장음표시 사용
221쪽
Y, & area Z in ratione P IGR -Z. Et propterea si areae Y DEMO & Z simul incipiant & sub initio aequales sint,
additionem aequalium momentorum pergent esse aequales , Li,fκdc aequalibus itidem momentis subinde decrescentes simul eUa- saeuuo. nescent. Et vicissim, si simul incipiunt α simul evanescunt, SEO ULaequalia habebunt momenta dc semper erunt aequales: id adeo quia I
fi resistentia Z augeatur velocitas una cum arcu illo C a , qui in ascensu corporis describitur , diminuetur; oc puncto in quo motus omnis una cum resistentia cessat propius accedente ad puninam C, resistentia citius evanescet quam area Y. Et contrarium eveniet ubi resistentia diminuitur. Iam
c x His per atiniamem aequalium m inrauorum pergrare esse aquater , Clinienim semper erescat area V in ratione PIGR -ν, &area Zm ratione PIGR- Σ; si areae illae I & a smul incipiant &initio aequales sint , erum etiam areae 'IGR - r&PIGR- 2 sub initio mquales 3 &, ob datam incrementorum Meae r&areae Zad PIG R-PΙG RiLa auonem , inerementa illa sicut & P IG R- rae PIGR - Z ninnebum semper aequali , uti iiib initio.. Quare etiam areae r& aequalibus itidem momentis subinde deerescent & simul eyanescent. y 3 ei ius mamescet να--α Y ,. et mronisi Nam si area Z semper aequalis sit areae r , fimul in. Ira. eipient simulque evanescent. Incipit a Lem area F infra ostendetur ubi
tecta R G incidit in rectam Q E , α desinit ubi recta R G incidit in rectam S Mssimque Q & S puncta fixa per arcuum C B, C a longitudines determinata pereonin. , Quare si resistentia Z augeatiuvel minuatur ita ut oesset in puncto arcus C a insta vel supra a poseum, citius vel tardius evanescet area Z quian area ri quia hare non desinit nisi ubi corpus pervenit ad lacum a. Resistentia igitur , seu area a nec major nec minor esse potest quam arear, si simul inrisam S simul evanei-
222쪽
DE Mo- Jam vero area Z incipit desinitque ubi resistentia nulla est , m c 'hoc est, in principio motus ubi arcus CD arcui CB aequatur&-R G incidit in restiun Ο Ε , & in fine motus ubi arsaeuso. Gus CD arcui Ca aequatur &RG in it in restiun ST
ideoque tibi I E F & I G H aequalia sunt: hoc est purconstructionem ) ubi recta R G incidit successive in rectas si Ε
& ST. Ρroindeque areae illae simul incipiunt oc simul evanesicunt, & propterea semper sunt aequales. Igitur area IE F- IG H aequalis est areae Z, per quam resistentia exponitur,& propterea est ad aream P I N M per quam gracitas exponitur , ut resistentia ad gravitatem. E. D. Corol. I. Est igitur resistentia in loco infimo c ad vim gra-Vitatis, ut area 3η ΙEFad ' aream P IN M. Corol. a. Fit autem maxima, ubi area PIHR est ad aream ΙΕ F ut O Radio ra. Eo enim in casu momentum ejus nimirum P IG R - Y ' evadit nullum. Corol.
E lastidis in rectam S T. Η- p tent per constractionem, qua areae PI E Q, PIGR, PIT S laeta sunt Meubus C B, C D , C a proportionales. a Hoc est per conseremonem ubim. Ubi enim F evaneicit , fit quoque
autem o R α Ο s, ubi recta R G incidis in rectam S T, & area r definit ibidem. b Ad aseam PINM. Nam evanescente arcu CD, evanescit ipsi propo tionalis area P I G R , & hine evanescit etiam area I G H, fitque o R α Ο Ρ, a
223쪽
Corol. 3. Hinc etiam innotescit velocitas in locia singulis : DE MO- iope uuae est in subduplicata ratione resistentiae , & ipso mo
tus Inmo aequatur UelOCItati corporis in eadem Cycloide une omni resistentia oscillantis. . SECUND. - SEcae. VI.
IEF, ac proinde ubi area PIHR est ad aream I E F ut O R ad O Q. c d Sine omni resistentis oscilla s.
Quoniam velocitatis quadratum in loco quovis D est ut resistemia, seu ut area rin medio resistente; &tu CB CD pr prop. LII. lib. I. ) seu ut PI EQ- l I G R ' in medio non resistente; si velocitates illae dicamur m M simque C&E Fnuitaret constantes, erit υ C κ Υ ,
Et quia initio moriis , clum corpus est in , velocitates Illae aequalis sunt , ob resisteresam respectu vis a gravi ue oriundae evanestentem; erit initio minus C κ Γα
evanescente. Et similiter initio motus est
neglecto termino evanescente Q R κQ Ε . . . C κ Q RQuare erat anatio minus re
224쪽
aro PHILO so PHIAE NATURALI sDa Μο- taeterum ς ob dissicilem calculum quo resistentia & velo Tu C R citas per hanc propositionem inveniendae sunt visum est pro- n, hi positionem sequentem subjungere.
invenitur constans Q - - , a L. a, atque adeo area P IEQ αba L. E - batia m
225쪽
κ - Tu Co niatur valor ipsius a , Newωnia a C 'Pom adstritimo ad mlMum logarissimorum rem. Trabitur. LIBER Scholion. Hemismius Nop. 73. & . decUFP. lib. 2. PM--- geminam constructionem SECT. dedit , qua corporis in curva qualibet OD P oricillantis resistentia velocitatis quadrato IX. portionalis definitur, dc Neura uinam pro PR L. M. cycloide e structionem ope togarist caesimplictorem reddidit. Dissicile autem non ieit hanc NEWTOMI consi actionem ε 'revocare ad logisthmicam per punctum
226쪽
Lia E R Si recta a B aequalis sit eycloidis arcui quem eorpus Oscillando δε- SecuND. scribu , ct ad si 'la ejus puncta D erutantur perpendicula D Κ , quae simi ad longitudinem penduli ut rementia corporis in arcus punctis correspondentibus ad vim gravitaris: dico quod disserentia inter arcum descensu toto descriptum re arcum ascensis raro subsequente descriptum ducta in arcuum eorundem semi- summam , aequalis erit area B Κ a a perpendiculis omnibus D Κ
Exponatur enim tum cycloidis arcus, oscillatione integra descriptus, per rediam illam sibi aequalem a B , tum arcus qui describeretur in vacuo per longitudinem A B. Bisecetur A Bin C, 6c punctum C repraesentabit infimum Cycloidis punerum , & s erit C D ut vis a graVitate oriunda , qua Corpus in D secundum tangentem cycloidis urgetur, eamque habebitrationem ad longitudinem penduli quam habet vis in Dad vim gravitatis. Exponatur igitur vis illa per longitudinem. CD, & vis gravitatis per longitudinem penduli, dc si in capiatur D Jc in ea ratione ad longitudinem penduli quam habet resistentia ad gravitatem , erit D Κ exponens resistentiae Centro C & intervallo C A vel C B constituatur semicirculus B Ε e A. Describat autem corpus tempore quam minimo spatium D d, & erectis perpendiculis D E , d e circumferentiae occurrentibus in E & e, erunt haec ut velocitates quas Corpus in vacuo, descendendo , puncto B, acquireret in locis D ded. Patet hoc per prop. Ll I. lib. 1. γ. Exponantur itaque hae
velocitates per perpendicula illa DE, de; sitque D F velocitas quam acquirit in D cetulando de B in medio resistente. Et si .
fimum c elaidis pianctum. Nam cycloidis punctiam infimum areum quem corpus in medio non resistem oscillando describit in duas partes aequales dividit. t D eris C D in vis a gravisa oriunda die. patet' per demonstri prope L I. lib. I. h ) suam habes iis i. D ad vim grata is, pcr cor. I. Prop. LI. o noti εο a. lib. I.
227쪽
eentro C lc intervallo C F describatur circulus Ff M occurrens DE M tectis de&AB in f Sc M, erit M locus ad quem dein-XVceps sine ulteriore resistentia ascenderet, & eis velocitas quam acquireret in d. Unde etiam si F designet velocitatis mo-saeus D. mentum quod corpus D describendo spatium quam minimum SEcT. VLD d, ex resistentia medii amittit; & sumatut CN aequalis erit A locus ad quem corpus deinceps sine ulteriore resistentia aLaenio .cenderet, & MN erit decrementum ascensus ex velocitatis ilia G. sius amissi e oriundum. Ad d f demittatur perpendiculum F m, dc velocitatis D F decrementum Fg a resistentia D Κgenitum , erit ad velocitatis ejusdem incrementum fm avi C Dgenitum, ut vis generans D Ic ad vim generantem C D.
ῆ Eνιι M laevi ad q-m m. C F D duobus triangulis F D C, F h g eo- tamdem enim veloci intem haberet empus minis , & angulus f F m aequalis angulo in D , ae si seelusa omni resistentia per- C F quia si ex angulis rectis m FD, FCeurrisset ipatium CF -C D, R ideo per subducatur communis angulus m FC, re modo demonstrata in loco d haberet ve- manebunt anguli aequales s F m , C FD. lo itatem 4 f, & in loco Μ nullam. Tria igitur triangula F m L F h g 3c FD C h Ad vim reseranum C D. sunt aequales angulos habent, suntque proindo
enim velocit tum elementa dato tempo- similia.
ris momenro genita , ut vires generantes m Fh sex Μ N. Clim sit C Μ s t 3. lib. 1. 3 aequalis C F , di C N aequalis C e seu C h, i O. smilia triangula θει sunt angulo hCg evanescente, est ΜN CH enim anguli ad m , h, dc D recti,--CN CF-C, F h.
228쪽
Dam ηὶ ideoque summa omnium MNκCu aequalis erit summae Tu Co omnium Dd κDς Ad puninio mobile M erigi semper in- PQRV telligatur ordinata rectangula aequalis indeterminatae C M, motu continuo ducatur in totam longitudinem A a , dc ex illo motu descriptum sive liuic aequale reinuis Paον. gulum Aa κἰ aB ' aequabitur summae omnium MNκCM, ideoque summae omnium DdκDΚ. id est, areae ΒΚ, a.
Corol. Hinc ex lege resistentiae & arcuum C a, C B dissorentia A a colligi potest proportio resistentiae ad gravitatem quam prori . Nam si unisermis sit resistentia D Κ, figura BKΤa rectangulum erit sub B a dc DR ; & inde rectangulum sub ἔ B adκ A a erit aequale rectangulo sub Badc DX, dc DK aequalis erit ἰ A a. Quare cum D Κ sit exponens resistentiae , dc longitudo penduli exponens gravitatis, erit resistentia ad gravitatem ut . a ad longitudinem penduli; omnino ut in prop.
Si resistentia sit ut velocitas, figura B ΚΤa ellipsis erit quis proxime. Nam si corpus, in medio non resistente, oscillatione
D Μ cte. Quoivam per modo demonstrata) ΜNκCΜ DdκDΚ, erit lumma omnium Μ N κ C Μ a ualis summae omitum D dκ D Κ, modo simul incipiant simulque desinant. Incipit autem summa omnium D dκ DK in B & desinit iaa , & siimma omnium Μ N κ CΜ incipit in A, & ideo si desinat in a , erunt su mae illae aequales. . summis m. Erigmtur ad punctum Α perpendiculum ΑΡΣΙΑ iungatur P C, & ductis per Μ & N ae a perpendiculis ΜΗ, N L, ab; erit semper ΜNκCM α ΜNκΗΜ; ideoque fiordinata variabilis Η Μ ducatur in totam longstudinem A a , erit trapeetium L P b a
229쪽
integra describeret longitudinem B A, velocitas in loco quo- DE Μ vis D seret ut circuli diametro A B descripti ordinatim appli--CQR cata D E. Proinde cum B a in medio resistente , dc B A in medio non resistente, P aequalibus circiter temporibus destri' saeuso
bantur; ideo e velocitates in singulis ipsius B a punctis, sint
quam proxime ad velocitates in punitis conesponcientibus longitudinis B A, ut B a ad B A erit velocitas in puncto D in medio resistente ut circuli ves ellipseos supet diametro Ba. p ito. tibiis cree- rem a is μινώ--. Quia resistentia mia mendo corporis velocitatem Wmpus producit in discensi h B ad C ,. illudque eontrahit in astanta λ C ad a, Iongitu- nes B A in medio non resistente & B ain medio resistente, earum die longitudi ' panes 'oportionales, aequalibus esse citer temporibus describuntur. Sunt a tem velocitates ut spatia eodem temporis momento descripta ri ue quare vel Diates in partibus longitudinum BA, Baeo raespondentibus sunt quam proxime ut longitudines B A, B a, id est, in ratione vitti Centro Ο & diametro A B d scribatur circulus BEHa, sitque ΒΔ in hae figura ad B D in figura textus , ut B a ad B Α, hoc est , ut velocitas in loco Δ in medio resistente ad velocitatem in
ioco D in medio non resisterue , dc duri et . ordinata o Κ ; erit etiam ς ob figura.
rem similitudinem ad DE ut Baab Β Α, ideoque ut velocitas in medio resistente ad vel talem in medio non resistente.. Veloeitas igitur in medio resistente e it semper ut ordinata variabi
230쪽
B a descripti ordinatim applicata; ' ideoque figura BKVTa ellipsis erit quam proxime. Cum resistentia velocitati proportionalis supponatur, sit O V exponens resistentiae in puncto medio O ; dc ellipsis BR I Sa, centro O, seminibus o B, Odescripta, figuram BKk a, eique aequaleis tangulum Aa,eB O , aequabit quamproximδ. Est a st B O ad O V kB O ut area semi- ellipseos . . o s ad O R. B O : id est, A a ad O V ut area semicirculi ad quadratum radii , sive ut 11 ad 7 circiter : Et propterea a ad longitudinem penduli ut corporis oscillantis resistentia in O ad ejusdem
Quod si resistentia D K sit in duplicata ratione velocitatis figura B KVTa sere parabola crit verticem habens V re
eris quam proxime. Cum enim eκ mo- db demonstratis velocitas in loco quovis sit semper ut ordinata E ad cire selum, per Dp. resistentia Δ in hae figura, vel D Κ in figura textiis, sit semia per ut velocitas E, E, erit Δ Κ ut Δ E ;& quia ΔΕ a Δ natura circuli erit etiam ΔΚ uta ΔΜ ΔΒ, ct ideo figura BKVTa ellipsis, cujus centrum O, semiaxes aΟ,&Ο , si OV exponat resistentiam in puncto medio oaxis a B. r in area semi - elii eos hujus ad O Vκ B o. Est enim area illa α A a κ , a B
e str. ). in area Iemiciretili ad quais tum radii m. Area ellipseos cujuscumque est ad rectangulum sub axibus in ratione data, nimirum in ratione areae circuli ad quadratum diametri Σs . lib. I. ὲ circulus enim est ellipsis cujus sum axes aequales, unde area semi-ellipsera BKVTa est ad quartam partem rectanguli lissi axibus , seu ad rectangulum 1 tib ι emiaribus o V κBo, ut area semicirculi ad quadratum radii. Sed si circuli radius sit 7 , erit semiperipheria 2 a circiteri S area semicirculi 7κ ii, ideoque area semici eae; ad quadratum radii in II ad 7 eirciter. Est igitur A a ad O V ut vi ad
Iongitudinem penduli ut corpo is oscit. Iantis resistentia in o ad eiusdem pondus. t Fere parabesa eriti ordinata Δ E ad semicirculum B E Η a iti finem 28o. est semper ut velocitas in loco Δ medio resisterae, & ex natura cireuli )ΔΕ ma Δκe, B, & Dp. resistentia Δ Κ est ut velocitatis quadratum , seu tu Δ Ε , adeoque Δ Κ est ut rectangulum a κ Δ B sive ut o B--Ο ΔΜ ΟΒ - Ο Δ l M est ut OB ' - Ο Δ
Sed in Parabola cujus vertex soret V ocaris V o differentia ab. 'ii Limam seret -- per ad disserentiam quadratorum ordiuatarum in utriusque absci1Iae extremo din'arum, in data ratione. Iam vero si ex Κ d
catur in axem perpe'dicularis Κ P, est Κ Δα Ρ Ο & P o est di fierentia abscissariun VP&Vo, est ΟΔ PK ωdinatae ita P, ideoque est OB' - ΟΔ' differentia quadratorum ordinatarum in punctis P &D,