectorem minorem, Mut emcessis facti sub disserentia potestatum OG cri eiusdem. gradus cum spirali in quadratum OA, supra tales partes disterentiae poteriatum OA, CA, duplici gradu altiorum potestate sipirabs, quae se babeant ad dictam disserem
τιam , it numerus θιrabs ad eundem numerum binaris auctum, a excessumpraedictarum partium isserentiae po-
tectatum O A, C A, plici gradu altiorum potestate spirabs,seupra factumsub disti rentia potestatum OA, CAEAuserim gradus cum spirali, in quadratum C A . . V. G. in spirali lineari, erit trilineum OD C, ad iii lincum CDM, ut excessus facti sub OC, in quadratum O A, supra tertiana patienad L ferentiae ct borum OA , AC, ad excessum talis tertiae partis huius differentiae, supra factum sub OC, in quadratum . C A. In quadratica, ut excessus facti sub dissilentia quadratorum OA, CA, in quadra
66쪽
Spatiorum Mensera. tum OA , .pra 3 differentiae quadratoquadratorui I OA, CA, ad excessum harum supra factum subdifferentia quadratorum o A, AC, in quadratum A. Et sic in caeteris in infinitum. Quoniam enim sector ODA, est ad segmentum C AD , ex proposit. anteced. vi factum subdifferentia potestatum OA, CA, eiusdem gradus
eum spirali, & sub quadrato o4, ad talem partem differentiae potestatum OR CA, duplici gradu alsiorum potestate spiralis, quae se habeat ad ipsam
disserentiam, ut numerus spiralis ad numerum binario auctum: ergo & diuidendo, trilineum o DC, erit ad segmentum C AD , ut excessus antecedentis
praedieri supra dictum consequens, ad ipsum. Ast, quoniam sector o D A, est ad sectorem C A M , ut quadratum OA , ad quadratum C As nempe vefactum sub quadrato OA , in disserentiam potesta-
67쪽
ss De In isorum Spir sium tum O A, C A, eiusdem gradus cum spirali, ad factum sub tali differentia ,&sub quadrato CA. ENgo & segmentum C A D, erit ad sectorem CAM,Vt partes differentiae potestatum Ο Α, C A, duplici gradu altiorum potestate spiralis, qsar se habeant ad ipsam , ut numerus spiralis ad numerum binario a ctum, ad factum sub differentia potestatum OA , CA, eiusdem gradus cum spirali, & sub quadrato C A. Quare & diuidendo, erit trilineum CD in
ad sectorem CAM, ut excessus huius secundi ant cedentis , supra tale secundum consequens, adi in sum consequens. Ergo facile concludemus ex ςquali, esse O CD, ad CDM, ut excessus primi antecedentis praedicti supra primum consequens, ad eincessum secundi antecedentis supra secundum consequens. Quod&c. : '
Sed quoniam in superioribus in duabus primis, spiralibus compendiosius ostensa est ratio sectoris D A D . ad spatium C A D, compendiosius etiam ostendemus in prima spirali, esse O , ad CDM, ut CA, cum OC, ad CA, cum OC. Quod
sic patebit Quia cum probatum fit in schol. 2. pro- posit. ii . sectorem O A D, esse ad segmentum C A D, ut quadratum Ο Α, ad rectangulum o A C, cum i quadrati O C. Ergo diuidendo , erit O DC, ad C A D, ut rectangulaen OC A, cum
68쪽
quadrati OC, ad rectangulum OAC; cum I qu drati OC sillis enim planis quadratum O A , excedit rectangulum O AC, cum iv quadrati OCH Pariter, cum sector ODA, sit ad sectorem CAM, Vt quadratum O Α, ad quadratum C A. Ergo &spatium C A D, erit ad morem C A M, ut reclangulum OAC, cum i quadrati OC, ad quadratum C A. Et diuidendo cerit CDM , ad
CAM, ut rectangulum o CA, cum quadrati CO, ad quadratum C A. Facile ergo conclude tur, O DC, esse ad C D M, ut rectangulum OCA, cum ' quadrati OC, nempe cum rectangulosum Οἰ&subg o C, ad rectangulum OCA, cum :quadrati OC, nempe cum rectangulo sub OC, &sub ἰ OC. Cum ergo omnia haec rectangula habeant commune latus OC, erit ODC, ad CDM, ut CA, cum ' OC, ad CA, cum I OC. In secunda autem spirali ostendemus eodem mmdo, ODC, & CDM, aequalia esse. Quare sequitur CD, portionem spiralis quadraticae esse veluti dimetientem fasciae ODM C. Quod sic patebit . Qujacum in schol. citat. ostensum fuerit, sectorem esse ad spatium, ut quadratum OA , ad rectangulum OA Scum I quadrati CO. Ergo diuidendo, ODC, crie ad C AD, ut rectangulum OCA, cum dimidio quadrati OC, ad rectangulum OAC, cum dimidio quadrati OC. Sed pariter probabimur diuidendo C D M, esse ad C A M, ut rectangulum OCA, cum dimidio quadrati OC, ad quadratum CA. Vndei
69쪽
s Di Infinitorum Spiralium facile concludemus, O DC, esse ad CD M. ut rectangulum OCA, cum I quadrati OC, ad rectangulum OCA, cum ἰ quadrati OC; nempe ut aequale, ad aequale. Quod Scc. Sed etiam in alijs spiralibus poterit praedi,a ratio aliqualiter deprimi. sed videat lector modum depressionis .
Si euilibet trilineo primo, sicto it in proposit. 3 .sit circumscriptum triantulum . Erit triangulum pars totius, cuius latus non ea diameter tritara, ad portionem excessus ipsiussu a portionem trilinei ase comprebensam, minis jum sub excelsu potestatis diametri trilinei uno gradia inferioris potestate trilinei, supra similem potestatem diametra trilineι ad 'Derticem, in quadratum diametri trimura , ad tales partes excessus pote ratis diametri trilinumno gradu altioris potestate trilineisupra simiumpotestatem tri G ad terticem, qua ad talem excessum se habeant mi numerin trilinei initate minutus, ad numerum initate auctum.
HAEc proposit. est a 4. lib prim. de Infinit. P
rab. In schemate ergo proposit. s. ducatur CB. Dico triangulum C BD, esse ad spatium C BEC, comprehensum a rectis CB, BE, &a curua C E, ut facitam sub excessu potestatis AB, uno gradu inferioris potestate trilinei, supra similem potestatem BF, in quadratum B A, ad tales partes
70쪽
t xcessus potestatis A B, uno gradu superioris pol si ite trilinei, supra similem potestatem BF, quae se habeant ad talem excellum, ut numerus trilinei unitate minutus ad numerum trilinei unitate auctum .
V. g. in trilineo quadratico, erit ut factum sub F Α, in quadratum B A, ad tertiam partem excessus cubi BA, supra cubum B F. In cubico, ut factum sub excessu quadrati BA, supra quadratum B F, in quadratum BA, ad ἰ excessus quadratoquadrati A B, supra quadratoquadratum B F. in quadiat quadratico, ut factum sub excessu cubi AB, supra cubum B F, in quadratum B A, ad ' excessusq adrato bi A B, supra quadratocubum B F. Et sic in infinitum. Qu0niam enim ex propos t. s. est C Α, ad A D,