장음표시 사용
301쪽
ratisine diametro soraminis prope aequalem pervenerit, & velo- DE Alo citatem acquisiverit majorem in ratione subduplicata binarii ad CoR- unitatem circiter ; quam utique grave cadendo, & casu suo de V0RV scribendo totam altitudincin aquae in Vase stagnantis, acquirere potest quamproxime. In sequentibus igitur diameter venae designetur per foramen 'φ'
illud minus quod vocavimus E F. Et plano soraminis E F pa-
rallelum duci intelligatur planum aliud superius Vm ad distan VIII. tiam diametro soraminis aequalem circiter & foramine majore ST pertusum; per quod utique Vena cadat, quae adsequate impleat foramen inserius E F, atque ideo cujus diameter sit ad diametrum soraminis inferioris ut as ad a1 circiter. Sic enim vena per soramen inserius perpendiculariter transibit; & quam litas aquae emuentis, pro magnitudine foraminis hujus, ea critquam tutio problematis postulat quamproxime. Spatium vero , quod planis duobus & vena cadente clauditur, pro sendo Vasis ha- fheri potest. Sed ut solutio problematis simplicior sit & magis mathematica, praestat adhibere planum solum inserius pro flindo vasis, & fingere quod aqua quae per glaciem ceu per infundibulum defluebat, & e vase perforamen E F in plano inferiore lactum egrediebatur, motum suum perpetuo
S. sed, ex supra ostensis , velacitas a pue
per vasis foramen transeuntis est ad ve- citatem per venae eontractae Sectionem fluentis , ici est , ad velocitarem quam grave cadendo Per torum altitudinem aquae an vase stagnantis aequirit, in eadem ratione ad Quale velocitas quam grave per dimissiam stiminem aquis si, ammantis cadendo acquirit, aequalis est v locitati aquae per seramen effventis, m do tamen mira per simplex seramen in tenuissima lamina factum , ut supra expositum est, inuat e vase.
302쪽
DΞ Μ0-petuo servet, &ss) glacies quietem suam. TTV C08' In sequentibus igitur sit S T diameter
SiscuND. V per quod cataracta emuit ex vase i
SicT. via ubi aqua tota in vase fiuid est. Et I i , sit dianister foraminis per quod isti l
P, o Q . Cataracta cadendo adaequale transit , v 1 τViu aqua exeat ex vase per foramen 6 'M l' 'illud superius ST, sive cadat per me- ldium glaciei in vase tanquam per in. E ofundibulum. Et sit diameter ibraminis superioris ST ad di, metrum inferioris E F ut a s ad at Circiter, & distantia perpendicularis inter plana soraminum aequalis sit diametro forami nis minoris E F. Et Velocitas aquae e vase per ramen STexeuntis ea erit in ipssi soramine deorsum quam corpus cadendo a dimidio altitudinis ΙZ acquirere potest : velocitas autem catara lae utriusque Cadentis ea erit in seramine E F, quam corpus rudendo ab altitudine tota I G i acquiret.
que rum Narno si acies errinis in aquam reislcluta se, de in altero gl.icies quietem suam marravet , ut aqua cataractam abniem formanda enluat per foramen
e f Sectioni venae contracta ἡ foramine EF exiliecit equale ; S loco vasis ABDC, in problematis lblutione substitui poterit
vas alterum abde, in quo aquae per lumen e s effveniis eadem est veloesias quam aqua d vase AB DC exiliens hahet in Sectione venae cCntractas, eadem que pioindὰ aquae quantitas in defiuxum impenditur, dc propterea idem aquae pon- dua fiat, o incumbit in utroque vale. Quoniam enim cataracta abii fem figura Sc ex secundum quam aqua cataracia illa movetur notae sunt, problematis solutiota iacilior Zc magis mathematica fiet, si zeo vasis A B D C metue substituatiuvas ab d
303쪽
CU. a. Si seramen Ε F non sit in medio landi vasis , sed De Mo
landum alibi perseretur: aqua emuel eadem Cum velocitate ac Tu prius, si modo eadem sit foraminis magnitudo. Nam majori quidem tempore descendit ad candem profunditatem fgebuti per lineam obliquam quam per lineam perpendicularem, sed Sεcr. VILdescendendo eandem velocitatem acquirit in utroque casu , ' YYYvi
ut Galilaeus demonstravit. PROBL.
Cas. 3. Eadem est aquae velocitas emuentis per soramen in YHI. latere vasis. Nam si soramen parvum sit , ut intervat. Ium inter superficies A B dc KL quoad sensum evanescat, ocvena aquae horizontaliter exilientis figuram parabolicam esser-met: ex cy) latcre recto hujus parabolae colligetur, quod volocitas aquae emuentis ea sit quam Corpus ab aquae in vase stagnantis altitudine HG vel I G cadendo acquirere potuisset. Fa-
et Pis Ita eam Aliquam. In hoc semiado calii para aquae per lineas ad soramen obliquas descendit. v Ui Galliatis demonstramin c8I.& 83. lib. I. ).imema Ium inter se perseis AB O κ L. I H est ad I G in ratione quaestuplimia diametri E F ad 4iametrum AB cara , aut quod idem est, in ratione duplicata areae circuli Ε F ad aream circuli A B, ideoque si ratio Ε F ad A Binu a sit, minor adhuc erit ratio I H ad I G, & Η G, I G erunt ad sensum aequales. y lmeis recto linius Parabola. Aquae gutta E loco D, secundiun directi nem quamlibet D T exiliat cum ea velo citate quam per altitudinem B D cadendo acquirere potest, x sublata medii resiste tia, dentibat parabolam D N Z, tutas ver teri D, tangens 1 T, & diameter l, Η seu veni eatis BD producta O. lib. I. ἱ capiatur abstassa D H aequalis altitudini B D, ducaturque ordinata Η Ζ, quae tangenti D T parallela erit, & quo tempore gut ea aquae vi gravitatis eadendo altitudinem B D vel D H describit uniformi illa v locitate quam casu per B D acquisivit,
que elim sit ΗΖα1DΗαx BD, latus rectum est 4 B D. Igitur altitudo B Dquam aqua cadendo describere debet ut velocitatem acquirat cum qua E loco D exilii , est quarta pars lateris recti ad di
metiam b H Farabolae D N Z pertineatis.
304쪽
DE Μο-cto utique experimento inveni quod, si altitudo aquae stagnam TU COR tis supra foramen esset viginti digitorum & altitudo fora -ΤQRVN , supra planum horizonti parallelum esset quoquc viginti di-Sqcuso Vena aquae prosilientis incideret in planum illud ad shee. vii. distantiam digitorum 3 7 circiter a perpendiculo quod in planum P ηορ- illud a foraminc demittebatur captam. Nam sine resistentia, riuo, L Vena incidere debuisset in planum illud ad distantiam di VIII. gitorum εο, existente venae parabolicae latere recto digito
Cas. 4. Quin etiam aqua emuens, si sursum seratur, eadem egreditur cum velocitate. Ascendit enim aquae exilientis vena parva motu perpendiculari ad aquae in vase stagnantis altitudinem G H vel G I, nisi quatenus ascensus ejus ab aeris resistentia aliquantulum impediatur; e) ac proinde ea emuit cum velincitate quam ab altitudinc illa Cadendo acquirere potuisset. Α- quae stagnantis particula unaquaeque undique premitur aequaliter per prop. XIx. lib. a. & pressioni Cedendo aequali impetu in omnes partes sertur, sive descendat per iuramen in fundo v Sis, sive horizontaliter emuat per foramen in ejus latere, sive ogrediatur in canalem & inde ascendat per soramen parvum insuperiore canalis parte factum. Et velocitatem qua aqua ossiuit. eam esse, quam in hac propositione assignavimus, non solum ratione colligitur, sed etiam per experimenta notissima jam descripta manifestum est. f. s. Eadem cst aquae emuentis velocitas, sive figura seraminis sit circularis, sive quadrata vel triangularis aut alia quaecunque circulari aequalis. Nam v clocitas aquae emuentis non
pendet a figura foraminis, sed otitur ab ejus altitudine infra planum Κ L. Cug. 6. Si vasis AB D Cpars inserior in aquam stagnantem
305쪽
immergatur & altitudo aquae stagnantis supra fundum vasis stG R: velocitas quacum aqua quae in vase est, emuet Der foramen Ε F in aquam stagnantem, ea erit quam aqua Cagendo &casu suo describendo altitudinem IR acquirere potest. Nam pondus aquae Omnis in vase quae inserior est superlicie aquae stagnantis, substinebitur in aequilibrio per pondus aquae stagnantis, ideoque motum aquae descendentis in vase minimὶ accelerabit. Patebit etiam & laic casus per experimenta, ' mensurando scilicet tempora quibus aqua emuit. y Corol. r. Hinc si aquae altitudo CA producatur ad Κ, ut sit ad Cx in duplicata ratione areae s raminis in quavis sendi parte ficti, ad aream circuli AB: velocitas aquae emuentis aequalis erit velocitati quam aqua cadendo & casu suo describendo altitudinem Κ C acquirere potest. i Corol. a. Et vis, qua totus aquae exilientis motus generari potest, aequalis est ponderi cylindricae columnae aquae, cujus basis est soramen E F, Ac altitudo a GI vel a C c. Νam aqua exiliens, quo tempore hanc Columnam aequat, pondere suo ab altitudine G Icadendo velocitatem suam, qua exilit, acquirere potest.
cos potest , aequalem este poniteri cylindrieae columine aquae, cuius bara est Bramen E G& altitudo G I , α in secunda editione ,
habita ratione venae contractae , vim illam duplam fecisset, priorem vis illius me suram adversus Comitem Rieeruum dc I riuum tuebatur cum Alis oris Daniel Eeν rotaVi- , quorum Diisertationes videre est in Exercitationibus Mathematicis quae an. I a 4. Venetiis editae sunt. Verum Daniel Bernovillisu paragr. 9'. sed . It . Hydred namicae posteriori sententiae NEWTO et ita suffragatur et Muta sente uia a me olim dc ab aliis suit imp .gnata ab auis rur Ο .ut
LM aqua e u , Sc quantitates . aquae iis dem temporibus emuentis. cc Cor. I. Patet per not. 271. dc
veritate dili multumque disputarum est i ter Comitem Rice vim , Danielem Bem novilium , Petrum Antonium Michelos tum, Iacobum Iurinum, aliosque eruditis fimos viros. Clim enim in prima prinei piorum edition , NEu TONus, nondam observata contractione venae, statuisset, vim qua inius aquae exilientis motus seuerari
306쪽
PORUM, defluxum aquae impenditur,
saeti u summa circulorum AB dc E F ad
ST . VII. duplum circulum E F. Sit enim IOP r. media proportionalis inter IH & IG;oc aqua per soramen E F egrediens, quo tempore gutta cadendo ab Ide
scribere posset altitudinem ISaequalis crit cylindro cujus basis est circulus EF dc altitudo est an, id est, cylindro cuius basis est circulus A B dc altitudo est a IO, ς nam circulus E F est ad circulum AB in subduplicata ratione altitudinis IH ad alb
risus eoi firmata. Num autem postq*am hanc aquarum motarum theoriam medi- ratus tum , lis ita dirimenda mihi vide tur ut cum aqua ad motum uniformem
Pervenerint, quae quidem Hrpothesis est NEWTON , tune recie altitudine 2 GI, via illa definiatur, sed ab initio fiuxta, ubi vel iras adhuc nulla est , vis simplici al--titudini G I respondeat , moxque eret cente velocitate , simul vis aquam ad es- fluxum animatu ciescat , & tandem ad eam magnitudinem exlurgat quam Na- Toruus assignavit Rem etiam Ill. Riecaim, cum quo mihi de hoe argume rito res erat, interrogatus , undὰ vis illa dul lae aquarum altitudini conveniens ori-Wri possit , eum obturato orificio, gutta Meidem imminens vi simplicis altitudinis urgeri manifestὸ appare .it, relpondit disimi inguendum esse statum quietis a statu m ritus. Iam ver b hujus cor. 1. demon strationem dedimus 174. ) , aliam, quam NEWTONus indicat , expciuerunt Comes Riseaιω in citatis Exercitationibus, & sathura Mans edias in adnotationibus affitat. a. uactauis Guttamini de natura fluminum quod praeclarum opus post fata summi viri, Clariss Fratres Gabriel & -- raelitus dilamstedi. an 739. Bononiae edi curarunt. Demonstratio sic potest exponi.
te FIt crito in aquae cujus insta aequalis est foramini E F , & altitudo G Ivi ponderis sui cadendo describuret altitudinem I G, & velocitatem aquae exilicis iis acquireret; eodem tempore ἡ oramine EF estiueret aquae quantitas aequalis λωteri cylindro aqueo, cujus basis est sit.
men E F, dc longitudo x G I ἔO. lib. r. ), id est, cylindro Floris duploidc ideo ob
velocitatem quam cylindrus per altitudinem 1 G, cadendo acquirit, aequalem velocitauaquae exilientis, quintitas motus in illo Ἱ-lindro vi ponderis ejusdem cylindri genita, est ad quantitatem molns eodem tempore in aqua exiliente productam ut I ad x. Sed vires uni sormes quibus olindri cadentis αaquae exili eruis motus generantur , sunt ut motus quantitatex eodem tempore 1 viribus illis genitae is . lib. I . Quare pondus cylindri aquae , cujus basis est foramen EF, dc altitudo GI, est ad vim qua totus aquae exiliemis motus generari potest ut I ad x, ct proinde haec vis aequalis est ponderi cylindricae columnae aquae cujus basia dc foramen E F & altitudo a GI.
e Nam eireuius E F est ad elae lum AB, in subduplietis ratione altitudinis m, ad altitudinem I G per cor. I. ias, in I plici ratione xxedia prUcrtlanalisio, ad altitudinem I G , ideoque factum ex inculo A. B in altituesneor. I IO aequale est
307쪽
titudinem I G, hoc est , in simplici ratione mediae proportio- DE Μonalis I O ad altitudinem I G : oc quo tempore gutta cadendo C QR ab I describere potest altitudinem I H, aqua egrediens aequalis erit cylindro cujus basis est circulus A B ec altitudo est fgebuo. αIΗ: dc quo tempore gutta cadendo ab I per II ad G de-Sper ULscribit altitudinum differentiam H G , aqua egrediens, g id ηον. est, aqua tota in solido ABNFEM aequalis erit differentiae lindrorum, id est, cylindro cujus basis est B dc altitudo VIII. a. HO. Et propterea aqua tota in vase ABDC est ad aquam
totam cadentem in solido ABNFEM ut HG ad 1 HO, id est , ut HO O G ad HO , seu IH IO ad a III. Sed
pondus aquae totius in solido A B NFE M in aquae defluxum impenditur: ac proinde pondus aquae totius in vase est ad ponderis partem quae in defluxum aquae impenditur, ut IHε Ioad a I H, atque ideo ut summa circulorum E F A Bad duplum circulum EF Coria. q. Et hinc pondus aquae totius in vase AB DC
acto ex circula E F ita altitudinem x IG, aut, quoia idem est, cylindrus cuius basis est circulus E F & est. ludo a I G, aequa- ur cylindro cuius basis est circului A Bre altitudo 2 IO. f AEquassis reis olindro euisa basis es chrolus A B ct Hiitudo a I H. Eadem
enim aquae quantitas eodem tempore tran-
quantitas aquae per circulum ΑΒ, tran-λntis eo tempore quo gutta cadetulo de-lcribere potest a iitudinem I Η, aequalis erit eylindro aqueo cuius basis est circu
'inae ante eas. I. dicta sunt, manifestum ea aquam totam praedicto solido contentam, per foramen EF eodem tempore emuere, quo aquae gutta vi gravitatis suae
altitudinem H G. ch in HG ad 1 Hom. Volumen aquae in vase ABDC eontentae aequatur capacitati vias seu cylindro cujus basis est
modb d m. in circulus a Best ad circulum iEFui I Gad I Ο, idiaque summa ei motorum AB & E F ad daplum et rculum EF ut IGH- Ioada Ioseu ut IH in Ioiad x I H. QuarE patet propositim. Cω. 4. Pondus aquae latius in vase ABDC sit P ponderis illius pars quae in defluxum impenditur sit o & hiue P, para ponderis totius quae tundo vas seu plano aequali differentiae circulorum CD & EF sustinetur & in defluxum non impenditur. Et sper ror. 3. erit P : p Α Β - - Ε F: 1 Ε F, ac proindE P: P - ρα. AB- EF: AB -EF.
308쪽
DBΜ0- est ad ponderis partem alteram quam fundum vasis sustinet, ut TU COR-- circulorum B & E F ad disserentiam eorundem cir-
SEcu9o. Corol. Et ponderis pars,
SECT. VII. quam fundum vasis sustinet, est ad xxxvi. ponderis partem alteram, quae in de-Pao a L. fluxum aquae impenditur, ut differen-
viii, ita circulorum AB dc Ε Fad duplum circulum minorem E F, sive ut area fundi ad duplum foramen. η Corol. 6. Ponderis autem pars, qua sola fundum urgetur, est ad pondus aquae totius, quae fundo perpendiculariter incumbit, ut circulus A Bad summa circulorum AB dc EF, sive ut circulus AB ad excessum dupli circuli AB supra sim dum. Νam ponderis pars, qua sola fundum urgetur, est ad pondus aquae totius in vase, ut differentia circulorum A B de Ε F ad summam eorundem circulorum, per Cor. q.: 6c pondus aquae totius in vase est ad pondus aquae totius quae fiando perpe diculariter incumbit, ut circulus A B ad differentiam circulorum A B oc Ε F. Itaque ex aequo perturbate, ponderis pars , qua sola fundum urgetur, est ad pondus aquae totius, quae tu do perpendiculariter incumbit, ut circulus A B ad summam cir
culorum AB dά EF v vel excessum dupli circuli AB supra
Corol. 7. Si in medio foraminis E F locetur circellus P
309쪽
eentro G descriptus & hori Zonti parallelus: pondus aquae quam circessus ille sustinet, maius est pondere tertiae partis culindri
aquae cujus basis est circellus ille & altitudo est G HA B N F E M cataracta vel columna aquae Cadentis bens G H ut supra, & congela
ri intelligatur aqua omnis in Vase, p) tam in circuitu cataractae quam supra Circellum, cujus fluiditas ad promptissimum & celerrimum aquae Gescensum non requiritur. Et sit P Hs columna aquae supra Circellum congelata, verticem habens
cataractam liancce pondere suo toto cadere & non incumbere in
PHO, nec eandem premese, Q Srae Used libere & sine trictione praeterlabi, nisi forte in ipso glaciei
vertice quo Cataracta ipso cadendi initio incipiat esse cava. Et quemadmodum aqua in circuitu cataractae congelata AAIEC,
VIII. p Tam in circuitu cataracta. Quemadmodum enim supra antὸ cac IM . , aqua omnis cujus fiuiditas ad promptissimum Sc celerrimum aquae descensiim illius ne effaxum per Aramen E F inutilis erat, in circuitu cataractae congelata suppon batur , idque rectὸ factum experimentis postea ostensum est, ita hic loci congela a lupponi potest aqua omnis in vase tam in circuitu eataractae quam sapr. 1 circellum, fluiditas ad promptissimum di celerrimum aquae em um per spatium annulare E P, Q F, non requiritur ; Et quemadmodum glacies in circuitu cataractae constituta, CEMA, DF ΝΒ pem tingebat ad superficiem ΑΒ seu t-r mim glaciei totainuo liquesicemis X A BL, ita aqua supr, circeIlum congelata producitur ad punctum H, in eadem superficie A B positum; S uti glacies in eircrebri ca
taracta e Dexa est verseueataractam caden-
aem c 171 ,se etiam eiuιmna aqua supra iacetam emplata PHE conina reis versuaeataractam eadentim OPEM, B FN ;Considerari enim potest axis Η G ut paries vasis cujus sectio iii H G C Α , de foramen in fundo sic tum sit E P, quali Geumque autem sit Lex qua effuit aqua ex vase , eodem modo quo factum est 1 NEWTomo in huius demonstrationis casu primo, conei se potest eataracta trans placiem emens , adhibitis cautionibus illic iMtatis, ut haee Hypothesis Μathematica con gruat cum vera emκus aquae Lege, qua tenus ad copiam aquae essiuentis dato tem pore , quo posito evidens est lineam Η Ρconvexam sumi debere. Quapropter si expunctis P dc Q ad punctum H du antur lineae rectae , quae cum diametro P Q triangulum con lituant, conus en revolutione hujus trianguli cito, axem H G genitus , totus continebitur in solido quod per rotati nem fipurae convexae PH Q circa eundem axem H G generatur. Hor igitur se'iduni , seu columna PH Q supra est cellum congelata, magnitudine superat conum
310쪽
DE Mo- B N FD convexa est in superficie interna A ME, BNF ve
cataractam cadentem, sic etiam haec columna P fisi con-Lihhu' Versus cataractam, re propterea major cono cujus basisseeues s. circellus ille P O & altitudo G H, id est , maior tertia par Sic r. via. te cylindri eadem base & altitudine descripti. Sustinet autem YYYVi circellus ille pondus hujus columnae, id est, pondus quod pon-Paohia dero coni seu tertiae partis cylindri illius majus est. Corol. 8. Ρondus 'aquae quam circellus valde parvus P ssustinet, minus esse videtur pondere duarum tortiarum partium
cylindri aquae cujus basis est circellus ille oc altitudo est FI G. Nam stantibus jam positis, describi intelligatur dimidium sphae roidis cujus basis est circellus ille & semiaxis sive altitudo est I G. ὶ Et haec figura aequalis erit duabus tertiis partibus
cylindit illius oc comprehendet columnam aquae congelatae PsI cujus pondus circellus ille sustinet. Nam ut motus aquae in maxime directus, columnae illius superficies externa Concurret
cum basi PE in angulo nonnihil acuto , propterea quod
Dium tutus basia est ei reellus P Q & s-titudo H G. Quard per pris. X. Id. 12. Elem. columna congelata P Η Q, maior
e it tertia parte cylinuri aquae, cujus ha-
ss est circellua P Q & altitudo G H. Sed sicut Lindum E C, F D sustinet pondus aquae in spatio solido C ΕΜΑ, DFN Rcontentae, ita circellus P Q sustinet pomitus columnae aquae P Η Q, id est, po dus quod majus est pondere tertiae partia lilidri aquae cuius basis est eireellus PQ& altitudo G H. q Tι hae Dura aqualis erit e e. Centro G, & lenii axibus conjugatis G HS G P , describatur ellipseos quadrans II Ni , & centro eodem G ae radio G Η circuli quadrans H R S, compleanturque rectangula H G P X & Η G s Z. Ducatur in circulo ordin:ua quaevis R Μ , ellipsi occurrens in N , et it R M ad N Μ, in data ratione S G ad P G 247. lib. r. & propterea si figura illae ei rea axem H G
revolvantur , circulus quem radius M R in hac revolutione describet, erit ad circu
lum radio M N destri pium in data ratione s G δ rd P G δ, seu in data rationee lindri quem rectangulum H GS Z rottando desicribit ad cylindrum ex rotati r
eor. Lem. IV. lib. r. haemi spliaerium ex revolutione quadrantis circuli H R S Ggenitum , est ad hemisphaeroidem ex rotatione quadrantis ellipseos ΗNΡG in eadem ratione. Cum igitur hemisphaerium sit ad cylindrum cireumscriptum ut 1 ad Is r o. lib. 2. erit etiam hemit pliaerois ad tylindrum cireumseriptum qui per r rationem rectanguli H G Ρ X generatur, in eadem ratione 2 ad Q. E. D. r In autila nonnihil acuto. Nam quemadmodum angulus i quem eataractae