장음표시 사용
231쪽
axem O μὶ ideoque aequalis erit rectangulo sub S B a & Da --o se quam proximo. Est igitur rectangulum sub ἰ B a oc Aaequale tectangulo sub l B a & O V, ideoque O V aequalis i Aa: Li,h& propterea corporis oscillantis resistentia in O ad ipsius graci- seeutio. talem ut i A a langi ' nem penduli. SE . UL
Atque has conclusiones in rebus praeticis abundὸ satis accuratas esse censeo. inam clim ellipsis vel parabola B R S a congruat cum figura BKVTa in puncti, medio P , haecs ad partem alterutram B RV vel VS a excedit figuram illam, deficiet ab eadem ad partem alteram , dc sic eidem ae-
stu area tota BKVa est, a B NOU. κ In puncis medio V. Sappcniatur enim qnbd o V aeturalia exhibeat resistemiam in puncto medio o, quodque p rabola vel ei lipsis per puramim V descripta sit. c y Deficies ab eadem ad yanem aia teram. Quia duae Gipi eos vel parabolae Tom. II. partes B R V & a S V similes sint 8c aequales, si resistentiae in descensu a B ad Omajores fini qu1m pro ratione ordinatarum D fit ad ellipsim vel parabolam , E c
232쪽
IV. aso. ΔΚ ut ΔΕ, , & quoniam c ex propterea corporis oscillantis resistentia natura circuli dc ino ad ipsius gravitatem ut - Α a ad
b , quem gravedes nia per B C & uJleque -κ S. dx a a-πx si ponaturae te ascentu per C A in medio resistenteis i describit, extendatur in lineam rectam so8 1 BA, & ad shagula hujus rectar puncta Derit area O V X B i. ,. ...& OVΚB erigantur perpendicula D K proportionalia stuat iura BKVTa α ἱmbam rari gri mrvae B C A punctis D subit, sitque 3 F F Z B Κ A curva quam punctum K perpetuo
medii resistentiis quas mobile in homol
233쪽
Si eornris ostillantis respentia in singulis arcuum descriptorum partibus proportionalibus augeatur vel minuatur in dara ratione ς differentia inter arcum descensu descriptum di arcum subsequente ascenseu descriptum, augebitur υel diminuetur in eadem ratione. Oritur enim differentia illa ex retardatione penduli per resistentiam medit, ideoque est ut retardatio tota eique proportionalis Da Alo
resistentia retardans. In superiore propositione rectangulum sit 'tecta ἰ a B & arcuum illorum CB , C a disserentia a aequalis
tangit: area euollinea B X A. B aequabinureciangula P C M G H ex recta P C , quae gravitatem constantem exponit , in differentiam G Η abscissatum G C , Η C -- cirum BC , CA descentis & subsequente ascensu descriptorum. punctis D , d infinitὸ propinquis de-miuatitur ad P C perpendicula DE, de ,& ex pune od ad E D perpendiculum d F ;dc vis gravitatis P C erit ad vim tangentialem in ioco D , qua motus corporis incurva acceleratur, ut D d ad F d.
iu curvam perpendiculari, exprimat D G ravitatis actionem , exprimet D d vim Tangentialem, sed obsistitudinem Triangularum Dd G, Dd Fest D G: Dd D de F D, erit ergo D d ad F d ut via gravitatis ad vim Tangentialem, quaprorter cum D d lumatur ubique aequalis ut est mo gravitatis, ubique F d exprimet vim Tangentialem ; est Fd α Ε e, si itaque P C repraesentet vim gravitatis erit Dd: Eem PC ad vim Tangentialem , t ideoque vis illa ratetenualis α Sed corporis desecendentis vis acceleratrixaequalis est excessiti vis tangentialis siti raresistentiam , erit igitur vis aceeleratrix
234쪽
DE Mω erat aleae ΒΚΤ a. Et area illa , si maneat longitudo aB , au-τU COR getur vel diminuitur in ratione ordinatim applicatarum D Κ; Li. 2 hoc est, in ratione resistentiae, h ideoque est ut longitudo aB dcssicus o. resistentia conjunctim. Proindeque rectangulum sub Aa dc ἰ a B si er. Vi. est ut a B & resistentia conjunctim , & propterea ut rem
iis h. Corol. I. Unde si resistertia sit ut velocitas, disserentia
scripti in partes proportionales infinitὸ pa vas, dc totum illud quod deest fingulo arces, poterit concipi ut effectis retardationum quas eorpora passa sunt singulariun ili rum particularum initio, spatium veth quod propter singulam retardationem deficit, est ut illa retardatio & te in per quod eorpus motum nil post illam retar tionem recein tam usque ad finem oscillationis , sed quoniam in Osi illationibus urut inaequalibus tempora quibus similes arcuum partes descributitur tum aequalia , in medio non resistente, re in medio resistente saltem quam pro
ter retardationes in proportionalibus arcuum partibus receptas, sunt ut illae re tardationes.
sis tota, etpae preporrumalu resilantia ν sardans, si quantitates materiae corporumpendulorum tit aequales, retardatio in sin gulis armum descriptorum partibus est ut resistentia in iisdem locis, sed ut resistentiae lunt in data quadam Lege velocitatem ex Hypothesi α velocitates in arcuum pasevibus proportionalibus fiuit in Ratione data, ideo resistentiae in singulis arcuum partibus proportionalibus sunt in ratione data,
ac per consequela omnes retardationes , sunt in eadem ratione , summae ergo retu-dationum erunt in eadem ratione data, Ε o tota spatia deficientia illis retardationius proportionalia erunt in eadem ratione , Disterentia ergo inter areum descensu descriptum edi' Meum Ueεnfusubsequense descripuranin variis arcubus ab eodem corpore descri-
Ptis, si ι in Data Lese Resseniis.
383. r. l. Disserentiae arcuum ,
respeia arcuum deicensu delcriptorum
eamdem sequuntur Legem quam resste the sequuntur respectu velocitatum. Nam cum tempora quibus correspondentes Mproportionales arcuum paries -destribuntur sim aequalia, velocitates erunt semper ut illae arcuum panes , sive ut arcus toti scis quam proximε, ergo resistentiae , retardationes & disserentiae armum eamdem Lesem sequuntur respectia arcuum ae respeti velocitatum. Cor. a. Si corpora pendula deream P minue mareris, Dractentia anuum sura direm in Lege data arcuum di imore mquantitates materia : Nam eo in casu r tardationes in singulis arcuum partibus sunt directὸ ut resistentiae & inversἡ ut quam litates materiae; nam resistentia motus jacturam producit , quae motus iactura est sactum ex retardatione dc massa retardata,c per Def. a. lib. I. γ.
ressentia e junctim. Mea illa si maneat longitudo a B, augetur vel diminuitur in ratione resistemiae D Κ ; si vero constans maneat resistentia seu ordinata D K, sed augeatur a B omnelque eius partes d Din ratione totius a B augeantur, area illa ausetur vel diminuitur in ratione lon tucinis a B ; unde si longitudo a B varia hilis fit εc resistentia seu ordinata D R in singulis longitudinum a B locis correspondentibus augeatur vel diminuatur in data ratione , area B Κ T a augebitur vel dia minuetur in ratione composita ex ration longitudinis a B & ratione resistentiae a me vel diminutae, proindeque rectangulun
sub Α a dc , a B erit ut a B dc resistentia coniunctim , dc propterea A a ut resisten
235쪽
arcuum in eodem medio erit ut arcus totus descriptus: &
Corol. a. Si resistentia sit in duplicata ratione velocitatis , di fierentia illa erit in duplicata ratione arcus totius: oc
Grol. 3. Et universaliter, si refistentia sit in triplicata vel si a quavis ratione velocitatis, disserentia erit in eadem rati
Corol. . Et si resistentia si partim in ratione simplici v Iocitatis, partim in eiusdem ratione duplicata, di fierentia erit partim in ratione arcus totius 6c partim in ejus ratione duplicata e 6c Contra. Eadem erit lex & ratio resistentiae pro vel citate, quae est differentiae illius pro longitudine arcus. Corol. s. Ideoque si, pendulo inaequales arcus successive describente, inveniri potest ratio incrementi ac decrementi disserentiae huius pro longitudine artas descripti; habebitur etiam
ratio incrementi ac decrementi resistentiae pro velocitate majon re vel minore.
Ex his propositionibus , per oscillationes pendulorum in mediis quibuscunque, invenire licet resistentiam mediorum. Aeris
236쪽
DE Mo- vero resistentiam investigavi per experimenta sequentia. Glo- TU COR' bum ligneum pondere unciarum Romanarum , diametro di-
14 gitorum Londinensium 6ὲ fabricatum , filo tenui ab unco satissaeus, suspendi, ita ut inter uncum 6c R centrum oscillatio-sset.VL nis globi distantia esset pedum i o . In filo punctum notavi pNPκον. dibus decem 6c uncia una a centro suspensionis distans; oc ea u. .c regione puncti illius collocavi regulam in digitos distinctam,
XXV. quorum ope notarem longitudines arcuum a pendulo descris
tas. Deinde numeravi oscillationes quibus globus o vam motus sui partem amitteret. Si pendulum deducebatur a perpe diculo ad distantiam duorum Gigitorum, & inde demittebatur gita ut toto suo descensu describeret arcum duorum digitorum , totaque oscillatione prima , ex descensu oc ascensu subsequente compofita, arcum digitorum fere quatuor: idem oscillati nibus 164 amisit octavam moesis sui partem , sic ut ultimo suo ascensu describeret arcum digiti unius cum tribus partibus
quartis digiti. Si primo descensu descripsit arcum digitorum
quatuor; amisit octaVam motiis partem oscillationibus rat , ita
ut ascensu ultimo describeret arcum digitorum 3ἐ. Si primo descensu descripsit arcum digitorum octo , sexdecim , triginta duorum vel sexaginta quatuor; amisit octavam motias partem oscil-
ei Es eratrum oscit insis Hai. Quid si centrum oscillationis & quomodo inveniri pollit , indicavimus in scholio post notam 478. lib. I. Et ex his q- ibi dicti iunt , iatis liquet in lateioribus
pendulis graviori globo instructis & filo
tenui , centrum oscillationis cum centro
di fierentia inter arcum deicenia descriptum & artum ascensu ldbsequente destri tum sit toti retardationi qliani corpus pas sum est proportionalis , idemqe motui destructo per resistentiae actionem , ascendat itaque corpus in fine primae oscillationis ad altitudinem qualemcunque , 1Ἀ- maturque digerentia artas ascensu de scripti ab arcu descensu primo percursi :Seeunda oscillatione corpus alcendere deberet in vaeuo ad eam altitudinem ad quam
in fine primae oscillationis assurreverat, Msumatur quod deest in seciindo ascensu ab illa altitudine , duae illae ditarentiae sint ut motus in singula oscillatione amissi , earum summa est emo ut summa motus amis. si in utraque oscillatione , sed duae illae differentiae sunt disserentia inter altitiae nem e qua corpus p imb descendit , & autitudinem ad quam ultim5 affirrexit; Ergo ratiocinio ad is4. oscillationes continuato di fierentia inter altitudinem ἡ qua corpus primb descendit, & altitudinem ad quam ultime, assurrexit, est ut lumm4 m tus quem resistentia duramibus illis is . oscillationibus destruere valuit. '
237쪽
oscillationibus 69, 33 ἰ, i 8ἰ, 9l, respective. Igitur differen- DEΜotia inter arcus descensu primo & ascensu uhimo' descriptos , TV C QR erat in casu primo, secundo, tertio, quarto, quinto, laxio, digitorum 4, i , a, 4, 8 respective. Dividantur eae sk 96. differentiae per numerum oscillationum in casu unoquoque , & SEcT.ULin oscillatione una mediocri, qua arcus digitorum 34, 7 ,3o, 6o, xao descriptus fuit, differentia arcuum descensu &τη b, subsequente ascensu descriptorum , erit j , , se, XXV. partes digiti respective. Hae autem in majoribus oscillationibus sunt in duplicata ratione arcuum descriptorum quam proxime , in minoribus vero paulo majores quam in ea ratione ; N propterea per corol. a. prop. XXxl. libri hujus resi
mineriam eselliari in. cte. ISempli causi in primo eatu dividatur di fieremtia ἱ per numerum oscillationum Is , rubebitur- disserentia inter arcum des,
eensis deleriptum δc arcum subsequente ui sit deleriptum in una mediocri obrillatione; quia disseremia ex omni biniussire is quae per oscillationes xi Pro λcuntur, composita est ι & quia arcus lotus una mediocri ostillatione descriptus medius est arithmetieὸ inter arcum maxumum sere digitorum 4. prima vicillati ne descriptum, & arcum minimum digitorum a I ultima oscillatione deseriptam, ideo areus ille mediocria invenitur c
piendo dimidium summae arcuum 4 - 2 quod est 3 l , aut etiam capiendo summam arcuum dimidiorum, videlicet Atque eodem modo de caeteris ratiocinam dum est. auum m majoribur oscilla mibias cte. . Dividantur omnes arcuum disseremiae in oscillatione mediocri per primam, omnes illae disses entiae erunt in I. ἔ2. 73o .s'. FO7 ., 36.9 77.3Iq1.3378. s*γ. 89ε s. Quadrata verb arcuum sunt in I, 6 , ε a et O..I- . unde ex eorum numerorum inspectione liquet dissurentias
quae in minoribus oscillationibus obiere lae sunt esse ad eas quae in majoribus arcubus observantur in maiore ratione quam duplicata armum , In majoribus v rb oscillationibus rationes illarum differentiarum ad rationem duplicatam arcuum
magis accedunt , ut enim arcus in Pr
gressione dupla silere sumpti , ratio duplicata arcuum proximorum est ratio I ad 4. Fim vero 9. 3c 72. est non multo major ηι.
parte numeri 36. ys 77., iste autem ad 4.
partem muneri Isil. 8378., magis aec
dit , propius adhuc iste accedit ad quar- am pariem numeri S 2. 8961. Unde inter arcus magnos , motus amissis in duplicata sere ratione arcuum sive velocitatum sumi posse deducitur. Idem manifestius patebit si dividamur hi numeri qui arcuum differentias expriamum per ips rem anuum rationes, habe mur enim I. ἐ I. 3333 3 a. 373. 3q. σI97; 8. 8 8 3 36. ys1 3, qui fresistentiae serent ut quadrata velocitarum s deberent esse ut ipsi areus 111 a Za ag , t ε. Sed ex ipsa inspectione liquat
minores dissi remias maioribus numeris eκ- primi quam ii si arcus , majores verb serdiisdem. Si verb lupponeretur resistentiam non tantum esse in ratione duplieata ve-
lactinum , sed etiam PMiem aliquam aliun
238쪽
stentia globi , ubi celerius movetur , est in duplicata ratione velocitatis quam proximE; ubi tardius , paulo major quium in
s Designet iam V velocitatem maximam in oscillatione . quavis, sintque Α, Β, C quantitates datae, oc fingamus quod disserentia 4rcuum sit AV- BV - - CV . Cum velocit tes maximae sint in Cycloide ut semisses arcuum oscillando descrip
aliunde qiam ex mera inertia materiae oriundam, esse ut velocitas, ideoque climhae quantitates mox inventae sint quotientes differentiarum arcuum per velocitates divisarum, hae quantitates constarem parte constante & alia parte velocitati sive arcui proponimata. Sumatur itaque prima quantitas I, &ordine mularatur cum 21, tum clim ter tia , cum quarta &c. stipponaturque illas constare duabus partibus altera velocitati proportionata altera constanti , v. gr. sit' prima quantitas et a -- x sheu r. 3 s s 3 a in x, iis ita binatim ealculatis ut ematur valor a & x, quantitas constans x, in singulo calculo eadem non invenietur , sed .arii isti obtinebuntur valores hoc ordine .6 447 , . 4ΟΑ, .48 ' , . 7 7 , . 84s, qui decrescunt ordine quodam resularic ultimo excepto ob Miqualem exituum errorem in , unde liquet , rationem di Dre tiarum arcuum, non esse partim in ratione duplicata ipsorum arcuum, & partim in eorum arcuum ratione simplici, sed his adjungi debere rationem aliquam intermediam qu1m sesquiplicatam arcuum assimit Newtonus, quod cum experimemis propitis consentit.
rimam, sive quantitatem velocitati maximae proportionalem, mostularaene auatas,A , B, C quantuaret corastantes , quarum vallares Per eκperimenta determinabuntur ; & fingamus quM resistentia , seu differentia arcuum ipsi proportionalis prop. XXXI. , sit partim ut velocitas , Partim ut velocitatis quadratum, S partim ut velocitatis dignitas euius index I, &proinde supponamu quod arcuum d --
oscilletur in cyeloide S B R Q, fitque Apunctam suspensonis, & R minum infimum ac medium arcas totius S R Q. Centio Α δc radio A R describanu areus ei evit Μ T R N , in quo eo us idem, vel aliud simile & inauale ostilletur in eiam medio non resistente. sit T R arcus circularis aequalis arcui emoidis ε R, & R Barcus quam minimus Oeloidi & cireulo communis lib. I. . Iam si corpus ἡ locis T & B sueeessτὰ cadat in circulo. erit ipsius velocitas maxima in R descensis per arcum T R acquisita, ad velocitatem descensu per arcum B R acquistam, ut
ehorda T X R ad chordam areus R B 88. lib. I. , aut, quod idem est per Iemma VII. lib. I. j, ut ehoeda T R Rad arcum cyeloidis B R ; dc velocitas des censi per arcum B R acquisita in R est ad
velocitatem maximam descensa per arcum
eloidis t B R aequisitam, ut arcus B Rad arcum e B R seu arcum circuli aequalem T B R pre iam εαπφ LI. lib. I. γ. Quare , ex aequo, velocitas maxima in Rdestensis per arcum circularem T B R aequisita est ad velocitatem maximam in Rdescensu per cycloidis arcum e B R aequisitam, ut chorda R T ad areum t B R' vel T B R. Sunt autem velocitates maximae in medio resistente velocitatibus max mis in medio non resistente proponionales quam proximE, dc in puncto medio arcuum qui oscillatione integra destribumtu , ferdeontingunt iso . Paribus igitur arcubus , velocitates niaximae in cycloide sunt ad velocitates maximas in eis o, ut semisses
239쪽
PRINCIPIA MATHEMATICA. 22 seri torum, in circulo vero ut semissium arcuum illorum chor- DE MO-dae ; ideoque paribus arcubus majores sint in cycloide quam in CoReirculo, in ratione semissium arcuum ad eorundem chordas
tempora aurem in circulo sint maiora quam in cycloi-qhζζζ
xXU. mee armum oscillando deserἰptorum ad eorumdem armum circularium chordas , quam proximo; & ideo , paribus arcubus miores sunt in ea cloide quam in circulo in ratione semissium arcuum ad eorum--n chordas in circulo ditistas. i Tempora autem in caretiis sura majora quam in Cycloida in vetustaris r inne reciprocs. . Id est , tempora in cireaeo sunt ad tempus in arcu quovis Cyeloidis , ut semissis arcus circuit omitando descripti ad ejusdem semissis chordam, sive invertendo & temporum dimidia sumendo , tempus semiolcillationis in Cycloide est ad tempm semioscillationis intimulo c pendulis existentibus eius iem lon-titud, ut chorda arcus defcripti ad psum arcum , quae quidem propori O prin
Est enim tempus oscillationis integraemiusvis in Cycloide ad tempus descenses per dimidiam penduli longitudinem ut semiperiphetia ad radium c vide nou. 4 ZO. ad Prop. LII. lib. I.) ideoque etiam tem Tom. I Lpus semiostillationia in eloide ad tem- Ι 83. a illud descensus per dimidiam penduli longitudinem ut quadrans circuli ad radium, sed tempus de Icenita per quadruplum dimidiae longitudinis penduli, sive tempus descensus per Diametrum circi ilimius pendulum est radius, est duplum tem poris descensius per dimidiam penduli lo gitudinem , ideoque tempus semioltillatio. nis in Cyeloide est ad tempus descensili per Diametrum circuli cujus Iongitudo penduli est radius , ut circuli quadrans ad Diametrum. Sed , ratio temporis lapsus per Diametrum circuli ad tempus semio. rillationis in areu eluidem circuli est ut mox liquebit composita ex ratione Diametri ad quadrantem cireuli Jc chordae ad
arcum , qaam proximE, unde ex aequo erit tempus in Cycloide ad tempus in circulo ut chor. a circuli ad ejus arcum inciliando descriptam. Rationem autem t mr . ris descenius per Diametrum cirruli ad tem rus lem escillationis in ar u c us cuculie Ie composti m ex ratione Di ametri ad F f qua-
240쪽
Da Μο- de in velocitatis ratione reciproca ; patet arcuum differentias Tu Co quae
FORUΜ. ratione chordae ad G LIBER areum oscillando descriptum, saltem quam solvatur in Ieriem per eamdem D SEcUND. proximε, sequenti calculo conliabit. i x xSE . VI. Descendat itaquς rpM Por arcum L B es; - in P ον. centro C descriptain α Diametro AB, litν -x hi tempus quaesitum quo corpus descendit per T κ κ o a.' arcum L B, fitque b tempus datum quo - . xxv corpus labitur per Diametrum Α Β , dc quo κ bE hr