장음표시 사용
141쪽
Nam velocitatis decrementum P D, in data temporis particu- DE Moiae factum , est ut sumnia resistentiae 3P q a B AP & gravitatis Cp
- BDq. Quare clim area DPq sit ut Ps, id est, ut BDq; erit area DTV ut datum D Fy. Decrescit igitur area E DT uniformiter singulis temporis particulis aequalibus, per subductionem particularum totiὸem 3atarum D Tec propterea tempori proportionalis est. E. D. Cas. 3. Sit A P velocitas in descensu corporis, AP qα BAP resistemia, oc B D q-AB q vis gravitatis, eXistente angulo DBA recto. Et si centro D , vertice principali B, describatur hyperbola rectangula BETV secans productas
DA, D P dc DE in F, T V; erit hyperbolae hujus sector
D ET ut tempus totum descenSUS. Νam Velocitatis incrementum P eique proportionalis area DP est ut , excessus gravitatis supra resistentiam, id
re C im area P O sit ut BDq BPq, erit area ut datum BDqo Crescit igitur area
Ι- evanestem D P Q, non dissert a see- ta est area DT V, & ideb temporibus ras., tore circuli emro D & radio D u aequalibus aequaliin decrescit area EDT, descripti , inter lineaa D Q & D P ; hie ad modωm imporia futuri m. ero tector est ad similem sectorem DTV, ues ut B Pq - BD b. m enim ut D PR ad DT , quarὸ area DTV., A Pq- - 1 B A PH-A Bq α B P q. est ad aream DPQ, ut DT ad DP , t in G Τ q. Nam ob similitudinem di purmutando, area D T V est ad D T , triangulorum D GT, PBD est DTq ad ut area D PQ ad D P . Clim igitur DPqut GTq GDq-BDq exciniam. area D P Q sit ut D Ρ - , erit etiam nici vid. not. in cal. E. prop. 9. ad BDq. area DTV ut D T , seu ut datum qua- siqua GDq ad BDq, ct divisim e edraium D B δ; ergo, tempor. dato
142쪽
DE Mo- Ε DT uniformiter singulis temporis par-m COR ticulis aequalibus, per additionem toti P RuΜ--datarum particularum D Tec Lyηηη propterea tempori descensus proportio s. E. D.
, cirοI. Si centro D semidiametro D A
per verticem A ducatur arcus A t similis arcui ET, dc similiter subtendens angulum A DT : velocitas A P erit
ad Vclocitatem , quam Corpus tempore E DT, in spatio non resistente , ascendendo amittere vel descendendo acquirere posset, ut area trianguli D A Pad aream sectoris D A ret, ideoque ex dato tempore datur. Nam velocitas, in medio non resistente, tempori, atque ideo sectori huic proportionalis est; in medio resistente est ut triangulum ; oc in medio utroque, ubi quam minima est, accedit ad rationem aequalitatis, pro more sectoris oc trianguli.
utroque ubi quam minima est, nempe initio descensius 4 quiete vel in fine ascensu acced i ad rationem aequalitatis ob resi
stentiam evanescentem , evanescente velo
citate , pro more, sectoris D A t S trian. guli I R P coeuntibus pinetist & P cum pinacio A. Is 9. Quoniam ubi in corporis descensu BP sta: B D, angulus B D P semir clus evadit, dc rechi DP asymptotus hyperbolae sequi laterae B E T ; manifestuin est quod corpus E quiete cadetido nonni
s finitam Uelocitatem infinito tempore pos-st aequirere. Erit enim veri itas tempore infinito acquisita BD - AB. Si vero corpus verticaliter deorium data cum velocitate prciiciatur , vel illa velocitas maximae 1 eu terminali B D - Α B aequalis est, & in hoe easii eorris motu nn s mi descendit ob resistentiam gravitati aequalem. vel terminali minor eli, & torporis cadentis motus perpetub acceleratur, donee infinito tempore velocitat m maximam acquirat, vel tandem aerminali maior est , tumque cor iis motus perpetuo retardatur , donec infinito tempore elapris ad velocitatem terminalem redueatur .
hoc autem casu sic abiblvitur constructio. Sit A a velocita; datae projecti is terminali major, A P veloeitas perpetud decret cens, AP - - χBAΡ resistentia , MB D δ ΑΒ vis gravitatis existente angulo D B A recte , di si ca=iatur B R α BD, inpleaturque quadratum D B R F , ae centro D ct vertice principali F describatur hyperbola rectangula FETU, ω
tempus descensus ab initio ulquequo residua torpori velocitas sit A P , erit ut lector hyperbolicus D EI ; nam velocitatis decremetitum P Q , in data temporis paristicula factum eique proportionalis area
143쪽
Demonstrari ' etiam posset casus in ascense corporis, ubi via L,3ξRgravitatis minor est quam quae exponi possit per D Ag sed AB qin BDq, & maior quam quae exponi possit per AB q BDq , paον.xIu-α exponi debet per A Bq. Sed propero ad alia. TMOR. X.
& diuisim, ut BD ad BP3 - BDν. Quare cum area IJ Ρ Q, fit ut B P B D , erit area D T ut d itum B DCrescit ig tur area E D I , uni ibrmiser singulis temporis particulis Mualibus per additionem totidem datarum pateticularum D T V, dc propterea tempori deicensus proportionalis est. Coincidente vero puncto P, eum R , & ideo tecta P , cum aiyua; toto D R , velocitas Α Ρ terminali Α R ieu B D - AB aequalis evadit, e cfector DET infinitus, proindeque tempus etiam insinitum fit. Q. E. D. I F. Hinc etiam si centro D , semi
arcus Hyperbolicus a i similis arcui ET, dc similiter subtendens a ulum a D T.
velocitas a P , in medio resinente tempore EDT, extincta, erit ad velocitatem quam corpus eodem tempore in spatio non resistente e quiete descendendo acquirere posset, ut area trianguli D a P , ad aream sectoris Dat, ideoque ex dato tempore datur, dc hinc datur quoque velocitas residua R P. Nam velocitas in medio nouressitegie aequisita tempori, atquὸ ideb se-
proportionalis is , velocitas in medio rebstente extimsta, est ut triangulum D a P ,& in medio utroque ubi qu1m minima est,aecedit ad rationem aequalitatis pro more sectoris Dat, re triamtuli Da P. t i. Dem strari pol easu in Uce su corporis , ubi vir mouatis- μ' ni debes per A B q. Velocitas iii alceolue ponatur per A P ut prius, ut reii tentia
144쪽
r 2. In isto casu velocitas A P est ad ης ἰ λ bem quam tempore DAT, in spatio non resistente ascendendo amittere possit, ut B P ad AB. Nam velocitas in medio non refistente tempori atque ideo area D A T sive rectae A T pr proportionalis est; in medio resistente est ut Α Ρ, & in medio utroque ubi quam minima est , aecedit ad rationem aequalitatis; nam cum capiatur B I A B, ratio silearum A P, A T, in puncto A ubi quam minima est , aee edit ad rationem linea-Α F , F D quae eli aeqviilitaris. Quare velocitas A P, in medio resistente erit ad velocitatem in medio non resistente eodem tempore DAT amissam vel atqui
stam ut A P ad A T ; hoe est ob Triangula similia A PT, B PD ut BP ad BD vel AB. Q. E. n
v ε a x dc g a aza b b, fluens autema x Suantitatis , pendet a quadratura hyperbolae.
145쪽
Iisdem positis, dico quod statium ostensu ves descenis descriptum, estus disserentia areae per quam rem'us expouitur, re arere cujusdam SEcu, D. alterius quae aue erur vel diminuitur in Proere ne arithmetica ; si SHcT.NI.
vires ex resistenrid ct gramitare composit sumantur in prure M. α'Ι
Capiatur AC in fig. tribus ultimis gravitati, 8 A Κ re sistentiae proportionatu. Capiantur autem ad easdem partes pumcti A si corpus descendit, aliter ad contra ias. Efgatur Ab,
quae sit ad n B ut D B ad B AC: 6c descripta ad asymp-
146쪽
DE MO- totos rectangulas C Κ, C H hyperbola b N, erectaque Κ NTU COR ad C κ perpendiculati , area AbNK augebitur rei di-xψRV rninuetur in progressione arithmetica , ' dum vires CK in progressione geometrica sumuntur. Dico igitur quod distan-SEur.' II. tia corporis ab ejus altitudine maxinia sit ut excessus areae Paop. XIV. AbNK supra aream D ET
' ψη M I I-cum A x sit ut resistentia, id est , ut APq Φ aBAPς assis matur data quaevis quantitas T , dc ponatur Ax aequalis oc per hujus lemma ii. erit ipsius AK
6c areae AbNK momentum KLO Naequale
seu ν DCac. I. Iam si corpus ascendit, sitque gravitas ut ABq
res acceleratri ex vel retardatriera ut C Κ , siquidem in eo oris ascensu vis retardatri est A CH- A K , seu summa virium gravitatis 3c resis entiae , & m deicentu vis acceleratrix est R C- Α Κ α C Κ s eu excessus vis gravitatis supra resistentiam is xl x Dieo igitur quod distantia cor poris ascendemu ab ejus allisaedine maxima de distantia destendent:s , puncto quietis
147쪽
seu CKκZ, Pi ideoque area DTV erit ad aream De Mo-
Casa. Sic corpus ascendit, dc gravitas sit ut BDq, LisA
148쪽
tertia aequetur h erit area DTV ad aream D P si ut D B q ad C Κ κZ: ut supra. , Cum igitur aleae illae semper sint in hac ratione ; si pro area DTV, qua momentum temporis sibimet ipsi semper aequale e ponitur, icribatur determinatum quodvis rectangulum, puta erit area DP si, id est, ἰ B D κ P O, ad B D m ut CK κZad B D q. Atque inde sit P si κ. Bυ cub. aequale a B D κmκCΚκZ, dc areae ΝΚ momentum KLO N superius. BPκBDκmmVentum Iit -. Auferatur areae DET momentum
ut velocitas P, id est, ut momentum spatii quod colapus ascendendo vel descendendo describit. Ideoque differentia arearum lc spatium illud proportionalibus momentis crescentia vel decrescentia 6c simul incipientia vel simul evanescentia, φ sunt proportionalia. O. E. D.
149쪽
Corol. Si longitudo, quae oritur applicando aream D ET aci DEΜo- lineam B D , dicatur M; & longitudo alia V sumatur in ea ratione ad longitudinem M, quam habet linea D ad lineam DE: spatium , quod corpus ascensu vel descensu toto in medio resistente describit, erit ad spatium, quod corpus in medio Se . II i.
non resistente e quiete cadendo eodem tempore describere po-
test, ut arearum praedictarum disserentia ad -- : ideoque ex dato tempore datur. Nam spatium in medio non resi
150쪽
Da Μ stente est in duplicata ratione temporis, sive ut V ; &
D ET ad D AP , ideoque , ubi areae D ET ex D AP quam
& differentia arearum DETO AbNK , quando omnes hae areae quam minimae sunt, aequalia habent momenta; ideoque sunt aequales. Unde cum velocitates , dc propterea etiam spatia in medio utroque in principio descensus vel fine ascensiti simul
in oriis iu UR. Nam ob cutis B D , D A , D E , longitudo quae aequatur D E T κ hyp. est ut area
D E T, seu ut tempus. Spatium autem In medio non residente est in duplicat. ratione