장음표시 사용
161쪽
Sr, erit decrementum arcus P si aequale dimidio lineolae Γ p; DE M.
iacoque vis resisteritiae dc vis centripeta sunt ad inviccm ut COR
neolae j Ic r & quas simul generant. Quoniam vis centripeta, ' ζ' qua cc upus urgetur in P, q) est reciproce ut S P q , dc per saeus h.
φὶ Inn. x. lib. I. in lineola quae Vi illa generatur , est SEcΥ.IT in ratione composita ex ratione hujus vis & ratione duplic PMoi . ta temporis quo arcus P describitur nam rcfflcntiam in ii. - hoc casu, ut infinite minorem quam vis centripeta , ncgligo
SP, in ratione duplicata temporis , ε) ideoque tempus est ut P s S P ; dc h corporis velocitas , qua arcus P sPυ - 'S ei hoc est, illo tempore describitur, ut in subduplicata ratione ipsius S P reciproce. Et simili argumento , velocitas qua arcus si R describitur, est in subduplicata ratione ipsius S si rcciproce. Sunt autem arcus illi P E& O R ut 0 velocitates descriptrices ad invicem, id est , in subduplicata ratione SQ ad SP, sive ut Ssad SP κ S
cor. q. Lexn. X. atque 1 e omnia generaliter obtinent , quaecumque fuerit tum curva P Q R , eujus proprietatra nondum adhibuimus, tum vis centripeta , tum resistentia , tum velocitas corporis.
162쪽
Da in dc ob aequales angulos SP SErdς aequales areas PS . TUCO PS, , cst arcus P O ad
XV. rentiae , re fiet arcus P Oad arcum R r ut in
a Nam punctis P αρ coeuntibus, ratio ulti-ad est aequatiatis. Quoniam decrementum arcus Ps, ex resistentia oriundum, sive hujus duplum Rr, ' est ut resistentia & quadratum lcmporis conjunctim ς φ erit re-
- S P κ V Q , ideoque extrahendo ra dicem quadratam per formulam lib. t.
163쪽
& ob datam rationem O S ad O P , densitas medii in in P erit ut I . In medio igitur cuius densitas est reciproce ut distantia a centro S P , corpus gyrari potest in hac spirali. E. D.& manebit medii densitas in P ut
communis angulus QPs, remanem aequa
r -datam ratisnem OS ad Op. Data spirali datur angulus QPS & hine in Triangula S P Ο datur angulas S P Ocum isto QPS rectum faciem, datur etiam rectus P S Ο pre Lem. 3. at ita idebtrianguli P Ο s Miguli omnes da itur, e proindὸ datur ratio OS ad O P.
164쪽
Corol. I. Velocitas in loco quovis P ca semper est quacum corpus in medio non resistente eadem vi centrip ta gyrari potest in circulo, ad eandem a centro distantiam SP.
Corol. a. Medii densitas, si datur distantia S P, est ut
sin distantia illa non datur, ut op p
ad quamlibet medii densitatem aptari potest. Corol. 3. Vis resistentiae in loco quovis P, est ad vim cen-mpctam in codem loco ut . O S ad O P. Nam vires illae sunt
G retur corlaus in medio non resistente in circulo P radio PS descripto, in eoque reti. . Datur vi centripeta quaesit eadem cum illa qua corpus urgetur in puncto P spiralis c tiaen. textur . Sumatur in eadio P S particula l/ X aequalis T Q , sive spatio quod generatur per vim centripetam qua corpus retinetur in i pirali in P , dumque tangente P Z, ὸ puncto Y ducatur pereemtum linea S Y y ad Tangentem usique , Y y erit spatium quod generatur per vim centripetam qua corpus in circulo retinetur , sed coeuntibus punctis P& Y , linea ν Y fit ultimb parallela limae Ps, ideoque y Y fit aequalis partit lae P X , sive T Q. Clim ergo eadem sit vis centrii,eta tam in Circulo quam in spi
vi centripeta generentur, aequali tempore utrinque generabuntur , unde eodem tem
pore quo eorpus in spirali in Q pervenerit, eo ipsb iemi ore perveniet in V in circulo, velocitas ergo in spirali erit ad velocitatem in hoc circulo ut est arcus P Q ad arcum P Y , sed ex natura spiralis per Lemma III. est PQ α , T P α PS, dc ex natura circuli est PYα ΡXκ ΣΡ s& ex eonstrivitorie clim sit Ρ X T Q erit
erro velocitas in loco quovis spiralis ea est q , cum corpus eadem vi centripeta in meoio non resiliente ad eandem a centro di
duo media diversiae densitatis, tal a tamen ut in singulo medio densitas in locis diversia fit reciprocὸ ut distantia locorum 1 centro. Sumpta veth in utroque aequali a centro distantia S P, sit ratio densitatis prioris m dii ad densitatem posterioris in eo loco uta ad ι, ea ratio eadem erit in alia quacumque distantia a centro, put, in distam tia S X. Nam in utroque medio densitas in P erit ad densitatem in X ut Mado . Itaque si in priore medio densitas in P su
rit ut a , densitas in X erit in - - . a Oc
165쪽
ν γ Data igitur spirali datur proportio resistentiae ad vim centripetam, & vice versa ex data illa proportione datur spiralis. Corol. q. Corpus itaque gyrari nequit in hac spirali , nisi ubi vis resistentiae minor est quam dimidium vis centripe
XII. ut bdensitas in X erit ut , est verba SP ώκSΡsκδ S -a mi b, ergo in his duobus mediis densitates erunt ubique in data ratione a ad , , in aequalibus a centro distantiis. Si itaque data sit spiralis qaae in medio priore describitur , inveniri poterit illa quae in posteriore medio deseribi posset ;nam siumpta distantia quivis S P , fiat a ad. OS bκOS. 'UP d erit ratio quae in hac nova spirali intercedet inter lineas, liris o S & o P eorrespondentes , sive lara ansulus S in Triangulo o S P est tectiu , haec erit ratio inter sinum angulimem facit linea PS cum perpendiculari. iacurvam , & Radium , quo sinu dato jusqiae angulo , spiratis obtinetur ad hanc medii densitatem aptata. Ex quibus illumatur quod praecedit in hoc ipsis Corollario , si duae spirales in diverG mediis describantur, mediorum densitates in eadem distantia erunt ut
sumantur, Ratio inversa distantiarum est huic coniungenda, emnique ideo medio:
dc viceversa data liae ratione, datur sp cie triangulum rectangulum P S Ο, & hine datur angulus Pos aequalis angulo QPSquem spitalis cum radio continet, idei que datur Mralis. Iis enim datis & assam p-to in libet radio SP, dabitur subtangens stiralis Logarithmicae, seu tangens angu
ii QPS, es hine dato angulo quovis P S Ridabitur radiis S R cum puncto R in spira
. Clim enim vis resistentiae sit ad vim cem tripetam ut , Os ad GP, & ad dimidium vis centripe ut ὴ o S ad ὁ Ο P, seu ut o Sad O P, sitque trianguli rectanguli PS Ο Lem. 3. 3 crus O S minus hypothenusa ΟΡ, manifestum est vim resistentiae in vorem esse dimidia vi eeni ripcix
166쪽
DEMO-tae. Fiat resistentia aequalis dimidio vis centripetae, & spi-TU CQR ratis conveniet cum linea recta P S , inque hac recta corpus descendet ad Centrum ea cum velocitate , quae sit ad Velo-sheuso est tim, qua probavimus in superioribus in casu parabola: SecT. Iv. rheor. X. lib. I. destensum in medio non resistente fieri ,
Ρηor. XV. in i subduplicata ratione unitatis ad numerum binarium. τη ' ' Et tempora descensis luc erunt reciproce ut velocitates, atque ideo dantur.
O l. s. Et quoniam in aequalibus a centro distantiis velocitas β γ eadem est in spirali PVR atque in recta SP , dc
Hai rasistravia apraelis dimidis viseenerima die. Ide6que o S aequalis o P, dc puncto O in infinitum abeunte, fiet o P perpendicularis ad s P , εκ angulus P Ο S ipsique aequalis ansulus Q P S quom spiralis con
tinet, itan radio HS evanescet, convcnietque
proinde si iratis eum linea recta P S. b ' Iii subduptievia ratione unitatis . Nam in ιheor. X. lib. I. corporis in medio iron resilia ni e reista eadentis veloci insia loco quoi is P aequalis est velocitatiq.ia cori us ad diIlantiam dimidiam a centro, seu ad dista intiam , S P circulum describere potest, & preeor. I. huius ζ peris in medio recitente spiralem seu rectam P S cum qua spiralis convenire supponi:ur describentis velocitas in eodem loco P aequilis est velocitati quacum cor pus in medio non resistente M rari pote lin circulo ad integram distantiam S P. Sed velocitates corporum diver I circulos describentium in hypothesi quod vires centripetae lum reciproce ut quadrata radiorum ) sutit inter se reciproce in Radiorum ratione subduplicata pro Onwi seor. 6. pr P. q. IS. I. ad ei que velocitas in circulo cujus radiuq S Ρ est ad vel itatem in circulo cujus radius S P, ut sad t , sive uti. ad 3s 2, crit ergo velo citas corporis in medio rusi te me per reclam PS descendentis ad velocitatem de .ceridentis in medio non resistente per rectam eandem & in eodem loco P exastam tiν, ut et ad in h. Q. E. D. observandunt vero quod veloestates init ales utrinque debent esse secuntam Legem quae in reliquo motu obtinet, hoe est velocitat initialis in medio resistetite esse debet aequalis celeritati quaecrpus ad earn dem, centro distanti am in medio non resistente circulu.ir d scit betet, re velocitas in:t:alis in medio non resistente aequalis esse debet velocitati qua corpus ad dimidiam x centro distantiam in medio non resistente in circulo
Quonia::: it .ique velocitas eorroris in medio non reii lente descendentis datur theor. X. lib. t. dabitur etiam elocitas in medio resistente descendentis.
quibm ecrpora duo In medio resi- l 'Ite A in eodem iron renitente de selibunt spatium idem quam minismum R r, lunt at corporum veloci n
eni'. Lem. 4. I b. I. tempora tota
quibus corpora illa idem spatium quodvis P R describunt, lunt etiam in eadem data ratione σ 2 ad 2 , seu ut v locitates reciproce. Cum igitur pre prop.;6. O 37. IA. r. detur tempus quo Cor pus in nredio non resistetue cadendo spatium quodlibet describit, dabitur quoque tempus quo corpus in medio resistente spinam quodvis datum cadendo percurrit.
d Eadem es in sinati. Per eor. I.
167쪽
longitudo spiralis ad longitudinem rectae PS est in data ratione, ' nempe in ratione OP ad O S; tempus descensus in spirali erit ad
data ratione, proindeque datur.
Corol. 6. Si centro S intervallis duobus quibuscunque datis describantur duo circuli& manentibus hisce circulis P mutetur utcunque angulus quem spiralis continet cum radiost S: numerus revolutionum quas Corpus intra Circulorum Circum serentias , pergendo in spirali a circumferentia ad Circumfereni P Stiam , complere potest, est ut Sὶ , sive ut tangens anguli
illius quom spiralis continet cum radio P S; h tempus veroo P .
revolutionum earundem ut , id est, ut serans anguli eiu D. V odem, Vel etiam reciproce ut medii densitas. Coa
f is . V eadon iIIs ramne. SpMaia enim velocitatibus ari libra Δc uni sor- mibita delcripta sunt ut tempora qῶbus destribuntur ; undd si spiralis P Q R α recta P S, divisae Mutelligata, in partes quam minimas tc. .roportionales , quod fit dum puncta in isioῬm in spirali & in radio P S 1 eentro S aequidistant M a tem pora quibus partes illae quam minime inspirali 6c in recta P S homologae describuntur, erunt ut eaedem partes , seu in data ratione, siquidem velocitas in spirali εc in recta PS in iis punctis a centro aequi distantibus sunt inluales eidem , nempe celeritati eorporis circa idem centrum ad eandem distantiam in cireulo revolventis; ideQue per eor. Iem. q. lib. I. totum tempus deicensus in spirali erit ad totum tempus descensus in re u Ρ S per spatia n. II. homologa in data illa ratione longitudinis Is7. nempe spiralis ad longitudinem P S, seu in ratione o P ad O S.
m. φ . Si autem sinus totus sit T , eum Q o s , ad P .s , ut sinus totus ad tangentem angisi P Ο S , seu anguli aequalis
enim tempus illud revolutionum inter cidiculos duos datoa, ad tempus descenssis per pariem datam rectae P S inter circulos contentam ut longitudo revolutionum ibiarum ad partem hane rectae P S , euculis duobus inierceptam c 117 , sed mutato utrumque angulo, quem spiralis continetv cum
168쪽
m ΜΘ Corol. 7. Si corpus in medio , cujus densitas ost reciproce τυ C0R ut distantia locorum a contro , revolutionCm in Cur a quacun-Likkk A E B circa Centrum illud fecerit, & radium primum ASSacuso. in eodem angulo se uerit in B quo prius in A , idque cum S EcT. IV. Velocitate quae fuerit ad velocitatem suam primam in A reci-
proce in subduplicata ratione distantiarum a centro id est, ut A S ad mediam proportionalem inter A S dc B S corpus illud perget innumeras consimiles revolutiones B FC, CG D, dcc. facere , 5c intersectionibus distinguet radium A S m parcum radio P s longitudo revolutionum inter duos circulos datos comprehensa est ut secans anguli illius i 3 1 . Quarὸ cumdatum sit temptu descensas per partem da
tam rectae P S inter circulos datos contem tam , erit tempus revolutionum inter cidiculos ut secans anguli quem spiralis con-
gatur spiralis l.ogarithmira quae prima revolutione absolu: a , transeat per punctum
B datum in radio S R is 3. & ipiralis illa suis semper similibus revolutionibus distinguet radium A S in paries A S, B g, C S, o S die. eo. aliive proportionales cis O . Fingamus etiam quod iisdem positis quaec tu
169쪽
PRINCI pIA MATHEMATICA. Is stes S, B S, C S, DS, dic. continue proportionales. Re- DEMO-Volutionum Vero tempora erunt ut perimetri orbitarum AEB COR
BFC, CG D, dcc. directe , dc velocitates in principiis B, C, inversὁ; id est, ut AS , B S , CS . Atque tempus MLUND.
totum, quo Corpus perveniet ad centrum, erit ad tempus volutionis primae, ut summa omnium continue proportionalium T is . o h.
AS , BS , CS - , pergentium in infinitum, ad terminum pri- mumis SV; id est, ut terminus ille primus AS ad disserenatiam duorum primorum AS quam proxime. Unde tempus
c in prep. x s. comus aliquod P in me. dio justae densitatis 1 piralem illam Logarithmicam describat, dum corpus aliud Qin alio medio describit curvetiti Α Ε B F C S& in iisdem a centro S dillantiis densita.
tes duorut i mediorum erunt in data rati ne, cam in utroque medio sit c ην Ii π.cω. hujiu dc per prop. Is densitas in I eo A ad dentitatem in loco B, ut S B ad S A. Simili modo velocitates corporum Ρ & Q in Ioco B, erunt ut eorumdem velocitates in loco A a Ier mp. l . hyp. est ML hvisu ideoque in ciata rati ne; vires autem centripetae quibus corpota P & Q urgentur, siunt in utroque medio iisdem in locis eaedem per hyp. ,
dc tandem ob angulos datos quos tam spiralis Logarithmiaa, quam curva A EB continet cum radio AS, directiones motuum
in utr1que curva pates sunt in locis A &B ; Quarε postquam corpus Q prima revolutione A E B absoluta, pcrvenit in B,
per quod punctum tr.insit etiam spiralis garithmica, eodem modo determinatur ad aemulandam motum corporis P secundam Gain revolutionem absblventis, quo determinatum fuerat in loco A ut aemularetur motum corporis ejusdem P primam suam revolutionem perficientis, elim
per dem. omnia patia in locis Boc A videlicet mediorum densitates, corinporum velocitates , directiones , viresqu: centripetae. Quoniam igitur secunda sui:
- B Sy, sive ut ' S ad AB illud totum expedite invenitur.
sum est ut sucunda quoque curvae revo
lutio BF C priori A E B sit similiis ;Et simili modo ostendetur revoliniones omnes BFC, CGD &c. Sc motus corporis Q eas abiblventis ect inter se sinities. Erimi igitur revolutiones A E B, B FC, CGD Sce. ut radii A S, B S, CS bce. id est, continuit Proportionales, & ob similitudinem motuum in similibus revoluti nibus A E B, B F C &e. si ex oentro S ductus irael ligatur radius revolutiones illasserans in F , E , G dce. quae erum in revolutionibus A E B , B F C &α loea homologa , erit velocitas corporis Q in i co Ε ad velocitatem ejus in toto A ut ve- Iocitas in F ad velocitatem in B, & proiii de velocitas in E ad velocita em in B, ut velocitas in A ad velocitatem in B, id
est, s per hyp. eor. Huus ut B S ad Λ Ssed tempora quibus spatia homologa quam minima in locis E & F describuntur sunt ut spatia illa directe dc velocitates inver-
170쪽
DEMo- Corol. 8. Ex his etiam praeter propter colligore licet motus Tu COR- corporum in mediis, quorum densitas aut uniformis est , aut PQR quamcunque legem assignatam observat. Centro S , in-
tervallis continue proportionalibus SA, S B, SC, &c. descri
em. Iem. 6. lib. I. temtaus totum quo corpus Q primam suam revolutionem A E Babsoruit est ad tempus quo secundam re volutione ui BF C, persicit in eadem ra-
to liquet tempora reves utionum B F C, C G D &e. esse inter se ut sunt B S a C S &e. Clim igitur revolutionum tem
pdra sicut quantitates AS , B SI, C si ,
D S &c. prcgressitiem geometricam intcsntium cccretaei rem con tituant, tempus totum quo corpus Q, perveniet ad ce trum S erit ad tempus revolutionis primae A E B ut sumnia omnium continue
&e. perge tutum, in insnitum, ad terminum
primum Α S 3 ; porro summa illa est ad terminum primum A S l ut hie termineΑ