장음표시 사용
131쪽
liis abseissa qualiscumque A P sit m p , fitque ejus ordinata P N semper aequalis
earum ordinatis ratio d x ad d 3: sed ut D g Μ habeatur origo a qlia lumi debent illa- et u COR. In arearum portiones, itanendum est id ptinebim in quo P Ο est ad P Q ut Cin t Isinus anguli jactus eum Horizonte sub quo eorpus moveri incepit ad ejus annili si- SECUN D. rrum, quippe ea suit ipso motus inItio ra-M T. II. tio elementorum d x dc d sique ille co-Pκον. X. Mus dicatur e , 3c sinus r, erit in ea origine Paoata III. x pe: α - : - , unde si sumatur L R sive o αρ g IL .
- erit Mus extremitas ri origo arearum quarum valor rationem quaesitarum x αν exhibebit. II 8. Cor. I. Quoniam invenimus
xas.ciri 2. Si in aequatione generali M.
si e puncto P versias originem A sumatur PI et quequalis unitati, ductaque I O, ducatur ipsi d - dppetialela A Q ab origine curvae quae secet S. dρ r- πρ,nta. ' SIPI P Ο productam in in erit I: Poc sive αλ . - Ο - π
132쪽
m eoniugarum semiaxis vero unia TU COM M. Ulule invenietur q in P per trajus PORUΜ. hyperbolae aream , at abscissa x obtinebi-LIAE R per curvae cujus est abscissa pSECUN D. & ordinata - ; & correspondens ordinata
festum sit verae irategoriae V P Z deserim
tionem adeo perplexam esse , tu ex illa vix quidquam ad usus philolaphicos aut m chanicos aecommodatum possit deduci. 13O. C l. s. Quoniam posito n I ,
resistentia medii est ti γ, dc ubi resi-
stentia sit grauitati aequalis, id est, ubi v ualis est velocitati terminali , habetur
C P quae dicatur ν paulo minor sit quam
& aequatio ista in qua est e quaruitas exigua , vaturam traiectoriae V P B exponere poterit quam proximE , loco - , dc sscribantur b 3c e ut aequatio sit b x cxδ - e 31. Ut iam determinemur c Lficientes b, e , o, capiantur aequationis fi xiones, prima, semivia & tertia, facta d x
titudo ex qua corpus urgente vi constam te g , in ipatio Don resistente eadendo a quirit velocitatem illam v, erit 1gf- ιιι cI8. I s. o.bmusce lib. sed ed ιδ d ι .
secundi resistentia parva iturit quesem serdexperitur, elotas serreus non parvu magna latis velocitate per aera proiectus, traiectoria V P B, quam globus ille in mectio relistente describit , non multum aberrat a Parabolaeonica V p b, quam efidem urgente vi gravi hinc e α-ri . Cis igitur quanutate
b, 3cs, datae si , , data erit e. Invenietur tuantitas tertia e , per aequationem ad Italis uni tormi g lou r desicriberet. Quia r - - a , a i , , ) dc per aequationes s*Π -en resistentia velocitatem projectionis minuit , ordinata C P, ad trajectoriam V P B, in medio resistente paulo minor erit quam ordinata C p ad parabolam eonicam V p b. Porros ableissa U C dicatur x ordinata C pdieatur et, amplitudo V b, l. & proindE Cb ,h-x, erit ex natura parabolae rectangulum l ub abscissis V C κ C b, seu h x - x x, aequale rectangulo ordia :ae C p , vel Ein datam ouantitatem I , dc Aeo a quatio repertas a s dx g t --b , , d dr Iac dae', Ecd 31 α -6edael; ex qui
133쪽
va esset, altitudo a seret infinita ci ;o , DEMO-
terminali datur a , 13o x Poterit etiam linea a , per experimentum reperiri; Nam si e loco V in angulo dato T V B data cum velocitata projiciatur corpus in -- dio supposito & observetur amplitudo. j etda V B, quae ,eatur A, in aequatione ad trajectoriam VP B , loco ae , seribatur A, & loco ν, scribatur o, quia ordinata CP, seu ν evanestat in B inven4etur o m
I 31. II. s. Iactia amplitudo V B , invenitur , laeta 1 o, unde eruitur xx κ
in T ι, - alore loco x , In aequatione ad trajectoriam lubstituto , obtinebitur 3 , seu maxima altitudo D G. 34. Coroli. 7. Ut determinetur tam gens anguli T V B, sub quo corpus data celeritate proiectam, per datum punctum P transiuit , loco ae & ν in aequatione ad trajectoriam seribantur datae V C &V P, atque hinc eruatur valor tangi ntis
modo invenia dc illa in hane mutabitur . - 1-3ιι I - ars hoc est, ηfκ r-3 31 aε I-2 3ν . Ex qua aequatione , si eruatur valor sin ν dabitur angui quintus. Per approxi mationem ii, Must obtineri. Scribatur in aequatione sar ut Ia , , Nam si trajectoria in medio non resistente describeretur , angulus T V B sereti semiree
quae facillimὸ resolvetur ad instar mirationis duarum dimensionum. Hinc autem inuem tur ι paulo minor quam a , ade ue an gulus prore iotns semirecto pauid minor. I ιε. Coroll. s. Si medium esset mi Ib densios , asscinenda seret ae tio ad
ba quamproxime. II . Corall. s. Data celeritate jactili, invenitur angulus maximae omnium amplitudini conveniens, si in aequatione corollarii in qua ae exponit quamlibet amplitudinem V B , sumatur tangens , variabilia & sumptis fluxionibua ponaturd x α Ο . iCalculo enim inito inveni tur 4fκ I - ab , 3 ab κ i-bb N i inbb. Quoniam verb tangens anguli proiectionis est b, sinus totus I, dc proind4 se. rara i- -bb; si ejusdem anguli sinus dicatur
134쪽
ad parabolas superiorem generum traiectoriam, b x - H I37. corall. ita Si resistentia mediit uniformis , partim minans iapponeretur&χ partim velocitatis quadrato proportion etiam trajectoria V P B quam-
x 3 κ. . partim velocitatis quadrato proportion
aequatione substitutis sit g d νc t 3 et ) fluxioitibus primis , secundi ' adeoque si 1 ω d υ-dγ-i
- . . stente acquirit jactus velocitatem. Qum
aequatio assumpta erit ν α bκ - x κ
titas e determinabitur per aequationem
ri eodem modo determinarentur coe emtes in aequationibus plurium terminorum seu
Propter aequatio assumpta in haac γ
135쪽
De motu corporum quibus rositur partim in ra-sge o. tione υelocitatis , p; tim in ejusde m ratione duplicata.
Si corpori resi litur partim in ratione velocitaris, parrim in velocitatis ratione duplicata , ct idem sola vi in id in medio similari m verur : sumantur aurem tempora in progressone arithmetica ἔ quam titates υelocitatibus reciproce proportionales, data quadam quam litare auctae, erunt in progressione geometrica.
Centro C, asymptotis rectangulis C ADd CH, describatur hyperbola B E e, dic asymptoto C H parallelae sint AB, DE, de. In asymptoto C D dem ultur puncta A , G : Et si tempus
exponatur per aream hyperbolicam A B E D uniformiter crescentem dico quod velocitas exponi potest per longitudinem D F, cujus reciproca G D una cum data C G componat longitudinem CD. in
progressione geometrica crescentem. Sit enim areola DΕed datum temporis incrementum quam
minimum, oc erit D d reciprocὶ ut DE, ideoque directe ut CD. Ipsius autem, decrementum , quod per hujus
etum temporis incrementum , erit ut quanitas
136쪽
Crementum Velocitatis est ut resistentia, hoc est per hypothesin ut summa duarum quantitatum , quarum una est ut velo-
citas , altera ut quadratum Velo.
ob analogum decrementum, est ut velocitasia Et si quam litas G D , ipsi reciprocὶ proportionalis , quantitate data CG augeatur; summa CD, tempore AB E D uniformiter crescente , crescet in progressione geometrica. E. D. Corol. I. Igitur si, datis punctis A, G, exponatur tempus per aream hyperbolicam AB ED, exponi potest velocitas per.
e Nais decrementum velocitatis, dato emporis monaeivo, est ut re semia cis .c d df, analogum decremen umos ui velatiras. Si enim duarum quantit tum fluentium incrementa vel decrementa Mo tempusculo producta analoga sint, eorrum incremento nivei deerememoriuniaminae seu fluentes ipli ab eodem initio sumptae, sunt analogae per Cor. Lem. lib. l.).
137쪽
εὶ Grol. a. Sumendo autem GA ad G D ut velocitatis DEMO. reciproca sub initio , ad velocitatis reciprocam in fine tem- TU COR potis cuiusvis AB ED , invenietur punctum G. Eo autem 1nvento, velocitas ex dato quovis alio tempore inVeniri potest. seeuso.
Iisdem positis , dico quod si statia descripta sumantur in progressione
arithmetica, υelocitates data quadam quantitare ausae erunt in
progressione geometricd. In asymptoto CD detur punctum R, 6c erecto pessiendicu lo R S; quod occurrat hyperbolae in S, exponatur descriptum spatium per aream hyperbolicam RSΕD; & velocitas erit ut longitudo G D , quae cum odata CG componit longitudinem c D in progressione geometrica decrescentem, interea dum spatium R S E D augetur in arithmetica. h Etenim ob datum spatii incrementum E D de, lineola D d , quae decrementum est ipsius G D, erit reciproce ut E D, ideoque directe ut CD, hoc est, ut senutia ejusdem G D dc
enim α o, sive velocitas nulla GD ubi G D erit infinita , trule autem area BADE qine tempus exprimit infinitaetiam est, ex natura Hyperbolae. e Corall. 1. Punctum A ad arbitrium assumitur in asymptoto C R & asis immo etiam quovis puncto D ut area ABED tempus datum exponat, it, determina viri est punctum G , ut sit G A ad GD, ut velocitatis reciproca lub initio ad velocitatis reciprocam in fine temporis cujusvis ABED, quod per coroll. 1. liquet. Invento autem puncto G, ex dato quovis alio tempore quod F. gr. sit ad tempus primb datum ut area A B S R , ad aream ABED, dabitur velocitas quae erit re eiprocὸ ut G R , seu quae erit ad velocitatem sub initio an A, tu G A ad GR
h Eictim ob datum spatii ineremeneum, per hypothesim qua spatia supponu tur in arithmetica progressione cieicere. Q L.
138쪽
DE Vo longitudinis datae C G. Sed ve-
L Ih kre sibi reciproce proportionali , SECUND. spatii particula Dd. E
SεcΥ lII. describitur, est ut resisten- pop. XII- tia & tempus conjunctim, id est directe ut summa duarum
quantitatum, quarum una est ut uelocitas, altera ut veloci- Qtatis quadratum , oc inverse ut Uelocitas ; ideoque directe ut summa duarum quantitatum, quarum una datur, altera est ut
velocitas. Decrementum igitur tam Velocitatis quam lineae GD, est ut quantitas data & quantitas decrescens conjunctim, &propter analoga decrementa, analogae semper erunt quantitates decrescentes; nimirum velocitas & linea G D. E. D. Corol. r. Si velocitas exponatur per longitudinem G D, spatium descriptum erit ut area hyperbolica D Ε S R. Corol. 2. Et si utcunque assumatur punctum R, invenietur
punctum G capiendo G R ad G D , ut est velocitas sub initio ad velocitatem post spatium quodvis RS E D descriptum. Invento autem puncto G , datur spatium ex data velocitate,
corol. 3. Unde cum per prop. X I. detur velocitas ex dato tompore , dc per hanc propositionem detur spatium ex data velocitate ἱ dabitur spatium ex dato tempore: α
unctim. VeIocitatis decrementum est ut resistentia dc temptu coniunctis a s , tem is vero in ut incrementum spatii dire- etd & velocitas invers/, adiaque dato stratii intremento ut velocitas invere . Quari dato spatii incremento, velocitatis decrementum est ut resistentia directὰ dcvelocitas invers/ , id est , dires E at summa duarum quantitatum &c.
cor. lem. q. lib. I. ). I Iuvenis autem puncta G sSi enim velocitas data , lit ad velocitates sub initio ut G A ad G R, dabitur Frctum Α , bc hine dabitur area A B S R , seu spatium descriptum. Et eontra 'au spatio , siνe data area ABSR, dabinupunctum Α , dc ind/ veloeitas G A. Mhis autem patet spatium finitum infinito tempore deleribi ; ubi enim punctam feoincidit eum puncto G , velocitas o nn eκtinguitur, dc spatium descriptum pinu per inua fimam qmai
139쪽
Posto quod corpus ab 'uniformi gravitare deorsum attractum recta a febηdit υρι descendi0 ct quod eidem resistitur Porrim in rorisne V sees,o. Ioeitatis, parrim tu ejusdem ratione duplicata: dico quia,si circulio hperbolae diametris parallelae rectae per conjugatarum diametro' Pst ν. XIII. rum terminos ducantur, re velocitates ni ut segmenta quaedam pa- T ψη rallelarum a dato puncto ducta ; tempora erunt ut arearum sectores, reos is centro ad segmentorum rerminos ductis abscissi: ct contra.
140쪽
Jungantur D A, D P circulum secantes in si ac T , dc exponatur gravitas per D A quad. ita ut sit gravitas ad resistentiam in P ut DAai ad APq- i BAP: & tempus assensus totius erit ut circuli sector Ε D T. Agatur enim D VE , abscindens &velocitatis A P momentum P D, dc sectoris D ET momentum D TV dato temporis momento respondens; &velocitatis decrementum illud P erit ut nὶ summa virium gravitatis D A q& resistentiae APqΦ B AP, id est per prop. I a. lib. a. elem. ut D P quad. Proinde area D P O, ' γ ipsi P s proportionalis, est ut D P quad. & area D Tν, quae est ad aream D PE ut p ad D P est ut datum DTq. Decrescit igitur area E DT uniformiter ad modum temporis sui ri , per subductionem datarum particularum D TV, & propterea tenviori census totius proportionalis est. E. D. Cas. a. Si velocitas in ascensu corporis exponatur per longitudinem AP ut prius, & rci istentia ponatur esse ut A P q Φα B A P, & si1 vis gravitatis minor sit quam quae per D Aq es' poni possit ; capiatur B D ejus longitudinis, ut sit AB q - ΒΓ gravitati proportionale, siu-que D Fipsi D B perpendicularis oc aequalis, oc per Verticem Fdescribatur hyperbola FTVE, cujus semidiametri conjugatae sint D B dc DF, quaeque secet D A in Ε,
- m 'Eν evoma graiarur per D A Cor re ascendente rado gravitatis utii sorniis ad vel maior est ratione . quadrati dati A B ad quaesitatem A P 4. a B A P , vel initior ves aequalis. In I . easu gravitas exponi semper poterit per quadratum secantis AD quae quantumvis maingi assumi potest; Iu a . casu per diuere