장음표시 사용
291쪽
Corol. a. ροὶ Resilientia globi, caeteris paribus , est in
plicata ratione velocitatis. PORUM.
Corol. 3. 'in Resistentia globi, caeteris paribus, est in duplicata Lille Rratione diametri. SECUND.
Orol. q. Resistentia globi se caeteris paribus, est ut densitas , frui
Orol. s. Resistentia globi est in ratione quae componitur ex ' Mduplicata ratione velocitatis & duplicata ratione diametri lc ratione densitatis medii. Corol. 6. Et motus globi cum ejus resistentia sic exponi po- . test. Sit AB tempus suo globus per resistentiam suam uniformiter continuatam totum situm motum amittere potest. Ad
st in do ieara ratisne istoetialis. Sint nobi in eodem medio moti di- verea cum vel line; motin tonu RIGe usque est ad motum ab ipsb eommuni- tum tempore quo duas tertias Diametri percurrit, ut Densitates globorum ad densitates mediorum, ideoque ex hyp thesi in eadem ratione, ergo etiam vel citas unitis est ad velocitatem alterius uernotas ab illis communicati temporibus quibus duas tertias suarum Diametrorum aequales quippe longitudines γ pereurrunt. Dividantur illa tempora in partes minimas rinque.aequales, di quia Resistentia singulis momentis , ejusdem Globi respectu, itormis censetur, Resistentiae momentaneae erunt dimetὰ ut motus am, is & in-
ὰ ut temnora quibin amittuntur, ted motus amissi sum ut velf itates directἡ& temidiora liam inverae ut velocitates, quiam es longi adium P curauitaur. mini
me, censeritur , ergo resistentiae mome tantae sunt bis ut velocitates, hoc est in ratione duplicata relocitatis.
est .a d litia νatio, Di ametri. Sint globi aequivel re , aeque densi, in eod medio moti, sed diversae sint earum Di metri, fingamur duo Cylindri ejusdem .eum iis Di ametri , & etiam aequiveloces reaeque densi, resistentiae quus patientur Cylindri singulis momentis erunt ut numerus partium in quas incurrunt , illi verb n meri partium sunt ut Quadrata .diam trorum : Sed facile liquet resistentias Cylindrorum &- globorum aequivelouum , ejusdem Diameiti, in eodem medio esse ire dat x ratione, ergo u vesissentia uni Cylindri ad resistentiam alterius , ita resistentia unius Globi ad resistentiam ait rius, sunt ergo Globorum resistentiae ut in drara Diametrorum.
292쪽
Da Mo-AB erigantur perpendicula AD, Tu COR- B C. Sitque B C motus ille to-PORVΜ- , dc per punctum C asympto-tig AD , AB describatur hype s i. v n. bola CF. Producatur AB ad pun-
P n o p. cium quodUiS E. Erigatur perpendiculum E F hyperbolae occurrens in F. Gmpleatur parallelogrammum cB E G, dc agatur A Fipsi B C occurrens in H. Et si globus tempore quovis B E motu suo primo B C uniformiter continuato, in medio non resistente describat spatium C B E G per aream parallelogrammi. expositum, idem in medio resistente describet spatium C BEF
per aream hyperbolae expositum, sc motus eius in fine temporis illius exponetur per hyperbolae ordinatam E F, amissa motus eius parte FG. φ Et resistentia ejus in fine temporis ejusdem exponetur per longitudinem B H, amissa resistentiae parte C H. Ρatent haeC' omnia per corol. I. er 3. prop. V. lib. II. Corol. 7. Hinc si globus tempore T per resistentiam R uniformiter Continuatam amittat motum suum totum Μ r idem globus tempore t in medio resistente per resistentiam R in duplicata velocitatis ratione decrcscentem, 4ὶ amittet motus sui
Μ partem manente parte ; oc deisibet spatium quod sit ad spatium motu uniformi Μ codem tempore t descrip-
sistentia sub initio ubi velocitis est B C, 2xpoiratur per eandem lineam B C , α quia resistentiae sunt ut velocitatum qu drata, atque B C ad F Ε, ut velocitas ilibinitio ad vel itatem in fine temporis B Ead F E R in B C ad lineam quae resis entiam exponit in fine temporis B E, ideis.
293쪽
t LIBER merum 2, 3 oas 8s as γε est ad numerum 1 , ' propterea
quod area hyperbolica B C FE est ad rectangulum B c G E in p . 6..hac proportione. XXXV.
O Otium. VH. In hac propositione exposui resistentiam & retardationem proiectilium sphaericorum in mediis non continuis, & ostendi quod haec resistentia sit ad vim qua totus globi motus Vci tolli ponsit vel generari quo tempore globus duas tertias diametri suae partes Velocitate uniformiter continuata describat, ut densitas medii
ici sumpta est Iclarithmus numeri est ' ,
desumptiis ex logistica euius si tangens est unitas, aut quod idem est, ex h=perbola cujus dignitae anitati aequalis est 38ι. A. I. lib. 2. ; Si enim ponatur numerM-, evacat I, & ideb
b x, hoe est, dividendo pur a ut L.
tur inveniendus Iogarithmus numeri-, per togarithmicam cu us subtangens est unitas. Porid ejusdem numeri togarithmidi mersae speciei tum inter se in data rati ne 38 α numerus 2, 3o2 3sos 2994 est logarithmus numeri denarii lumptus in I garithmica cuius subtangens est unitas , dc ejusdem numeri denarii lcgarithmus in t bulis sumptus est x, ---o m T , Quartui I, ad 2, 3o1 8so92994, it, togarithmus numeri - in tabulis sumptus ad Iogarithmum eiusdcm numeri sumptum in log arithmi. 1 cuius subtangens est uniatas , vel in Hyperbola cujus dignitas esta 3 habetur ergo logarithmus quaesitus , si Iogartihmus numeri Ἱ- tabu lis silmpius multiplicetur per numeram 2. 3O 1 83os F94,
294쪽
DSMo medii ad densitatem globi, si modo globus ec partaculae medii Tu summΦ elasti ea 6c vi maxima reflectendi polleant: quodque ypRVM sit duplo minor ubi globus oc particulae medii sunt sis is dura & vi rcflectendi prorsias destituta. In mediis au
Srcr. VII tem continuis qualia sunt aqua , oleum calidum, dc argentum
YYY. in quibus globus non incidit immediate in omnes fluidi P io, L. particulas resistentiam generantes, sed premit tantum proximas VII. 'particulas & hae premunt alias oc hae alias, resistentia est adhuc duplo minor. Globus utique in huiusmodi mediis fluidissimis resistentiam patitur quae est ad vim qua totus ejus motus vel tolli possit vel generari quo tempore, motu illo unis muter Continuato , partes octo tertias diametri suae describat, ut flensias medii ad densitatem globi. Id quod in sequentibus cinnabimur ostendere,
PROPOSITIO XXXVI. PROBLEΜΑ VIII.
de vast cylindrico per foramen in fundo factum estieris
Sit A CDB vas eylindricum, AB ejus orificium superius ἰc D fundum horigonti parallelum , Ε F soramen circulare in me-- dio fundi, G centrum foraminis , H axis cylindri horizom ti perpensicularis. Et fingo cylindrum Maciei AP O B ejusdem
esse latitudinis cum cavitate vasis, dc axem eun 'in habere,oc uniformi cum motu perpetuo descendere , 6c partes eiusquam primum attingunt superficiem A B liquescere, dc in aquam' Convcrsas grauitate sua daeuere in Uas; dc cataractam vellumnam aqua AB A EA I cadendo formare, oc per foramen E F transire, ideirique adaequate implere. Ea vero sit uniformis velocitas glaciei descendentis ut 6c aquae contiguae in circulo A B,
M Et east suo scribensa alii αἰiuem lem eadendo ex altitudine III singula eius re Hac igitur Hy:mihesi idem praestettur sunersciui particula acquirere potuisset, Mac si in loco A B nova superscim aquae deinde partieulae aquae e lo o A B vi Pr continuo crearetur cum modu iniciali qua- ptiae gruuitatis cadmido lese mutab attrahe.
295쪽
PR1NCIPIA MATHEMATICA.quirere potest ; dc jaceant Ita &H G in directum, oc per punctum
I ducatur recta x L horizonti parallela & lateribus glaciei occurrens in Κ fc L. Et velocitas aquae eLiluentis per foramen E F ε ea erit quam aqua cadendo ab I lc casu suo describendo altitudinem I G acquirere potest. Ideoque iκrtheoremata Galilaei etit I G ad IH in duplicita ratione velo zitatis aquae per foramen effluentis ad velocitatem aquae in circulo A B , hoc est, in duplicata ratione circuli A B ad circulum E F; nam hi circuli sunt reciproci, ut velocitates aquarum quae per ipsos
eodem tempore re aequali quantitate, adaequale transeunt. De velocitate aquae hori Zontem versus hiz agitur. Et motus hori-Zonti parallelus, quo partes aquae cadentis ad invicem accedunt, Cum non oriatur a gravitate , nec motum horizonti perpcndi larem a graVitate oriundum mutet, hic non Consideratur. Supponimus quidem quod partes aquae aliquantulum cohaerent,& per cohaesionem suam inter cadendum accedant ad invicem per motus horiZonti parallelos, ut unicam tantum c Torment ca
taractam & non in plures catarastas dividantur; sed motum ho
eodem temper tenore fluere suaponitur, necesse est ut eadem a να piantitas Per sim as cataracis liniones axi I G perpendiculares , scu per sinitulos circulia A B ,N N , E F horizonti parallelos eodem tem Poce transeat. Nam si dato tua ore ma-T aer. II. 3or vel mHer aqire copia per cireulum ΑΒ qutim per circulum M N tranfiret; .aqua inter illos circulis vel intumesceree vel decrescreet , & eataractae figur. ni mu-t ret contra Hyp. . Quantit.is aquae Iaer circulum quem.ibet M N, dato tempore sue uis aequitur cylindro aqueo, cihus bas, est ei reuius MN, & altitudo est xl. Ita longitudini quam luperficies aquae Μ NI, cum v claritate Rogaesi a uniformiter progrediendo eodem tempore dato delcriberet , Sc longitudo illa est ut aquae per circulum M N euentis ve- lacina s. lib. i. Sc ideo quantitas aquae
296쪽
rizonti parallelum, a cohaesione illa oriundum, hic non consideramus. f. r. Concipe jam cavitatem
totam in vase, In circuitu aquae Ca-
. dentis N FE M, glacie plenam esse, ut aqua per glaciem tanquam per infundibulum transeat. Et si
aqua glaciem tantum non tangat,ves, quod perinde est, si tangat ocper glaciem propter summam ejus polituram quam liberrime & sine omni resistentia labatur; haec defluet per foramen EF oadem velocitate
per est Itan M N dato tempore fluemis ; et is ῆ eireulus M N est reesproelest in Ureulus M N & velocitas e jum ut velocitas aq- quae per ipsum transa, min. Quarὰ H1m data fit quantitas aquae Q. E. D. per fingulos circaeos dato tempore - His ita eoinittas facile in e raractae figuram geometricὸ definire. Secet Μ N axem I G in P ; & quia altitudo I P est in duplicita ratione velocitatis aquae in P, hara vero velocitas est inverse ut circulus Μ N, dc denique circulus Μ N est ἔn ratione duplieata radii Μ P , & ideo
I P seu abstitia in ratione graci bina Inversa radii seu ordinatae Μ P , sive I F, dc ideo Μ P κIP, quantitas
data Est igitur curva E Μ Α, Hyperbola quarti gradus, asymptotos habens I G, I Κ , quibus convexitatem obvertit. Pr
297쪽
ac prius, & pondus totum columnae aquae ABNFEM DE Μ impendetur in defluxum ejus generandum uti prius, ic fundum τυ Co vasis sustinebit pondus glaciei columnam ambientis. yψRVΜ-Liquescat iam glacies in vase; & em uxus aquae, quoad ve-
citatem, idem manebit ac prius. i in Non minor erit, quia Sacet. VIbglacies in aquam resoluta conabitur descendere : non major , quia glacies in aquam resoluta non potest descendere nisi im- p .L'pediendo descensum aquae alterius descensui suo aequalem. Ea deni vis eandem aquae emuentis velocitatem generare debet. Sed soramen in sendo vasis, propter obliquos motus pam- .cularum aquae essiuentis, paulo majus esse debet quam prius. Nam
ad partes X in infinitum, & fitura EAXXIGErex Elymptoeum seu axem I G, rorataeataractam deseribet ita infinitum ad partes x, η, productam ; figura verb ΕΜΑHG , hanc cataractae partem quae intra vas ABD continetur, generabit. III. Tota cataracta E R X x B F, aequatur cylῆndro cuius base est circaeus E F, re altitudo a I G. Sint enim altitudo I G x, ordinata E G 3, a linea data, &
usque x x producta, erit α α χ E F
quidem totum columnae aquae Α Β N F Ε Min defluxum ejus generandum impenditur . attamen totum aquae motum non generat acum motus illius pars pendeat a motu s
bet velocitatem quam aqua eadrndo &casii sim describendo altitudinem I H aequirere potest. Sed totum aquae defluxum mathematita considerare possumus tanquam genitum pondere aqua totius, quae in eataracta Ε Axx BF, usque ad asymptotum X κ producta continetur, quaeque aequalis est cγli adro aqueo basi E F dc ai-titudine 1 IG, descripto et 3 . t Non minis erit quia glacies in
aquam restitia conabisur descendere, atqu8 ita aquae descen iam accelerare nan ta .men majον eris , quia glacist in aquam re
fluta , ob reactionem actioni aequalem dc contrariam, non potes Heendere, nisi impedisndo descensum aqua at tur des fusiso muriem. Idem igitur manet in aqua tota ad destendendum 6c per serpmen E F etfluendum conatus. At eadem eandem aqua essemu velamatem genera debeti Nn marε
298쪽
Dablo- Nam particulae aquae iam non transeunt omnes per ser TU C λR men perpendiculariter ; sed a lateribus Valis undique confluen- si h N snamen con Vergentes, obliquis transeunt motibus fgeb in re cursit in suum deorsum flectentes in Venam aquae exilientis Ster. VII. Conspirant, quae exilior est paulo infra soramen quam in ipso κ' Vi , eXistente eius diametro ad diametrum seraminis ut pio. 2 s ad is , Vcl s: ad 6: quam proxime, ii modo diametros re- VIII. cli, dunensus sum. Ρarabam utique laminam planam pertenuem in medio perforatam , existente circularis soraminis diametro partium quinque octavarum digiti. Et ne vena aquae exilientis, cadendo acceleraretur & accele atione redderetur angultior , hinc laminam non sundo sed lateri vasis etfixi sic, ut vena illa egrederetur secund im lineam hori Zonti parallelam. Dein ubi Vas aqua plenum esset, aperui foramen ut aqua emueret; & um
nae diameter, ad distantiam quasi dimidii digiti a seramine quam accuratissime mensurata, prodiit partium viginti dc unius quadragesimarum digiti. Erat igitur diameter soraminis hujus
que vena aquae exilientis E F se itiplicita causa eontrahitur usque in e s pau'o infra solamen EF. ' Prima toti iracticias illius causa est acceleratio motalla, .ae m nibus gravibus cadentibus eommunis est, do qua fit ut ma r sit volocitas aquae in loco inseriori e s qu1m in sui,eric re E F ; quia enim Mu.im esse in it tu niane me, eanderitque proindδ 27 ι γ illius quantitatem per Iec iones E F & e s, eodem temporemuere ilipponimus, seAio e 1 est ad sectionem E F in ratione velo. itatis aquae in loco EF. ad ejus velocitatem in loco est i ii & ideo sectio es, caeteris Paribus, minet esse debet sectione E F. Secunda m Nam parrisula a variciari T. contra Isonre vetiae cauta , qu in solam hie Daniel Prenmillim para gr. 3. Secti . Hy- conliderat NEWTONus, est obliquitas motas αδε mica obtervavit particulas cerae particularum aquη per lineas P Ε, q F, hii panicae aquis innatantes ita cum aqua ad foramen EF tendentium , hine enim in vase moveri, ut quae soraminis centro fit, ut lectus a etiam omni acceleratione C imminerat, i et lineam verticalem H G, motus 1 gravitate orta, parii ulae aquae descendant, aliae vero omnes utrinque poliια convergant, venamque contr3hant, atquo motu sere verticali deicendant prim im per ideo motum suum acceIerent. lineas m p, n q, fere ad fundunt usique C D, n Erra igitur diam ter foraministumque crusian Idum verilla iuramen E F huius. circulam ad diametrum venae ua a s
299쪽
vite latis ad di metriim venae ut as ad at quamproxime. DEΜο- Aqua igitur transeundo per foramen , convergit undique, &postquam emuxit ex vase , tenuior redditur convergendo , &per attenuationem acceleratur doneC ad distantiam semissis di-sgobuo.
xiii a soramine pervenerit, & ad distantiam illam tenuior 0 Meet. ULN celerior fit quam in ipso seramine in ratione asκas ad alκai seu 17 ad Ia quamproxime, id est in subduplicata ratione p.
binarii ad unitalcm circiter. P Per experimenta vero Constat VIII. quod quantitas aquae, quae per foramen circulare in fundo v sta
ad quamproxime. Haec ratio in experi
se latis amplo per exiguum foramen i minae tenuissimae iniculprum effluat , licet in vase mutetur aquae foramini incumbet visa: titudo. Experimetita illa iterarunt celeberrimi Mallie milies, Marchio Potinus lib. de Castellia & Daniel Ber initis lech. . i. Hid. Odynamicae. Haec sunt Blustr. Maria chionia verba pag. 33. 39. Proclive au-Miem erit in elliger , confirmari ex ali Metis experimentis rati nem inter diametros sonuminuiti & aquae contractae diametros i Wiro lummo baaco Ni Τολο, ut ania dixim , eonstitutam. Non tanκn infi- iverim perexiguam aliquam disse rentiam intereiseimer conirasiones aquae essiuentis ex minoribus foraminibus , & a. quae conetractiones ex majoribus t Haem tis. Antea dei eripit solaminis in lamina. ferre diameter ad diametrum aquae col tractae iuri ta ea ratione quim habet n. merus 3 1 ad 4r , eluti Ne ustioni a fit ratonameri so ad 4 1. sic omnis Λ e, dem lege, non semper contrahi suae v . nis oliendum variae ei mi actiones in aquae , variis trullis conicis evi u obser. . v. tae, quin etiam huc debebunt resertii illae quas animadverti differentiae inier diametros ad perpendicillum lamptas, & diametros secundum lineam hori onti pa- rallelam mensas. At quanta sit differentia
into aquae cornrachii iies re n ausim de finire, neque verb illa Neut rana ra- tio inter diametrum ieraminis N contra cheaquae d: Hietrum sumi debet ceu prin cit 3 , iani lite vir summus in citato opere
M dimentus Ium. is Bernota ius vero
Seet. 4. p.iras. P . haec habet; Luerim assamplis lamina tenui , vase amul illi . mo , foramine ad 4 vel f lineas in diametro assurgente , lblet ratio inter
Graineia dc Sectionem venae contractae non multu in recedere ab illa quam Nκπ- r Nus statait. is Vertim utriusque aut horis experimema demoni trant, rationem Il. lam diametri venae' contractae at diametrum foraminis multum variari, si pra longos variaeque figurae Gaales, non vetb eκ simpli i foramine in tenaissima imirena insculpto e vase emaat aqua.
ramvis. Nam velocitates sunt reciproedui circuli per quos aqua eodem tempor. transit 17 a i, circuli verb sunt in ratione d simia diametrorum; ἐκ ideo velocitas aquae per sectionem circularem venae e tractaetrant euntis est ad vericitatem' quae per ramen ementis ut a s Rus ad 2I κ Mhoc est, σ13 ad 44t , quod utrumque di ullum per 37 dat rationem IT ad 32, vel utramque divitiam per ηει, dat rationem I. Idcc. ad 3, est vero Radix binarii num H i. ι &c., est ergo velocitas aquae per venam contractam di veloeitatem per se ram n in rati e radicis binarii numeri ad unitatem p) Per exprimema Mia eonitin D
ta quantitate aquae per datum tora me seu per dat im venae contractae Sectionem
300쪽
sis sectum, dato tempore emuit, ea sit quae cum velocitate praedicta, non per foramen illud, sed per foramen circulare , cuius diameter est ad diametrum foraminis illius ut at ad ας, eodem tempore emuere debet. ideoque aqua illa Muens ve- .locitatem habet deorsum in ipse solamine quam grave cadendo&casu suo q) describendo dimidiam altitudinem aquae invase stagnantis acquirere potest quamproxime. Sed postquam exivit ex vase, acceleratur convergendo donec ad distantiam a
tas inquiritur. Quoniam data aquae quantitas aequatur cylindro vel prismati cuius basis est foramen datum aut verrae conintractae sectio , oc altitudo spatium quod aqua tempore dato eum illa velocitate quam in foramine aut venae Sectione habet , uniformiter progrediendo describeret , dividitur quantitM aquae data perforaminia aut Sectionis venae aream, dc quotiens erit spatium quod aqua dato tempore uniformiter progrediendo describeret , afu/ ita nota gi aquae velocitaseulus dimiὼum est altitudo ex qua eadere debuit ut eam velocitatem acquireret. Sit jam a altitudo quam corpus grave tempore minuti unius 1 eundi fine resistentia cadendo describit , υ velocitas hoe casia aequisita , & ideb a a spatium quod velocitate uniformi v tempore minuti unius
seeundi destri, potest 3α G. baltitudo aquae in vase stagnantis, e celeritas quam grave per altitudinem , sine e sistentia cadendo aequirit , dc ι spatium quod cum celeritate e uniformiter progrediendo tempore minuti unius seeundi deseriberet , erit a: bra se: ee 28. lib. I & x at 3 or e s. lib. r. ide6quea: ο 4aa: σε, undὸ habetur σια ε a b, ει ι απιε a b. Si igitur aqua 8 vase per venae eontractae Sectionem inuat cum velocitate e quam grave cadendo & easti suo describendo altitudinem , aquae in vase stagnam is acquirit , spatium a quodo quantitate aquae tempore minuti unius
Vertim ut aquae in vase stagnantis altitudo dc veloci M per
soramen e Suentis quo tempore experimentum rapitur, eadem ad sensum maneant, ut oportet, usurpari potest vas satis amplum exiguo pertusum foramine, vessi vas paulb angustius adhibeatur, emtum 'uae assundi superis debet quantum per insetius lumen emit , dc eavendam est ne affisa aqua cum aliquo impetu eade di extimam aquae in vase stagnanias superficiem attingat. Quibus autem artibus id possit effici si1ε exponunt locis supra ei. eatis Marchio Polemu 3c Daniel Bernos ι- quos lector consulere potest. Attamen his adhibi is cautelis, velocitas aquae per venae contractae Sectionem inueniis paulb minor per experimenta qum per theoriam invenitur , quod variis resiste elis tribuendum esse videtur , & cetid Illustr. Μarchio Menus , elim in libro de Castellis pag. 64. opinatus filisset velocitatem illam in experimentis valde esse minorem quam in theoria, pluribus dei de experimentis ad ealculos revocatis pri rem sententiam mutavit in Epistola ad
Velocitas quam corpus quodlibet grave , sine resistentia eadendo & casu sito describendo dimidiam altitudinem aquae in vase stagnautis aequirit, est ad velocitatem ejus per totam altitudinem aquae cadendo acquisuam ut 1 adina ad. lib. I.