장음표시 사용
101쪽
-- B C in v et expedite solvetur , ut in exemplis
Corol. a. Et hinc, si curva linea P FH si de- lfiniatur per relationem in lter basem seu abscissam AC &. ordinatim applicatam C H, ut moris est;& valor ordinatiis applicatae resolvatur in seriem convergentem: Problema Pper primos seriei terminos sequentibus.
, ri F H si semicirculus super diametre
descriptus, & requiratur medii densitas quae faciat ut proiectile in hac linea in Ueatur.
ha buntur ordinatae E Κ & B G , nempe stituendo ipsorum
& N I valores iam inventos , evadit
1 - 2 21 Eictim a NI sit 1 Raeresistemia erit ad gravitatem ut 3 S i ad 4 R R. Quemadmodum pro descenix inventum est; di corollaria eadem quoqu
102쪽
ae 3 aes ix '' ' Huiusmodi series distinguo in terminos successivos in nunc' ' μ' -Τerminum primum appello, in quo quantuas infim te parva o non extat ῆ secundum , In quo quanutas illa est unius dimensonis; tertium, in quo extat duarum; quartum , in quo trium est; oc sic in infinitum. Et primus terminus, oui liic est e, denotabit semper longitudinem ordinatae GH insistentis ad initium indefinitae quantitatis o. Secundus ter- murus, qui hic est denotabit differentiam inter C H ocDM id est, lineolam MN, quae abscinditur complendo parallelogrammum atque Ideo positionem I JΝ semper deternumt; ut in hoc casu capiendo M N aca H M ut est ad o, seu a ad ri Terminus tertius, qui hic
est VII designabit lineolam IV, quae iacet inter tangentem& curvam, ideoque determinat angulum contactus IHN seu
103쪽
Naturam quam curva linea habet in H. Si ν lineola illa ΙΝ finitae est magnitudinis, designabitur per terminum tertium una cum sequentibus in infinitum. At si lincola illa minuatur Likkkin infinitum, termini subsequentes evadent infinite minoreS ter-sgeu, D. tio, ideoque negligi possiant. Terminus quartus determinat SecT. u. Variationem Curuaturae , quintus variationem variationis , & sic , ' deinceps. Unde obiter patet usus non contcmnendus harum serierum in solutione problematum , quae pendent a tangentibus oc
centrum circuli eumram F Η Q Oseulamula H ; Ο is, o I radii , Η PI chorda ar- σει H I, di P arrulus circularis cemro H& radio H N descriptus. Duo triangula I P N, I Μ H similia erunt, ob angui ad P dc Μ tectos re angulum ad I utrique triangulo communem, & ideo II Iest ad Η Μ ut N I ad N P, ae proinde NPα Anguli N HI, quem tangem H N eum subtensa H P I constititit, mensura est dimidius arcus H I, &anguli ad eentrum H o I mentura est arcus totus Η Ι ex natura airculi ι undo
re angulus ille , seu curvatura in H, datis seciuido & tertio termino seriei in quam valor ordinatim applicatae resolvitur, deterin minabitur.
DI. lib. I. P. κ) Terminiu quaraus aeremιν riinonem cummurae. Quoiuam dii ferentia lineolarum L Η & N I quarto seriei termino proportionalis est s & per lianeolam N I determinatur angulus contamctus seu curvatura curvae in puncto H tis & per lineolam L H eurvatura iupuncto G; per harum linearum disiere tiam seu per quartum seriei terminum deis terminabitur disserentia seu variatio cur vaturae , ductaque alia tangente similiter determinabitur variatio vatiationis, dc sic deinceps.
104쪽
I 1sast iis longitudo illa H T, quae ad semidiametrum A F il,si P O
SECUND. normaliter insistentem terminatur : & resistentia erit ad gra-SZcT. II vitatem ut 3 a ad 2 n, id est, ut 3 A C ad circuli diametrum P 2: velocitas autem erit ut C H. Quare fi comi us iusta cum velocitate secundum lineam ipsi P si paralleam exeat de loco F, & medii densitas in singulis locis II sit ut longitudo tangentis H T , de resistentia etiam in loco aliquo H sit ad vim gravitatis ut C ad P O, corpus illud describet circuli quadrantem F HAt
la H Τ esta. Iungatur radius AH, & ob angulum re stum quem tansens T H eum radio Α Η constituit, para alasque AT, C Η, triangulum A H C simile erit trian
Ity. Quoniam igitur velocitas est ut, CH, medii densitas ut tangens 1 T, dc resistentia ut A C, quia gravitas & circuli diameter P Q data sunt corpore per veniente ad punctum Q lineae horia talis, velocitas ejus nulla erit , medii densitas infinita, resistentia finita. si verbp natur C Η negativa, ut corpus infra horia talem P. Q pergat 3 fiet velocitas ut - C Η , quantitas ima tiaria ε, εc ideo corpus non potest infra horia talem P Q descendere. At dum corpus est in F, vel
citas ejus est ut Α F, medii deafitia GILia, di resistentia nulla.
105쪽
At si corpus idem de loco P , secundum lineam ipsi IP Da Μο-
perpendicularem egrederetur, & in arcu semicirculi P mo--COR veri inciperet , sumenda esset γε C seu a ad Contrarias partes centri oc propterea signum ejus mutandum esset & ' saeus o. scribendum - a pro a. Quo pacto prodiret medii densitas S ger. II.
ut Negativam autem densitatem, hoc est, quae motus PadaL. III.
corporum accelerat, natura non admittit: & propterea n turaliter fieri non potest, ut corpus aQendendo a P describat circuli quadrantem P F. Ad hunc effectium dc rei corpus a medici impellente accelerari, non a resistente impediri. Exempl. a. Sit linea P F parabola, axem habens AF horizonti Paperpendicularem, de requiratur medii densitas, quae aciat ut prosectile in i a moVeatur. Ex
formida quae densitatem medii exponit , corporis at censui, dc descensui communis est, sicut Sc aliae sermulae quae resistentiam dc velocitatem exponunt i is ; & idcirco ut quantitas quae densitatem medii eorpore deicendente exponit eamdem exponat pro corporis ascenIu per eumdem vel similem & aequalem areum, siubstituendus est iii illa quamitate valor abscissae, quae corpore descendente hic positiva est, at cendente ii gativa. M . Atque hinc generatim colligitur
euin lem curvae arcum, vel similes ec aequales utrilique ab axe arcus , non posse al-
centii Zc descensu describi in uidio medio densitatis utcumque variabilis id est, si areas utius ascensu describi liotest, descetiis dei tibi non posse , Sc contra. Nam si in i lutione problematis hujulce pro corporis delineensia per arcum F Q, origo abseIssae potativae A C statuatur in Α , & pro C B ,
106쪽
DE MO- Ex natura parabolae, reflangu- TU COR-luni P D G aequale est rectangulo sub PORUM, DI oc tecta aliqua data: hoc est , si dicantur recta illa b; P C, a; SEci. II. P e ; C H , e ; oc C D, O , re-
rectangulo bin DI, ideoque D I aequale ' --.
- Jam scribendus esset huius seriei secundus terminus
- ο pro si o , temus item torminus pro R ο o. Cum vero Diutes non sint termini , debebit quarti coemiens S eva.. S . nescere, & propterea quantita. , cui medii denseri, i-QQtas proportionalis est, nihil erit. Nulla igitur medii densitate movebitur projectile in parabola, uti olim demonstravit Galilaeus. s. E. I. Exempl. 3. Sit linea AGK hyperbola , asymptoton habens N X plano horizontali A K perpendicularem ; ει quaeratur medii densitas, quae laciat ut projectile moveatur in hae linei Sit MX asymptotos altera, ordinatim applicatae D G prinductae occurrens in & ex natura hyperbolae , s re
107쪽
tangulum XV in V G dabitur. t Datur autem ratio Mo-D N ad VX , & propterea datur etiam rectangulum Dun VG. Sit illud bb: dc completo parallelogrammo D NAZ; tandicatur B a ; BD, o, NX, e, & ratio data se Z ad Z X she. . vel DNponatur esie Et erit D N aequalis a-o, I G aequu
108쪽
ti bi seriei terminus secundus- ο - - ό usurpandus est pro Q ο, ter-
etiam mutato - ο 3 pro S ο 3, eorumque coegCIentes -- Au
stribendae sunt in regula supeliore pro Q, R
109쪽
Quo facto prodit medii densitas ut
- --ipsarum AZ & ZY quadrata. ' Resistentia autem InUenitur in ratione ad gravitatem quam habet. 3 XY ad a FGr velocitas ea est , quacum corpus in parabola pergeret Verticem G, diametrum D G, & latus rectum haben te. Ponatur itaque quod' medii densitates in locis singulis G sint ciprT ut instantiae X X, quodque resistentia in loco aliquo
G sit ad gravitatem ut 3 X Γ ad α Y G; & corpus de loco G, g;ς D Velocitate emissum, describet hyperbolam illam AG κ
tia est ad gravitatem vi 3 S i
110쪽
DE Mo- Exempl. Φ. Ponatur indefinise , quod linea AG Κ hypei TU COR -, centro X, asymptotis M X,-A ea lege descripta , P RV ' constructo rectangulo XZD N cuius latus Z D secet hypedisheu in G N asymptoton eius in , fuerit V G reciproce ut secet. 1I. ipsius Z X vel U N dignitas aliqua D N' , ρὶ cujus index
PRop. x. est numerus n: & quaeratur medii densitas, qua projectile prot o. - Πi oediatur in hac cum
sitivus. Hanc autem hyperbolant , dum producitur , ad lineas x Μ, X N etiam productas continuo accedere, easque non
nisi in distantia infinita eantii gere possemani sestum est. Cum enim ili U G ut ubi D N o , hyperbola rectam X N attingit, & distantia V G infinita evadit : & ubi D N infinita fit , V G est nuhil , & ideo hyperbola alteram asymptoton X Μ tangit, in distantia tufiuita ab Asymptoto X N. .
ε Anti enim modo quo in n. 3st. demonstravin Mformulam ad potentias, quorum exponς sum tracti, applicati posse, eodem seri nudo eam ad potentias quorum expolinus mPφtium est, applicari debere constabiti