장음표시 사용
191쪽
Sit fluidi eujusdam densitas comproni proportionalis, ct porres ejus Lia kκὰ tramitare podraris distauriarum suar- ὰ centro reciproce pro-Mcu,n. portionali deorsum trahantur: dico quod, si distoriae sumanturSEcr. V. in progressone musta, densitates fluidi in his distantiis erunt
proire ne geometrita. Tu Eo MXVIL
Designet S centrum , dcSη, S B , SC, S D, SE distanti in progressione geometrica. Erigantur perpendicula AH, BL
CK, dcc quae sint ut fluidi densitates in locis A, B, C, D,
maeres e minia, aut, quoa idem est , si tines .mamur distantiae ut earum recia procae sint in progressione arithmetica. Scilicet tres quantitates dicuntur esse intontinua proportione Musica sive Harii, ita, si prima sit ad tertiam ut disserentia priamae dc secundae ad dissirentiam secundae dc tertiae. Et si sit series plurium quantitatum talium ut terminus quivis sit ad subsequentem, ut disserentia prioris , termino inier- medio, ad differentiam huius intermedii arim. II. posteriore termino, ea senes dicitur Pro- x7s.
192쪽
& ipsius gravitates p specificae in iisdem locis erunt
Cor. L. --ra inter duor primos termi- κω es ad disse entiam inter μω qin is alios asu Ie dias termistiu, toties mulctanu didirentia sua a primo q-1 sum semini ister Πλmum di Hiimum , ad eum ultimum.
Nam iisdem litteris adhibitis quae ins periore Corollario clim ex natura progr. sit A: C α Μ : N, sitque A m B - Μ ; est B- M: C M: N, ergo in hoc calii, diseserentia Al inter duos primos terminos A& B est ad differentiam re inter B & C ut secundus terminus B semel mulctatus dis. streotia sita primo , clim se unicus te minus inter primum A dc ultimum C , ad eum ultimam C. Clim ergo sit B - Μ: Cm Al r N, uicis. sim B- Μ: Μ α C: N, dc dividendo B- ΣῖIrum C - N: N; esimque su CB, est B a M: M α Brpt, sed, per desin. progress est B : N D: P ergo B - 1 Al: Al α D: P & vicissim B - α Μ: D α Al: P , sistit vero duo termini inter Adc D, unde rursus in hoe casu constat Corollarii veritas. Item edin sit B - Σ Μ: D α M: P & vietam B-- 1 31 : M-D: P, exii dendo B a 31r Ad α D - P: P, cumque sit D-P C erit B 3 Al: M C: P chmque per defin. progr. st C: P E: Rerit B-3 M: Metet Et ore vicissim B- 3 Ae: Eze Afra sum τδε inter Αα Ε tres ternunt et Camque eadem recura at semper demonstratio si numerus terminorum proil re nis inter priamum & ultimum sit si , i incundus terminus dieatur B , disserenita a primo M , ultimus terminus fit F, disseremia 1 praecedente Remi, N: Rα B -κM: R. Q. E. Dem. Cor. 3. In D lane Boiisseerindus tre- minus rexra multa tres sita a ferentia a 3rimo Wisint termini inter ei m o ultimum es ad .ltimiam ut faΠ:im duorum primorum termμ
Liquet utique ex eollatione duorum peta ecte: cum Corollariorum , unde est semper, B - νε Μοῦ FαAκB: Eκ F.
Theor. I. 2 Viset terminui prominoria Μιμ es aequatisfacti duorum primorum rediminorum μύο se secundum terminum miles missatum uerenti ua . primo quin suissemini a primo ad eam uii ιmum terminum.
numerum terminorum inter A & F hie e primit numerum terminorum a primo ad Ehoc ultimo annumerato, unde patet Theor.
Theor. II. Termini omnes progressia 3 Μ-scasum imo se sicut quantitates quarum recia procae eonfisuunt progressumem Arithmeticam. Nam per Theor. prius termini A: B. C.
B B-Μ B-1Μ B-3M B-Σ Μ' Sed hae sunt reciprocae quantitatum B, B M, B Bl, B-3 Μ, B -n a quae sunt in progressione arithmetica ; Ergo dcci Scholium. Progressio musica potest est. decrescem & omnia ut prius Procedent , mutatis signis negativis in pofitiva.
193쪽
C ad D &c. Et hae ductae in altitudines AB, B C., C D, DEM D E , dic.' vel, quod perinde est, in difflantias S A, SR SC, TU CUR&c. altitudinibus illis proportionales, lὶ conficient exponen- 'ς
sint ut harum pressionum summae, differentiae densitatum AA H T MacBI, BI- CK, &c. erunt ut summarum differentiae , HIL
Centro, asymptotis SA, Sae describatur hyperbola quaevis, quae secet perpendicula AH, BI, CK
q C frient ei menter presso - , &e. Qinia puet ut is dein strationa ars seu qua intra pressombiu proponionales, Prop. XXI. .
194쪽
DSΜo- est, ut Aa, Bb, &c. Est enim, ex natura hyperbolae, SA
Et simili argumento est aequale B b , &c. i γSunt autem Aa, Bb, Ce, &c. continue proportionales, & propterea disserentiis suis A a-B b, B b - Ce, &c. proportion les ; ideoque disserentiis laisce proportionalia sunt rectangula ip u q, occ. ut summis ditarentiarum Aa - cevet Aa - Dd summae rectangulorum t p - uq vel ip - uq--Wν. Sunto eiusmodi termini quam plurimi, & summa omnium disserentiarum ,
puta A a V, erit summae omnium rectangulorum, puta aethn, proportionalis. Augeatur numerus terminorum & minuantur
distanciae punctorum A, B, C, &c. in infinitum , dc r Etangula illa evadent aequalia areae hyperbolicae et i h n, ideoque huic areae proportionalis est disserentia A a - Ff ' Suniantur iam distantiae quaelibet, puta S A, S D, S F , in progrestione musica , & differentiae A a - D d, D d - Ff erunt aequales ; dc propterea differentiis hisce proportionales areae rhix, xιnet aequales erunt inter se, & densitates S r , Sx , Set, id est, A H, D L, F N, continue propor- portionales. E. D. Corol. Hinc si dentur fluidi densitates duae quaevis, puta A H 6c B I, dabitur area thiu, harum disserentiae tu respondens ; oc inde invenietur densitas FN , in altitudine quacunque S F, sumendo aream i h net ad aream illam datani t hi ti ut est differentia A a - Ff y ad differentiam Aa - B b. Scio
ideoque etiam comitiuὸ proportionales. t Dre langula evadem aequalia mea huerbesua O isa a , per Leaiiaa III. lib. I.
u Sumamur iam distamiae quaelisbet, puta SA, SD, SFin progrisone
musica , & earum resprocae A a, D d, F s erunt in progressione arithmetica, ide que disteremiae Aa Dd, Dd - Ff
195쪽
Simili a mentatione probari potest, quoa H graVita particularum fluidi diminuatur in triplicata ratione distantiarum a centro, & quadratorum distantiarum S A, S B, S C, occ. S A rab. S A eub. S A cub. proca nempe insumantur in progressione arithmetica; densitates AH, BI, CKecc. erunt
m progressione geometrica. Et si gravitas diminuatur in quadruplicata ratione distantiarum , dc cuborum distantiarum reci-
Inarithinorum inveniri poterit. Et vicevem , data densitate F N invenietur alia r o S F: nam per prop. superiorem dabitur Aa - F f, dc inde dabitur Fs , --
de invenietur F s r -- 4. a vese fluidi elasticitas i teris paribus , vi comprimenti, ide que densitati per hisp. proportionalis est , patet per hoc corolIarium ex datis altitudinibus inveniri posse elasticitates, di via
196쪽
Sacae. V. tias in pro 'essione geometrica. Erigan- P a o P. XXII.
DEM in progressione arithmetica; densitates AH, BI, CK, &c. TUCQR erurit in progressione geometrica. Et sic in infinitum. Rur
- Ce - , &α proportionales, ideoque disserentiis hisce proportionalia sunt rectangulat p, u q, &c. ut & summis dis
ma omnium di fierentiarum, pura A a . - ε- F f ο - ν , erit summae omnium rectangulorum , Hua Z i h n , proportionalis. Augeatur numerus terminorum & minuantur distantiae putastorum A , B , C , 3ce. in infinitum, Sc rectangula illa madeae aequalia areae hyperbolicae E i h n, ide que huic areae proportionalis est dicterenesa
Sumamur iam distantiarum qua Uibet, puta S,S D, S F dignitates S A a
SCu - SFω - i in progressione missica, ideoque earum reciproc
tur perpendicula RH, BI, CKSc. quae sint ut fluidi densetates in locis A , B , C , D , E &e. Et ipsius gravitates specificae
in iisdem locis erunt - , sdce. Finge has gr.ivitates uniformiter con
tinuari primam ab A ad B , secundam a B ad C , tertiam a C ad D, dce. Et haeductae in altitudines A B , B C, C D , D E &c. vel quod perinde est, tu distantias SA, SB, SC, dce. altitudinibus illis proportionales , eonficient exponente
Ece. Quare cum densitates sint ut harum pressionum lummae , differentiae densitatum A H - B I, BI - C Κ; dcta erunt ut sum- au . AH Bimatum dilimentiae
s Ba-, &α fiat eadem constructio, quae supra in prop. XXII , dc densitarum dil-r . A Η
erunt aequales & propterea differentiis hisce proportionales areae thix, xl n Eaequales erunt inter se, & densitates S e , Sκ, S E, id est, A H, DL, FN eo timὰ proportionales. Quare si gravitas particularum fiuidi diminuatur in ratione quacumque multiplicata distantiarum, emius exponens sit n, ec dignitatum S A . - ., S B .-S Cu - i,&C. reciproca nempe SA. SA. SA. SA. - . SAT /sc. . ν ας. quibus S A data est sumantur in propessi ne arithmetica ; deissitates ΑΗ, B s, C Κ,&α erunt in progressione geometrica. si itaque loco n stri tur numeri 3. , , s &c. in infinitum ue dc rursus tabbantur O, - I. - 2, - 3 dce. in infinitum , patet veritas scholii in hypothesi densit, ris vi comprimenti proportionalis. Quam do autem n α o , seu quando gravitiis p. Malarum fluidi in omnibus distantiis e S R. SA ad est . est
197쪽
sus si gravitas particularum fluidi in omnibus distantiis eadem Da M sit, Ac distantiae sint in progressione arithmetica densitates erunt in progressione geometrica, uti Vir Cl. Edmundus Harisius invenit. Si gravitas sit ut distantia, & quadrata distantiarum in progresssione arithmetica, densitates erunt in progressione geo- sκci. U. metrica. Et sic in infinitum. Haec ita se habent ubi fluidi Pao λcompressione condensati densitas est ut vis compressionis , quoci perinde est, spatium a fluido occupatum reciproce ut haec XVII. vis. Fingi eossunt aliae condensationis leges, ut quod cubus via comprimentis sit ut quadrato-quadratum densitatis, seu triplica-
s B, ideoque si istantiae siunantur In proinyctione arithmetica , densitates erant n ressitatae geometrica , ideoque distantiae iura ut densitatum logarithmi , quia crescentibus distantiis ire progressione
arithmetiea, decrescunt densitates in progressinae geometrita. Quia verue per expernmenta cis arisis densita' .rerit, i aeteris paribus ac potitumum manente eodem calo ris gradu , si in vis eo rimens vel -- cura iὰ, salum quam noxis. in amsuem experimentis possumus subjicere, vis
autem acrem inferiorem con primens, eae
teris eclam paribus, et tralis sit ponderiinis totius incumbentis , ideoque propoditionalis altitudini mercurii in baronietro , dc pretae mea panicularum aeris gravitatis in minoribus saltem 1 tellaris superficie distantiis , constans censeri Qssit, patet squod, caeteris paribus, aeris densitatem. , ad holusenodi distantias minores , metirip a nus per i inarithm ,r. Sed de his plura videre est in Elementis Rerometriae Ciar. I si, in libro xu. Phoreno,nia , & insectione ies. ἰΗ1d γηamicae Gar. Daniesiae Bermulti.
198쪽
DE -- ta ratio vis eadem cum quadruplicata ratione densitatis. Quo τυ CQR a casia, si gravitas est reciproce ut quadratum distantiae a ce
et d. reciproce ut cubus distantiae. Fingatur quod
saeusti cubus Vis comprimentis sit ut quadratoinubus densitatis, & si SE . U. gravitas est reciproce ut quadratum distantiae, densitas erit re-Pηον. ciproch in sesquiplicata ratione distantiae. Fingatur quod vis et v, ,. Comprimens sit in duplicata ratione densitatis, & gravitas r XVII. ciproce in ratione duplicata distantiae , & densitas erit reciproce ut distantia. Casus omnes percurrere longum esset. Caeterlam per experimenta constat quod densitas aeris sit ut vis comprimens Vel accurat . vel saltem quam proxime: & propterea densitas aeris in atmosphaera terrae est ut pondus aeris totius inecumbentis, id est , ut stitudo mercurii in barometro.
a i t. as --ι terem relangum essem, Satius erit generalem sormulam tradere, ex qua singu'i rasius prolubitu eruantur. Iisdem igitur, quae si pra , positis, sit distantia variabilis S C mae, altitudo CD m dx, densitas C Καν, vis tota comprimens in loco C v , vis gravitatiς ibidem uet g ; α erit gravitas specifica in eodem Io o ingν 17 , di haeeducta in altitudinem evanescentem C Dum d ae conficient momentum pressionisgId π - - dv. Sumitur autem fluxio d et, negative, quod erescente distantia ab po dus incumbens v dea sicat. Sit gravitas g ut - , densitas ν ut v semiprimeruis dignitas v s, ideoque ν η
ut d v. Loeo ε & d et, substituantur hi valores in sequatione g 3 d x α --d υ , Me Idae et l
ν Λ d '. aequationibus non aequalitates, sed proportiones tantum expon.mus, & ideo messicientes dasas M. a gligimus. bi in ultima aequatione ponatur . I aid est, densitas vi eomprἰmenti proportio
rates progressione arithmetica ;& earum fluxiones, seu disserentiae nascentes m-a 3 dx - dx--, adeoque & - eos stantes erunt , dc propterea quantita
199쪽
si inaequatione-3 n a et: COR Ponatur ν nulla & x infinita , quantitas PORUM. constans a erit infinitri , eontra laypothe- LIBER- - . . SECUN D.
Iam vero si gravitas est res proce ux sacr. Uquadratum distantiae, id est si m R a P o
oantinia proportionales , pre lam. ILιib. II. . Si in eadem hypothesi ponaturm r , fit - α - - , unde si capiantur quantitates - constantes , seu distantiae uia Nogressione geometrica , emat etiam - cinctantes , 3c ideo dense' in progressione geometrica . Pro sus ut in prop. x XII. XXI. δc initio schiis tu hujus demonstratum est. Sumptis stue
re L in qua non potest esse m m I . nec . α x a neque re o , ut patet. Ut a
tem determinetur olor mi antis Q , primum definienda est altitudo S F , ubi densitas ν evanescit. Nam si altitudo illa fi nita est & dicatur ma , post ναο, habebitur O α-- a s --δc hine
A I - n reciprocε. Fingatur quod cubusvis comprimentis sit ut quadrato - quadratum densiatis , seu ν ε ut v 3 , ideoque
x ι, ac proinde densitas 3 ut x rixi pro- ω, seu damstas, reciproc/ ut cubus distantiae. Fingatur quod cubus vis comis primentis sit ut quadrato - missius densitatis , hoc est , ν ut v , adeoque
re I reciproed, id est, densitas reciproclin sesquiplicata ratione distantiae. Fimgatur quod vis comprimens sit in dupli-ia qua munione debet esse -- num ume-; stra ν in υ δ ι &. hanc erat κ π , , ae prom. ν ut at reci-rm positivis, seu n numerus Psivus unis te procὸ , sive densitas est reci mee ut di- minor, ut crete tabus dis Mais aes decres' stantia. Quae Newtonus in scholio di- α densitares ν , α contra. si estitu xerat. Vide monumenis Academiae R SF ad quam densitas revanescit, i. finita se seseruiatum anni 1 Ii σ, ubi hanem supponariir s erit coi itans Z os Rc proin te iam tractat Varignonius , quem hici L 2 1 luuius sequuti.
200쪽
PROPOSITIO XXIII. THEOREM A XVIII.
Si fluidi ex particulis se mutuo fustientibus compositi densitas fi ut compresο , vires centrifugae particularum sunt reciproce proportion tes distantiis centrorum suorum. Et υice Versa, parriculae υi Dbus quae sunt reciproce proportionales disiax riis centrorum suorumst mutuo fugientes componunt suidum elasticum , cujus densem est compressimni prσονrionalis. THIncludi intelligatur fluidum in spatio cubico A C E, dein
compressione redigi in spatium cubicum minus a e e; & parricularum, similam situm inter se in utroque spatio obtinentium , b distantiae erunt ut cuborum latera/B, ab; & mediorum densitates reciproce ut spatia continentia A B cub. 8ca b cub. In cubi majoris latere plano AB CD capiatur quadratum D P aequale lateri plano cubi minoris d b; oco hypothesi, pressio, qua quadratum D P urget fluidum inclusum, erit ad pressionem , qua illud quadratum d b urget fluidum inclusum, ut medii densitates ad invicem, linc est, ut ab cub. ad A B cub. Sed pressio, qua quadratum D B urget fluidum inclusum, est ad pressionem, qua quadratum D P urget idem fluidum , ut quadratum D Bad quadratum D P , hoc est, ut A B quad. ad ab suad. Ergo, ex aequo, pressio qua quadratum D B urget fiuigum , cst ad Vestionem qua quadratum d b urget fluidum , ut a b ad AB. Planis FG H, fgh, per media cuborum ductis, distinguatur fluidum in duas partes, & hae se mutuo prement iisdem
misibiu Oe. Predion 's enim in unoquia que spatio sunt ubique aequales 3 nam cum fluidum uniforme lupponatur, si pres sio ininor esset in uno loco quam in alio, si