장음표시 사용
311쪽
aqua cadendo perpetuo acceleratur & propter accelerationem fit D ο- tenuior ; & sim angulus ille sit Ψ . TU COR- recto minor , haec columna ad inseriores. cius partes iacebit imita dimidium sphaeroidis. Ea
dem vero sursum acuta erit seu cuspidata, ne hori Zontalis motus aquae ad verticem sphaeroidis sit infinite velocior quam ejus motus hortiontem versus. μὶ Et quo minor est circellus co acutior erit Vertex columnae ; & circello Μ
A B N F Ε Μ seperficies externa λ Μ Ε, B N F eum basi C E, D F constituit, est
semper acutiu, quia aqua cadendo semper acceleratur c x x. in Sic etiam, ob eandem rationem, columnae P Η Q superficies extema condurret eum basi P Q in a gulo acuto H P , Η Q P. Quia veto circulo P Q evanescente, s eu coincidente H P cum axe HG, angulus ille I PGrectus evadit ; si circulus est vald8 parvus . angulus H PG erit sere rectus seu no nihil acutus. Q Iacebu Dura dimidium D missi Quia c ex natura ellipleos in qua tangentes per axium vertices ductae angulos vectos cum axibus constituunt, lphaeroidis superficies eum circello P Q, concurrit in angulo recto. t Eadem vero sursum acina eris. Clim enim partes aquae duplici motu cie-amur in H, alio verticali qui lapsu per altitudinem I H atquiritur, alio horizontali quo partes aquae ad cataractam formandam ad se mutub accedunt, uti supr, amε leas. a M. dictum est, atqu/ideo guttuIa aquae in fit, lineam curvam ΗΡ motu eomposito describat, nece sicinest ut angulus P Η G sit acutus , & proiii-dὰ eolumna P Η Q tu spidata in F . Deseri bat enim guttula aquae lineam quam minimam H h, motu horiZomali, & e dem temporis momento lineam h m, m in verticali, atquὰ arcum H m motu composito ἱ dc velocitas horia talis erit ad velocitatem vetticilem ut vh ad h pa, - m. IL
num anguli h H m. Sed evanestente an gulo h is m, seu angulo m H G rLcto exi-ilente , sinus angulit m Η G, infinitὸ maior est sinu anguli h Η m. Quare si an ulus mΗG rectus sit, hori Zontalis motas quae erit infiniia maior quam motus ejus verticalis. Quod abIurdum est, angulus igitur m I G acutus est.
Nam si ei reellus P Q ita augeatur, ut adaequet soramen E F illudque occludat , eclumna P Η Q evadet cylindrica, & r cta m h coincidente eum Η h angulus m H G rectus erit, & contra circello minfinitum diminuto, coincidet Η m P, cum axe H G, angulusque m I G evanescet. Columna igitur tam ad superiores partes versus is, quiun ad inferiores partes ver '
312쪽
DEMO- in infinitum diminuto, angulus 1 Iin infinitum diminuetur
Libast ' propterea columna iacebit intra Secus s. dimidium sphaeroidis. Est igitur
Saex. VII. columna illa minor dimidio spha xxxvi. seu duabus tertiis partibus P no a L. cylindri cuius basis est circellus ille& ait ludo G H. Sustinet autem circellus vim aquae ponderi hujus
columnae aequalem, clim pondus aquae ambientis in defluxum ejus impendatur. Corol. 9. Pondus aquae quam
RPae Fcircellus valde parvus P si sustinet, aequale est ponderi cylindri aquae cujus basis est cim cellus ille & altitudo est ἰ G H quamproxime. Nam pondushozce est medium aridimeticum inter pondera coni & hemisphaeroidis praedictae. At si circellus ille non sit Valde parvus, sed augeatur donec aequet foramen E F ; hic sustinebit pondui aquae totius sibi perpendiculariter imminentis, id est , pondus cylindri aquae cujus basis est circessus ille & altitudo est GH. Corol. 3 o. Et quantum sentio pondus quod circellus sustinet, est semper ad pondus cylindri aquae, cuius basis est cir-
cellus ille & altitudo est ἰ G H, νγ ut Ε Fn ad E Fq - ἰ Pitye ut circulus E F ad excessum circuli nujus supra semis eircelli P E quamproximo.
κ Nam pondus Meee est' me maxume kum. Clim enim columna illa qiὲae, quam circellus valde parvus siilli in Fret, major sit tertia parte cylindri cuius baia est circellus ille & alinudo I G cor. 7. , & minor duabus tertiis 'partibus ejiisdem eylindri eis. s. , erit serὸ aequalis medio arithmetico inter cylindros
rem medium illud arithmet eum aequale dividiae tua ae illariun Ilindroriun .idcsta,
Haec eitim suppositio superioribus deierninationibus latisfacit. Nam sit p. pondus aquae quam circellus iustitici; P pc dias cylindri aquae cuji s- basis eli circellu2
313쪽
in vertice P axe P G describatur per punctum H, parabolae arcus PSH, & h ra PSH G citra H G eonvolvatur, solidum inde gemium columnam aquae quam circellus sultinet exhibebit quam proximLNam angulus SP G quem parabola eum axe P G, continet , rectus est, & ideo quam proximὸ aequalis angulo quem pratactae columnae superficies cum circello valdi parvo P Q essicit c rer. 8. ; & evanescetis te P ci , algulus S H G areu parabolae S H& recta H G comprehenses fit infinit E pamvus , ut oportet per idem ear. 8. . P rere, si jungatur recta P Z Η, & centro
axem H G convolvantur, solidum quod per revolutionem figurae parabolicae PSH G
generatur , malu erit Gno ex rotationu
trianguli P Z HG te. lito, & milius hemi- haeroide quam figura F X H G totaia describit, quod cor. 7 . & Ε . satisfacit. Tandem, calculo inito, iacile patet solidum quod per convolutionem figurae PSHG, gignitur, esse ad cylindrum tuam basis est circellus PQ, dc altitulo GH, ut 3 ad Is , quae ratio iwn multum aberrat a ratione I d a quam NEWTOhus in cor. 84 invenit. 2pr.
314쪽
Cylindri, qui Jecundum longitudinem fluam uniformires' progreditur ,r8sistentia ex sum vel diminuta ejus longitudine non mutatur ;ideoque eadem est cum resistentia circuli eadem diametro descripti ct eadem velocitate secundum lineam rectam plano ipsius perpendicularem progredientis.
Nam latera cγlindri motui eius minimδ opponuntur: &cγlindrus , longitudine ejus in infinitum diminuta, in circulum
278. Si circulus PQ valdὸ parvus maneat respee u foraminis EF , foramen verbE F quantumvis augeatur finitum sit, &vas AB DC infinitum evadat aer uales erunt altitudines LG α H G, & velocitas aquae in Iopo PQ, ea erit qam aqua cadendo & casu suo describendo altitudinem II G , acquirere poteti s per c r. I. Prit. Lityis 3 ς. . Iisdem positis, si vas AB DC iusia circulum PQ continuetur , 8c aqua Postquam pervenit ad locum PQ, lota vi insiti pergat uni scrmiter m veri cum illa velocitate quam habet in loco P Q, sitque P Q R columna aquae congelatae, euius fiuiditas ad promptissi
mum ali Prius aquae motum non requiritur,
rabolae tuus vertex P axis PG, & ordinata G R. Nam fingatur considerari lain sum eius aquae quae per conoeidem ΗΡQ moveretur seorsim , laptu reliquae aquae Vasis, liquet quod eo tem I ore qao aquae gutta motu verticali uniformiter accelerato e dit ex H in G i Euet bis ea aquae copia quae in conoeide Η PQ continerur, ea ergo aquae copia erit aequalis cylindro eujus altitudo
erit HG, & Basis eirculus PQ, panicula vero G teleritate ex lapsis per Η acquisita describet et Pi G sive G R , tota ergo aqua quae per Conoidem H PQ movebitur me pabit figuram cujus Bais est circulus P Q , cuius altitudo est 2 HG, di soliditas dimidium cylindri cujus P Q sciet Basa & autitudo I H G, scd per praecedentem Parab Iol idea est serE dimidium cylladii circum. scripti: ergo aqua quae per Conoidem effuit eum Parabolceidem orcuparete est ergo tolumna PQ R columna aquae congelatae
cumpositae motum non requirItur. Haec ad demonstrationem Seholii proximi hie a, nectenda visa sunt, utrum latis res E NI- . T i ANAE demonstrationis indolem simus assecivi, videat B. Lector , Si quid invisi ret. ius. ViisCMialidus imperii is mn, his utere merium ro E Nam latera olindri Oe. Hic enim latera cylindri ella holitis ina, de medii tenacitatem & Dictionem esse nae. . Iam supponitur. i 279. Lemnia. Virre Qi mrres sunt di
315쪽
Θlindri, qui in fluido compresso infinito ct mn elastieo secundum L
rudixum suam uniformiter progreditur, resistentia, quae o itur ti magnitudine sectionis r an Oese , est ad vim qud totus ejus motui, in- perea dum quadruplum longitudinit siuis describit, υel tolli post υel generari, ut densitas medii ad densitatem ylindri quamproxime.
CD superficiem aquae stagnantis tangat , & aqua ex hoc Vase pCr Canalem cylindricum E FTS hortionii perpendicularem in aquam stagnantem essiuat, locetur autem Cir
cellus P s horizonti parallelus ubi
vis in medio canalis, & producatur C A ad Κ, ut sit A K ad C Κ . in duplicata ratione quam habet excessus orificii canalis Ε Gupra circellum P ad circellum A B: ma- inestum Q per eas s. eas. 6. ct cor. r. prep. XXXV . quod UClo 1 tas aquae transeuntis per spatium annulare inter circellum & latera Vasis, ea erit quam aqua cadendo & casu suo describendo altitudinem x C vel I G acquirere potest. - E
directu volumiatiam, danstruum O qiιadr in m istieissis er ratione in Diria spatiorum destri rum, & quia velocisares lunt ut Ipatia descripta directὸ dc tem ivra in rati vises -firmer sana reiam in rationaeo Visa ex ratione voluminum, d n ι.aiam spatiorum descriptoriium, in ναDm in-veria duplieaia temporum, quibas spatia ida deseribuntur. 31 O. Ge. Quoniam cylindrorum v lamna sunt ut eorum altitudines & d ametrorum quis rara conjuiichim; vir a uni-Drmer quibus urgentur Olinii, stini in ν uone qua coruo iure ex rae muletur directis ahitudin- lindrerum s quadrasorum diam trorum , densitarum o veloeilatum a viribus illis genitarum, o ratione inυerrs rem trium quibus velocisines illas generant , lunt etiam in ratione quae componitar ex rationibus dimou ali iussinum, quadratorum diametrarum, densitatum O quadratorum v. loeuarum , O ναὰne inυ,sa spatiorum dejcriptorum 3 Soni quoque vires illae in ration composia ex rationibus directis a titudinum cylindrorum , quadratorum di
m. ιν rum , densitatum lpatiorum d serintdirum, O rari ne intersa div ears temporum , quibus Bruta illa destribuntur. Ubip dictarum quantitatum , ex quibus virium ratio composita est, aliquae datae sunt, ii deletis haberur virium ratio. P P . 3 γ
316쪽
DEMo- Et per corol. X. prop. xxxvi. si vasis latitudo sit infinita pet u COR- 3 ut lineola Hi eranescat & altitudines LG, IJG aequen-ηLta tur : vis aquae defluentis in circellum erit ad pondus cylindriseeu, o. circellu. ille & altitudo est LG, ut EF ad
Sser. VII. E Fq - quam proxime. Nam vis aquae, uniformi kk Vii denuent . per totum canalem, eadem erit in circellum T Mao a. P quacunque canalis parte locatum. XXIX. Claudantur jam canalis orificia E F, ST, & ascendat circellus in fluido undique compresib, dc ascensu suo cogat aquam si- periorem descendere per spatium annulare inter circellum & latera canalis: & Velocitas Circelli ascendentis erit ad Velocitatem aquae de socia dentis ut ditarentia circulorum EF Sc P ad circulum P Ο, & velocitas circelli ascendentis ad summam v locitatum , hoc est, ad velocitatem relativam aquae descendentis qua praeterfluit Circellum ascendentem, ut differentia circu
lorum EF & P si ad circulum E F, sive ut EFρ - P Ο ad
eor. . pro p. II. aut spernot.
cas. f. prop. I 6. ). e disserenua eiseulorum. Veia locitates uniformes sunt ut spatia eodem tempore descripta i s ed inter eadum circulus PQ spatium solidum, seu eylindrum P Q X R desicribit, decrendit aquae quantitas huic cylindro aequalis, & proptere. altitudo verticalis per quam aqua descendit, aequatur longitudini quae habetur dividendo valorem cylindri P Q X R per valorem sectionis annularis inter c,reulam P Q scvata latera ES, FT comprehensam, ideό- que si EF &PQ , eirculos, & R P, lineam rectam significent , altitudo illa P Q κ R P.
per quam aqua descendit est ------ΕFR - PQ Quarὸ velocitas eirculi ascendentis est ad velocitatem aquae descendentis ut altitudo
Clim circulus a:cendat & aqua descendat, velocitas relativa aequalis est summae v locitatum oppositarum circuli & aquae Velocitas abibluta ei reuli ascendentis discatur U, velocitas ab luta aquae det n- dentis v, dc quia circuli sunt ut diametro
317쪽
e F Sit illa v elocitas relativa aequalis velocitati, qua supra osten. sum est aquam transire per idem spatium annulare dum circellus interca immotus manet, id est, velocitati quam aqua cadendo & casu suci doscribendo altitudinem IGacquirere potest : & vis aquae in circellurn ascendentem eadem erit ac prius per legum corol. v. id est, resistentia circelli ascendentis erit ad pondus cγlindri aquae cuius basis est circellus ille & altitudo est a I G, ut EF a ad EO et Pseq quamproximδ. Velocitas autem circelli erit ad velocitatem , quam aqua cadendo & casa suo describendo altitudinem
. Augeatur amplitudo canalis in infinitum & rationes illae in
acced et ultimo ad rationes aequalitatis. Et propterea Veios astar essi ea nunc erit quam aqua cadendo & casu suo describendo altitumnem I G acquirere potest, resistentia Vero ejus aqua lis evadet ponderi cylindri cuius basis est circellus ille & altitudo dimidium cst altitudinis LG , a qua cylindrus cadere debet ut Velocitatem circelli ascendentis acquirat; ς & hac velocitate Cylindrus, tempore cadendi, quadruplum longitudinis suae deseribet.. Resistentia autem cylindri, hac velocitate secundum 'longitudinem suam progredientis, eadem est cum resistentia Ci celli per lemma iv. ideoque aequalis est vi qua motus ejus interea dum quadruplum longitudinis sitae destribit, generari potest quamproxime. Si
cadendo des beret altitudinem I G, velocitatem illam aeqaireret o. tib I. Cum rgitur resistititia et ualis a
318쪽
Da Mo- Si longitudo cylindri augeatur vel minuatur , motus ejus ut TV C0 tempus , quo quadruplum longitudinis suae describit η γ, au- minuetur in eadem ratione, ideoque vis illa , quas ε 09n motus auctu S Uel diminutus , tempore pariter aucto vel dimi-S A. VII. nuto, generari vel tolli possit, non mutabitur ; ac proinde etiam-es xvii aequesis est resistentiae cylindri , nam & haec quoque im-T Μ g o a. mutata manet per lemma I v.
XXIX h Si denssitas cylindri augeatur Vel minuatur, motus ejus ut &Vis qua motus eodem tempore generari vel tolli potest, an e dem ratione augebitur vel minuetur. Resistentia itaque cylin- dii cujuscunque erit ad uim qua totus eius motus, intercadum
quadruplum longitudinis suae describit, vel generari possit vel tolli, ut densitas medii ad densitatem cylindri quamproxime.
O. E. D. Fluidum autem comprimi debet ut si continuum, continuum vero esse debet & non elasticum, ut pressio omnis quae ab ejus Compressione oritur, propagetur in instanti, &in omnes moti corporis partes aequaliter agendo resistentiam non mutet . Pressio utique, quae a motu corporis oritur, im
penditur in motum partium fluidi generandum & resistentiam
creat. g vel minuetur. Quantitas motiis in cylindro culm basis, den- , velocitas datae tum , augetur vel irinuitur in ratione longitudinis lindri seu voluntinis, & tempus quo erlindrus cla-iai u vclocitate uniformiter progrediendo quaei irpium lonsitudinis tuae describit, au. se: ut vel ininuitur in eadem longitudinis auctae vel din inutae ratione s. lib. I.
id equc vis illa qua motus auctu
rari tet tolli potes, in eadem ratione are Mitir etQl n inuetur 279 ). Cum igitur cylindri cuiuscuitque resilientia aeqv. lis sit vi qua n otus cylindri aquae ejuidem basis, altitudinis & velocitatis, intercadum quadriillum lcngitudinis suae describit , g
nerui vel tolli. possit, & vis liaec sit ad vim qua totus prioris est ri motus
eodem tempore generari possit vel tolli, ut densitas aquae ad densitatem cylindri, cons quens et lut resistentia cylindri cuiuicumque sit ad vim qua tinus ejus motus, intereadum quadruplum longitudanis shae describit, ge-iberari vel tolli potest, ut densitas aquae ad densitatem c lindri quamproxime.
msteum. Nam si fluidum esset elasticum, ipsiuς partes per compressonerat conden 1 innius, & deinde rarciterent, atque ita prellio per motum progressivum, qui iiDilantaneus esse non potest, propagaretur. M si fluidum continuum sit & dentari compressone nequeat, pressio propagabitur in instanti. Experimentis vero constat aquam in statu naturali constitutam vix posse coti- densati, seu in spatium minus compressione redigis cum ἡ contra aer maximae conde utationis κ rarefactionH sit capax.
319쪽
creat. Presso autem quae oritur a Compressione fluidi, utcunque ει Μωsortis sit, si propagetur in instanti, nullum generat mossim in 'TU COMpartibus fluicii continui, nullam omnino inducit motus muta riRVM.tionem; ideoque resistentiam nec auget nec minuit. Certδctii, fluidi, quae ab ejus compressione oritur, fortior esse non Sao. VIbeotest in partes posticas corporis moti quam in ejus partesticas, ideoque resistentiam in hac propositione descriptam mi-Thyo. μnuere non potest: oc sertior non erit in partes anticas quesnXMMin posticas, si modo propagatio ejus trilinite velocior sit quam motus corporis pressi. Infinite autem Velocior erit & propaga-hitur in it stanti, si modo fluidum sit continuum dc tum elast,
Corol. r. Cylindrorum, qui secundum longitudines suas in mediis continuis infinitis uni miter progrediuntur, resistentiae sunt in ratione quae componitur ex duplicata ratione velocit tum 6c duplicata ratione diametrorum & ratione densitatis mediorum.
si Corol. a. Si amplitudo canalis non augeatur in infinitum, sed cylindrus in medio quiescente incluso secundum longitudi
nem suam progrediatur, & interea axis ejus Cum me canalis coincidat: resistentia ejus erit ad vim qua totus eius motus, quo tem
pore quadruplum longitudinis suae describit, vel generari posse
ch r. r. sie demonstrariar. R inentia olindri eujusque est directὸ ut densitas medii & vis unisermis qua tot cylindri motus, quo tempore quadruplum tonsitudinis suae deseribit vel generari vel tolli possit, εc inverid ut denuias olindric ex dem.) ι Sed vis illa uni semis est in ratione composita ex rationibus directis Iononestas cylindri , quadrari diametri, densitatis re quadrati velocitatis δc ex ratione inverra spatii Meseripti, seu eri r tie ne inversa longitudinis lindri ago. mard per comxtationem niti Em dc . Tom. I Lex aequo , resistensa cylindri euiusmnique,
si conseratur eum resistentia alterius cyli dri, est in ratione quae componitur eX r tione densitatis medii , dc ratione dupliarata diametri & duplicata ratione vel citatis. cor. a. Sie demonstratur. . Si Canalis non sit infiniuis respectu baseos lindri inclusi, resumantur ea quae ibis invium Theor. istius dicebantur , Pri' mo nempe quod ascendente circello in eannali clauis, velocitas relativa aquae sem
320쪽
vel tolli, in ratione quae componitur
ex ratione E Fq ad E Fq - O semel, & ratione E ad FI bis, & ratione dentitatis medii adentitatem Cylindri. Corol. 3. Iisdem positis, & quod longitudo L sit ad quadruplum longitudinis cylindes in ratione quae
Componitur ex ratione EF - POq
ad EF - - PQ ; Quaeratur isitur altitudo I G talis ut velocitas lapsu per eam aequisita sit ad velocitatem circelli, ut
circellus immotus in medio foraminis Ε FN aqua cadens ex altitudine I G ex vase amplissimo A B D B per illud foramen, eam velocitas aquae juxta circellum transens eadem sit ac velocitas respectiva aquae iux-m cylindrum in cana i clauio motum, actio aquae in circellum utrinque aequalis censen da est, sed actio aquae sive ejus pondus in circi lium per Cor. I . Prop. est ad cylindrum cujus basis est circellus alti
haec itaque erit ratio Resistentiae ad pondus cylindri aquei cujus basis est cir-eellus & altitudo , I G ; Sed gravitas est vis quae tempore quo percurritur uniformiter quadruplum longitudinis , I G Gue 1 IG velocitate lapsu per I G acqui-fita, generare potest eam ipsam vel eitatem , dc pondus cylindri est ipsa gravitas per massam cylindri multipli eata , ergo pendus cylindri, est vis quae dum pereurritur quadruplum longitudinis cylindri velocitate lapsu per I G aeqilista, generare potest morum ejus eὶ litari ea veloci
Clim verb celeritas quae lapsa per IG
aequῖritur sit ad eam eum qua cylindrus movetur ut E F ad E F P Q δ. druplum longitudinis cylindri propria tua
celeritate alio tempore percurret qu m si moveatur celeritate lapsu per I G acquid, H. Gravitas ergo cyljndri, erit ad eam vim qua cylindri velocitas aequiritur tem pore quo quadruplum longitudinis suae propria sua celeritato describitur, directhin celeritates quae iis viribus acquiruanu& inversε ut tempora quibus acquiruntur, quae tempora cum agatur de describendo uniformiter eodem spatio quadruplo nempe langitudinis cylindri sunt inver-sὸ ut velocitates, ideoque Pondus esindri est ad vim qua ejus olindri motus ac quiritur tempore quo quadruplum longutudinis suae proprii sua eeleritate deicribitur bis directe ut celeritas lapsu per IGacquisita , ad celeritatem Cylindri, sive bis ut E F3, ad EF 3 - PQ . Ergo ex aequo Re sistentia est ad eam vim sicut EF ad EF IPQ &bis ui Ε F ad E F - Ρ Q. At, nec resistenta a
nec ea vis mutantur Ionotudine cylindri m tata, sed tantum densitate mutata ut eκ ipsa propositioiiis demonstratione liquet, eli a tem sis qua motus in Cylindro aqueo g neratur, dato tempore quo quadruplum suae longitudinis sita cum velccitate percurrit , ad eam vim qua motus in aequali cylindro, sed divellae densitatis aequali cum velocitate moto, eodcm temporc generatura ut den-