장음표시 사용
81쪽
hγpothesin est ADκAL Ergo particulae sunt ad DE MO- invicem ut AD q ad AD 'AD κ Axi io est, ut AD ad AD - Ax seu AC ad CK: ideoque sectoris particula TDVest --; atque ideo i ob datas Ac dc AD, ut i
P Ο IX. id est, ut incrementum volocitatis directe, utque vis, ' generans incrementum inverse; atque ideo ut particula temporis incremento respondens. Et componendo ni summa particularum temporis , quibus omncs velocitatis A P particulae
P si generantur; ut si nama particularum sectoris AT D, id est. tempus totum ut sector totus. s. E. D. Corol. I. Hinc si aequetur quartae parti ipsius A C, spatium quod corpus tempore cluovis cadendo describit , erit ad spatium , quod corpus Velocito e maxima A C, eodem tempore uniformiter progrediendo describere potest, ut area AB ΝΚ, qua spatium cadendo descriptum expon: tur, ad aream AT D, qua tempus exponitur. Nam ctim sit AC ad A P ut A P ad AK, erit per corol. I. lem. I x. hujus Lκ ad P O ut a Ax
Ergo rursus ex aequo LxNO est ad DTV ut AP ad AC;
hoc est, ut velocitas corporis cadentis ad velocitatem maximam quam Corpus cadendo potest acquirore. Cum igitur area
ut Velocitates, erunt arearum illarum partes omnes simul genitae ut spatia simul descripta, ideoque areae totae ab initio
82쪽
DEΜo genitae A B N Κ dc AT D ut spatia tota ab initio descensiis
Σ, Τ Idem consequitur etiam de spatio quod insecusn. describitur. Nimirum quod spatium illud omne sit ad
spatium, uniformἱ cum velocstate A C eodem tempore descriptum, ut est area A B n si ad sectorem A D t. Corol. 3. Velocitas Corporis tempore A T D cadentis est ad velocitatem, quam eodem tempore in spatio non resistente acquireret, ut triangulum A P D ad sectorem hyperbolicum AT D.
monstrationis catum attendatur. 9 I. Cor. Velocitas A p corpotis in medio resistente alcendentis ad ma .imam altitu
dinem ABnk , est ad velocitatem A Pcorporis in eodem medio e quiete desceti dentis per aequale si alium A B N Κ , ut secans anguli A D p ad radium , aut quod
83쪽
D. Nam velocitas in medio non resistente P foret ut DE M tempus ATD, dc in medio resistente est ut . I P, id cst, ut TUC DR- triangulum A P D. Et cq velocitates illae initio descensus aequantur inter se, Derinde ut areae illae AT D , A P D. sese esti. Corol. 4. Eodem argumento Velocitas in ascensu est ad fger. II.
velocitatem, qua Corpus eodem tempore in spatio non resistente Pi op. IX. omnem situm ascendendi motum amittere posset, ut triangu-V' i' 'lum A p D ad sectorem circularem At D, sive ut recta Ap
ad arcum At. Corol. Est igitur tempus , quo corpus in medio resistente cadendo velocitatem A P, acquirit, ad tempus , quo velocitatem maximam AC in spatio non resistente Cadendo acqui
rere posset , i ut sector ADT ad triangulum ADC: dc tem
pus p Fores in templis A Τ D. Cres,
Ceret enim uniformiter, ideoque ut tem
- aitramur ιntis sa ob resistentiam respeetii gravitatis nullam , ubi velocitas nascitur. Cum igitur velocitates in medio non resiliente sint sirm per inter se ut areae ATD, de in medio telis eme sint ut triangula A P D, erit vel itas in medio resistentu tempore finito ATD acquisita ad velocitatem initio deaeensiis in eo medio resistente ut iri alagulum finitum A P D , ad triangulum nascens A P D, & erit ve-lacit is initio descens has in medio non re insistente ad velocitatem in eodem mellio tempore finito ATI acqilistam , ut area nascens A T D aequalis areae nascenti
A P D ad aream finitani R T D ; Quare ex aequo velocitas corporis tompore finito A T D cadentis in medio resistente est ad
velocitatem quam eodem tempore in medio non resistente cadendo acquireret ut
triangulum R P D ad sectorem hyperbolicum A T D. r Eodem argumenιο. Nam vel eicas in medio non resisti late foret ut tempus A t D , & in medio resistente est ut Α p, id est , ut triangulum a p D ob datam Α D, dc veIecitates illae in fine a Dcensu , ubi evanescunt, aequamur inter se , Perinde ut areae ev. noscentcs At D, A p I ,
si . Iline si celotitas ascensus A p in medio resistente velocitati maximae R C aequalis fuerit, erit velocitas A p seu R C , ad
velocitatem qua torpas eodem tempore in spatio non resistente omnem tuum ascendendi niolum amittere possiet, ut triangu
lum Α C D , ad octantem cireuli, sive ut
radius ad oc avam partem periphetiae , aut quod idem est , ut quadratum circulo circumlcrii tum ad eirridi aream. Dum enim
fit A p α A C, triangulum Α p D aeqiiatur triai salo R C D , de sector A t D , ansi circuli, ideoque arcas A t est pars octava peripheriae; esc triangulum A C Dest ad sectorem Α t D , ut AC ad arcum A t, ac Praetere1 triangulum A C D, ob A C α κ D; est pars octava quadrati circulo circumscripti.
A DC. Clim enim A P exponat velocitatem tempore A T D in medio resista late aequisitam, sumatur Α Y talis ut exponat velocitatem tempore eodem in medio non
84쪽
To . PHILOSOPHIAE NATURALI sDS M pus, quo velocitatem A p in medio resistente ascondendo pos . TU COR- sit amittere, ad tempus quo velocitatem eandem in spatio non PQRVM resistente ascendendo posset amittere, ut arcus At ad ejus
seci. II. Corol. 6. Hinc ex dato tempore datur spatium ascensu vel Paop. IX. descensu descriptum. Nam corporis in infinitum descendentis τη Q datur velocitas maxima per corol. 2. σ 3. theor. VI. lib. 11.
prior celeritas λ Y in medio non resil ente acquiri potet , ad tempus quo velocitas maxima A C in medio etiam non resistetite acquireretur , dc clim tempus quo celeritas Α Y acquiritur , exprimatur per aream ATD, erit AY ad AC ut ATD ad aream quae exponet tempus quo et citas maxima in medio Don resistente ac
areirmi erit ex milio AP: AC m APD, ad hanc areani , Ied lumpta communi ultituditie I est A P ad A C TH. APD ad Tri. Α D C; trgo area quae e Ponet empi quo maxima velocitas in medio non resistetito aequititur, est area AD C. Undd sequitur quod corpus in medio resistente, velocitatem maximam Λ C acquirere cadendo non potest nisi tempore in
tini uenda, est ad velocitatem eodem tem pore in I patio non resistente extinguendam ut triangulum A p D ad lectorem A t D;& etiam ut tempus quo velocitas A p in spatio non resistente edit ingueretur ad tempus A t D quo altera x e cellas in spatio non resistente extinsuitur , quod idem est cum eo quo velocitas Α p in spatio resistin te extinguitur. Quare tempus quo velocitas Λ p , in spatio non resiliente evanesceret est ad tempus A t D quo in spatio resilieme extingueretur ut triangulum A p D , ad sectorem A t D , sive tangens A p ad ejus risum A t. Patet ergo pro rositum.
33. Hine tempus quo corpus velocitatem A p in medio resistente ascendendo amittere potest, est ad tempus quo velocitatem maximam AC in spatio non resisteme asincendendo amitteret= vel descendendo acquireret , ut sector es reularis A t D, ad triangulum ADC, seu ut arcus A t ad radium A D. Nam in medio ncm resisten te velocitas A p est ad vel ccitatem AC, ut tempus A p D , qua generatur vel extinguitur velocitas A p , ad tempus quo generatur vel extinguitur velocitas AC, s . . A C A A p D . quod proinde erat seu
ς Α D κ .R C, hoc est, triangulum ADC. Ciuri igitur tempus quo velocitas A p, in medio reiis ente extinguitur , expona . tur per lectorem A t D , patet proposi
s A. Tempus quo corpus in medio resistea. te descendendo acquirit velocitatem A P, vel aleerulendo amittit velocitatem A p, est ad tempus quo eandem velocitatem in medio non resiliente acquirit vel amit
enim per cor. s. min. 93. tempus quo in medio res iterate generatur velocitas Α Ρ, vel extinguitur vel Citas Α p, est ad tempus quo in spatio non resistente generatur vel extinguitur velocitas maxima AC, ut ADT vel ADt, ad ADC; Et tempus quo in spatio non resistente generatur vel extinguitur velocitas ΑCicst ad temibus quo generatur vel extingui tur in eodem lpatio non resistente, velocitas Α P vel A p , ut A C ad A P vel A p, & sumpta eommuni altitudine D Aut A DC ad AP D vel A pD. Quare ex aequo tempus quo in medio resistente
85쪽
' indeque datur tempus quo corpus velocitatem illam in spa- DE MO'tio non resistente cadendo posset acquirere. Et sumendo secto-
rem vel ADt ad triangulum ADC in ratione temporis dati ad tempus modo inventum: dabitur tum Velocitas
generatur velocitas Α P, vel extinguitur velocitas Ap, est ad tempus quo velocilas eadem in spatio non resistente prodacitur vel amittitur , ut A D T ad A D P , vel A D p. Q. E. D. ys. Si celeritas A p eorporis in medio resistente ascendentis maximae Α C aequalis suerit , erit A Dp α ADC, & sector
ADt, circuli octans. Quare tempus quo corpus in medio resistente ascendendo ami fitere potest velocitatem maximam Α Cest ad tempun quo eandem in spatio non vestieme amitteret , ut circuli octans ad triangulum ADC, hoet est, ut area Circuli ad quadratum circumscriptum, seu etiam ut 8 . pars peripheriae ad radium. v 96. In aeriae datur tempus. Cum nim vires accelei atrices uniformes o sint ut velocitates quas generant directὸ 8c tempora quibus illas generant inversὸ 13. M. i. data vi acceleratrice uniformi qua corpus in medio quovis sollicitarur , seu data vis illius ratione ad notam quamlibet aliam vim v. gr. ad corporum terrestrium gravitatem, cataque simul v locitate quam vis illa acceleratrix produxit , dabitur tempus quo velocitas illa data genita est. Sit enim vis acceleratrix data ad vim notam gravi ratis, ut a ad b avelocitas data vi illa acceleratrice temporex genita e , & velocitas quam vis gravitatis tempore quovis dato ι generat C , erit a : b
86쪽
A P vel Ap, Ο tum area ABAK vel A B n k, quae est actsectorem ADT vel A D t ut spatium quaesitum aci spatium , quod tempore dato, cum Velocitate illa maxima jam ante inventa, uniformiter describi potest. Gro . Et regrediendo, ex dato ascensus vel des
garithmorum inveniri possum 384. lib. I. .c a suae es adsi larem ADT , tri
Di. per cor. l. & 2. . a 97. Et regrediendo. Nimiriam ea-pienda est area A B n h , vel ABNK ad triangulum ADC in data ratione sitatii dati alceisus vel descensus ad dup:um 13 .itia , quod eorpus in medio non resistente eadendo describit ut velocitatem maximam A C a quirat , atque ii, dabἱtur Α λ vel λ Κ. Et hine dabitur Α p vel R P , seu velocitas I EX his autem dabitur lector Α D t vel ADT, seu tempus, po cor. F. . Nam spatium quod ... ibus in medio non res- stente eadendo describit , ut velocitatem maximam A C acquirat, dicatur A , tempus quo spatium illud desieribitur I , spatium quod in medio te sistente destribit ueacquirat velocitat cm Α P, vel amittat ve- Ioeitatem A p dicatur 3 , tempm r, Aspatium quod corpus tempore illo ι α velocitate n).i, ima AC unotbrmiter progrediendo doscii L t sit S, dc quia's 29. lib. I. corIus velocitate maxima A C uniformi
87쪽
Q. E. D. 98. Si eorpus cum velocitate quae aequalis fit maximae AC, verticaliter pror
jiciatur deorsum , aequabili motu descendo, ob resistentiam eravitati aequalem &contrariam peν edir. x. Erop. s. si minori cum velocitate projiciatur , eXponatur velocitas illa per lineae A C partem A P, & motus corporis proiecti idem eritae si E quiete descendendo velocitatem datam A P , iam acquisivisset dc deindὰ pergeret moveri; Quare motus projei hi in hoe casu ex superioribus facile deter- miliabitur.
νε. ys. Verum si proiectionis velocitas te minali AC major est, constructiones pro positionum 3 & s mutandae erunt. Et quidem constructio propositionῖs 1 . sic mutanda. Descripta inter asymptotos orth
gonales AC, C H Hyperbola qualibet S O N B , producatur asymptotvi A C in
R , & exponatur vis gravitatis per datam lineam a C, resistentia initio motus per lineam a Α , resistentia elapsis quovis tem-Pore per lineam indefinitam a R. Vel citas torporis per lineam a P quae sit media proi,crtionalis inter a K & a C, ideύ-que in subduplicata ratiotae resistentiae. De rementum resistentiae data temporis parti bula fictum per lineolam Κ L & e
temporaneum velocitatis decrementum per
lineolam P Q. Quoniam a Κ est ut a Perit hujus momentum Κ L, ut illius momentum 2 a P Q, id est, ut a P in K C. Nam veloeitatis decrementum PQ, per Irim. M. ιmor. Leg. 2. proportionale est vi tene ranti K C , quae est exec mus resistentiae a K, supra vim gravitatis a C. Comperi. turratio ipsius K I, cum ratione ipsius K di ,& fiet rectangulum KLκKN ut a P κΚ C κ Κ N , hoe est , ob datum rectangulum ΚCκ ΚΝ, ut a P, ergo rectangulum evanescens K N κ Κ I., hoc est, Irca hyperboliea Κ N O L , est ut a P. Componitur igitur area tota hyperboli, a AEOL, ex particulis K N O L, velocitati a P semper proporii propiore a spei ovelocitate ista deicti pio proportic natis cit. Dividatur iam area illa in partes aequales A B M I, I M NI Κ, Κ N O L, Se . dc vires absolutae AC, IC, KCiLC, &c. erunt in progressione geometris a. Si sciatium descriptum e ponatur per aream Hyrrbcli- eam ABNK, exponi possunt vis gr.ivitatis, velocitas corporis & resistemia medii per lineas a Ca a P. a K. K Pr .
88쪽
Propositionis sη. constremo in hane abit. Caeteris ut in figura ta eos structione supcriori manembiri, e t piatur a P media proportionalis inter a C N a A, dc ideo velocitatem pro ectionis initialom exponens , completo quadrato a C E D, centro D describatur h, i et late iangula E G T V, senii axem transverIum habcra IJ E, verticemi rancipalem E , dc afγmptotum D C. Iim-gaiditur I F, D Ρ Ηγrerbo ae occurrente: in a&T, & erit stator hyper licua G I I in tem; us descenniς per spatium A B N Κ. Aratur enim D U Q obIcilident tum secto: 13 G D V tum tria: i-
dire λθ utque vis generans decrem auum inverse , atque ideo ut particula temporis decremento velocitatis respondens,& com- penemto, fit silmma particularum temporis quibus cmnes velocitatis F P partieulae P Q extinguiamur, ut summa particu
larnm se toris G D T , id est, tempus
totum ut luctor totus. Q. E. D. I o. noli. I. Quoniam coin idente
puncto P eum C, ec incidit euam K cum C, S D T cum ab mi toto D C , liquet corporis projecti velocitatem a P non ei si delcripto spario infinito , elapsisque infinito tempore , sieri posse velocitati terminalia C aequalem. I O I. roll. 2. Si dignitas hyperbolae BNOseu rectangulum C Ακ ΑΒ, sit . CR, spatium quod corpus tempore quovis dei tibit , erii ad spatium quod corpus velocitate terminali a C eodem tempore uniformiter Pr grediendo dulcribere potest , ut area A B N Κ qua spatium descriptum eX ponitur ad aream G lλ T qua tem; usexponitur. Nam clim sit a C ad a Ρ , ut a P ad a K , erit per cor. I . Lem. 2. Ita.
89쪽
ad a C, hoc est, ut veloci's cortaris projecti eli ad velocitatem ma imam quam cor Pus e quiete cadendo potest acquirere. Clim igitur arearum ABNKNGII 4 , mo:nenia L Κ N & D T ' iunt ut velocitates, erutatarearum illarum partes omnes simul gen .iae ut spatia simul delesipia, ideoque areae totae 2b initio genitae ABNK & GDT, ut spatia tota ab initio projecticnis descripta. ICr. Corali. I. Velocitas a P cori oris proiecti in fine temporis G T D , eli ad
velocitatem quam corpus vclocitate initiali a F projectum eodem tempore in me dio non reiis leι.te cedendo haberet , ut triangulum a P D ad summam trianguria FD & sectoris hyperbolici G T I). Nam
velocitatis incrementum tempore G T Diri spatio non resistente genitum est ut tempus G T D, & velocitas proiectionis ut a F, sive ut tri Magulum A F D, atquc adeb velocitas tota in sae temporis G T D ut G T D - - a F D, Sc velocitas in fine temporis ejusdem G T D in medio resistente est ut a P, id ult, ut trian ut via a PI , dc velocitates illae initio pro ectionis aequantur inter sis , perindd ut areae illae GTI H-aF Ddca P D , ob lectorein G T I evaneicentem, ct a P aequalem a F initio dei census. Io I. Omll. 4. Tempus quo corpus in medio resistente projectum acquirit velocitatem a P , seu quo amittit velocitatem P F, est ad tem pas quo velocitatem maximam a C , in spatio non resiliente ἡquiete cadendo acquiri re posset, ut sector G D T ad rei ingulum a D C. Sit
a F - - V, recta veloci. alom exponens quam corpia in medio non icsist nae cum v clocitate initiati a F projectum elapis tempore G D T h. beret , Ec erit io2 a P ad a F -- U, seu multiplicando per
vclo itas quam corpu; e quiete caden o PORUM. tu medio non reiisti irte acquireret rem p Li ATRle Ga D, & velocitates in auedio ua. . ς S uND. sistente acquisitae , sunt ut tempora quibus acquiruntur , ide6que velocitas I est ad velocitatem a C , in medio T ii R O R.
nun resistente amauisitam ut tempus G T Dad t m. Mi quo corpus velocitatem a C aequirit ; Quaro hoc tempus erit I a I κa C , seu per triangulum a la C cxponetur. IOA. C ll. Ηllic ex dato i in porc datur spatium dei criptum. Capiatur enim lector G D T M triangulum a s C ,
ut Iemi us da iam ad temptas quo corpus in medio non relidente acquirit velo: it
tem terminalem a C, & dabitur tim velocitas a P, tum area ABNK, quae est ad lecto, rem G D T, ut spatium quaeritum ad spatium quod tempore dato cum velocitate illa terminali a C anisormiter describi potest io i dc regrediendo ex dato spatio ABNK, dabitur tempuς G Π T , si eapiatur area ABNK, ad triangulum a D C in ratio ne spatii dati ad duρlum spatii quod corpus
in medio non resistente cudendo describit ut velocitatem terminalem a C aequirat. Id demonstratur ex not. 1Or. N IOI e
dem prorsus modo quo factum est '
Iras. Scholium. Superiores constructi
nes definiendis corporum motibm suis-ciunt, licet medii resilientia partim coli statu partim velocitatis quadrato propor tioiialis. Nam si corpis sola vi in; ita in rveatur, recta AC, quae in constructionibus prop. 8. & 9. vim gravitatis uniformem expcnebat , partem resistentiae constantem quae vi alicui cet:tripetae uni famia qualis censeri potest , caeteris manentibus , exponet. Sed si corpus tu medio praedicto gravitate uni riniter agente iblii citatum recta ascendat vel deicendat, Iinea A C, in coii:tructionibus pro a centu vim gravitatis dc Dartem resistentiae datam simul exhibebit , in constructionibus vero pro descensu excessum gravitatis Iupra partem resistentiae datam repraesentabit , dc li-itea illa AC, ita determinata vim grav1tatis uniformem exponet, qua corpus urge-K a. i
90쪽
d et DE Mo trici in medio evj in ei set resistentia ut velo. TU COR- quadrarum. Si verb pars illa resi-1ioRUM uni rinis manet vi gravitatis i ae lualis fuerit dc eorpus deorsum proiicia-LIBTR , idem erit illius motus ae si sila vi S.'CUND. inlita ferretur in medio quod resisteret in SP T II. ratione quadrati velocitatis , atquδ ideo in
Pgori X. hoc cassi ut urnanda erit constructio propin Tu Eoa. sitionis s . Iam vero omiiss constructio-VII. nibus per Log.rr thmicam quas ex demon-st . 44. 4s: tacite de lucere , aut in Monumentis Aeademiae Regiae m. 37o9. dc etiam in Phoronomia Hermanni Lector vidcre poterit, duo quae sequuntur gene ratia problemata analyticὰ ibi vemus.
Definire motum corporis, uniformi gravitate urgente , recta descendentis vel ascendentis in medio similari , quod in ratione qualibet multiplicata velocitatis resistit. os. Sit vis gravitatis g, velocitas eorporis sub initio metus α ε, 1 patium deseriptum ν, tempus quo descriptum est zz t, velocitas hoc tempore acquisita vel residua υ,
resistentia medii ν , & a quantItas data. Corpore destendente erit ry edi
Simili modo pro corporis astensu, invenitur
Clim igitur in his quatuor aequationibus variabiles separatae sint, poterunt illae, s.ltem concessis figurarum quadraturis, constriai. io . Si resistentia velocitati proporti natis fuerit, erit u i , & idn eorpore v d υdescendente d ι α - & divisione num
pro corporis ascensu invenitur e - υ
b velocitas terminalis , dc quia resiste tia glavitati aequalis est ubi corpus velo
citatem maximam habet, erit gα - , αδ b a g. Sit e spatium quod corpus vi gravitatis constante g cadendo in medio noli resistente describit ut acquirat velocita tem b, dc erit m 13 ide que a m 2 e. His positis, corpora descende