장음표시 사용
111쪽
pro R O , quartus --, b o 3 pro S ο 3. Et inde medii densitas
, in loco quovis G, fit, ideoque si is Z
Capiatur aequalis n κ', densitas illa est reciproce ut
112쪽
Lisast apiarum a Z & ZΥ quadrata. Resistentia autem in eo-
id est, ut XY ad ' , G. Et velocitas ibidem ea ly
113쪽
cem G, diametrum G D dc latus rectum.
Eadem ratione qua prodiit ciensitas medu in-
rollario primo , si resistemia ponatur ut velacitatis V dignitas quaelibet V ', prodibit
- . Et r propterea H curva inveniri potest ea lege, ut data sterit ras Π Tn 1
κ . . 3 ' Q Qt ' icorpus movebitur in hac curva in uni sermi medio cum resistentia quae sit ut velocitatis dignitas V n. Sed redeamus ad curvas simpliciores. Quo-
α -. Unde velocitas quae est m g ---. erit ut , ob datam
114쪽
m Μω Quot iam motus non fit TU COR in parabola nisi in medio
non resistente, in hyper-SEcu Nn. Vero hic descriptis S EcT. II. fit per resistentiam perpe-PROP. X. tuam: perspicuum est quod
linea, quam projectile mmedio uniformiter resi
stente describit , propius accedit ad hyperbolas hasce quam ad parabolam. Est utique linea illa hyper
partibus a vertice remotioribus propius ad ipsas accedit quam pro ratione hyperbola rum quas hic descripsi. Tanta veto non est inter lias & illam dis serentia, quin illius loco possint hae in rebus practicis non incommode adhiberi. Et utiliores sorsan f iturae sunt irae, quam hyperbola magis accurata & simul magis composita. Ipsae vero in usum sic deducemur.
ad I - , dc contra. et in Aeeedis mi Dperbolas hasce, cum iis tamen persecte convenire nunquam Potest, quod in hisce hypei bolis densitas me dii reciprocὸ proportionalis sit rectae variatai X Y , , Praeterea ton laus mam festu. ii sit eurvam, quam projectile in indidio uniformi deicti bit in hyliothesi resisten- velocitatis quadrato propcrti enalis, habere aist mi totum verticalem ut X N: inimpraesertim in hac resilientiae hypothesi ιν - t uni motu lmriro tali insito descriptum , semota glauiuite , infinitum evadat per cor. I. prop. U ). Verum tamen inveniri possivat hyperbolae in quibus proe parte illa exigua curvae R G: Κ , quae in rebus praeticis necessaria cli, recta X Y sit quani proximὸ conitans, & proindἡ medii densitas quam proxime uniformis, quo fit ut curvae illae in rebus practicis non mcommod8 adhi . beri possint. a Sed quae ciua Hrelaem cte. Haec demonstrabuntur intra in nota L.
115쪽
i Compleatur parallelogrammum XYGT , & recta G T DE M tanget hyperbolam in G, ideoque densitas in .G , reciproce ut tangens GT, oc yclocitas resistentia autem ad vim gravitatis ut
Supra invenimus T Y α ----- A. Erin
116쪽
Iod . PHILOso PHIAE NATURALI s
DE -- Ρtoinde rai corpus de loco A secundum rectam A H proiectum hyperbolam A G Κ, 6c AMProducta occurrat asy Li,hktois N X m H , actaque A Ieidem parallela occurrat alteri sileum. MDr Ptol. M oc in I: eri medii deissitas in A reciproc
dem ad gravitatem ut/H ad -- A Unde prodeunt sequentes regulae. Reg. β γ I. Si servetur tum medii densitas in A, tum velocitas
Exemp. 4. , & quia mincidente puncto Geum Α, fit GV α ΑΙ,&ΤΚ ΣΣΗX; erit HX α AI- n κA I. -re ob datas quantitates A I .di . , datur & H X. V de si longitudines illae AH , AI, dc 'ΗX in aliquo casu inveniantur, hyperbola deintepa eri dato quovis angulo N A H expedite deteraninari potest. His enim datis, dantur puncta A , Η & 1. Per H duratur
117쪽
quacum Corpus projicitur, oc mutetur angulus N A H ; mane- DEM hunt longitudines AI, HX. Ideoque si longitudines il COM
De in aliquo casu inveniantur, hyperbola deinceps ex dato quo. vis angulo N AH expedite determinari potest. fge o. Rεe. φὶ a. Si servetur tum angulus N A H, tum medii den- saer. II. sitas in A, & mutetur velocitas quacum Corpus proiicitur; ser-Paoν. X. vabitur longitudo A H, dic mutabitur AI in duplicata ratione velocitatis reciprocδ. Reg. f) 3. Si tam angulus N A H, quam corporis velocitas in A, gravitasque acceleratrix servetur, oc proportio resistentne in A ad gravitatem motricem augeatur in ratione qua--nque ς augebitur proportio A H ad A I in eadem ratione , manente parabolae praedictae latere recto, eique proportionali
A H a longitudine & propterea minuetur Α Η in eadem ratione, ET AI minuetur in ratione illa duplicata. τὶ Augetur vero proportio resistentiae ad pondus, ubi vel gravitas specifica sub
x Η N recta horizontali A N Vettiealis, di dabitur punctium N ; Ac quia data est s X, dabitur etiam punctum X , datis ve- τι punctis duobus X dc I , dabitur Tecta x I Μ eum puncto Μ ubi horirontalem Μ N serat. Unde ducta quavis recta V Dad horthontalem A N normali , si in ea capiatur UGad ΑΙ, ut es RNWMDNo, vel ut XI. ad XV , dabitur punctum Gin trajectoria RG X. Est enim Exempla 4. ordinata quaevis V G ad alteram mindinatam IA, ut Ario ad D diu, seu ut x I. ad XV .c e Rex. a. Servata medii densitate in Α , servabitur tangentis lolint udo AH, quae est ut densitas inveria. Et quia ΛΗΣvelaelias ta A est uti M. & velocitatu quadratum ut - , id est, ut - datam A H; erit A I vel itatis quadrato reciproia proportionalis. Reg. 3. Data me in veloci- - - - - te di gro te acceleratrice in Α , d. I ita ad Maedar Oe. Corpis jecinia
augebitur propomo AH ad AI in eadem ratione , α qiua longitudo cumstans est, ac pr-ide est ut , α AI A HAI ut A H , necessisu est ut A Η -
118쪽
Da M sub aequali magnitudine sit minor, vel medii densitas major, vel Zψ resistentia, ex magnitudine diminuta diminuitur in minore ra Lis Est quam pondus. SEcubo. ' q. Quoniam densitas medii prope verticem hy-SEcae. II. perbolae major est quam loco Ar, ut habeatur densitas me-r Qr- X- diocris, debet ratio minimae tangentium H Tis tangentemA H inveniri , & densitas in A augeri in ratione paulo ma-PEOAL. III. si volumine maius vel minus pondus hiset quam alterum corpus quocum comparatur ;& ideo gravitas specifica corporis, volumine dato , At ut ipsius pondus abiblutum, id est, data gravitate acceleratrice, ut corporis massa per defri. F. O na. I. lib. I. . At, dato volumine, massia est ut densitas 1. lib. I. in , quare gravitas si ecifica corporis est ipsius densitati proportionalis. Augetur itaque proportio resistentiae ad gravitatem motricem seu ad corporis pondus , tum ubi manenti bus corporis volumine, figura & velocitateae medii densitate, manent eque proinde resistentia, stavitas specifica fit minor ; tum ubi, coeteris paribus, medii densitas augetur, quo easii medii resistentia crescit eum densitate, 6c corporis pondus in fluido densiori dc specifeδ graviori magis sitblevati minuitur ;tum ubi resistentia ex magnitudine corporis diminuta, diminuitur in minori rati ne quam pondus. Ex quibus liquet tertiam tegulam determinandis motibus corporum variae magnitudinis & densitatis accommodatam esse. I 12. Lemma. Diira curva A G K , invenire minimam tangentium G T. Quo
ius quantitatis, in qua si detur curva G X, la est variabilis A, Bu Ho roneivia est nihilo aequalis c 48 . Brevitatis causa di-dd a. d n bb
loco quovis G eth reeiprocd ut tangens G T, quae propo verticem hyperbolae minor est qukin in taeo A, manifestum est densitatem medii prope verti em hype bohe 'maiorem esse quavi in loco A. Densim
119쪽
iore quam semisummae harum tangentium ad mirumam tangen
Reg. s. Si dantur longitudines/H, AI, describen
sitas medioeris, si tangens R H foret omnium maxima siruti G T hyp. est omnium minima; dc ideo , ut medii densitas serE tauquam uniformis haberi posset, a tenda esset denssias in R in ratione letia-
siunmae Langenuum ad minH. mam tangentium G T. Vertim quia tangens A H non eli omnium maxima, sed rangentes aliae ad partes curvae versus X diseeta majores sim; densitas in A augenda est in ratioue paulo majore quian semisiam e GT--ΑΗ- ad G Τ, ut medium tanquam uniforme seri censeatur. Atqua hoc pacto errores oriundi en eo quod medium in loco A densius supponatur, Corrigeruur fere aliis erroribus qui nascuntur
ex eo quod in G medium rarius fingatur quam pro ratione curvae R GK. Interim liquet veram traiectorim quam corpus in medio uniformi describit, circa verticem magis distare ab alymptotis, Acin partibus ii vertice remotioribus propius ad ipsas accedere M un pro rat e hyperin larum in medio non uni sormi descriptarum. Nam si e loco A , cum velocitate AH a
f kr, Oc directione R H propciatur
eo in in medio euius densitas uniformis aequalis sit densitati medioeri medii in quo deseribitur hyaetbsea A G Κ; ob majorem medii uni sermis densitatem in Α, qua corporiris velocitas impressa magis Ininuitur, trajectoria intra hyperbolam continebitur, ademque prope verticem is asymptotis mates distabit , dc quia prope verticem est magis deis pressa, tu panibus versus K a vertice rem tioribus ad asymptotum N x propius acce det qucis hyperbola AGK; cum praesertim in medio u oris spatium mota horizo tali descriptum, semota gravitate, infinitum evadat per cor.I. Prop. R
i Reg. s. Si dentur longitudineso AH ,
120쪽
Li,hu A describatur hyperbola, ea lege, ut sit AI ad quamvis HG
SEcundi ut X ad XIn secr. II. Rex. Quo maior est numerus n , eo magis accu-8 ., ii sunt l, hyperbolae in ascensu corporis ab & minu, accuratae in ejus descensu ad 6c contra. Hyperbola conica mediocrem rationem tenci, estque caeteris simplicior. Igitur si hyper la sit hujus gencris , dc punctum Κ, ubi corpus projectum incidet in rectam quamvis/A per punctum A transeuntem, quaeratur: occurrat producta AM asymptotis M X, NX
Ret. 7. Et lainc liquet methodus expedita determinandi hanc hyperbolam ex phaenomenis. Projiciantur corpora duo similia&aequalia, eadem Velocitate, in angulis diversis HAK,hA ,/ inci-
rus ni eo n. agis hae hyberbolae m astra sis corporis ab A ad. edum ad traiectorias in medio uni sermi dei eriptas, de eo mi nus in descensit at Κ accuratae sunt; Mectura. Nam quo major est numerus is , eo minus tangens G T, quae densitati reci lota promtrional:r est, in altania coi poris ab A v: riatur, & eo magir in des censu ad K mutatur, quiphe data sit medii densitas tir A cum angulo projereonis ΗΛN, Aquiniatas' deviati in A
i Exemp. 4. proportionalis, data erit, ideo que ningem A H eo longior erit. qub in ior fiterit numerus' tr; 3t quia daeo amestio H Α N , datur ii, ecie triangulum Iec tangulum H di Α, ratioque proinde late rum Α Η, N, H N etiam datur, ii quet quod crescente A H aut numero Ercscant quoque latera A N M. Η N. Ddemoni ratis in Exemplo 4'. corpore at cendente tangentis G T quadratum GT ---- s ZU- n V GP , & corpore de Icendente eit --αΓνω - - s. G-Z