장음표시 사용
121쪽
ncidantque in planum horizontis in x & k; & notetur pro- DE Y0- portio AK ad A k. Sit ea d ad ri Tum erecto cuiusvis lon-
gitudinis perpendiculo AI, assume utcunque longitudinem AH vel Ab, α inde collige graphict longitudines AK; Ak s
α DN H-ΗNδ serE. Est autem ΑΗ - N-ratio G T ad A Hin ascensu corporis ab A est sere aequali
tatis, dum numerus n sitis magi uas supp nitur , ac proin e non multam variatur
M ideo quantitas ---- vellen en-
- - . DN ter crescit, re hine tangens G T muItum variatur ubi numerus ae magnus est. Contra se, si numerus ille sit admodum exiguus. Porro cum numerus re possit esse quilibet integer vel stactus , & in hyperbola . conica sit u sequalis unitati , quae veluti medium locum tenet inter numeros omnea integres & stactos , satis manifestum est hyperbolam conicam inter superiores omnes 3c inseriores hyperbolas mediocrem rationem reuere , & quia etiam caeteris simplicior est, posse loco verae traj ctoriae in
medio unosor ter densis adhiberi. Si igitnt hyperbola A G Κ sit hujus generis , dc punctum Κ, ubi corpus proiectum imcidet in rectam quamvis AN, horimatalem vel horizonti obliquam , per punctum
A transeuutem , quaeratur: occurrat pro
ducta A N asymptotis M X, N M in M MN , di siumatur N R ipsi A Μ aequalis , dc habebitur punctum K per theor. a. de conicis λ l Et inde eot Ege graphice ct c.
Data enim tangentc AH, tum magnitiidine tum positione , datur vertieali. H N
122쪽
DE Mo- A it; per reg. 6. Si ratio AK ad A A sit eadem Cum rationem C. d ad e , longitudo recte assumpta fuit. Sin minus caper RV --tecta infinita SA I longitudinem Su aequalem assumptae AP
shei 11 M perpendiculum M N aequale rationum differentiae
-- ductae iii rectam quamvis datam. Simili methodo ex a sumptis pluribus longitudinibus A H invenienda sunt plura puncta A , & per omnia agenda Curva linea regularis N NXΝ, G secans rectam S sia M M in X. Assumatur demum A H aequalis abscissae SA , & inde denuo inveniatur longitudo Ax; dc longitudines , quae sint ad assumptam longitudinem A I lc. hane ultimam AH, ut longitudo A x per experimentum cognita ad ultimo inventam longitudinem AK, erunt verae illae longi-
deInque inodo invenietur altera lomn
fuit. Data medii densitate in Α eum velocitate corsu,tis stib diversis angulis Η Α Κ, h A h projecti , manet rerpendiculum A I,& tei se Α Η aequalis est tangenti Α hc γ ν regulam I - . Datis tangetue A Η,
anculo H Α Κ dc perben siculo A I, hrpem hola Α G X describi potest per rex. .ct rorum 11aced. & ideo data elt tum specie , tum magnitudine. Unde si dentur tantum Engulus Η Α Κ & mio tangentis It A ad A I , li, pcibola A G K specie tanium dabitur, id est, omnes hyperbolae . quae ex his duobis datit describemur , LMiles erunt. Quare si in hyperbola A GL ,
quae in charia deleripta lupponitur, tangens inumpta Λ H sit ad perpendiculum A I, ut tangens hIIaerbolae quam corpus sub ampulo aequati Η Α Κ projectum in medio resistente describit, eli ad tuum: perpendi culum k I, hyperbola A G Κ in charta descripta similis eiit hyperbolae quae in me dio resistente descit hirur. Et eodem argumento altera hyperbola , cujus est ampli tudo Α h, & tangens Α h, manente terre 'dieulo AI, simius erit hyperbolae illi quam eorpus sub angulo aequali h A k , projectum in secundo experimento describit. Qua pro ter , ob figurarum in charia dc in medio resistente descriptarum similitudinem, am plitudines A X, A h eiunt inter se ut ho mologae amplitudines hyperbolaruin quae in experimem s desicriptae sunt, id est , AK t A h d: E. .
n ' Curtia regularit. Vide nct/m s. lib. hujus.
123쪽
tudines AI dc AH, ' quas invenite oportuit. Hisce vero DEM datis dabitur & resistentia medii in loco A, ρὶ quippe quae sit Tu COR- ad vim gravitatis ut AH ad l AL Augenda est autem den. x Mi
sitas medii per reg. 4. 6c resistentia modo inventa, in ea
dem ratione augeatur, fiet acCuratior.
Reg. 8. Inventis longitudinibus A H, HX; si iam deside
- - exponatur per ordinatam Μ N ,
. Α κ e R h eatque S X aequalis verae I cingitudini assu mendae A Η per me. praeea. x Si itaque ex datis perpendiculo A I dc vera Lingitudine inventa Α Η cum angulo H A Nquaeratur , ut supra , longitudo Α Κ ; obsimilitudinem figurarum in medio resistente M in charta descriptarum , erit longi tudo A Κ experimento crinita ad longitudinem Α Κ ultimo inventam in charta aut longitudo Α Η in medio resistente ad longitudinem A H in ch tria ductam, atque etiam ut perpendieaeum AI in medio resiliente ad perpendiculum A I in charinta assumptum. Quibus inveniis, deictibi poterit hyperbola simili dc aequalis liype bolae, quam corpus in medio resisteme d scripsit. p qua D ad vim gravitatis ere. Ex aemonitratis in hoc scholio ante reguliun I . . resistentia est ad gravi.
ut ΑΗ ad 3ΑI, oburat per hyp. 3. q Si in eadem ratione augeatur. Nam data velocitate , resistentia est ut medii densitas. r Inismis longiti di litas ΑΗ, HXcte. Inventis enim per rex. 7. lineis AI dc Λ H, datur linea H X, ut pote qum aequalis est 2AI, obn I, reg. F. .
124쪽
DE Μ sideretur positio rectae AH, secundum quam projectile, data ib,ό si velocitate emissum incidit in punctum quodvis K: ad pum Li,hk x erigantur rectae A C, x F horizonti perpendicula- saeus o. quarum A C deorsum tendat, α 'quetur ipsi A I seu . Haesaei. II. Asymptotis A K , Κ F describatur hyperbola , cuius , hi tr Me t ροῖ punctum C, centroque A & interυalis deseri tur circulus secans hyperbolam illam in puncte
reclinem ΜΗ, locatur alicubi In circulo descripto. Agatur
CH ocerrens ipsis Ax& x F, illi in E , hute in Fr Tu ob parallelas CH, M X dic aequales AC, AI, erit A E aequa-
125쪽
Es AM, & propterea etiam aequalis Κ N. Sed C E est ad DB Μο- A si ut FH ad ΚΝ, dc propterea CE & FH aequantur. In-τVCp cidit ergo punctum H in hyperbolam asymptotis A X, Κ . .
descriptam, cuius conjugata transiit per punctum C, atque ideo teperitur in communi intersectione hyperbolae huias & circuli Sger. II. descripti. O. E. D. Notandum est autem , quod haec Op ra- X. tio perinde se habet, sive recta AKN horizonti parallela sit sive ad horizontem in angulo quovis inclinata: quom
minime supponie, eademque prorsus manet fi linea illa ad horizontem inclinara fuerit. t y Esoque ex duabus intersectioneis bin. Quoniam punc uni II per interveeii nem circuli cum hyperbola determinatus ex dem. , & circulus hyperbolam in ducishus ροι:ci:s intarie are poteth, ex duabus intersee lenibus H , h duo prodeunt arguti, diu duae iunt positiones tangentia Α H : eundum quam proiectile data veIoeitate enitisum incidit in punctum Κ.I24. P--a. Iuventis longitudinibus Α I & AH , m lximam altitudinem G D, ad quam torpus sub angula stato H A Nprojectum pertingere potest, definire. Sit, ut in exemplo . . vid. D. pag. 93. B N B D α o, N X α ratio data V2 ait Z X, seu AI ad Αμ α - , V G α - ,
- , erit maxima ordinata G D seu e -
- ' a ' a D N 'Quare G I ordinat, maxima Mitalis est di fierentiae inter verticalem N X ec quat. tam proportionalem in D N , A N &x A L Q. E. I. ias. natima. Datis longitudinibus ΑΙ & Α Η , angulum projectionis H A N
126쪽
DE Μο- que ex duabus intersessionibus H, h duo prodeunt anguli NTu Co 6c quod in praxi mechanica sufficit circulum semel , , deinde regulam inter natam C H ita applicare ad
punctum C, ut ejus pars F Ηcta, aequalis sit ejus parti CAΚ sitae., circulo oc rectae F Κ intelle- E inter punctum C dc rectam
mediatione fari & divisa terminis perν , emitura ab χώνν 3 3 tΗtur igitur aequatione re luta , invenitur ν seu H Niurus anguli H A N ,et existente sinu toto A H. Q. E. D. 2α αν. Μanifestum est in aequat onema ab Hyr Φ33 , quami teai 1 ε 3ν minorem essu qua late a a b, 8c pria de quadratum νν, seu H Μ δ , minus diamidio qiradiato , a a vel I A Η ; unde sequitur angulam quassitum H A N semia recto minorem esib, qui, si medium non resisteret, seset semirectus. Sit medii densitas , adeoque δc resistemia, admodum parva , dc erit serὸ ν α ae; , atque a a b m
127쪽
Quae de hyperbolis dicta sunt sicile applicantur ad parabo- DB Μ las. Nani si X A G Κ parabolani designet quam recta AU COR tangat in vertice X, sintque ordina- . et kktim applicatae IA, VG ut quaelibet . , saeuun. abscissarum A I , X V dignitates in SmT II. XI XVR; agantur XT, G T, N. Z l Pixoν. X. AH; quarum AT parallela sit VG ὁ ' 'L
& G T , AH parabolam tangant Z u
in G & Ar & corpus de loco quovis A , secundum rectam A Η N . cin oductam, justa cum Velocitate pro- lectum, describet hanc parabolam, si modo densitas medii, in locis singulis HG, sit reciproce ut tangens GT. Velocitas autem in G ea erit Ru cum proiectile pergeret , in spatio non resistente in parabola Conica verticem G, diametrum VG deorsum productam,
habente. Et resistentia in G erit ad vim gravitatis ut GT ad -V G. Unde N AM
lineam horizontalem designet, & manente tum densitate medii in A , tum velocitate quicum corpus proiicitur, mutetur utcunque angulus NAH; manebunt longitudines AI,
HX, & inde datur parabolae vertex X , & positio rectae AI, oc sumendo V G ad I A ut X V .pd XI , dantur omnia p rabolae puncta G , per quae projectile transibit.
128쪽
quare eum sit etiam B N leu D N i a,
densitas est reciproed ut tangens G T. ε, 3 SVelocitas in G ter 1 . X. ea est , ii ira. Eri qua cum projectile pergeret , in spatio non ae a b b n - χresistente, in parabola conica verticem G. igitur rementia ad gravitatem , ut G T
129쪽
-; unde manente tum densitate me.
dii in A, tum velocitate quacum corpus projicitur , 6c mutato utcumque angulo
m . AI - Α I. Quare manente ΑΙ, -- nebit etiam H X, ob datum numerum 3 - . Inveniantur, uti resuta pro hyperbola iactum est , longitudines λ Η , AI &proinde H X.& inde dabitur punctum H , per quod si dueatur Τ H X ad horizontem perpendi cularis, da: Κ Η , dabitur positio rectae X I, & sumendo U G ad IA ut XVa ad X I η, dabuntur omnia parabolae puncta G , per quae projectile transibit. Problema elegantissimum de in renienda trajectoria quam corpus in medio buxta duplicatam velocitatum rationem reustente dei tibit, in suis Principiis praetermisit NEπrOvus. Rem generaliter postea consecerunt Clarissimi Mathematici Io nex BInoullitis , He,rnantius , O EitIertιs , qui traiectoriam a projectili descriptam in medio quod in qualibet multiplicita vel od latum ratione resistit, analytico invenerunt. Horum vestigiis insistentes , tam elegans problema in nostris commentariis deliderari nolum .
27. Tendente vi gravitatis unifori ni ubique perpendiculariter ad planum hortis zontis V E, determinare curvam V P p, quam describit pro ctile in medio uni mi quod in miatiplicata qualibet velocitatum ratione resistit. Dactis ordinatis verticalibus P C, p e Infinitε propinquis, δc ex puncto Pad p e pedipendiculo P r ; dicantur vis gravitatis α διvelocitas projectilis in loco P m v, resistentia
lbidem α ν α - , ita ut sit a quantitas constans quae deter nabitur ex dete minaritione resistentiae, sit Tangens P p, arcus Ps dr, UCra x, P Cαν, dc ideo pr dν , ac C e seu P r α d x ; fluxio haec d at corsana supponatur. Resolvatur actio gravitati aquae exprimitur per p sin actionem xq curvae perpendicularem , actionem p q , curvae parallelam quae in alcensu corporis illud retardat in descensu aecelerat, erit actio tota gravitatis ad ejus actionem qua morum in curva retardat in ascentis δέ accelerat in descensit ut est ps ad pq,&ob
- quae est actio gravitaris ad retardandum eo us in ascensu, Sc quia in descensis est prα - dr, est - gravitatis ad accelerandum corpus in descensu;
Unde tota retardatio eorpo is tam e gravitate quam ex resistentia orta, est ν
-- tam in ascensu quam in descense. Decrementum autem velocitatis --dυ; est temper ut vis retardans & tempus quo durante ca vis agit coniunctim, idque tem
130쪽
ad velocitatem v applicato , hoc est, temporis incrementum d ι α -- unde veloci tatis decrementum
Ed , Ut autem obtineatur valor v, dc d vexpressione quae ad curvam reseratur , notandum quδd lineola p s sive - d d ν est spatiolum urgente gravitate tempore d l pe cursum , ideoque est ut vis gravitatis g per