장음표시 사용
151쪽
descripta accedant ad aequalitatem; ideoque tunc sint ad DEΜo
ferentia ; dc praeterea clim spatium in medio non resistente sit
petuo ut arearum D I, oc spatium in medio resistente sit per-Τ ec A b ΝΚ differentia : necesse est, ut spa
mentiam eum velocitate a centem vel m. II.e anescentem, manerite gravitate. 144. Coa ustione casus is . propotas ia
152쪽
DE MO- spatia in medio utroque, in aequalibus quibuscunque tempori. TUCOR- CD 9 V . PORuΜ. bus descripta, sint ad invicem nt area illa I di are LIBER A Dsacu . rum D E Toc AbNK disserentia. s. E. D.
Paop.YIU. THio .XI. tionis hujus r4 . uti possimus ad determinandum motum corporis verticaliter deorsum projecti cum velocitate quae terminali minor est. Nam si aequalis ipsi fuerit, motus est aequabilis si vetό celeritas proiecti is terminest major sit, paulb mutanda erit ea-sas tertii conitruetio. Iisdem enim 'positis in not. I s. capiatur A C pavitati & Α Κresistentiae proportionalis, M. vi sit C inter A & Κ , quod resistentia gravitate major iupponatur. Sit A a vel itas projeetioniseerminali maior; erigatur periγendicularis
ct M.cripta ad aij mptotos rectangulas C Κ, C Η hyperbola b di, electaque Κ N ad C Κ, perpentieesari , ama a b N Κ augebitur in progressione a loemesca , dum vires C Κ in progressione seometrica minuuntur. Sprituri autem is ore DE T descriptum erit ut excessus areae a b N Κ, Ω-pt, aream DET; nam ponatur, m in a monstratio reprop. I A RAi R 1BAP
ventum sit ----.-. auseratur arex
153쪽
1eu ut vel ccitas in momentum rem oris M
dum 11 in re quia evanescente DET , I u COR- fit AP α Aa, haec momenta Aaκ DTV, est, ut momentum spatii quod corpus describit , ide ue diGrentia arearum ut spatium descriptum. I s. inne spatium tempore D E T , velocitate miseria A a descriptum est ad spatium eodem tempore delcriptum in medio resistente ut iactum A a κ D E Tad arearum ab N Κ&DE T dissetetistiam in ΑΒ tactam. Nam statium tempore DET, velocitate uni sermi Aa descriptum, est ut Raκ DE T c s. lib. i. dc spatii huius momentum est ut A a κD T U ; momentu autem spatii in medio
i fierentiae arearum ab N Κ & DE T per i s. A B du , unde maiusestiun est pro
s. Si eo oris astendentὶς velocitas exponatur per longitudinem A P, & resistentia per A Κ quae ponatur esse ut A P RH-x B A P, ita ut assiimpta data quavis quam AP -Σ ΒΑΡtitate T, sit AKα - , vis amem gravitatis exponatur per A C , quae μ λ Basit semper ut A B , ita ut sit A C 'eademque eonstructio fiat quae noti a r. AB a 3c in Α erigatur perpendiculum Abra '.
Denique erecto perpendimio in C deli ri-hatur ad Asymptotos Rectangulos C Κ , C H hyperbola b N, erectaque Κ N ad C K perpendi eulari , area R b N Κ dimi-Huetur in progressione Arithmetica dum Mes C K in Pr gruin e Geometrica de-erestente sumuntur. Et distantia corpor sab ejus altitudine maxima erit ut excessus areae A b N K supra Triangulum DET. AP ΦΣΒΑΡClim enim sit AK α
154쪽
rem constantem exprimere debet, quia m mentum temporis sibi semper aequale exponit, ejus itaque loco scribatur Rectangulum A B κ m in quo m erit momentum con
- ---α B Ρ κ m, igitur diffe-α E κ entia momentorum KLON Sc D TU, est BPκm Bκm α ΑΡκm dc pr Pterea oo datum m ut velocitas R P, id est, ut momet tum spatii quod corpus ascendendo desieribit, & quo minuitur corporis di. st intia ab eius altitudine maxima. Ideoque dii serentia arearum & spatium illici proportionali bas momentis decrescentia , simulque evaneicentia miri proportionalia. Vetam in isto casu facilius quam per methodum Ναumnianam obtinetur spatium a corpore ascendente Esque ad quietem in medio resistente descriptum , & ejus rei itio ad spatium in medio non resiliente eodem tempore percurrendum: Etenim
per punctum A asymptotis D B , D Fdescribatur hyperbola , & ex paneto Τ d ca:ur perpendi Iulum T L ad Hyperbolam, Trilineum A T L erit ut spatium
VTκΤ L, est autem V T momentum temporis , & T L A P ipsa velocitas eo mommato, ergo VTκ T est ut momentum spatii eo momento descripti, ergo tota area A T L est ut sipatium deseriptum. Ducatur praeterea tangens Λ S di designet At ultimum temporis momentum, Mducta i I, Tritin um evanescens Α T Laequale siet Triangulo Ati, & eo ultimo momento spatia tam in medio resistentequam in non resiliente cilcripta trunt m qitalia, ideoque per idem triangulum A et exurimemur ι spada vero in medio non resistente deleripta sunt ut Quabata temporum , ideoque spatium tempore Α t in medio non resiliente descriptum erit adspa: iam tempore Α T in eodem medio des riptum .laui Α t ' ad AI ', sive ut area triansuli A ti ad aream AT X; ipatium verb in medio resistente deseriptum tempore A t erit ad spatium tempore A T in e edim med o deseriptum ut A ti ad trilineum AT L, unde liquet quod Oatium in medio non resistente descriptu in , ascendendo adquietem usque, erit ad spatium in medio resistente descriptum, ut A T X ad A T L , existente velocitate , in medio non resistente, ut TX, Sc tu medio resiliente, ut T L.
155쪽
Resistentia corporum sphaericorum in fluidis oritur partim ex tenacitate, partim ex Dictione , & partim ex densitate medii. Et resistentiis partem illam, quae oritur ex densitate flui-Τkkox.xI di, diximus ese in duplicata ratione velocitatis; pars altera, quae oritur ex tenacitate fluidi, est uni sormis, sive ut momentum temporis : id que iam pergere liceret ad motum Corporum , quibus resistitur partim vi uniformi seu in ratione momentorum temporis, oc partim in ratione dupli 6 velocitatis. Sed sunficit aditum patefeciste ad hanc speculationem in propositionibus VIII. & ix. quae praecedunt, & eorum corollariis. In μ iisdem utique pro corporis ascendentis resistentia uni rini, quae ex ejus gravitate oritur, substitui potest resistentia uni sermis, quae oritur ex tenacitate medii, quando corpus sola vi insita moVetur ; & corpore recta ascendente addere licet hanC uni sermem . . resistentiam vi gravitatis; eandemque subducere, quando Corpus recta descendit. Pergere etiam liceret ad motum corporum, quibus resistitur partim uni rmiter, partim in ratione velocitatis, &partim in ratione duplicata velocitatis. Et viam aperui in propositionibus praecedentibus XI ii. & xiv. quibus ctiam resistentia uni rmis , quae oritur ex tenacitate medii pro vi gra
κ Ia Dibus etiam resissentia uni formis , hoc est, si eor- la vi instaseratur , in construmonibus prop. x &I4., sum pro eorporis ascentu, loco gravitatis lubstituenda est resistentia uni-sbrmis quae oritur ex tenacitate medii ; si corpiu alcciadem vi gravitatis etiam urgeatur, quamitas illa quae solam gravitarem exponebat, lummam gravitatis & re-fistentiae uniformis in praedictis constructi nibus exponet. Tandem si corpus vi gravitatis descendat, eadem quantitas quae solam gravitatem exponebat, excessum gravitatis supr. resistentiam uni sermem in coti- structionibus quae sunt pro deacensu repraesentabit iuris manentibus.
156쪽
corporum cis dari motu in mediis reb Pleim
supponit Logarithmicae spiralis proprietato, postulat igitur instituti nostri ratio ut de illa curva aliquid p ittamus. 47. Circulus P ΑΕ L, centro S, & radio quovis S P descriptus divites se in arcus quorulibet aequales P Α, Α B, B C, C D &e., sintque radiorum P S, A S, B S, C S &α, partes P AVS, R S, X S S c. in eontinui progressione geometrica , mi ista P, Q, R, oce., erunt in Spirali Logarithmica in qua proindE si radii Q S, R S, X S dcc. , sint numeri , arcus circuli P A, B B, P C dcci, sicut& anguli PS Q, PS R, PS X &c., erunt ut
illorum numerorum L arithmi, proralis ut in vulsari Logarithmica axis partrs sunt ut garulimi ordinatarum correspondentium. 3 48. Quoniam aut Progreiso g ometrica in infinitum decrescere dc creicere potest, mani festum est spiralem Logarit il- eam utrinquE tam ad centrum S accedendoquiun ab eodem veritis Μ recedendo per gyros infinitos continuari posse , continuata prcsressione radiorum decrestentium vel crescemium circa centrum S, ad quod idcirco curva decrescentibus radiis proporti natibus, magis magisque accedit, licet nam-
qiram illud possit attingere , sive ut loqui amant, ii et illud centrum non attingat nisi post infinitas revolutiones. I M. Angulus S Q R , quem radius quilibet S Q , cum eurva ad easdem partes constituit constans est ; fi quidem evanes centibus ambus aequalibus PR, AB, BC&e., triangula evanescentia PSQ, QSR,R S X &α, similia fiunt propter latera cir
ea aequales ad centrum angulos proportio
157쪽
. SPQ, SQ R,SRX &α, & PQ S, ratis seu ipsius tangem eontinet eum radio Da lite R S , R X S , aequales sent. P S , longitudo spiralis tota ad celatrum us, iso. Quoniam itaque spira quaelibet ques, sicut dc longitudo inter duos circul PQR Zp, pq r Σπ dcc., totidem triang radiis S P , dc S I descriptos comprehensa, lis PQS & qqS,Q RS&qrSεια simi- erit ut spiralis tangens P T, seu ut secans an- LIBER libus similiterque positis divisa est, lpirae om- guli T PS. Ostendimus I s r longitudi-SmuND. . nes quae a radio positione dato S P, ad eun- nem spiralit aequalem esse tangerai P T, & SE V. dem radium ductae sisnt , inter se similes ta- partem spiratri P V , inter praedictos circu- 'diisque correspondentibus proportionales los contentam, est M tangentem P T, in erunt, id est PS: pS α PQR Z prpq ra π ratione P I ad P S, guae in data est; die. Atquδhi in sequitur r tam spiras manetae autem radio seu finii toto PS, est
omnes quam radios ipsis correspondentes ad P T secans anguli P T S. centrum usque in progressione geometrica ro Dicantur radius eonstans Psma, sub- decrescere , sunt enim PS, pS, πS, &c. tangens S T α b, arcus quilibet Hreuli P CProgressionia geometricae termini aequidse vel P C L P - - P C, vel 1 P C L P P Cranantes ob aequalem ang ilorum aequalium x, correspondens spiralis radius S Xαν , P SQ, QS R, pSq, 'Sr. tae. nutrie- qui crescente arcu x decrescit , erit ob
rem in singulis spiris eompremensum unde triangulorum X K , PST similitudinem radiorum quoque disserentiae Pp, pu&e. in PS: ST m X K: VX,&ob sectores SV eadem geometrica progressione decrescunt. S D C similes . S Κ sive S X e S C seu' rs I. Ducta recta PT ipitalem tangente in P.S VX: DC, ideoque ex aequo S X: p, 8c regia P O ad eandem perperidiculari , s Trix K Dc;-: Izz-d ν: εια per centrum S erixatur ad radium S P pG- pendicu im T s o rectis P T N P Ο occurrens in T 8c o, longitudo spiralis PEp2. S, ad dirimones me S, habitur tangisti Prieritque proind4 ad radium s P in data rati ne P T ad S P, Veso P ad OS. Nam eentro
longitudo spiralis ad totum radium P RQuarὸ lo mimo spirilis ae uatur tangent; PT. Est autem ubique tangetis PT ad radium correspondentem Ρ S, in ratione d ta , ob eri angulum P T S speeie datum
similia, est etiam O Pr o Sm P T. P S, seu ut longitudo spiralis ad radium. Σ32. Hi ne quoque patet quMsi eentro sec radio quovis V S deseribatur circulus secans spirηlem in V & radium P S, in I, pars spiralis P V erit ad imitem P I, radii P ut
tandem PT ad totum ridium Ps. Quatres, myrier libat circulorum radiis S P, I, n evir utcumque argutus 1 P Asn sb-
mutetur utcumque angulus T PS, quem spiralis rum radio continet , arcus circularis P D vel x , eomprehensus inter radios S PS S V D. erit semper ut iubiansens spiralis T, li u b, quae, manente radio seu sinu tot P S , est ut anguli T PS tangenti
158쪽
et Iisidem positis; hoe est, manetabulradiis S P sive a, & SI sive ν, & utcumque mutato angulo T Ρ S , numerus revolutionum spiralis inter circulos P D Z P , &I V N I centro S & radiis datis S P S Uvel S I descriptos est ut tangens S T ampuli T P S , quem spiralis cum medio comtinet. Sit enim e ctrcumserentia circuli P T Z P, & n numerus integer vel staedis revolutionum spiralis a puncto P ad punctum V inter circulos PD Z P, dc IUNI,
, dc sumptis fluentibus, sectors P V m Q - α; quia verδ evanescente sectores PV, fit 3 a, erit Z--κ
b adius ν o , fiet area s P V α - α
159쪽
Sit PQR spiratis quae sieet radios omnes SP , SQ,SR, M. in Lia Est
aequalitus tingulis. Agatur recta PT quae tangat eandem inpun- SECUND.cto quovis P, secetque radium S Q in Τ; ct ad seiralim erectis perpendiculis P Ο , Q O concurrentiis, in O, jungatur S Ο.' Dic. quods practa P er Q accedant ad invicem ct coeant, angulus PS O madet rectus, er ultimo ratio rectanguli TQ κ a P SP Q quad. Ni: ratio aequalitatis. Etenim de angulis refus OP ra, O sR subducantur anguli aequales S P SER, & manebunpanguli aequales OPS, O PS. Ergo circulus qui trant per planeta O , S, P transibit etiam per punctum Coeant puncta P oc O , 6c hic Circulus in loco coissis P O tanget spiralem, latioque perpendiculariter secabit tectam O P. Fiet igitur O Pdiameter circuli huius , &angulus O SP in semicirculo restias. O. E. D.
Ad O P emittantur perpendicula ED , S E, oc ' nearum rationes ultimae erunt huiusmodi T O ad P D ut TS vel PS ad PE, seu a P O ad di P Sa item P D
in P si ut P si ad a P O ; & ex aequo perturbate T si ad P O ut P O ad a P S. Unde fit P s aequale T υκ a P S.
ν T Ubu mam per punctum Q. per prop. 2 r. lib. I. Elem. Z Mecque perperidiculariter serabis rectam o P, quae sper hv. perpendicularis est ad aream QP, fiet igitur ΟΡ diam ter circuli huius per prop. 19. lib. 3. Elem. & angulus o b P in semicire io rectas per prep. 3I. lib. g. Elem. .
160쪽
PORUM. LIBER SECUN D. SE . IV.
14 , PHILOSOPHIAE NATURALI sPROPOSITIO XV. THEOREM A XII.
Si medii densitas in locis siugulis sit reciproce ut distantia locorum a centro immobili , sisque vis centripeta in duplicata ratione densitatis ; dico quod corpus Drari pore i in spirali, quae radici omnes is centro illo ductos intersecat in angulo dato. Ponantur quae in superiore lcmmate, 6c producatur S ut sit S Vaequalis SP. Tempore quovis , in medio resistente , describat Corpus arcum quam minimum P &tempore duplo arcum quam minimum P R ; ω decrementa horum arcuum eX
resistcntia oriunda , sive desectus ab arcubus, qui in medio non resistente iisdem temporibus describerentur, i erunt ad invicem ut quadrata temporum in quibus generantiar : Est itaque decrementum arcus P si pars quarta decrementi arcus P R. ς Unde etiam, si areae P S aequalis capiatur area
evaneste item P Q perpendieulares , pumetum o est centrum, P Ο radius & 1 P odiameter circuli spiralem osculamis in Pc rar. lib. i.) δc per lam. 7. lib. I. 'PQ huius citculi areus vel chordae; atque adco ex natura cirruli abstitia P D est adehortam P Q ut P Q ad diametrum a P Ο.
Quare ea aequo pωurb. &α b Ertini ad inυicem. Clim enim resistentia per arc um P R considerari pot- fit tanquain vis retardatrix Α γ, decrementa arcuum minimorum P Q , P R ex resistentia oriunda lunt ut spatia quae urgente vi acceleriatice resistumiae aequali corpus deleriberet iisdem temporibus quibus
decrementa illa stant ut quadrata. t moram
quibus generaa ur per Lem X. lib. 1. e Unde emto se aerea. Cor vel tale quam habet in loco P, rem porimis aequalibus Micribat arcus 'vim minimos P q, q v. in medio non resistea