장음표시 사용
211쪽
PROPOSITIO XXVI. THEOR ΕΜΑ XXI. tu Co
Corporum funependulorum, quibus remitur in rarione velocitarum , LIBER Oscillationes in Oeloide stat Ischronae. SECUND.
ν Nam si corpora duo , a centris susperisionum aequa- ζYViliter distantia oscillando describant arcus inaequales ,& Velocita-T REOR. in arcuum partibus correspondentibus sint ad invicem
arcus eadem in punctis emetespondent Aus ut ndac D , in Ο & C, in e & E ; sed
corporis in medio non resistetite ositatanistis velocitas maxima est in Ioeo infimo C , di iisdem gradibus retardatur in ascena , ' bus antea accelerabatur in descensu ;quare molin velocissimus in medio resistente reperinu in Ο, & iissiem deinde gradibus retardatur in ascensu, quibus a te accelerabatur in deseensu.
summa ad invicem in eadem areuum ratio et cumque velocitatum incrementa vel de erementa, dato temporis momento geni . a
velocitarer semper erunt in arein mi B a , D e: ighων istaeitates, fi sint in aliquo ea- D in arein toti, manebum semper in eάdem ratione. Sed in prineipio motus , tibi mrpora incipium ἡ locis B , D descendere Omeus ilios B a, De describere, ideoque ubi resistentia nulla est , virer sunt arcu-bM illi Impora aler. Vires igitur & velocitates , Zc arcus descripti , ac proinde & arcus describendi, manent sem' per in data ratione. Quare corpora duo
212쪽
DE Mo- arcus toti; resistentiae velocitatibus proportionales, erunt etiam Tu COM invicem ut iidem arcus. Proinde si viribus motricibus a gravitate oriundis, quae sint ut iidem arcus, auserantur vel addansgeusn reiistentiae , erunt differentiae vel summae ad invicem
SEcT. VI. in eadem arcuum ratione : Cumque velocitatum incrementa
P a o r. vel decrementa sint ut hae differentiae vel summae, velocitates aeuhoii. semper erunt ut arcus toti: Igitur velocitates, si sint in aliquo TXI. casu ut arcus toti, manebunt semper in eadem ratione. Sed in principio motus, ut corpora incipiunt descendere & arcus illos describere, vires, Cum sint arcubus proportionales, generabunt velocitates arcubus proportionales. Ergo velocitates semper erunt
ut arcus toti describendi, & propterea arcus illi simul describen
Si corporibus funependulis res iis in duplicata ratione velocitarum , disserentiae inter tempora Oscillationum in medio resistenteae tempora oscillationum in ejusdem gratiraris specificae medio non res lente , erum arcubus oscillando descriptis proportionales quam proximλ Νam pendulis aequalibus in medio resistente describantur arcus inaequales A, B; dc resistentia corporis in arcu A, erit
4 adsimul pervenisit ad punaum infimam C ;& eodem modo probanu quod arcus C a, CE simul desieribant. Sehes . Neutonus in duabus propositionibus praecedentibus ostendit cycloidem esse curvam i chronam , quam alii ta hronam appellant, ) non tantem in m dio non resistente, sed etiam in medio quod in ratione momentorum temporis , & in medio quod ratione simplici velocitatis retastit ; verum quaenam sit eurva illa taut chrona in hypothesi resistentiae vel itatum quadrato proportionalis non indicat. Elegantissimas hujusce problematis selutiones dedere celeberrimi mathematici Euterus tom. q. Acad. Petrop. & tom. 2.Μ hanItae nemon Clarissi Berninitimin monumentis Acad. Reg. Scientiarum Parisi an. 173o. Novam viam qua curvae tautochronae in medio quolibet resistente possint inveniri aperuit D. Fontaine in iisdem monumentis anni 17 4. et pendulis AEquatiatu in me dio re seme deferibaruar Mesu D quatis Act B , ad pleniorem huius demonstrationis evidentiam , fingatur illos areus in tocidem paries quam minimas inter se aequales dividi , singulae in utroque arcuerunt totis arcubus proportionales dica turque a dc b, si medium aut non resisteret aut resisteret in ratione velocit tum, velocitates initio particularum qu
213쪽
ad resistentiam corporis in parte correspondente arcus B, in du- DB M
plicata ratione velocitatum, id est , ut ΑΑ ad B B, quam pro--CQR ximδ. Si resistentia in arcu B esset ad resistentiam in arcu ut AB ad A A, tempora in adibus A & B serent ae-sεcuso.
quassa , per propositionem superiorem Ideoque resistentia A A in arcu A, vel A B in arcu B, efficit excessum temporis in arcu Λ supra tempus in medio non resistente; &
resistentrumvis correspondentium a & , , sorem in arcus ipsi A &B At in medio resistem te in ratione duplicata velocitatis paulo diversa erit ine velocitatum ratio , sed Propter exiguam rationem resistentiae adve intem, negligi poterit haee differentia, & supponi potest velocitates manere in ratione arcuum quam proxim/; quod si ita supponatur res emia sep ris in quo vis puncto arcus A eris ad resistentiam comporis in parre eomspondeme arcus B , sicut quadrata velocitatum in punctis illis toria respondentibus eorum arcuum , id est ut quadrara ipsorum aretium A A B Byuam proaeime. Designetur vero velocitas nitio arcus a per D A, dc initio artus , per v B. Designetur porro resistentia initio arcus a per m A A , dc resistentia initio arcus 6 per m B B ; In medio non restente tempuscula quibus fingulae particulae a & ι describemur erunt aequalia ac per Prop. II. lib. r. dei nentur Verd 1 νν.
per Τ , Cum ergo in medio resistente prointer velocitatem imminutam longius fiat tempus in inversa ratione velocitatum ut x excessu ille tempusculi quo arcus a desieribitur in medio resistente supra tempusiculum quo idem arcus in medio non rem stente percurritur habebiturque ex hypothesibus υA - m A A: v A T: T--x. Ut inveniatur ratio hujus excessus x ad excessiim tempusculi quo arcus deseribitur in medio resistente secundum Legem dis,plicatam velocitatis , siupra tempusculum T , quo idem arcus in medio non re. stente percurritur; supponatur arcum B in tali medio defetibi ut Astentia in punctis a aresta A, B ad resistentiam in puinctis correspondentibus h arcus B , sicut A est ad B , ideoque sicut velocitates initio a cuum illorum, sive eum resistentia in a sit
m A resistentia in b fingatur eiam A B ,
214쪽
iesistentia B B essicit excessum temporis in arcu B supra tempus in medio non resistente. Sunt autem excessus illi ut vires emcientes Α Β & B B quam proxime , id est, ut arcus A dc B. s. E. D. Corol. 1 . Hinc ex oscillationum temporibus, in medio resistente , in arcubus inaequalibus factarum, cognosci fossunt tempora oscillationum in eiusdem gravitatis specificae medio tic
sistente. Nam differentia temporum erit ad excessium tempo. is in arcu minore supra tempus In medio non resistente, ut b disserentia arcuum ad arcum minorem. Co
ctim ergo resistentiae sint in ipsa ratione vel iratum, velocitates demptis resistentiis manebunt in eadem ratione, in ratione nempe arcuum describendorum a dch, qui ergo ariualibus temporibus deseribemur, ted tempus quo describitur arcu-
Ius a est I in x ergo si reineruia in arcu B, sive bsium AB ideoque velocitas situ B - m AB tempus quo des betur arcus, erit etiam T in x. Cum autem revera resistentia initio areus b non fit m A B sed m B B, si ν is e eessia tempusculi in quo b describitur in
medio resistente iuxta quadrata velocitatum si pra tempus quo idem arcus in medio non resistente percurritur , erit tempus T in x ad tempus T . reciproce si ut velocitas u B - m AB quae supponebatur, ad velocitatem υ B - m B B , eritque ideo et, B- m DB ad υB-m A B TH- x, ad T - - ν , cum ergo substractio quaαὰ tum m B B, m A B ex velocitate v P pr ducat excessus x & ν supra tempus Τ , oportet ut illae quamitates m B B , m A B, finireciproc/ut x&ν, sed mAB&mBBsum ut A ad B , ergo A est ad B, sicut x est ad ν, ideoque excessus x temporis arcus A in medio resistente in duplicata ratione velocitatis sepra tempus in eodem arcu A in medio non resisterae, est ad ex sum si emporis arcus B in eodem medio sit a tempus in eodem arcu B in medio non resistente, ut arcus A ad arcum B, cumque idem ratiocinium in omnibus arcubus quam- minimis adc 5 instituti possit, lummae om
nium excessuum tem pus utorum in arcu A, erit ad summam omnium excessuum tempusculorum in arcu B ut d ad B. Q. E. D. Quod excessus a & ν tempescesorum
quibus describuntur arcus a Sc b , in medio resistente juxta rationem duplicatam velocitatum, supra tempus quo describeremur in medio non resistente sitit ut/δc B, ex superiori demonstratione alio modo erui potest. Nam manentibus quae illic posueramus est. G A AA:υA T: T--xest etiam simili ratione υB - mBB:υBαT: T- ac dividendo in utraque proportione fit
Sed ob exiguitatem resistentiae velocitatis respectu assimi potest v A-m A A pro υ A, dc υ B - m B B pro v B, unde est quam proximε. υ Arm A A T: πυ B t m B B 'T: ν δέ reducenda priores rationes utriusque proporticnis ad
cesum temporit in ocu minore supra temus in medio non ressente ua deeremia arivum ad areum mix-- Φ. Tempus per arcum est ΤΗ-x, tem pin per arcum minorem Β, est T-- ν , ergo differentia temporum I in x - T -
215쪽
Corol. a. ς Oscillationes breviores sunt magis isochronae, Da Mo- dc brevissimae iisdem temporibus peraguntur ac in medio non ru COR- resistente , quam proxime. Earum vero quae in majoribus h cubus fiunt, tempora sunt paulo majora , propterea quod saeus li
XXILreultentia In Ge Icentu corporis qua tempus proau Itur, ma- SEcT. quam
' o ratione longitudinis in descensu descriptae ,
' T κ Eo idc excessiti temporis in minore adim rupra tempus in medio non resistente est ν juxta denominationes norae superi ris, sed ex Theoremate est x:ν α Ar Bergo divideudox- ῶνα Α - a: B, hoc
mvA B α ΤtΤ itaque in primo rim. II. termino neglecto quod infinita parvum supponitur ob exiguitatem arcus But & quantitatis m respectu υ fieti A m AB:υ AB UM PTHI, est ergo Τα Τ .a , sive mim in medio non resistente idem ae in medio resistente quis proxime. Sed oscillationes in medio non resistente iunt Isochronae , hine erso oiciliationes breviores in medio resistente ad has quam proxime accedentes cineris sivit ma
oenis &e. Quo major est resistentia, ea minor fit, coeteris paribus, eorporis descendentis velocitas, & ideo, manente desce siti longitudine , tempus per resistentiam producitur , & contra, 'ub major est resistentia , ed citius extinguitur velocitas corpori insita in ascensi. e M . his pro raiicine I πα-ῖ-
216쪽
resistentia in ascensu subsequente qua tempus contrahitur. Sed& tempus oscillationum tam brevium quam longarum nonnihil produci videtur per motum medii. Nam corporibus ta descentibus paulo minus resistitur , pro ratione velocitatis, occorporibus acceleratis paulo magis quam iis quae uniformiter progrediuntur: idque quia medium, eo quem a Corporibus accepit motu, in eandem plagam pergendo, in priore casu magis agitatur, in posteriore minus; ac proinde magis vel minns cum corporibus motis con irati Pendulis i tur in descensu magis resistit , in ascensu minus quam pro ratione velocitatis, & ex
utraque Causa tempus producitur.
PROPOSITIO XXVIII. THEORΕΜΑ XXIII.
Si corpori funependulo in chide Oficilianti resistitur in ratione -- mentorum temporis, erit ejus resiflentia ad vim groiratis ut
excessus arcus degeense roro deseripti sepra arcum ostensu subst-quente descriptum , ad penduli longituainem duplicvitam. Designet B c arcum descensu descriptum, C a arcum ascensa descriptum; & a disterentiam arcuum : & stantibus quae in propositione XXV. Constructa ic demonstrata sunt, erit vis, qua corpus oscillans urgetur in loco quovis D , ad vim resistentiae
rus. Longit ρ in descens. desciipta semper maior est quam longitudo descripta in ascensis subsequente , si medium resistit; cum longitudines illae in medio non re. stente sint aequales cs h. lib. I. . Nam corporibus tardeserituri ,
seu quorum velocitas continuo decrescit, ut fit in eo orum asiaenis, paulo minus rem ttitur, pro ratione velocitaris; & corporibus aeceleratis, seu descendentibus, paulis magis resistitur quam iis quae uniformiter progre- .iuntur. In priore enim casa, medium eo quem a corporibus aec it motu , quem que aliquandiu ob inertiam materiae conservat, in eamdem plagam persit eum corporibus , & ob vali liorem ab initio motus continue decrescentis acceptam impressi . nem magis agitatur, ae ponde magis conspirat cum corporibus motis, nunoremque iis resistentiam objicit. At in secundo in su - motus, perpetuo acceleretur, m
dium ex priori,u ictibus non satis velocem motum accepit, & ideo eius celeritas novis impulsibus continuo augenda est ut possit cum corporibus motis conspirare ; hincque emporibus acceleratis resistit magis quam uniformiter progredientibus. Pendulis igiatur in destenta magis resistit medium , in astensii minus qu- pro ratione velocitatis ,re ex utraque causa tempus producitur. Namqvb maior est resistentia in deleensu, &minor in ascensu , eo magis producitiar
217쪽
ut arcus CD ad arcum C O, qui sin semissis est disserentiae il- Dam'
lius A a. Ideoque vis, qua corpus oscillans urgetur in
dis principio seu punlio altissimo , id est, vis graVitatis , rition
int ad resistentiam ut areus cycloidis inter punctum illud supremum oc punctum infimum C ad arcum C O ; id est si arcus duplicentur ut cycloidis totius arcus, seu dupla penduli longitudo , ad arcum a. s. E. D. PRO-
vitatis in illo puncto , ut patet eri cor. prop. LI.
218쪽
λβο quod corpori in Ochide ostilianti resistitin in dupveais ramiane velocitatis: inruenire resistentiam in locis pngulis. Sit B a arcus oscillatione integra descriptus, sitque C inmmum cycloidis punctum , dc CZ smussis arcus Cycloidia i lius , longitudini penduli aequalis; & quaeratur resistentia corporis in loco quovis D. iacetur recta infinita O si in puructis O, S, P, ea lege, ut si erigantur perpendicula o x, ST, PI, s E, centroque O & asymptotis O fe, O describatur hyperbola TIGE secans perpendicula ST, PI, 12 Em TI 6c E , 5c per punctum I agatur x F parallela asymptoto O si occurrens asγmptoto O K in X, oc perpendiculis ST oc ΓΕ in Lec F) fuerit arca hyperbolica PIE se ad arcam hyperbolicam
P IT S ut arcus B C cescensu corporis descriptus ad arcum c a ascensu descriptum, dc area I E F ad aream ILT ut O si ad O S. Dein perpendiculo M M abscindatur area hyperbolica P I N M quae sit ad aream hyperbolicam P IE O ut arcus CZ ad arcum B C descensu descriptum. Et si perpen3iculo R G abscindatur area hyperbolica PIGR, quae sit ad aream P IE aut arcus quilibet CD ad arcum B C descensu toto descriptum;
erit resistentia in loco D ad vim gravitatis, ut area IEF - ΙG H ad aream PIN M. Nam clim vires a gravitate oriundae quibus corpus in locis D , a urgetur , sint ut arcus c Z, C B, CD , Ca, & i) arcus illi sint ut areae P IN AI, P I E PIGR,
P I T S ; exponantur tum arcus tum vires per has areas respective. Sit insuper D d spatium quam minimum a corpore descendente descriptum , ω exponatur idem per aream quam mi
λ sim in a evi cte. , per demon- Π , cur issi fiat in area , per. irata in prop. LI. & Cor. a. prop. LII. construetionem. lib. I.
219쪽
I E F, . erit ad areae P IGR decrementum RGgr, seu Pκοα. VI.
mora. Cum enim torpus e loco D descendit in arcu D C , decreicit area P IG Risue arcui proportionalis, & cum ea de resicis quoque area I G H.
220쪽
s . , ,. R decrementum RG gr detur, erit incrementum areae xxIx. Y ut P I G R Y.rioata VL si V designet vim 1 gravitate oriundam , arcui de-ieribendo C D proportionalem , qua corpus urgetur in , ocR pro resistentia pon r; erit V -R vis tota qua Corpus urgetur in D. Est itaque incrementum velocitatis ut V-R& particula illa temporis in qua factum est conjunctim: Sed & yelocit' ipsa est ut incrementum comemporaneum spatii descripti directe oc particula eadem temporis inverse. Unde, cum resistentia per hypoclitan sit ut quadratum velocitatis, imcrementum resistentiae per m. o. erit ut velocitas oc imcrenientum velocitatis conjunctim, id v est, ut momentum spatii lc V - R coniunctim; atque ideo, si momentum spatii detur , ut V R; Hest, si pro vi V scribatur cius exponens P IG R, dc resistentia R exponatur per aliam aliquam aream Z, ut P IGR - Z. Igitur area PIGR per datorum momentorum subductionem
tis aucrementum area: -- IE F- IG Hest ad deerementum datum
seu PIGR-Υ, ad datum rectangulum D PIΚ ; manifestum est quod increme rum areae r sit ad P I G R - Υ in data ratione, nimirum in ratione decrementi dati R G g t ad rectangulum datum Q P IK. r ER Mone it renuruum tu, ut oee. c 13. - , t P, Lemma II. east 3 . idque statim apparet e nam si velocitas dieatur υ, cum sit Rut , erit dR ut avd v,
est ut U- Rδc momentum temporis con junctim , velocitas autem ipsa ut lucr mentiam spatii directe di momentum temporis inven/ ; erit ex aequo, velocitas in suum incrementum ducta, ut U-R 3c inincrementum spatii e iunctim, in qua ratiaene est etiam incrementiun resisteritiae c eae . .