장음표시 사용
71쪽
De hoc rectangulo subducatur rectangulum prius, oc h ma-SEcT. II. nebit excessus a B Φ b A. Igitur laterum incrementis totis a & LEM A ILb generatur rectanguli incrementum a B b A. E. E. D. Cas. 2. Ponatur A B semper aequale G , oc contenti
ABC seu G C momentum per eas. 1. erit g C - e G, id est
Ut vero probetur silmmam 4 raperiorum EF ef&ΕFgh aequalem eme momento Rei'.inguli Ο Α C B, observandum primb: Qudd si l :Iineae quaevis ST, UX, utcum- :que ii quales , in lineam S V . sint perpendiculares iungatur- lque T X,& in medio lineae S V erigatur perpendiculatis Y Z, s Y verit Trape tum ST XV aequale Rechan ulo S V κ Y T: Itaque Trapeatum E F e 1 erii aequale Rectangulo AC Res, S Trapeetium E F g h area uale Rectangulo M κ gh. Praeterea quoniam e s & g hlunt momentis linearum Ο Α, Ο Β pro- Portionales , hoc est , proportionales velocitatibus quibus lineae Ο Α, Ο Β crescunt, sive, quod idem est, celeritatibus quibus , dum Rectangulum o A C B crescit, lineae Α C, B C antrorsum seruntur, Rectangula ACκ es&BCκgh, erunt ut lineae illinΑ C, B C & earum velocitates conjunctim. Μutatio autem geniti Rectanguli C A CB proponionalis est caulae quae eam producit, ea autem causa est motus linearum variabilium L C, B C quo antrorsum seruntur dum lineae Ο Α, Ο Β crescunt, & quamvis dumilis lineae AC, B C moventur, interim lineae o A, o B crescant, in rementi hurugnulla habenda est ratio dum Rectanguli fi xionem sive incrementum nascens conside ramus , etenim in ipIb hujus incrementi nascentis ortu illae productiones linearum
o A , O B nihil planὰ sunt, S clim primum s iat aliquid jam aliae A C, BC prioribus ma-Is jores
72쪽
Da Mo- - e A B. Et par est ratio contenti sub lateribus quotcunque
V RV m Ponantur latera A, B, C sibi mutuo semper aequas eues, & ipsius A ' , id est rectanguli Α Β, momentum a B b Asάcr. II. erit a a A , ipsius Rutem A 3 , id est contenti ABC, momen-LEMMA II. tum a BCΦb ACH-e AB erit 3 a A Et codem argumento
momentum dignitatis cujuscunque A ' cst n a A ' - s. E. D. Cas. q. Unde cum in A sit et, momcntum ipsius ductum in A , una cum ducto in a , erit momentum ipsius I ,
id est , nihil. Proinde momentum ipsius seu ipsius Α - est
- aiores assumuntur, ergo momentum Rectanguli Ο Α C B sive ejus mutationis momentanea causa, ex lineis A C & BC re velocitatibus quibusciun senantur, determinanda est. Sint verδ Rectangula Μ N mn, PRpr, quorum lineae M N, P R sint aequales , concipiamur aliae lineae hisce etiam aequa les quae ab M N & P R prosecta motu uniformi di parallelo secundum lineas Μ m &P μ serantur , ita ut eodem tempore adm n& pr pervelliant , manifestum est per I. a . Hem.) areas M n, P r sore ut lilaeae M mP p, di pariter velocitates linearum ab M N& P R prosectatum in eadem sere ratione, adeoque areas m n, Pr, sere in ratione earum velo itatum. Quod si lineae N Μ, PR sint inaequales, areae erum ut Fniae illae MN, PR& earum velo itates conjum tim , & quaevis incremelita Rechaligulorum ΝΜ mn, P R p raequalitem loresacia in eadem ratione erunt, ideoque A nascemia incremenis erunt in ei
RaiIone. Unde tandem sequirur quM ii crementum Rectanguli OABC ex motu lineae A C natum, est ut illa linea A C & eius velocitas conjunctim, & quod incrementum eiusdem Redianguli Ο Α C B ex motu lineae B C natum, est ut illa linea B C & ejus vel citas conjunctim, ideoque totum mome lum Rectanguli O A C B est summasae crum linearum AC & BC per velocitates quibus se runtur resipective ductarum, ideoque ut summa Re 'regulorum A CNe f&BCκgh, sive deuique ut summa Trapeatorum E F e 1 EF gh. Q. E. D. Casiis. Facilὸ haec applicantur ad eos casus ubi vel ambae lineae Ο Α, Ο Β decretcunt , vel una crescente altera ide-erescit, quippe varianda liuit solummodo signa iuxta has hypotheses. Uide aliam huius easias demonstrati nem num. Iso. lib. 1. .
73쪽
etiam in a Α erit a , per cas. 3 : ideoque momentum tD
sius A erit -- sive j a Α -- l. Et generaliter si ponatura A et
ideoque a Α is aequale b , id est , aequale momento ipsius
Α n. E. D. Cas. 6. Igitur genitae cuiuscunque Am BR momentum est momentum ipsius A ductum in B v, una cum momento ipsius B ducto in A m, id est ni a A B n --Bn - 1 AHid que sive dignitatum indices m & n sint intcgri numeri vel fiam, sive amrmativi vel negativi. Et par est ratio contenti sub plutribus dignitatibus. E. D. Corol. I. Hinc in continue proportionalibus, si terminus unus datur, momenta terminorum reliquorum erunt ut iidem
74쪽
DE Mo termini niultiplicati per numerum intervallorum inter ip- TU COR -& terminum datum. Sunto A , B, C, D, E , F con-h , proportionales ἰ dc si detur terminus C, momenta ro-sqesso liquorum terminorum erunt inter se ut - a A - B, D, a E, SEcΤ. II 3 F. LεMMA u i Corol. 2. Et si in quatuor proportionalibus duae modiae dentur, momenta extremarum erunt ut eaedem extremae.
Idem intelligendum est de lateribus rectanguli cujuscunque dati. Corol. 3. Et si summa vel differentia duorum quadra
torum detur, momenta laterum crunt reciproce ut latera.
In epistola quadam ad D. I. Collinium nostratem Io. Decem 16 a. data, cum descripsissem methodum tangentium quam suspicabar eandem esse cum methodo Susi tum nondum Communicata ; subiunxi: Hoc est unum particulare vel corollarium potius methodi generalis, quae extendit se citra molestum ullum calculum, non modo ' ad ducendum rangentes ad qua is curvas Me geometricas siυe mechanicas vel quomodocunque rectas lineas alia*ecu υas respicientes , verum eriam ad resolvendum alia abstrusiora problematum genera de ' curvitatibus, P areis, longitudini-
Quarὸ ob datum C , cuius nullum est m
mentum , momenta reliquorum termin
nebit proportio terminorem - 2 C3D - et Da i D i- C' ν, D, hoe est 2A, - B, D, 2 E, 3 F. Est autem 1 numerus intervallorum inter terminum A, &tet milium datum C, sicut oc intervali rum inter E & C, et intervallum inter B dc C, ae inter c & D, dc 3 , numerus iniervat lcrum inier C dc F. Quarὸ Patet veritas corollarii.
quadratum C sit datum, erit per eas 2 a AH-x b Emo, ide6que Aa α - , B, dc proinde a : - b B: A. In iis duobus corollariis necessum eli ut variabili una crescente , decrescat altera , dc idcirco dum momentum unius positivum est, alterius momentum est negativum. n Adducendiim tangentes P. I s lib. I. vide M aic litonis Hospiι ii Analysim infinitὰ parvorum, ubi mei hodus illa tangentium susἡ dc perspicud exi onitur. o De em Duruibus et s. lib. I. . p Areis, Ioviiiidinibus occ. Ηaee plurimis exemplis, tum I.. tum 2. . libro contentis manifesta lum. Vide tractatum NEWTora de quadratura curvarum.
75쪽
bus, ' centris graυitatis curυarum die. neque quemadmodum DE MO-Ηuddenti methodus de maximis di minimis ad flas xefringitur V08 aequationes illas quae quantitatibus surdis snt Mn ves. Hanc methodum intertexui alteri isti qua aequationum exegesin instituo re Sicus D. ducendo eas ad series infinitas. Hactenus epistola. Et haec ulti- SEN II. ma uerba spectant ad tractatum quem anno x 6 et de his rebus scripseram. Mcthodi vero hujus generalis fundamentum continetur in lemmate praecedente.
PROPOSITIO VIII. THEOREM A VI.
Si eorpus in medio uniformi , graυitate uniformiter agente, re Mostendat vel descendat, ct statium totum descriptum distinguatur in parres aequales , inque principiis singularum partium amo dendo rementiam medii ad vim gravitaris, quando corpus scen
dis, vel subducendo ipsam quando corpus descendit investigentur vires absiturae ; dico quod vires illae absolutae siιnt in progressione
Expoliatur enim vis gravitatis per datam lineam AC; resistentia per lineam indefinitam A K ; vis absoluta in descensu corporis per differentiam Κ C; velocitas corporis per lineam A P, quae sit media proportionalis inter A X dc
seholium hoc modo se habebat. In litteris quae mihi cum Geometra peritissimo G. G. Lei vis annis abhinc decem intercedebant , cum significarem me compotem esse methodi determinandiniaxima dc minima, ducendi Tangentes,& similia perasendi, quae in terminis surdis ac Lia ration.ilibus procederet , α sileria transpositis ham lanismiani in-
volventibus. c Dars agnas e q reumque s suenιer quamitam imiam me , Fluxiones issenim , O vice verra eamdem celarem ; Rescripsit Vir Clarissimus se quoque in ejusmodi methodum ineidisse, & methodum suam communicavit, a mea vix abludentem, praeterquam in verborum dc notarum sermulis, S idea generationis sua titatum. Utriusque fundamentum coinia tur in hoc Lemmate.
76쪽
Da Mo-AC, ideoque in subduplicata ratione rosistentiae; incrementumTU C λR resistentiae data temporis particula factum per lineolam x L, MContemporaneum Velocitatis incrementum per lineolam P O;8c si ebs n. centro CasymptotiS rectangulis c H describatur hyp es, Sser. I. quaevis B IVS, erectis perpendiculis A B, KN, LO occurrens in PaoF.VΠΙ Β, Α , O. Quoniam AK est ut A P a, erit hujus moruentum XMOR VI. xi ut r illius momentum a A PHid est, ut AP in KC, nam Velincitatis incrementum Ps per motus leg. II. proportionale est vi gcneranti K C. Componatur ratio ipsius Κ L cum ra
tione ipsius Κ Ν, fiet rectangulum ΚLκκN ut AP κxCκxN; hoc est , ob η γ da
tum rectangulum ΚC, ΚΝ, ut A P. Atqui areae hyperbolicae ΚΝO L ad restinguium KLκK ratio ultima , ubi coeunt puncta Κ& L, est aequalitatis. Ergo area illa hyperbolica evanestens est ut AP. Componitur igitur area tota hyperbolica AB O L ex particulis Κ N O L velocitati A P semper proportionalibus , & propterea spatio velocitate ista Gescripto proportionalis est. Dividatur iam area illa in partes aequales AB MI, ΙΜ ΝΚ, Κ NOL, &c. oc vires absolutae IC, Κ C, L C, &c. erunt in progressione geometrica. E. D. Et simili argumento , In ascensu corporis, su-
velocitatis incrementum Ρ Q, dato tem Poris momento genitum permot. iS. 2. proportionale est vi genetianii Κ C , erit
AC, resistentia per liueam indefinitam Rh
77쪽
mendo, ad contrariam partem puncti,aequales areas A B in 1, DE MO imnsi, kn o i, &C. constabit quod vires ab Elutae A C, ic kC, Tu COR-ι C, &c. sunt continue proportionales. Ideoque si spatia omnia in ascensu & descensu capiantur aequalia ; omnes vires absolutae
Corol. 1. Ilinc si spatium descriptum eXponatur per aream perbolicam ABNK; exponi possunt vis gravitatis, velocitas corporis oc resistentia medii per lineas AC, AP dc AK respectivE; & vice versa. ' Corol. Et Velocitatis maximae, quam corpus in infinitum descendendo potest unquam acquirere, h exponens est linea A C. Corol. 3. Igitur si in data aliqua velocitate Cognoscatur resistentia medii, invenietur velocitas maxima, sumendo ipsam ad velocitalcm illam datam in subduplicata ratione, quam ha
Αl, vis absoluta velocitatem minuens In ascensu corporis per summam Ct, velocitas corporis per lineam L p quae sit media proportionalis inter A l & A C , ide6que in subduplicata ratione resistentiae decrementum resistentiae data temporis particula factum per lineolam l k , dc contemporaneum vel itatis decrementum per irneolam Pq,
dc deteribatur ut lupt, hyperbola S B o ι Quoniam Α l est ut A p erit hujus momentum k l ut illius momentum a A p q , ideli, ut A p in t C , nam velocitatis decrementum p q per mor. ιeg. 2. Pro ponionale est vi generanti l C , compinnatur ratio ipsius hi eum i ratione ipsius I o, & fiet rectangulum k l κ l o ut Α pκ iC κ l o , hoc est, ob darum rectanguinium 1 Cκlo, ut Ap. Ergo, Coeuntibus punctis λ , i, Mea hyperbolica h n o l α h lκ l o, est ut A p. Componitur igitur area tota hyperbolica L A B o l ex particulis knol velocitati Α p semper proporti a libus , & proptere, spatio velocitate ista descripto proportionaIis est. Dividatur iam area alia in partes aequales A B m i;
imn h. haol, dic. dc vires absoluiae t C, k C, i C, AC, 3ce. erunt in progressione
geometrica. Q. E. D. a Simili modo si in astensu eo poris , spatium usque ad motus extincti nem de libendum exponatur per aream hyperbolicam Α Β n k exponi possiant vis gravitatis , velocitas corporis & resiste tia medii per lineas AC, Ap,Αkr spectivd ; & vice versa.
ΑΡδ α ΑΚ κ AC, erit etiam Α Κ α Α idedque coincidelite ordinata Κ N , cum asymptoto C H, area hyperbolica ABNK, instilla evadet, de spatium destendendoedeseriptum huic proportionale erit quoiaque infinitum, gravitas vero , resistentia Scvelocitas corporis exponentur per lineam AC, eritque proinde resistemia gravitatis ualis , dc proeterea velocitas A C
e Ad medii reventiam illam in Misam. Clim enim velocitates sint ini duplicata ratiotae resistentiarum s preMp. dc resistemia sit gravitati aequali, , Ei velocitas maxima pii. p V. 2.
78쪽
L1κἀκ Positis iam demonstraris, dico quod , si tangentes angulorum sectoris SecuND. circularis di si liris bperbolici sumantur Delocitaribus proponisnales , existente radio justae magnitudinis: erit rempus omne ascem dendi ad locum summum ut Iector circuli, re tempus omne defeendendi is loco summo ut sector hy perbolae. Rectae/c , qua vis gravitatis exponitur, perpen sicularis Maequalis ducatur is D. Centro D semidiametro D descri-
YILhatur tum circuli quadrans At tum hyperbola rectangula axem habens A X, verticem principalem A, de asymptόton D C. Ducantur D p, D P, & erit sector circulam AtD ut tempus omne ascendendi ad locum summum ἔ
velocitas maxima erat ad velocitatem da- medii resistentiam IlIani tomia in subduplicata ratione gravitatis ad
79쪽
fc foetor hypctholicus ATD ut i cmpus cmnc descendenci UT MOa loco summo: Si modo sectorum tangcntes Ap, AP, sint ' Vut velocitates.
s. i. Agatur enim Duq abscindens sectoris A D 3 & si , b. trianguli AD p momenta, seu particulas quam minimaS simul SεcT. II.
est, ut velocitatis decrementum quam ni in mum ρ ρ directd ,& vis illa C si quae velocitatem diminuit inverse; εὶ atque ideo ut particula temporis docremento UelOCIlatis ruspondens. Et componendo fit summa s,articularum omnium t D υ in sectore ADt, ut summa particularum temporis singulis velocitatis
80쪽
DE Μ tis decrescentis A p particulis amissis p q respondentium, usquem C0 dum velocitas illa in nihilum diminuta evanuerit; hoc est, se-Li, k D r est ut tempus totum ascendendi ad locum se