장음표시 사용
201쪽
viribus, quibus premuntur a planis AC, ae, hoc est, in pro- DP Μο artione a b M A B : ideoque vires centrifugae, quibus hae pre ' QR siones sustinentur, sunt in eadem ratione. Ob eundem parti- Liκgii cularum numerum similemque situm in utroque cubo , Vires quas particulae omnes secundum plana FGH, fgh exercent SEcT. et in omnes , sunt ut vires quas singulae eXercent in singula.. k, i Fbgo vires , quas singulae exercent in singulas secundum pla- Τ u . onum FGH in cubo maiore, sunt ad vires, quas singulae eXer- t, in singulas secunἡum planum fg h in cubo minore , ut, ad AB, hoc est, reciproce ut aistantiae particularum adinv cem. E. D.
- Et vice versa, si vires particularum singularum sunt reciproce ut distantiae, id est, recinoce ut cuborum latera A B , a b ; summae virium erunt in eadem ratione, & pressiones laterum D B, d b ut summae virium; & pressio quadrati D Pad pressionern lateris D B ut a b quad. ad A B quad. Et , ex aequo, pressio quadrati D P ad pressionem lateris d b ut a b cub. ad A B cub. id est , vis compressionis ad vim compressionis ut densitas ad densitatem. E. D.
Simili argumento , si particularum vires centri fiagae sint
reciproce in duplicata ratione distantiarum inter centra, Cubi Virium comprimentium erunt ut quadrato-quadrata densitatum.
statim rederet fluidum magis presim, atque ita presso ad aequalitatem restitueremi is ut in cau1 4'. Prop. XIX. ε S ui virgumentia Oe. Sunto D . Ac d particularum alliant:ae iv lpatiis cu-h--ACE & ace qua iunt ut A B dc ah, earumdem vires centrifugae ut D s d . . recipioia, fluidi dentitates E& e, & vires
c primentes erunt ut E & ε Nam clim sumnae virium quas om simul parseulae exerceat in latera D B , d b, sint ut singularum particularum vires erunt illae summae virium ut D, d reci- Proci, seu ut ab . M A 8 directὸ ; depressio quadrati D P ad pressionem quadrati DB ut ab ad AB. ; undeQx aequo preiso quadrati DP ad preisonem quadrati d b, hoacit, vas comprimens in ipatio A C E ad vim conιprimentem in spatio ace, ut a b. εμ ad ΑΒ a i Sunt autem densita
202쪽
Si vires centrifugae sint reciproce in triplicata uel quadruplicata ratione distantiarum, cubi virium comprimentium erunt ut quadrato cubi vel cubo-cubi densitatum. Et universaliter, si D ponatur pro distantia, oc E pro densitate fluidi compressi, & vi- . res centrifugae sint reciproce ut ditantiae dignitas quaelibet D n, cujus index est numerus n; vires comprimentes erunt ut latera cubica dignitatis E n ' , cuius index est numerus n-- a : &contra. Intelligenda vero sunt haec omnia de particularum viribus centrifugis quae terminantur in particulis proximis, aut non longe ultra difffunduntur. Exemplum habemus in Corporibus magneticis. Horum virtus attractiva terminatur serὰ in sui generis corporibus sibi proximis. Μagnetis virtus per interpositam laminam serti contrahitur, Bc in lamina sere terminatur. Nam Corpora ulteriora non tam a magnete quam alamina trahuntur. Ad eundem modum si palliculae fugant alias suis generis particulas sibi proximas, in particulas autem remotiores virtutem nullam exerceant, ex huiusmodi particulis componentur fluida de quibus actum est in hac propos tione. Quod si particulae cuiusque virtus in infinitum propagetur, opus erit vi majori ad aequalem condensationem 'm
M Q. E. D. Et viee vena, si vim comprimemes si in densitatam digni intra E-, e , ut abal , ABO ' η; erit pressio quadristi D P ad pressionem quadam a b in e vim ratione, di pressio quadrati D B est ad pressionem quadrati DP, ut AB acta b ue & , ex aequo, pressio quadrati D Bad pressionem quadrati d b, abo ad
AB , seu ut d ad D u. Sum autem viam p. uti latum singularum ut tanaiae virium, hoe est, ut pressiones laterum D B , d b; quare vim pavicularem centrifilostru reciproc/ ut distantiarum dignitaira D n, d . Q. E. D. Iam fi lam a semantur mimeri a I , ac , patet veritas eorum vae initio scho. lii dirat Neutonus. s in ero vi mam m. Non enim solum vincenda eriti per eo res.sonem vis centristo particularam prommariam, sed & remotiorum vis erit s.
randa P ex bra. in infinitum prostis,
203쪽
hiis quantitatis fluidi. An vero fluida elastica ex particulis se Mo- mutuo fiagantibus constent, quaestio physica est. Nos proprietatem fluidorum ex ejusmodi particulis constantium mathema ηἰR: uia demonstravimus , ut philosophis ansam praebeamus quaestionem illam tractandi. SECT.UL
suantitates materiae in corporibus funependulis, qMrum emtra Uessiationu- ὰ centro Apenseris aequaliter distant, sint in rati ne com sed ex rarione ponderwm re ratione duplicata temporum Ostillatis-m in vacuo. Nam velocitas, quam data vis in clara materia, dato te pote generare potest, est ut vis oc tempus directe, re materia iuverse. Quo maior est vis vel majus tempus vel minor m retia, eo majm generabitur velocitas. Id quod per motus im
mutione di Das cMouariu soponitur sepora iunependula, comparantur , in v idibus aut ialtem in exiguis magni circuli arcubus oscillari. . Pondere autem orporem hie duplici de ea a x ninteria..parum distinguuntur , primo , quod nom in amni-gravis n. alem secum dum rationem massariun i rem idipsimi ex isto Theoremate postea deducatur, e .ν. λει secundo , in diversis locis gravirus diaversa esse potest ut quidem per mentis constat 3 ideoque emporum duo. eum in diverssi iis locis spectatorum ratio materiae eadem --vir, non vet. ratio pondetnu
204쪽
gem secundam manifestum cst. h) Jam vero si pendula elusidem sint longitudinis , Vires motrices in locis a perpendiculo aequalitor distantibus sunt ut pondera : ideoque sit corpora duo oscillando describant arcus aequales, & arcus illi dividantur in partes aequales ; clim i tempora quibus corpora describant
singulas arcuum partes correspondentes sint ut tempora oscillatio-
culo aequauiser dis ibus sunt tu PO L .-. Nun si Pendula ejusdem sim longit dinis, Cycloides plane similes εc aequales describent et In unaquaque autem Cycloide, vires quibus corpora in locis quibus iis D , vel d accelerannar, sunt ad totum singuli corporis pondus in locis altissimis, ut arcus Cycloidis inter loca proposita D, d& pum ti infima C , e, ad totas semi- cloides Cor. Prop. LII. Lib. r. γ tam si semicycloides sint aequales & loca D & d ape encliculo aequaliter distent, arcus D Crede erunt aequales, ideoque vis qua eorpus acceleratur in prima Cycloide in pu Eho D, erit ad totum ejus Corporis pondus , ut vis qua corpus acceleratur in altera Dcloide in puncto d, ad totum eius corporis pondus. Unde vicissim , vis qua acceleratur primum corpus in puncto D, est ad vim qua alterum acceleratur in puncto d , ut totum prioris corporis pondxu, ad pondus alterim corporis , ideoque si pendia πι ejusdam longitudinis viris more cer m. Q. E. D. i Cum remora quom eorpora describani bistulat arcuum partes t aequales correcte denur sint m tempora esciuatis num
. Sint arcus D C, d c atquηIes , secem rumue in partes aequales infinitὸ parvas DE, EF&α, de , ef&e., eκ punctis D, E, F&d, e, f, ducantur perpendiculares ad axem , D Μ, EN, FR; D m, e v, s ri liquet .lineolas M. N dc. in n, Μ R & m e ex Ia1 thesi fore mmdes; Ex natura autem gravitatis, velocitat acquisita in E erit ad velocitatem aequisitim in F ut Radix altitudinis ΜN ' - - ad Radirem Μ R , sc pariter velocita, ae Μ Ν m n& MR-m enuisita in e , erit ad velocitatem aequi u 'tra in E est ad vel vitatem stam in f ut m', ad ε m t, eum et u F, ut velocitas acquissia in e est ad velocitatem aequisitam tu's, &. ι vicis.
205쪽
lationum totarum, erunt veJocitates ad invicem in cor- DEMorcspondentibus oscillationum partibus, ut vires motrices & to- mta oscillationum tempora directe & quantitates materiaeciprocer ideoque quantitates materiae ut vires & oscillatio- skebeso. num tempora directh oc velocitates reciproch. Fὶ Sed Ve-SΕe1.VLlocitates reciproce sunt ut tempora , atque ideo tempora tecte dc velocitates reciproce sunt ut quadrata temporum 1 Tu hoc oc propterea quantitates materiae sunt ut Vires motriccs dc qua- XIX. drata temporum, id est, ut pondera dc quadrata temporum.
v eissim veloeitas adquisita in E , est ad
velocitatein ama tuam in e; ut velocitas acquisita in F est ad velocitatem acquisiram in s. Sed quoniam artus E F & e fF G & sunt infinite parvi aequales iuniformiter describi ceuienda iam, & tempora quibus de: cribuntur erunt in ratione recipro a velocitatum, ideoque tempus quo deictitatur Ε F est ad levipira quo describitur e s, ut velocitas in e ad vel
inatem in C, & tempus quo desieribitur F G est ad tempus quo deteribitur i g , ut velocitas Li t ad velocitatem in F α c. sed rationes velo 'itarum in E& e, in F Sci&e. sunt temper m*uiles inter se, ergo crancnes temicram quae illarum iuuet inveri es t aequales inter te; orgo tempora quibus fingulae partes arcus D C describant ar, lunt ad tempora quibus correi itisentes partes arcus d e describuntur, in eadem ratione , ergo omnes antecedentes di omnes consequentes summando , omnia simul tempora quibus percurruntur omnes partes arcus D C, hoc est , totum tempus oscillationis per D C , est ad omnia tempora quibus partes arcus d c percurruntur, hoc est ad totum tempus Olcillationis per d c ut tempus unum quo quaedam pars arcus D Cperearritur, t si ad tempus quo pars correspond.ns arcus d c percurritur. Q. E. D. t Dum veloeitases ad inticem in
ubus esse omnes in eadem ratione, ideoque ut vel Itas acquisita in E ad veloci- x12. talem acquisitam in e , ted cum arcas D Edc d e infinitὸ par, i supponantur, celisen.
dum est, vires m trices uni Ermiter age re , dum illi areas percurruntii r I mmus ergo per eas productus crescet tam pro ratione virium iplar anx quam pro ratione
temporis quo arcus illi describuntur iuve ex demonstratis pro ratione icmporum osciIlationum integrarum , motus vero ex Des. 1. lib. I. aestirn aiar a P. 2 tono ex velocitate dc materia conjunctim, ergo velocitatos productae in correspondentibus oscillatisnum partibiu eνunt ut virer matriss ct tota oscillat tim ter ra a recto e qioniiιares min. rιa inisTre.
β Sed veloci es si ι reciprnee u sempora. demonstratis ad notam superiorem i liquet velocitatem acquisitam in E esse ad velocitatem acquisitam in e ut velocitas acquisita in puncto quo vis areus D C ad velocitatem acquisitam in puncto correspondeilli areus d c ι Ex eadem demonstratione liquet velocitatem ac quisitam in E esse ad velocitatem atqai fi- tam in e , in ratione reciproca temporum quibus describuntur arcus E F , 3c es; haec
verδ temporas esse ut tempora olcillati nuin integrarum, unde veloc itas acquiritain puncto quovis arcus D C, est ad velocitatem acquisitam in puncto correspondenti arcus de, in ratione reciproca temporum oscill itionum totarum. Q. E. D.
206쪽
orol. I. Ideoque si tempora sunt aequalia, quantitates materiae in singulis corporibus erunt ut pondera. Corol. a. Si pondera sunt aequalia, quantitates materiae erunt ut quadrata temporum. Corol. 3. Si quantitates materiae aequantur , pondera erunt reciproce ut quadrata temporum. Gres. 6. Unde cum quadrara temporum, Caeteris paria
bus, sint ut longitudines pendulorum; si oc tempora oc quan
tita drata temporum, finiatur jam arem b emajor vel minor arcu d e sed quantitates nisteriae & pondera utrinque maneam e dem quae privi, & pariter ob IMehrones tatem curvae b d e , temptu oscillatiociis per b c , are uale erit tempori oscillatioius Per d c , ideoque quicumque sint arcus descripti si modo maneat penduli longis eudo, eademque sit utrinque cyclois, Pa riter verum erit quod quantitates materiae sunt ut pondera & quadrata temporum oscillationum. λ Unde eum piadrata re πι-
reris paribus sns in long diser pmd- m. Fingatur L C, t c in uana este , & areis DC , de neo sumi aequales prius , sed similes , sive proportionales longitudinibus L C, l e , secetur D C in y-rtes aequales inter se, & d e in partes simi es , ita ut sit D E ad d e ut L C ad I e doctisque perpendiculis D M, EN, d mae n &α liquet ex similitudine figurarum altitudines MN & mn, Μ R&m r&α esu etiam inter se in ratione L C ad l c, Vclocitates vero quibus describuntur arcus E F, F G sunt ut MN ad ΜR, re velocitates quibis deseribuntur arcinς fg sunt tu, mn ad in m r, sed quia M N & m n , Μ R & m r , sunt in ead
raclene Ideoque & earum radices, vicis
fiι. , velo itas qua des libitur E F est ad velocitatem qua deseribitur e f, ut velocitas qua di lcrit,itur F G ad velocitatem quo destribitur g , S sic ordine perΠ-
tuo demonstralii tur volo itates quibus successivae partes torres iis id rates utriusque e Vae Percurruntur sere ii mper in eadem rZtione ἔ tem vora vero quibus arc similes describuntur lunt directe ut illi arcus & inveraὸ ut velocitater i ergo cum ra
207쪽
titates materiae aequalia sunt , k pondera erunt ut longitudines Da Mo
universaliter, quantitas materiae pendulae est ut pondus 6c quadratum temporis dire id, & longitudo pen- saeues n. duli inverse. SECT.VI. Corol. 6. Sed 6c in medio non resistente quantitas materiae pendulae est ut pondus ComparatiUum dc quadratum temporis Τὰ ho ...directἡ dc longitudo penduli inverse. Nam pondus comparati-X I x vum est vis motrix corporis in medio quovis gravi, ut ' supra explicui ; ideoque idem praestat in tali medio non resistente atque pondus absolutum in vacuo. C
io arcuum correspondentium Q imper eadem , nempe ratio L C ad I c , ut & r fio velocitatum quibus percurruntur illi arcus, singula tempu cula quibus describu tur particulae arcus D C eamdem rationem habebunt ad tempustula quibus correspondentes particulae arcus d c percurruntur ;ideoque tempora tota oscillationum per
D C & d e erunt directὸ ut lonsitudines L C fc t e, & iuven/ ut velocitato in punctis quibusvis correspondecubus arcuum D C Sc d e , puta in punctis infimis C & c , sed quia ex hypothesi quod pondera sunt aequiua & quia quantitates materiae sunt
aequales, velocitates fiuit proportionales Radicibus quadratis altitudinum, velocitates in punctis C & c erunt ut M C ad m et ted ex similituditae curvarum & arcuum est m e ad M C sit 1 e ad LC, ergo vel citates m punctis C & e sunt ut/L C ad te, ideoque tempora oscillationum integrarum in arcubus D C, de erunt
ad - , unde quadrata temporum erunt U I cI. C se I iam ad - uve ut L C ad I e , hoc L. C l cest ut longitudines pendulorum. Q. E. D. l Pondera erisu in languttaines pem lorum, o tinιtersaliter qtιant iras mat riae Penduis es tu PAEAM ct quadrarum temporis diris er Iovis udo Penduli inissere. Sint duo pendula Λ δc B , quae mat ria , pondere dc oscillationum temporibus discrepent, seo aequalis sint longitudinis ιTimi. ILex Theoremate, erit quantitas materiae pendulae in A ad quantitatem materiae pendulae in B, ut pondus oc quadratum temporis oscillationum pendulu Α conjunctim ad pondus & quadratum temporis oscillationum penduli B conjunctim; sit tertium pendulum C, cujus materia Ac pondus e dem sint cum materia & pondere penduli B, diversa verb sit utriusque longitudo, longitudo penduli C erit ad longitudinem miliai B sive penduli A, perinde enim est ex hyp Rhesi i ut quadratum temporis ita Pendulo C ad quadratum temporis in pendulo B , quod itaque aequale erit quadrato temporis in pendulo C, per longitudinem penduli multiplicato & per longitudinem penduli C divisis ; Unde quantitas materiae in Α erit ad quantitatem materiae in B sive in C, ut pondus & quadrarum temporis in A conjunctim ad pondus in B , sive in C , Cum quadrato temporis in CSc longitudine penduli Λ directἡ dc longirudine penduli CInvenὸ: unde liquet quantitatem materiae in Α esse ad quantitatem materiae in C, ut pondus & quadratum temporis in pendula A directe & eius longitudo inversi ad pomdus 3c quadratum temporis penduli C dis rQJ Sc eius longitudinem invered. Q. E. D. iυersaliser. Unde si & tempora & quantitates muteriae eadem sunt, pondera sunt ut longis tudines pendulorum directS
208쪽
194 ΡΗII. os o PHIAE NATURALI sDκ Mo- Corol. . Et ' hine liquet ratio tum comparandi cor-Tu C R- pota inter se , quoad quantitatem materiae in singulis ; tum
x RV comparandi pondera ejusdem corporis in diversis locis , i'
is cognoscendam Variationem gravitatis. Factis autem ex-s quam accuratui imis InVenI temper quantitatem --
Pa ον. teriae in corporibus singulis corum ponileri proportionalem esse.
Corpora funependula quibus , in medio quovis, resi tur in ratione momentorum remporis, re corpora funependula quae in ejus m iraris specificae medio non resistente moventur , ostillationesin ycloide eodem rempore peragunr, ct arcuum partes proportrionales simul describunt. Sit B cycloidis arcus, quem corpus D tempore quoVis in medio non resistente oscillando describit. Bisecetur idem in C, ita ut C sit infimum ejus punctum; & erit vis acceleratrix qua corpus urgetur in loco quovis D vel d vel E ut ' longit do
ex pendulorum longitudinibus , oscillationum temporibus, & ponderibus eorrori , datur ratio quantitatum materiae in
cillationes tardiores sunt , gravitatis a&o, emeris paribus , minor est , cum in e
dem pendulo pondera sint reeiprocε ut quadrata temporum per ιαν. III. ). Sed de his plura ad prop. XX. lib. III. dicentur. Quanta autem in illis experime tis adhibenda sit dilisentia , Clariss D. de Matran ea qua solet perspicuitate dc elegantia exponit in monumentis Acad.
i79. Quia numeri oscillationum aequa- Iibus temporibus 1 diversis pendulis absoluvendarum sinu reciprocὰ ut tempora quihus singulae olestiationes fiunt 473. lib. I. , numeri oscillationum aequkibus temporibus peractarum erunt e per cor. V. p p. huius in composia ratione ex ratione subduplicata directa ponderum & su duplicatis rationibus inversis massarum Eclongitudinum pendulorum , sive, quoniam pondus est ut iactum ex massa in vim gravitatis acceleratricem, erunt praedicti os cillationum numeri in ratione subduplicata directa virium gravitatis acceleratricium di ratione subduplicata longirudinum pem lorum inversa ξ, ac proinde pendulorum inaequalium, sed eadem vi gravitatis agistatorum , numeri oscillationum eodem tempore absolvendarum sunt in reciprocasibduplicata ratione longitudinum pendulorum , Ac numeri oucillationum in duobus pendulis aequalibus erunt in subduplicata ratione virium gravitatis. Hare est regula quam ad comparandas corporum gravitates tradit Ioh. Bernoulli in Actis Erudit. Lips. an. IT I.
q langitudo anus m. Per de monstr. Prop. LI. α cor. II. Prop. LII Lib. I.
209쪽
do arcus C D vel Cd vel C E. Exponatur vis illa per eundem DE MO- arcum ς & cum resistentia sit ut momentum temporis, ideoque 'VVdetur, exponatur eadem per datam arcus Cycloidis partem C O ,& sumatur arcus O d in ratione ad arcum C D quam habet 'arcus o B ad arcum C B r 6c vis qua corpus in d urgetur in Secr. VI. medio resistente , cum sit excessiis vis C d supra resistentiani P oriC O, exponetur per arcum O d , ideoque erit ad Vim, qua Trib. corpus D urgetur in medio non resistente in loco D , ut ar- XX.cus O d ad arcum c D ; propterea etiam in loco B ut arcus o B ad arcum CB. Proinde si corpora duo, D, d exeant
de loco E , & his viribus urgeantur : cum vires sub initio sint ut arcus CB dc O B; erunt velocitates primae dc arcus primo descripti in eadem ratione. Sunto arcus illi B D, ET B d, arcus reliqui C D , O d erunt in eadem ratione. Proinde uti res , ipsis CD, O d proportionales manebunt in eadem ratione ac sub initio , 6c propterea corpora pergent .arcus in e dem ratione simul describere. Igitur vires & velocitates Acarcus reliqui CD , O d seniper erunt ut arcus toti CB, O B,
Nam, dato temporis momento, velocita- M. I.
tes genitae sunt ut vires c I 3. Mi. I. N
210쪽
& propterea arcus illi reliqui simul describentur. Quare corpora duo D, d simul pervenient ad loca C dc O, alterum quidem in medio non resistente ad locum C , & alterum in medio resistente ad locum O. Cum autem velocitates in Cic o sint ut arcus C B , O B ; erunt arcus, quos Corpora ulterius pergendo simul describunt, in eadem ratione. Sunto illi CE dc O e. Vis qua corpus D in medio non resistente retardatur in E est ut C Ε, & vis qua corpus d in medio resistente retardatur in e est ut summa vis C e 8c resistentiae CO, id est ut Oe; ideoque vires , quibus Corpora retardantur, sunt ut arcubus CE, O e proportionales arcus c B , OB ; proindeque velocitates, in data illa ratione retardatae, manent in eadem illa data ratione. Velocitates igitur 6c arcus iisdem descripti semper sunt ad invicem in data illa ratione arcuum C B& O B ; oc R propterca si sumantur arcus toti A B, a B in eadem ratione, corpora D, d simul describent hos arcus, & in locis A dc a motum omnem simul amittent. Isochronae sunt igitur oscillationes totae, & arcubus totis BA, B a proportion tes sunt arcuum partes quaelibet B D, Bd vel BE, B e quae simul describuntur. E. D. Corol. Igitur motus velocissimus in medio resistente non incidit in punctum infimum C, sed reperitur in puncto illo O, quo arcus totus doscriptus a B bisecatur. Et corpus subinde pergendo ad a, ii em gradibus retardatur quibus antea accelexabatur in descensu suo a R. ad O.
manet me arm Ο d, evanescet etiamare C n, seu punctum d mmo, & Dcum C simul eoincident. t In eam rarione. sum enim .elocitates , ut spatia dato temporri mo mento desaipta, tam in medio resistentequam in medio non resistente a 3 .) u D m Oea. Si sumatur arcu AC aequalis CB, & deinde arcus a B ad arcum Λ B in data ratione o B ad C B;
em, & in locis A & a motum omnem simul amittent. Nam cum sit semper adi eis C E ad O e ut C B ad O B, seu ut C A ad O a, ubi arcus C E aequalis eva det arcui C Α, fiet quoque arcus o e in qualis armi Ca & quia motus in medio non resistenrct extinguitur in A, ob C A mC B ; in medio resistente extinsuetur quoque in a, eo quod velocitates in Iocis Ε, e & A , a sint in data ratione. κ Sed reperitur in puncta illo O s , quo m. Nam ratio velocitatum in m diis resistente dc non resisteme est semper 'eadeu,