장음표시 사용
321쪽
bis: ) resistentia lindri erit ad vim qua totur, eius motus, interera dum longitudinem L describit, vel tolli possit vel generari, ut densitas medii ad densitatem Cylindri. L i Η R
In hac propositione resistentiam investigavimus quae oritur a sola magnitudine transversae sectionis cylindri, neglecta resisten-xoctiae parte quae ab obliquitate motuum oriri possit. Nam quemadmodum in casu primo pro ' sition)s xxxv l. obliquitas motuum, quibus partes aquae in vase, undique Convergebant in foramen EF, impedivit effluxum aquae illius per seramen; sic in hac propositione, obliquitas motuum, quibus partes aquae ab anteriore Cylindri termino pressae, cedunt pressioni & ' undique divergunt, retardat eorum transitum per loca in Circuitu termini illius antecedentis versus posteriores partes Cylindri, es-fieitque ut fluidum ad majorem aistantiam Commoveatur & resistentiam auget, ' idque in ea ferὰ ratione qua cHuxum aquae o vase diminuit, id est in ratione duplicata as ad arcirciter. Et quemadmodum, in propositionis illius Casu primo, esse cimus ut partes aquae pe Fendiculariter & maxima copia trinsirent per seramen E F, ponendo quod aqua omnis in va- , se
sitas aquae sive medii, ad densitatem CD lindri, ergo tandem Resilientia est ad vim qua motus in Cylindro generari vel toruli potest quo tempore quadruplum sis longitudinis propria eum velocitate describit, ut EF ad Ε F - ό P Q & bis ut F. F ad EF PQ Nut densstas medii ad densitatem Cylindri. Q. E. D./ m Res enita olindri eris ad vim Nam per cor. a. Sc hyp. resistentia cylindri est ad vim qua tutus eius motus squo tempore quadruplum longitudinis tuae uniformiter Micribit vel generari possit vel tolli, in ratione composita ex ratione quadruplae longitudinis cylindri ad lovguudinem L dc ratione densitatis mcdii ad donsitatem cylindri, 3c i , in vis qua totus cylindri motus, intere duin quadruplum longitudinis tuae describit, genetari W itolai possit, est ad vim quati m erasdem
cylindri motus quo tempore longitudinem 28 L uni 1brmiter describit vel tolli pota
vel generari, in ratione inversa temporum , sive ob eamdem utatuque celeritatem in ratione inversa lpatiorum, hoc
est, in ratione longituditus L ad quadruplum longitudinis cylindri. Quare ex aequo resilientia olivdii eth ad vim qua
einus eius motus, intereadum longitudi
nem L uniformiter dei cribit tolli possivel generati, ut deusitas medii ad densit tem cylindri. n Ei undique divergunt. Vid. Prop. 4 l. & ει. lib. huius. o Idque in ea fere ratione. E dem enim serὸ modo motus obliqui in aquae Partibus excitantur, sive aqua in Pl. num circuli immotu ni impingat, sive circulus eadem cum velocitate in actuasniciaeme sciatur.
322쪽
DE Mo- se quae in circuitu cataractae congelata fuerat, dc cujus motus Tu COR- erat & inutilis, maneret sine motu: sic in hac propositione, ut obliquitas motuum tollatur & partes aquae motu siebus. directo dc brevissimo Cedentes Ecillimum praebeant Sto. VII. transitum Cylindro, oc sola maneat resistentia, quae oritur a YY vim se bonis transversae, quaeque diminui non m T. . o.. test nisi diminuendo diametrum cylindri, concipiendum est κλα quod partes fluidi, quarum motus sunt o qui oc inutiles ocresistentiam creant, quiescant inter se ad utrumque cylindri terminum, & cohaereant oc
s p cylindro iungantur. Sit A B CD rectangulum , dc
sint ΑΕ dc BE arcus duo F ' . ...
parabolici axe AB descripti, latere autem recto quod sit ad spatium H G, describendum . cylindro cadente dum veciscit
ν B c inam tu amarari Ut num. 277. 178. fictum est, ubi circulo P Q itiquem aqua influebat cum ea velocitate quam eadendo & ea. suo deteribendo altitudinem ΗG acquirit & deinde m . vehatur unisberniter jumstae sunt glacie eolumnae duae parabolicae P Η Q ειν R Q, quae aquas enhibent, quarum Diaditas ac motus fiunt inutiles, δc parabolarum PS H, P T S erat vertex principalis P, axis PG, dc ordinatae GH, ac GR,
c per theor. I. de parab. . Hinc si aqu quiescae dc circulus P Q in aqua move vir cum eadem veloci ate quam grave cadendo dc casu suo describendo altitudiis nem Η G acquirit, eNumnae illae P H QN P R Q aquas se re exponent quarum fluiditas ae motus inutiles sunt ut partes aquae motu maximE dirae o di brevissimo cedentes ficillimum praebeam transitiun ῶν
di Sed i per Lem. I U. loco circuli PQ substitui mest usiacira ΔBDς
eadem velaeitate motus, Ac euius bates A B, CD circulo P Q aequales sint, quubus proinde basibus adjungendae sunt eo lumnae duae A E B, C F D eolumnis ΡΗQ, P R Q aequales respectivὸ, atque idipsum est quod NEuroruus in Me scholio serit. Siquidem iuncta E F, mediis basibus A B,
323쪽
locitatem suam acquirit, ut HG ad . AB. Sint etiam CF& D F arcus alii duo parabolici, axe C D ET latere recto quod sit prioris lateris recti quadruplum descripti; dc convolutione figurae circum axem E F generetur solidum cujus media pars A B D C sit cylindrus de quo agimus, & partes extremae A B E dc CD F contineant paries fluidi inter se quiescentes ocin corpora duo rigida concretas, quae Cylindro utrinque tanquam caput & cauda adhaereant. Et solidi Ε A CFD B, secundum longitudinem axis sui FE in partes versiis E progredientis, resistentia ea erit quamproxime quam in hac propom ione descripsimus, id est, quae rationem illam habet ad vim qua totus cylindri motus, interea dum longitudo AC motu illo uni miter continuato describatur vel tolli possit vel generari, quam densitas fluidi habet ad densitatem cylindri quam' 'inime. Et hac vi resistentia minor esse non potest quam
7, Prop. 36. minor esse non potest pondere cylindri amis, cujus basis est circel
m H vid. figuras superiores. Vel rii q m hic ulindrita aquae, vi potv- deris sui eadendo & easu suo deserubendo altitudinem E L acquirit, aequalis est velocitati eum qua cylindriuA C D B, in aqua movetur dem. γα ideb eum basis A B fit etiam utriave . cylindro eommunis, pondus cylindri aquae erit ad vim qu totas olimari A B D C motus, quo tempore lamg rudi 4 A C uni miter describit, Moerari possit vel tolli . in riaium coin
posita ex ratione densitatis aquae ad den-fitatem cylindri A B D C, & ratione a titudinis , E L ad altitudinem AC, & ra
tione spatii 4 A C ad spatium x E L 18M,
id est, in ratione c- ia ex ratione dem ruatis aquae ad densitatem cylindri ABDC& ratione B ad 3. Si itaque vis qua a
longitudinem 4 A C , uni sermiter deteribit, merari vel tolli posit, fit ad vim aliquam 'P, ut densitas ea limGi A B D C ad dem sitatem aquae, et i ex aequo pondus prae dicti e)lindri aquae ad vim P ut a ad 3 , atquἡ ideb po dus cylindri aquae , quo resistentia minor esse non poti st ; quam innui e 1 ad a.
324쪽
sescu9b. Si ylindrus, sph ero di sphaerois, quorum latitudines sunt aequales ἰSxcr. VII. in medio canalis eFlindrici ita locentur successise ut eorum axes cum axe caualis coincidam: haec corpora fluxum aquae per eanalem aequaliter impedient.
Nam spatia inter canalem dc cylindrum, sphaeram, dc sphaeroidem per quae aqua transit, sunt aequalia: & aqua per aequalia spatia aequaliter transiit. Haec ita se habent ex hypothesi, quod aqua omnis supra cylindrum sphaeram vel sphaeroidem congelatur, cujus fluiditas
ad colerrimum Aquae transitum non requiritur, ut in coro viti prop. XXXVI. CXplicui.
Iisdem postis , tarpora praedicta aqualiter urgentur ab a is per
canalem fluente. Patet per lemma v. 6c motus legem tertiam. Αqua .utique oc corpora in se mutuo aequaliter agunt.
Si aqua quiestat in eanali, di haec corpora in partes contrarias mi quasi υelocitare per canalem ferantur: aequales erunt eorum re
flentiae inter se. Constat ex lemmate superiore, nam motus relativi iidem inter se manent. Scho
325쪽
Eadcm est ratio corporum omnium Convexorum & rotundorum, quorum axes cum axe canalis Coincidunt. Diiserentia aliqua p. . .
ex majore vel minore frictione oriri potest; sed in his lcmma-XXXVI. tis corpora esse positissima supponimus, ic medii tenacitatem dc frictionem esse nullam, & quod partes fluidi, quae motibus suis obliquis & superfluis fluxum aquae per canalem perturbare, impedire, dc retardare possunt, quiescant inter se tanquam gelu constrictae, oc corporibus ad ipsorum partes anticas oc posticas adhaereant, perinde ut in scholio propositionis praecedentis e posui. Agitur enim in sequentibus de resistentia omnium munima quam corpora rotunda , datis maximis sectionibus trans. versiis descripta, habere possunt.
Corpora fluidis innatantia, ubi moventur in directum, efficiunt ut fluidum ad partem anticam ascendat, ad posticam subsidat, praesertim si figura sint obtusa; & inde resistentiam paulo ma otem sentiunt quam si capite dc Cauda sint acutis. Et corpora in fluidis elasticis mota, si ante & post obtusa sint, fluia dum paulo magis condensant ad anticam partem dc paulo magis relaxant ad postican K dc inde resistentiam paulo maiorem sentiunt quam si capite & cauda sint acutis. Sed nos in his lemmatis & propositionibus non agimus de fluidis elasticis, sed de non elasticis; non de insidentibus fluido, sed de alte immersis. Et ubi resistentia corporum in fluidis non elasticis innotescit, augenda erit haec resistentia aliquantulum tam in fluidis elasticis; qualis est aer, quam in superficiebus fluidorum stagnantium,
qualia sunt maria dc paludes. PRO I
326쪽
pROPOSITIO XXXVIII. THEOREΜΑ XXX.
LivBR G bi, in Dido rempresso infinito di non elastico uniformiter pro- ζο V P gredientis, rementia es ad vim qud Drus pus motus, quo P o,. rem fre octo terrias partes diametei suae destribit, vel tolli XXXVIII. misit vel generari , ut densetas fluidi ad densualem globi quam-
s) Nam obus est ad cylindrum circumscriptum ut duo ad
tria; dc propterea Vis illa, quae tollere possit motum omnem cylindri interea dum cylindrus describat longitudinem quatuor diametrorum, globi motum omnem tollet interea dum globus describat duas tertias partes huius longitudinis, id est, octo te tias partes diametri propriae. Resistentia autem cylindri est ad hanc vim quamproxime ut densitas fluidi ad densitatem cylim dri vel globi per prop. xxxvii. & resistentia globi aequalis est resistentiae cylindri pelt lem. V, v I, V Il. E. D. x Corol. I. Glob rum, in mediis compressis infinitis, resistentiae sunt in ratio te quae Componitur ex duplicata ratione velocitatis, & duplicata ratione diametri, & ratione densitatis
Corol. a. Velocitas maxima quacum globus, vi ponderis sui comparativi, in fluido resistente potest descendere, ea est quam acquirere potest globus idem, eodem pondere, sine resistentia cadendo oc casu suo describendo spatium quod sit ad quatuor tertias partes diametri suae ut densitas globi ad densistatem n elabus es ad OIindrum
circumscriptum tis duo ad tria c i7o. lib. X.) & propterea, cum eadem ut globi dc undri densios eademque velocitas ex hyp. quantitas motus globi est ad quam litatem motus lindri ut duo ad tria, re tempus quo globus octo tertias partes diametri propriae uniformiter describit, est ad tempus quo cylindrus eadem uni sermi velocitate quadruplum Iongitudinis suae, seu duodeeim tertias diametrorumbi motus intereadum octo tertias partes
diametri propriae deseribit tolli possit
vel generari , est ad vim uniformem quatinus cylindri motus. quo tempore longitudinem quatuor diametrorum globi describit vel tolli vel generari possit ut duo ad tria directὸ & duo ad tria imvers ἡ, id est, in ratione aequalitatis. R Astemia -- liniri cte. t Cor. i. Patet per e r. 1. Prop. 37., quia resistentia globi aequalis est rersistentiae est ri circumicripti.
327쪽
1atem fluidL Nam globus tempore casus sui, cum velocitate DBM cadendo acquisiis, ' describet spatium quod erit ad octo territas diametri suae, ut densitas globi ad densitatem suidi; &ponderis motum hunc generans, erit ad vim quα motum C - Sεcuso. dem generare possit, quo tempore globus ocio tertias diametri Sκcae. VII.
suae eadem velocitate describit, ut ὸ den itas suidi ad den- YYYViii
statena globi: ideoque ped hanc protri sitionem, Uta ponderis Tu sto a. aequalis erit vi resistentiae, oc propterea globum accelerare potest.
yὶ Grol. 3. Data & densitate sobi oc veloci e ejus sub initio motus , ut & densitate fluidi compressi quies etcntis in quo
globus movetur; datur ad omne tempus & Velocitas globi Mejus resistetitia dc spatium ab eo descriptum, per μοι Viti
scio tertias F-rras Samiri Da ere. Deis in ibet enim ijxium dus lum i :lius quod vi ponderri sat comparativi sineresstem a
.iem globi. Cthra igitur vires una sormeatae reciproc/ ut tem ora quibus motus a vales gruerant 17s γ, patet propositum. y3 18α. Cor. I. Data edi Ae globi edi' velocitate et u sub initio m ναι dissime stilia doctar ad onme rem pus er x Deitas m si, o ejus res initia o Daimm ab eo descriptum. Primum, ex data dinsitute globi, α densitate fluidi , invenie tu, per C r. 2, vis aequalis resili ii iae clim veloduis ca eri qum Tum. ILacquῖrere potest ri gles,m, cadendo in v - raticuo per vim siti ponderis comparmivi ecdescribenso spatiunt qircd se ad quarum tertias Diametri suae ut densitas glabi ad densitatem suidi. Secundis , ex data hae resistemia inve-rietar restilentia quae competis velocitati globi de quo agitur stib initio ejus motus, quia resistentiae hie siapponantur esse ut quadrata velocitarum; ista autem resistent a cog-rita dabitur temous quo si liaec resisten tia uniformiter ageret, istam velocitatem quam habet globus liab initio motus destruere posset, sicque si B C de lignet eam vcl. citatem initio motus simulque resistenti, mipsi competentem , designeturque me A Billud tempus quo ea velmitas saer resil tiam uniformem destrui potest , Ac - elo pertiendicula AD, asymi totis A D.
A B per punctum C deseribetur 'tertio
328쪽
aulem ratione haec liquia ad calcu- tu ii revocetitur , dia dum.
I. Vis illa que Militi mi ae aequalis eta debet . um C r. us hal, et v b citatem, uix mim quinh tap u luci in fluido dato a quierre Pot it, est ii slim Iiondo compararivum corporis , sic ergo A eras pondus , Denta, data cor. Uris est ad dimitatem flaidi, ut A ad pondus aequalis voluminis i di, quo invento, detraharur illud ex pondere Α, relinquitur pondus comparatavum globi iιi sui do quod dicatur B. Ut praverea determinetur tern 'm quo eo pondere B corpus percurret eadem. ljiatium quod fit ad quatuor tertias Di ametri idete ut ejus densitas ad de
sitatem fluidi, sive, si dicatur D Diameteria dieatur F spatium quod sit ad Dut densitas globi ad densitatem medii, nudeterminetur te ius quo globus pondere B cadondo percurret spauum F posito quod grave cadendo in vaeuo ponde re A tempore unius minuti secundi pedes Parisierises Is - percurrit, di cum spatia diversis viribus acceseratricibus descri..ta eodem tempore sint ut illae vires, spatium-- pedum pondere A uno minuto secundo percursum est ad spatium eodem tempore pondere B pereurluin ut A ad D. Ut autem effillud sνatium, ad spatium H ita qui tratu: n minuti unita lecundi ad quadratum temporis quo eo Pon dere B spatium F percurretur, quod tempus dicatur G, eumque velocitate per Iansum atqui si a duillum spatii lapiti percursi uniformiter describatur ipsb laosus temtrire, ideo velocit ite pondere B tempore G aequisita, hodem rempora G describeretur a F , climque velocitas omnis exprimatur per spatium divisum per tempus, erit ea velocitas maxima q- in ponemuri dicatur H.
GII Data autem quav7s alia eiusdem gloat velocitate in eoiiau sivido eagae dis
eatur Μ, resistentia ipsi eompetem ita ob
tinetur , uti quadratum velocitatis H ad quadratum velo. italis hHalce M , ita est resiliciatia adversus velocitatem H eui pondus D aequiponet, ad resistentiam. adver us velocitatem M, quam vocabo
R ; cum ergo prius data sit ratio Aad B dabitur etiam ratio A ad R ide que dabitur spatium quod actione vi Ruiris omni lupposita per unum mimirum secundum deicriberetur, iiquidem spatio per diverti s vires uniformes acceleratri. ces dei cripta itidem temporibus sunt ut illae vires , ideoque .. ad R ut ry ped. ad' i patium uno minuto secundo descriptum, cujus spatii duplum per unum m nu uin lecundum divitum exprimit velincitatem vi R per unum minutum te duin produetam. Unde invenietur tempus quo prr eam vim R viii mitter agentem velocitas M produi i vel etiam destrui pose set, velocitates enim per eamdem v Ima qui sitae sum ut tempora quibus acquirumtur , Ergo velocitas tempore unius minutilecundi acquisita est ad vel itatem M, ut inaum minututu secundum ad tempus quovis II velocitatem M generare vel to tere posset. Virde tandem in Hyperbo lae constructioite datur valor temporis Per
lineam A B designati. Sumatur ergo B E quod sit ad A B ut
tempus quod aliun ere lubet ad tem us illud quo vis ii velocitatem Μ quae per BC exprimitur generare vel tollere pineti uniformites agendo, & ducatur ordinata ea designa. 'bit velocitatem globi eo tem p re lupersti tem quae ex natura Hylaerbolae habebitur ,
329쪽
Corol. Globus in suido compreta quiescente eiusdem secum densitatis movendo, dimidiam motus sui partem prius amittet quam longitudinem duarum ipsius diametrorum descripseri , per idem corol. VII. PRO-
temptu assumptum, BC sive M velocitastara, datur etiam E F. Datur pariter refistentia B Η , est enim BC ad EF in Rad hancce novam re sistentiam , quae, prioribus datis, etiam dabitur Denique datur spatiunt x eo ore dos pium , datur enim spatium quod velocitate constanti M tempore B Ε pereurritur ; Est verb area B C G Ε ad spatium Hyperbolicum B C F E, ut spatium velocitate eonstanti M tempore B E percuriiun, ad spatium percursum eum velocitase per resistentiam decrescente, at ex natura L garithmorum Hyperbolicorum Ipatium Hyperbolicum BC Ms Metarithmus qqantitatis & quia Logarithmi earumdem quantitatum in diversis Logarithm rum seriebus sumpti iunt proportionales, sumatur Logarithmus illius quantitatis ΑΕ ain Tabulis, vulgaribus, natque in Logarithmus denarii numeri in Tabulis sive unitas ad 2. 3oχs 8 sos qui est Logarithmus Hyperbolicus ejusdem denarii numeri, ita Log
, ad Logarithmum quantitatis e Tabulis de iamptiun & multiplicarum per 2.3 1 8so'. Ita spatium velocitate coninstanti BC tempore B E percursum, ad sp lium percurium cum velocitate per resistentiam decrescente. Q. E. I. et Cor. 4. ; Cum globus & fluidum ejusdem densitatis lupponamur a r inentia isto in casu erit aequa is vi qua totus motus glabi generari vel tolli poς set quo tempore ecto tertias diametri suae uniformiter describeret, itaque sis B C motus glcihi, erit A B tempus quo uniformitee pereurreret octo tertias tuae Diametri, sit E F , dimidium B C, quoniam EF exprimit residuum motum, PE erit te pus quo dimidia pars motus amissa fuerit,
sed BC ad E F ut A E ad A B dc est B Cad E P ut 1 ad 3 , per const. ergo etiam AEdii AB&BE AB, ideoque dimisdium motum amittet quo temPore percurreret uniformiter octo tertias Diameistri suae ; sed illud spatium uniformiter pereursum est ad spatium percursum velocitate per resistentiam decrescente ut
A Ebulis desumptum quantitatis, sivel
multiplicatum per x. 3ox Asos,& ille Logarithmus est. 3or Oloo, productum ergo erit νῖ &c. ideo I. ad .sysi dce. ut i Daad et .84831 D, quod quidem paulo minus est quam x D, ideo Globus in fluido ejus dem densitatis dimidiam sui motus partem prius describet quam langitudinem virum i mi Diam dirum des riser Q. E. D. Rr R
330쪽
Liso Globi , per fuidum in canali cylindrico clausum re compressum uniformiter progredientis , re entia est ad vim, qua rarus ejus motus , interea diam octo terrim partes diametri suae describit , vel generari possis vel mili , ire ratione quae componitur ex rarisne orificii canalis ad excessu1n hujus orificii si pra dimidium circuli maximi glibi, ct ratione duplicata orificii ea lis ad excessum hujus orificii si ra circulum maximum globi ,σ ratione densetatis fluidi ad densetatem globi quamproxime. Patet per corol. 2. prop. XXXVII. procedit Vero demonstit fio quemadmodum in propositione praecedente.
In propositionibus duabus novissimis perinde ut in lam. U. .suppono quod aqua omnis Congelatur quae globum praecedit , & cuius fluiditas auget resistentiam globi. Si aqua illa omnis liquescat, augebitur resistentia aliquantulum. Sed augmentum
illud, in his propositionibus pisuum erit re ningi potest, propoterea quod convexa suprificies globi totum o iam glacri
Globi , in medis fluidissimo tam esse progredientis, invenire rsistentiam per phaenomena. Sit A pondus globi in vacuo , B pondus eius in medio in
praeeiarere. Demonstratio eadem manet , quae in nota 18 i. adjungenda tantum haresunt e refistemia aurem cylindri est ad hanc vim quam proxime in ratione quae com iritur ex ratione orificii tanalis ad
excesium hujus orificii sit pia citruvium Hrcissi minimi globi, Ze raclone duplis ta orifieii eanalis ad excessum huΡ orificii supra est Ium nummum globi , ac ratione densiatis milli ad densitatem ψωbi ' cari 2. prop. XXXVII. dc res stemia globi aequalis est resistentiae cyli dri, per Lem. V, VL. VIL Q. E. D.